Уравнение нормали к плоскости xoz

Уравнение нормали к плоскости xoz

Если A = B = 0, т. е. уравнение имеет вид Cz + D = 0, или .

то вектор нормали коллинеарен вектору k = (0, 0, 1). Поэтому плоскость перпендикулярна оси OZ, а значит параллельна плоскости XOY. Координатная плоскость XOY имеет уравнение z = 0.

Аналогично, x = 0 — уравнение координатной плоскости YOZ; x = а — уравнение плоскости, параллельной YOZ; y = 0 — уравнение плоскости XOZ; y = b — уравнение плоскости, параллельной XOZ.

Если равна нулю только одна из координат вектора нормали, то нормаль перпендикулярна, а плоскость, следовательно, параллельна соответствующей оси. Например, плоскость Ax + Cz + D = 0 параллельна оси OY (возможно, содержит эту ось).

Вопросы о взаимном расположении плоскостей решаются с помощью вектора нормали. Пусть две плоскости заданы своими уравнениями: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (плоскость P1), A2x + B2y + C2z + D2 = 0 (плоскость P2).

Запишем в краткой, символической форме условия параллельности и перпендикулярности плоскостей:

Угол между плоскостями равен углу между векторами нормали и находится с помощью скалярного произведения (см. раздел 4.2).

Пример 9. Найти угол между плоскостями 2x — 2y + z — 5 = 0, x — z + 7 = 0.

Решение. Найдём косинус угла между векторами нормали N1 = (2, —2, 1) и N2 = (1, 0, —1):

Используя таблицы или калькулятор, можно найти.

Как известно, через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Научимся решать эту важную задачу в общем виде, а затем рассмотрим пример.

Пусть точки M1(x1, y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3) не лежат на одной прямой. Мы помним, что главное для записи уравнения плоскости — найти вектор нормали, т. е. какой-нибудь вектор, перпендикулярный плоскости. В качестве такого вектора можно взять векторное произведение:

Видео:Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

Как написать уравнения касательной и нормали | Математика

1.2.2. Общее уравнение плоскости. Неполное уравнение

Раскрывая скобки и обозначая свободный член – Ax0 – By0 – Cz0 = D, получим общее уравнение плоскости В пространстве R3:

Ax+By+Cz+D=0, A2+B2+C2>0. (4)

Итак, линейное относительно текущих координат x, y,z уравнение (4) определяет плоскость в пространстве (причем, Уравнение нормали к плоскости xoz=(A, B,C) ее нормаль). Можно показать, что верно и обратное утверждение: всякое линейное уравнение (4) в пространстве R3 определяет некоторую плоскость.

Пример. Написать уравнения координатных плоскостей.

Для того, чтобы написать уравнение любой плоскости надо знать координаты какой-нибудь точки на плоскости и какой-нибудь вектор, перпендикулярный плоскости.

В нашем примере все координатные плоскости проходят через точку M0(0,0,0) – начало координат.

А в качестве нормалей к координатным плоскостям можно взять соответственно базисные векторы Уравнение нормали к плоскости xoz.

Плоскость XOY: М0(0,0,0), Уравнение нормали к плоскости xoz(0,0,1)=(A, B,C).

0(x – 0) + 0(y – 0) + 1(z – 0)=0

Уравнение плоскости XOY: z=0.

Плоскость YOZ: M0(0,0,0), Уравнение нормали к плоскости xoz:

Уравнение плоскости YOZ: x=0.

Плоскость XOZ: M0(0,0,0), Уравнение нормали к плоскости xoz:

Уравнение плоскости XOZ: y=0.

Заметим, что в нашем примере в уравнениях координатных плоскостей отсутствуют два члена с текущими координатами (какие-либо два из коэффициентов A, B,C равны нулю).

Уравнение плоскости (4), в котором хотя бы один из коэффициентов A, B,C или D равен нулю, называют Неполным уравнением плоскости. В этих случаях плоскость либо параллельна одной из координатных осей (один из коэффициентов A, B,C равен нулю, или, что то же, вектор нормали Уравнение нормали к плоскости xozортогонален одной из координатных осей); либо плоскость (4) параллельна одной из координатных плоскостей (два из коэффициентов A, B,C равны нулю, Уравнение нормали к плоскости xozпараллелен какой-нибудь координатной оси); если же коэффициент D уравнения (4) равен нулю, т. е. точка (0,0,0) удовлетворяет уравнению плоскости, плоскость проходит через начало координат.

Видео:Репетитор по математике ищет нормаль к плоскостиСкачать

Репетитор по математике ищет нормаль к плоскости

VMath

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Содержание

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Поверхности. Касательная плоскость и нормаль

Видео:Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать

Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Краткие теоретические сведения

Способы задания поверхностей

Рассматриваем вектор–функцию двух скалярных аргументов: $$vec=vec(u,v).$$ Годографом такой функции является поверхность.

Запишем четыре способа задания поверхности: 1. Векторное уравнение: $$vec=vec(u,v).$$ 2. Параметрическое уравнение: $$x=x(u,v),,, y=y(u,v),,, z=z(u,v).$$ 3. Неявное уравнение: $$varPhi(x,y,z)=0.$$ 4. Явное уравнение: $$z=z(x,y).$$

Поверхность называется регулярной ($k$ раз дифференцируемой), если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию (то есть функции $x(u,v), y(u,v),z=z(u,v)$ $k$ раз непрерывно дифференцируемы). При $k=1$ поверхность называется гладкой.

Регулярная поверхность в окрестности каждой своей точки допускает бесчисленное множество параметризаций.

Кривая, лежащая на поверхности $vec=vec(u,v)$, задается уравнениями $$ u=u(t),,, v=v(t).$$ Линии $u=mbox$, $v=mbox$ являются координатными линиями данной параметризации поверхности.

Видео:Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностиСкачать

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Решение задач

Задача 1 (Феденко №544)

Дана поверхность begin x=u+v, ,, y=u-v,,, z=uv. end Проверить, принадлежат ли ей точки $A(4,2,3)$ и $B(1,4,-2)$.

Ответ. Точка $A$ принадлежит, так как ее координаты удовлетворяют системе уравнений, задающих поверхность. Точка $B$ не принадлежит поверхности.

Задача 2 (Феденко № 546)

Найдите неявное уравнение поверхности, заданной параметрическими уравнениями: begin begin x & = x_0 + a,mbox,u,mbox,v, \ y & = y_0 + b,mbox,u,mbox,v, \ z & = z_0 + c,mbox,u. end end

Ответ. Эллипсоид с полуосями $a$, $b$, $c$ и центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$: begin frac+frac+frac=1. end

Задача 3 (Феденко №528)

В плоскости $xOz$ задана кривая $x=f(u)$, $z=g(u)$, не пересекающая ось $Oz$. Найдите параметризацию поверхности, полученной при вращении этой кривой вокруг оси $Oz$.

Решение задачи 3

Произвольная точка $M$, принадлежащая кривой и имеющая координаты $x_0=f(u_0)$, $y_0=0$, $z_0=g(u_0)$, движется по окружности с центром на оси $Oz$ и радиусом $R=f(u_0)$ в плоскости, параллельной плоскости $xOy$: $z=g(u_0)$. Поэтому изменение ее координат можно записать следующими уравнениями: begin left< begin x_0 & = & f(u_0),mbox,v, \ y_0 & = & f(u_0),mbox,v, \ z_0 & = & g(u_0). \ end right. end

Поскольку точка $M$ произвольная, уравнение искомой поверхности: begin left< begin x & = & f(u),mbox,v, \ y & = & f(u),mbox,v, \ z & = & g(u). \ end right. end

Уравнение нормали к плоскости xoz

Касательная плоскость. Нормаль

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Краткие теоретические сведения

Пусть $vec=vec(u,v)in C^1$ — поверхность, проходящая через точку $P(u_0, v_0)$. Пусть $u=u(t)$, $v=v(t)$ — уравнения гладкой кривой, проходящей через точку $P(u_0, v_0)$ и лежащей на заданной поверхности.

Пусть точка $P$ не является особой, то есть ранг матрицы begin left( begin x_u & y_u & z_u \ x_v & y_v & z_v \ end right) end в точке $P$ равен $2$ (для особой точки ранг меньше $2$). Если поверхность задана неявно $varPhi(x,y,z)=0$, то в не особой точке $P$ выполняется условие: $varPhi_x^2+varPhi_y^2+varPhi_z^2neq0.$

Касательная к кривой $u=u(t)$, $v=v(t)$ на поверхности $vec=vec(u,v)$ определяется вектором: begin displaystylefrac<dvec>

=vec_udisplaystylefrac

+vec_vdisplaystylefrac

, end где $vec_u=displaystylefrac<dvec>$, $vec_v=displaystylefrac<dvec>$. Для разных кривых, проходящих через точку $P(u_0, v_0)$, значения $displaystylefrac

$, $displaystylefrac

$ будут разными, а $vec_u$, $vec_v$ теми же. Следовательно, все векторы $displaystylefrac<dvec>

$ лежат в одной плоскости, определяемой векторами $vec_u$, $vec_v$. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке $P$. Запишем уравнение касательной плоскости.

Обозначения:
— $vec=$ — радиус-вектор произвольной точки касательной плоскости.
— $vec=$ — радиус вектор точки $P(u_0, v_0)$.
— Частные производные $x_u$, $y_u$, $z_u$, $x_v$, $y_v$, $z_v$ вычисляются в точке $P(u_0, v_0)$.

Уравнение касательной плоскости:

1. Если поверхность задана векторно, то уравнение касательной плоскости можно записать через смешанное произведение трех линейно зависимых векторов: $$ left(vec-vec, , vec_u, , vec_v right)=0. $$ 2. Если поверхность задана параметрически, запишем определитель: begin left| begin X-x & Y-y & Z-z \ x_u & y_u & z_u\ x_v & y_v & z_v\ end right|=0 end 3. Если поверхность задана неявным уравнением: begin varPhi_x(X-x)+varPhi_y(Y-y)+varPhi_z(Z-z)=0. end 4. В случая явного задания поверхности, уравнение касательной плоскости примет вид: begin (Z-z)=z_x(X-x)+z_y(Y-y). end

Нормалью поверхности в точке $P$ называется прямая, проходящая через $P$ перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Уравнение нормали:

1.$$ vec=vec + lambdavec, ,, vec=vec_utimesvec_v. $$ 2. begin displaystylefrac< left| begin y_u & z_u\ y_v & z_v\ end right|>= displaystylefrac< left| begin z_u & x_u\ z_v & x_v\ end right|>= displaystylefrac< left| begin x_u & y_u\ x_v & y_v\ end right|>. end 3. begin displaystylefrac=displaystylefrac=displaystylefrac. end 4. begin displaystylefrac=displaystylefrac=displaystylefrac. end

Видео:4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примеры

Решение задач

Задача 1 (Феденко №574)

Дана поверхность begin x=u,mbox,v,,, y=u,mbox,v,,, z=u. end Написать:
а) уравнение касательной плоскости к поверхности;
б] уравнение нормали к поверхности;
в) касательной к линии $u=2$
в точке $Mleft(u=2, v=displaystylefracright)$ поверхности.

Задача 2

Через точки $A(0,1,0)$ и $B(1,0,0)$ провести плоскость, касательную к поверхности $vec=$.

Ответ. $z=0, -2X-2Y+Z+2=0$.

Задача 3

Построить касательную плоскость к поверхности $y=x^2+z^2$, перпендикулярную вектору $vec$.

Задача 4

Через точку $M(1,2,1)$ провести плоскость, касательную к поверхности $x^2+y^2-z^2=0$.

Ответ. $X-Z=0$, $3X-4Y+5Z=0$.

Задача 5 (Феденко №594)

Докажите, что поверхности begin z=mbox(xy), ,, x^2-y^2=a end ортогональны в точках их пересечения.

Решение задачи 5

Запишем направляющие векторы нормалей к поверхностям, проведенным в точках их пересечения: begin begin vec_1&=left<frac<mbox^2(x_0y_0)>,frac<mbox^2(x_0y_0)>,-1right>,\ vec_2&=left. end end Скалярные произведения векторов $n_1$ и $n_2$ равны нулю, следовательно векторы ортогональны. begin n_1cdot n_2=0. end

🎥 Видео

Задача C2: расстояние от точки до плоскостиСкачать

Задача C2: расстояние от точки до плоскости

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Видеоурок "Уравнение плоскости в отрезках"Скачать

Видеоурок "Уравнение плоскости в отрезках"

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

Нахождение уравнения касательной плоскости и уравнения нормалиСкачать

Нахождение уравнения касательной плоскости и уравнения нормали

Химия 9 класс — Как определять Степень Окисления?Скачать

Химия 9 класс — Как определять Степень Окисления?

Уравнение годаСкачать

Уравнение года

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать

5. Нормальное уравнение плоскости вывод

Уравнение плоскости. 11 класс.Скачать

Уравнение плоскости. 11 класс.

Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать

Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном виде
Поделиться или сохранить к себе: