Уравнение нормальной плоскости к линии

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:9 класс, 5 урок, Уравнение линии на плоскостиСкачать

Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Краткие теоретические сведения

Кривая в пространстве

Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $gamma$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

begin vec=vec(t_0), quad x_0=x(t_0),, y_0=y(t_0), , z_0=z(t_0). end

Пусть в точке $M$ $ vec(t_0)neqvec$, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $vec(t_0)$.

Пусть $vec$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

Здесь $lambdain(-infty,+infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $lambda$ будут соответствовать разные значения $vec$).

Если $vec=$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

Нормальная плоскость

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $vec$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $vec-vec(t_0)$ и $vec(t_0)$:

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

begin x'(t_0)cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)cdot(Z-z(t_0))=0. end

Соприкасающаяся плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ параллельно векторам $vec(t_0)$, $vec(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $vec$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $vec-vec(t_0)$, $vec(t_0)$, $vec(t_0)$:

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

begin left| begin X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \ x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\ x»(t_0) & y»(t_0) & z»(t_0) \ end right|=0 end

Бинормаль и главная нормаль

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ vec(t_0)timesvec(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

Как и раньше, $vec$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $vec(t_0) timesleft[vec(t_0),vec(t_0)right]$:

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Спрямляющая плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $vec-vec(t_0)$, $vec(t_0)$, $vec(t_0)timesvec(t_0)$: begin left(vec-vec(t_0),, vec(t_0),, vec(t_0)timesvec(t_0)right)=0. end Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Репер Френе

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ vec=frac<vec(t_0)><|vec(t_0)|>. $$ Орт бинормали: $$ vec=frac<vec(t_0)timesvec(t_0)><|vec(t_0)timesvec(t_0)|>. $$ Орт главной нормали: $$ vec=frac<vec(t_0) times[vec(t_0),,vec(t_0)]><|vec(t_0) times [vec(t_0),,vec(t_0)]|>. $$

Правая тройка векторов $vec$, $vec$, $vec$ называется репером Френе.

Видео:Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

Решение задач

Задача 1

Кривая $gamma$ задана параметрически:

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Решение задачи 1

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

begin 1cdot X+0cdot Y+1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X+Z=1. end

begin left| begin X-0 & Y-0 & Z-1 \ 1 & 0 & 1\ 0 & 2 & 1 \ end right|=0 end Раскрываем определитель, получаем уравнение: begin -2X-Y+2Z-2=0 end

begin 1cdot X-4cdot Y-1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X-4Y-Z+1=0. end

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $vec$, $vec$, $vec$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $vectimesvec$ направлен так, что тройка векторов $vec$, $vec$, $vec=vectimesvec$

— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

Теперь тройка $vec$, $vec$, $vec<tilde>$ образует репер Френе для кривой $gamma$ в точке $M$.

Задача 2

Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,,, y=frac,,, z=frac, $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.

Решение задачи 2

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)ingamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $vec(t_0)$, $vec(t_0)$, поэтому записываем определитель begin left| begin X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \ &&\ 1 & t_0 & t^2_0 \ &&\ 0 & 1 & 2t_0 end right|=0 quad Rightarrow end

begin (X-t_0)cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. end Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: begin 9-t_0^3/3=0 quad Rightarrow quad t_0=3. end Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Задача 3

Через точку $Pleft(-frac45,1,2right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,,, y=1+t,,, z=2t. $$

Решение задачи 3

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $vec(t_0)$ и $vec(t_0)timesvec(t_0)$.

Записываем уравнение спрямляющей плоскости: begin left| begin X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \ 2t_0 & 1 & 2\ 0 & 4 & -2 end right|= 0 end

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: begin 5t_0^2-8t_0-4=0 ,, Rightarrow ,, t_=2,, t_=-frac25. end

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: begin & 5X-4Y-8Z+24=0,\ & 25X+4Y+8Z=0. end

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№9 - Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой.)Скачать

Нормальное уравнение плоскости

В данной статье мы рассмотрим нормальное уравнение плоскости. Приведем примеры построения нормального уравнения плоскости по углу наклона нормального вектора плоскости от осей Ox, Oy, Oz и по расстоянию r от начала координат до плоскости. Представим метод приведения общего уравнения прямой к нормальному виду. Рассмотрим численные примеры.

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Тогда нормальное уравнение плоскости Ω представляется следующей формулой:

где r− расстояние от начала координат до плоскости Ω, а α,β,γ− это углы между единичным вектором n, ортогональным плоскости Ω и координатными осьями Ox, Oy, Oz, соответственно (Рис.1). (Если r>0, то вектор n направлен в сторону плоскости Ω, если же плоскость проходит через начало координат, то направление вектора n выбирается произвольной).

Выведем формулу (1). Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат и плоскость Ω (Рис.1). Проведем через начало координат прямую Q, перпендикулярную плоскости Ω, и точку пересечения обозначим через R. На этой прямой выделим единичный вектор n, с направлением, совпадающим с вектором . (Если точки O и R совпадают, то направление n можно взять произвольным).

Выразим уравнение плоскости Ω через следующие параметры: длину отрезка и углы наклона α, β, γ между вектором n и осьями Ox, Oy, Oz, соответственно.

Так как вектор n является единичным вектором, то его проекции на Ox, Oy, Oz будут иметь следующие координаты:

Обозначим через r расстояние от начала координат до точки R. Рассмотрим, теперь, точку M (x,y, z). Точка M лежит на плоскости Ω тогда и только тогда, когда проекция вектора на прямую R равна r, т.е.

(3)

Скалярное произведение векторов n и имеет следующий вид:

,

(4)

где − обозначен скалярное произведение векторов n и , а | · |− норма (длина) вектора, α−угол между векторами n и .

Поскольку n единичный вектор, то (4) можно записать так:

.

(5)

Учитывая, что n=<cosα, cosβ, cosγ>, , мы получим:

.

(6)

Тогда из уравнений (3), (5), (6) следует:

Мы получили нормальное уравнение плоскости Ω. Уравнение (7) (или (1)) называется также нормированным уравнением плоскости . Вектор n называется нормальным вектором плоскости .

Как было отмечено выше, число r в уравнении (1) показывает расстояние плоскости от начала координат. Поэтому, имея нормальное уравнение плоскости легко определить расстояние плоскости от начала координат. Для проверки, является ли данное уравнение плоскости уравнением в нормальном виде, нужно проверить длину нормального вектора этой плоскости и знак числа r, т.е. если |n|=1 и r>0, то данное уравнение является нормальным (нормированным) уравнением плоскости.

Пример 1. Задано следующее уравнение плоскости:

.

(7)

Определить, является ли уравнение (7) нормальным уравнением плоскости и если да, то определить расстояние данной плоскости от начала координат.

Решение. Нормальный вектор плоскости имеет следующий вид:

Определим длину вектора n:

Ответ: Длина вектора n равна 1, , следовательно уравнение (7) является нормальным уравнением плоскости, а − это расстояние плоскости от начала координат.

Видео:Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду

Так как уравнения (1) и (8) должны определять одну и ту же прямую (Утрерждение 2 статьи «Общее уравнение плоскости»), то существует такое число t, что

Возвышая в квадрат первые три равенства в (9) и складывая их, получим:

Упростим выражение и найдем t:

.

(11)

Знаменатель в (11) отличен от нуля, т.к. хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю (в противном случае (8) не представлял бы уравнение прямой).

Выясним, какой знак имеет t. Обратим внимание на четвертое равенство в (9). Так как r−это расстояние от начала координат до плоскости, то r≥0. Тогда произведение tD должна иметь отрицательный знак. Т.е. знак t в (11) должен быть противоположным знаку D.

Подставляя в (1) вместо cosα, cosβ, cosγ и −r значения из (9), получим tAx+tBy+tCz+tD=0. Т.е. для приведения общего уравенения плоскости к нормальному виду, нужно заданное уравнение умножить на множитель (11). Множитель (11) называется нормирующим множителем .

Пример 2. Задано общее уравнение плоскости

Построить нормальное уравнение плоскости (12).

Решение. Из уравнения (12) можно записать: A=2, B=−3, C=6, D=4. Вычислим t из равенства (11):

.

Так как D>0, то знак t отрицательный:

.

Умножим уравнение (12) на t:

.

Ответ. Нормальное уравнение прямой (12) имеет следующий вид:

.

Отметим, что число является расстоянием от начала координат до прямой (12).

Видео:Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Нормальное уравнение плоскости: описание, примеры, решение задач

Статья раскрывает суть нормального (нормированного) уравнения и показывает, при каких видах задач его чаще всего применяют. Рассмотрим выведение нормального уравнения плоскости с примерами решений. Приведем примеры приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду. Решим задачи по нахождению расстояния от точки до плоскости при помощи нормального уравнения плоскости.

Видео:Видеоурок "Нормальное уравнение плоскости"Скачать

Нормальное уравнение плоскости – описание и пример

Возьмем прямоугольную систему координат О х у z трехмерного пространства. Если плоскость удалена на расстояние p ≥ 0 в положительном направлении нормального вектора n → . Возьмем за единицу длину вектора n → . Получим, что координатами направляющего косинуса являются n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , тогда n → = cos 2 α , cos 2 β , cos 2 γ = 1 .

Примем обозначение O N за расстояние от точки до плоскости, таким образом, точка N принадлежит плоскости, где длиной отрезка O N будет значение p . Представим это на рисунке, изображенном ниже.

Теперь найдем уравнение заданной плоскости.

В трехмерном пространстве обозначим точку M ( x , y , z ) . Отсюда получим, что O M → , являющийся ее радиус вектором, с координатами ( x , y , z ) . Запись примет вид O M → = ( x , y , z ) . Отсюда получаем, что плоскость определена множеством точек M ( x , y , z ) , тогда числовая проекция вектора O M → по направлению n → равна значению p . Запись принимает вид n p n → O M → = p . Рассмотрим на приведенном ниже рисунке.

Из вышесказанного получим, что определение скалярного произведения векторов по формуле n → = ( cos α , cos β , cos γ ) и O M → = ( x , y , z ) в результате дают равенство

n → , O M → = n → · O M → · cos n ⇀ , O M → ^ = n → · n p n → O M → = 1 · p = p

Данная формула представляет скалярное произведение в координатной форме. Тогда получаем следующее выражение:

n → , O M → = cos α · x + cos β · y + cos γ · z

При сопоставлении двух последних равенств получаем уравнение плоскости такого вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z = p . Упростим выражения. Для этого необходимо перенести значение p в левую сторону, получим cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 .

cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 называют нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Реже его называют нормированным уравнением заданной плоскости.

Теперь заданное в прямоугольной системе координат О х у z нормальное уравнение принимает вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 . Р имеет значение расстояния положительного направления единичного нормального вектора плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) .

Чаще всего косинус не представляется явно в уравнении плоскости, потому как cos α , cos β и cos γ является некоторыми действительными числами, сумма квадратов которых равна единице.

Рассмотрим пример нормального уравнения плоскости.

Если имеется плоскость, заданная в прямоугольной системе координат O x y z при помощи уравнения нормального вида, — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 .

Отсюда cos α = — 1 4 , cos β = — 3 4 , cos γ = 6 4 .

Из выражения находим, что — 1 4 , — 3 4 , 6 4 — координаты нормального вектора плоскости n → . Его длина вычисляется из формулы n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 2 = 1 . Плоскость располагается относительно координат в направлении вектора n → на расстоянии 7 единиц, потому как p = 7 .

Отсюда ясно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 , где A , B , C – некоторые действительные числа, при которых длина нормального вектора плоскости n → = ( A , B , C ) равняется 1 , причем D является неотрицательным числом.

Чтобы выявить, является представленное уравнение нормальным уравнением плоскости, необходимо выполнение обоих условий n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 и p ≥ 0 , тогда получим уравнение плоскости нормального вида. При невыполнении хотя бы одного условия, уравнение не является нормальным.

Рассмотрим на примере.

Выявить уравнение плоскости нормального вида из заданных уравнений:

1 7 x — 4 7 y + 4 2 7 — 3 = 0 1 3 x + 7 6 y — 5 6 z + 2 5 = 0 1 3 x + 1 2 y + 1 4 z — 11 = 0

Начнем решение с первого уравнения. Для этого необходимо проверить, равняется ли длина нормального вектора n → = 1 7 , — 4 7 , 4 2 7 единице.

Вычисляем длину по формуле и получаем: n → = 1 7 2 + — 4 7 2 + 4 2 7 2 = 1 49 + 16 49 + 32 49 = 1

Необходимо поработать с числом p , так как его значение должно быть положительным. Это верно, так как p = 3 . Значит, первое заданное уравнение плоскости можно считать уравнением плоскости в нормальном виде.

Второе уравнение из заданных нельзя считать нормальным уравнением плоскости, так как условие p ≥ 0 не выполняется, ибо в данном уравнении p = — 2 5 .

Третье уравнение имеет нормальный вектор с координатами n → = 1 3 , 1 2 , 1 4 , длина которого не равняется единице из вычислений:

n → = 1 3 2 + 1 2 2 + 1 4 2 = 1 9 + 1 4 + 1 16 = 61 12 ≠ 1

Отсюда следует, что его нельзя считать за уравнение плоскости в нормальном виде.

Ответ: 1 7 x — 4 7 y + 4 2 7 z — 3 = 0 уравнение является нормальным уравнением плоскости.

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду

Для приведения уравнения плоскости A x + B y + C z + D = 0 к нормальному виду, обе части умножаются на нормированный множитель ± 1 A 2 + B 2 + C 2 . Знак определятся по числу D , он должен быть противоположным значения числа D .

Когда D = 0 , знак может быть любым.

Нормальным уравнением плоскости считается общее уравнение плоскости после умножения на нормирующий множитель, потому как длина вектора с кооординатами ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 равна 1 .

Отсюда получаем, что ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 = A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 + C 2 = 1 .

Знак множителя необходим для того, что проверять выполнимость условия p ≥ 0 .

Привести уравнение 2 x — 3 y + z + 5 = 0 к нормальному виду.

Из условия имеем, что A = 2 , B = — 3 , C = 1 , D = 5 . Исходя из того, что D является положительным числом, нормирующий множитель дожжен иметь противоположный знак. Отсюда получим, что получим отрицательный результат.

— 1 A 2 + B 2 + C 2 = — 1 2 2 + ( — 3 ) 2 + 1 2 = — 1 14

Чтобы получить искомое нормальное уравнение плоскости, обе части уравнения необходимо умножить на нормирующий множитель. Получим:

— 1 14 · 2 x — 3 y + z + 5 = — 1 14 · 0 ⇔ ⇔ — 2 14 x + 3 14 y — 1 14 z — 5 14 = 0

Ответ: — 2 14 x + 3 14 y — 1 14 z — 5 14 = 0 .

Написать нормальное уравнение плоскости, если оно задано уравнением 3 x — 4 z = 0 прямоугольной системы координат O x y z .

Из условия видно, что A = 3 , B = 0 , C = — 4 , D = 0 . Знака перед множителем нет, потому как D = 0 . Значит, возьмем со знаком « + ». Получаем выражение вида:

1 A 2 + B 2 + C 2 = 1 3 2 + 0 2 + ( — 4 ) 2 = 1 5

При умножении обеих частей уравнения на нормирующий множитель, получаем уравнение плоскости нормального вида 3 5 x — 4 5 z = 0 .

Ответ: 3 5 x — 4 5 z = 0 .

Видео:Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"Скачать

Нахождение расстояния от точки до плоскости

Теперь раскроем тему нормального уравнения плоскости, где уравнение плоскости нормального вида применимо для нахождения расстояния от заданной точки в пространстве до плоскости.

При заданной системе координат О х у z трехмерного пространства имеем плоскость с уравнением cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где необходимо определить расстояние от p до точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) заданной плоскости. Его вычисляют по формуле p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p . Само расстояние является числом, которое получается при подстановке координат точки в левую сторону уравнения. Для вывода формулы необходимо обратиться к статье расстояния от точки до плоскости.

Имеется уравнение плоскости вида — 1 3 x + 2 3 y — 2 3 z — 1 = 0 , которое располагается в прямоугольной системе координат. Определить расстояние от точки с координатами M 0 ( 1 , — 3 , 0 ) до плоскости.

Координаты точки M необходимо подставить в левую часть уравнения плоскости. Тогда получаем:

— 1 3 · 1 + 2 3 · ( — 3 ) — 2 3 · 0 — 1 = 0

Искомое расстояние – величина абсолютная, значит p = — 3 1 3 = 3 1 3 .

Если плоскость задана другим уравнением, а необходимо произвести вычисление от заданной точки до плоскости, необходимо привести уравнение к виду нормального уравнения плоскости, используя формулу p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p .

Найти расстояние от заданной точки с координатами M 0 ( 5 , — 1 , 2 ) до плоскости x 5 + y — 2 + z 4 = 1 .

По условию имеем уравнение плоскости в отрезках. Это значит, что необходимо привести его к нормальному уравнению плоскости. Для этого переходим к общему уравнению, после чего приведем к нормальному виду.

Получаем: x 5 + y — 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 5 x — 1 2 y + 1 4 z — 1 = 0

Для вычисления нормирующего множителя применяем: 1 1 5 2 + — 1 2 2 + 1 4 2 = 1 141 25 · 16 = 20 141

Обе части уравнения 1 5 x — 1 2 y + 1 4 z — 1 = 0 умножаем на нормирующий множитель. Теперь получено нормальное уравнение исходной плоскости вида:

4 141 x — 10 141 y + 5 141 z — 20 141 = 0

Отсюда видно, что cos α = 4 141 , cos β = — 10 141 , cos γ = 5 141 , p = — 20 141 , x 0 = 5 , y 0 = — 1 , z 0 = 2

Все имеющиеся данные помогут использовать формулу для нахождения искомого расстояния от точки до плоскости:

p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p = 4 141 · 5 — 10 141 · — 1 + 5 141 · 2 — 20 141 = 20 141

🎥 Видео

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

§1 Линии на плоскостиСкачать

Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать