Уравнение нормали к плоскости xoz

Если A = B = 0, т. е. уравнение имеет вид Cz + D = 0, или .

то вектор нормали коллинеарен вектору k = (0, 0, 1). Поэтому плоскость перпендикулярна оси OZ, а значит параллельна плоскости XOY. Координатная плоскость XOY имеет уравнение z = 0.

Аналогично, x = 0 — уравнение координатной плоскости YOZ; x = а — уравнение плоскости, параллельной YOZ; y = 0 — уравнение плоскости XOZ; y = b — уравнение плоскости, параллельной XOZ.

Если равна нулю только одна из координат вектора нормали, то нормаль перпендикулярна, а плоскость, следовательно, параллельна соответствующей оси. Например, плоскость Ax + Cz + D = 0 параллельна оси OY (возможно, содержит эту ось).

Вопросы о взаимном расположении плоскостей решаются с помощью вектора нормали. Пусть две плоскости заданы своими уравнениями: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (плоскость P1), A2x + B2y + C2z + D2 = 0 (плоскость P2).

Запишем в краткой, символической форме условия параллельности и перпендикулярности плоскостей:

Угол между плоскостями равен углу между векторами нормали и находится с помощью скалярного произведения (см. раздел 4.2).

Пример 9. Найти угол между плоскостями 2x — 2y + z — 5 = 0, x — z + 7 = 0.

Решение. Найдём косинус угла между векторами нормали N1 = (2, —2, 1) и N2 = (1, 0, —1):

Используя таблицы или калькулятор, можно найти.

Как известно, через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Научимся решать эту важную задачу в общем виде, а затем рассмотрим пример.

Пусть точки M1(x1, y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3) не лежат на одной прямой. Мы помним, что главное для записи уравнения плоскости — найти вектор нормали, т. е. какой-нибудь вектор, перпендикулярный плоскости. В качестве такого вектора можно взять векторное произведение:

1.2.2. Общее уравнение плоскости. Неполное уравнение

Раскрывая скобки и обозначая свободный член – Ax0 – By0 – Cz0 = D, получим общее уравнение плоскости В пространстве R3:

Ax+By+Cz+D=0, A2+B2+C2>0. (4)

Итак, линейное относительно текущих координат x, y,z уравнение (4) определяет плоскость в пространстве (причем, =(A, B,C) ее нормаль). Можно показать, что верно и обратное утверждение: всякое линейное уравнение (4) в пространстве R3 определяет некоторую плоскость.

Пример. Написать уравнения координатных плоскостей.

Для того, чтобы написать уравнение любой плоскости надо знать координаты какой-нибудь точки на плоскости и какой-нибудь вектор, перпендикулярный плоскости.

В нашем примере все координатные плоскости проходят через точку M0(0,0,0) – начало координат.

А в качестве нормалей к координатным плоскостям можно взять соответственно базисные векторы .

Плоскость XOY: М0(0,0,0), (0,0,1)=(A, B,C).

0(x – 0) + 0(y – 0) + 1(z – 0)=0

Уравнение плоскости XOY: z=0.

Плоскость YOZ: M0(0,0,0), :

Уравнение плоскости YOZ: x=0.

Плоскость XOZ: M0(0,0,0), :

Уравнение плоскости XOZ: y=0.

Заметим, что в нашем примере в уравнениях координатных плоскостей отсутствуют два члена с текущими координатами (какие-либо два из коэффициентов A, B,C равны нулю).

Уравнение плоскости (4), в котором хотя бы один из коэффициентов A, B,C или D равен нулю, называют Неполным уравнением плоскости. В этих случаях плоскость либо параллельна одной из координатных осей (один из коэффициентов A, B,C равен нулю, или, что то же, вектор нормали ортогонален одной из координатных осей); либо плоскость (4) параллельна одной из координатных плоскостей (два из коэффициентов A, B,C равны нулю, параллелен какой-нибудь координатной оси); если же коэффициент D уравнения (4) равен нулю, т. е. точка (0,0,0) удовлетворяет уравнению плоскости, плоскость проходит через начало координат.

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Поверхности. Касательная плоскость и нормаль

Краткие теоретические сведения

Способы задания поверхностей

Рассматриваем вектор–функцию двух скалярных аргументов: $$vec=vec(u,v).$$ Годографом такой функции является поверхность.

Запишем четыре способа задания поверхности: 1. Векторное уравнение: $$vec=vec(u,v).$$ 2. Параметрическое уравнение: $$x=x(u,v),,, y=y(u,v),,, z=z(u,v).$$ 3. Неявное уравнение: $$varPhi(x,y,z)=0.$$ 4. Явное уравнение: $$z=z(x,y).$$

Поверхность называется регулярной ($k$ раз дифференцируемой), если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию (то есть функции $x(u,v), y(u,v),z=z(u,v)$ $k$ раз непрерывно дифференцируемы). При $k=1$ поверхность называется гладкой.

Регулярная поверхность в окрестности каждой своей точки допускает бесчисленное множество параметризаций.

Кривая, лежащая на поверхности $vec=vec(u,v)$, задается уравнениями $$ u=u(t),,, v=v(t).$$ Линии $u=mbox$, $v=mbox$ являются координатными линиями данной параметризации поверхности.

Решение задач

Задача 1 (Феденко №544)

Дана поверхность begin x=u+v, ,, y=u-v,,, z=uv. end Проверить, принадлежат ли ей точки $A(4,2,3)$ и $B(1,4,-2)$.

Ответ. Точка $A$ принадлежит, так как ее координаты удовлетворяют системе уравнений, задающих поверхность. Точка $B$ не принадлежит поверхности.

Задача 2 (Феденко № 546)

Найдите неявное уравнение поверхности, заданной параметрическими уравнениями: begin begin x & = x_0 + a,mbox,u,mbox,v, \ y & = y_0 + b,mbox,u,mbox,v, \ z & = z_0 + c,mbox,u. end end

Ответ. Эллипсоид с полуосями $a$, $b$, $c$ и центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$: begin frac+frac+frac=1. end

Задача 3 (Феденко №528)

В плоскости $xOz$ задана кривая $x=f(u)$, $z=g(u)$, не пересекающая ось $Oz$. Найдите параметризацию поверхности, полученной при вращении этой кривой вокруг оси $Oz$.

Решение задачи 3

Произвольная точка $M$, принадлежащая кривой и имеющая координаты $x_0=f(u_0)$, $y_0=0$, $z_0=g(u_0)$, движется по окружности с центром на оси $Oz$ и радиусом $R=f(u_0)$ в плоскости, параллельной плоскости $xOy$: $z=g(u_0)$. Поэтому изменение ее координат можно записать следующими уравнениями: begin left< begin x_0 & = & f(u_0),mbox,v, \ y_0 & = & f(u_0),mbox,v, \ z_0 & = & g(u_0). \ end right. end

Поскольку точка $M$ произвольная, уравнение искомой поверхности: begin left< begin x & = & f(u),mbox,v, \ y & = & f(u),mbox,v, \ z & = & g(u). \ end right. end

Касательная плоскость. Нормаль

Краткие теоретические сведения

Пусть $vec=vec(u,v)in C^1$ — поверхность, проходящая через точку $P(u_0, v_0)$. Пусть $u=u(t)$, $v=v(t)$ — уравнения гладкой кривой, проходящей через точку $P(u_0, v_0)$ и лежащей на заданной поверхности.

Пусть точка $P$ не является особой, то есть ранг матрицы begin left( begin x_u & y_u & z_u \ x_v & y_v & z_v \ end right) end в точке $P$ равен $2$ (для особой точки ранг меньше $2$). Если поверхность задана неявно $varPhi(x,y,z)=0$, то в не особой точке $P$ выполняется условие: $varPhi_x^2+varPhi_y^2+varPhi_z^2neq0.$

Касательная к кривой $u=u(t)$, $v=v(t)$ на поверхности $vec=vec(u,v)$ определяется вектором: begin displaystylefrac<dvec>