Уравнение нестационарной теплопроводности в общем виде (4 видео)

Теплопроводность при нестационарном режиме

Процессы передачи теплоты, в которых температурное поле и поле теплового потока изменяются во времени, называются нестационарными.

Нестационарные тепловые процессы в технике и природе встречаются практически чаще, чем стационарные. Нагрев или охлаждение приборов и машин при пуске, останове или изменении режима; конструктивных элементов зданий и других сооружений при изменении наружной температуры; термическая обработка продуктов и изделий; работа регенеративных теплообменных аппаратов – все это примеры нестационарных тепловых процессов.

Длительность процессов нестационарного конвективного теплообмена и излучения сравнительно мала и не имеет существенного влияния на формирование температурных полей тел в нестационарном режиме, поэтому эти процессы пока мало изучены – их нестационарностью обычно пренебрегают. Процессы же теплопроводности, наоборот, оказывают решающее влияние на формирование температурных полей при нестационарном тепловом состоянии отдельных тел и систем.

Процессы нестационарной теплопроводности можно разделить на две группы: а) нестационарные процессы, связанные с нарушением теплового равновесия, когда с течением времени система стремится к некоторому новому равновесному состоянию; б) нестационарные процессы, связанные с периодическим изменением теплового состояния тела (периодические изменения температуры окружающей среды или мощности тепловых источников и т. п.).

В большинстве задач нестационарной теплопроводности требуется найти температуры в определенных точках тела в заданный момент времени t от начала процесса. Возможна и обратная задача: найти длительность процесса, в результате которого температура в данной точке тела примет определенное, наперед заданное значение. В некоторых задачах бывает необходимо найти тепловой поток в определенной точке в заданный момент времени или полное количество теплоты, отданной (или полученной) телом в течение заданного промежутка времени.

Все перечисленные задачи сводятся к нахождению температуры рассматриваемого тела как функции времени и координат t = f(t, x, у, z).

Эту зависимость можно найти, если проинтегрировать дифференциальное уравнение теплопроводности при заданных краевых условиях.

Для некоторых конкретных задач теплопроводности дифференциальное уравнение может быть упрощено: в случае передачи теплоты в одном направлении задача становится одномерной; при распространении теплоты в двух направлениях задача является двухмерной. Для тел цилиндрической формы удобно перейти к цилиндрическим координатам, а для тел шаровой формы – к сферическим.

Дифференциальное уравнение и краевые условия полностью формулируют задачу. Дальнейшее аналитическое ее решение сводится к использованию методов математической физики. Основные из них: метод разделения переменных, методы интегральных преобразований (например, Лапласа), метод мгновенных точечных источников. Кроме аналитических применяют и приближенные методы.

В качестве примера рассмотрим охлаждение неограниченной пластины.

Охлаждение неограниченной пластины

Будем рассматривать задачу теплопроводности при постоянных значениях теплофизических характеристик тела (l, с,r) с граничными условиями третьего рода, так как они наиболее часто встречаются на практике. Задача формулируется следующим образом. Плоская неограниченная пластина толщиной d, имеющая во всех точках одинаковую начальную температуру t_нч, в момент времени t = 0 помещается в среду, температура которой t_ж 0. Математически задачу можно сформулировать следующим образом. Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерной задачи без внутренних источников теплоты

где х может изменяться в пределах 0 £ х £ d/2: так как охлаждение пластины происходит симметрично, целесообразно поместить начало координат в середину пластины и рассматривать процесс только в одной ее половине (см. рисунок). Краевые условия:

1) начальное условие при t = 0 и 0 £ х £ d/2 t = t_нч;

2) граничные условия: а) при х = 0и t > 0 (дt/дx)₀ = 0, т. к. при симметричном охлаждении в середине пластины в любой момент времени температура будет максимальной; б) при х = l и t > 0 —l(дt/дx)_c = a(t_c – t_ж).

Последнее выражение записано на основании равенства тепловых потоков на поверхности пластины: подходящего к поверхности из внутренних областей тела путем теплопроводности и отводимого от поверхности в процессе теплоотдачи.

Решение задачи в общем виде можно представить как функцию независимых переменных х и t и параметров процесса а,l, a, l, t_ж, t_нч:

Следуя методу подобия, приведем условия задачи к безразмерной форме; это значительно сокращает число переменных, придает полученному решению обобщенность, и упрощает анализ решения.

Для этого произведем сначала замену искомой величины t так называемой избыточной температурой J = t – t_ж.

Так как dJ = dt,то запись дифференциального уравнения и граничных условий от такой замены не изменится:

;

Приведем уравнение и граничные условия к безразмерному виду. Для этого еще раз произведем замену переменных: вместо избыточной температуры введем безразмерную избыточную температуру Q = J/J_нч.Вместо координаты х введем безразмерную координату Х = х/l.Такая замена равносильна тому, что в качестве масштаба для измерения температуры используется величина J_нч, а в качестве масштаба длины – величина l. Для сохранения равенств исходные уравнения в соответствующих местах необходимо умножить на масштабы температуры и длины. Тогда дифференциальное уравнение будет иметь вид:

, или после сокращения и преобразования .

В такой форме дифференциальное уравнение безразмерно: величина l 2 /а имеет размерность времени и потому комплекс аt/l 2 безразмерен. Этот комплекс обозначается символом Fo и называется критерием Фурье:

Критерий Фурье можно трактовать как безразмерное время.

Окончательно дифференциальное уравнение теплопроводности в безразмерной записи получается в следующем виде:

Начальное условие: при Fo = 0, Q_нч = 1;

где Q_с = J_с/J_нч – безразмерная температура поверхности стенки; Bi = al/l – критерий Био.

Физический смысл критерия Био в том, что его величина характеризует соотношение интенсивностей отвода теплоты в процессе теплоотдачи и подвода теплоты из внутренних слоев тела к поверхности в результате теплопроводности.

Теперь искомая функция будет иметь вид Q = f(Fo,Bi, X).

Применяя метод разделения переменных решение дифференциального уравнения будет иметь вид

, (1)

где – коэффициенты уравнения;

m_п – корни характеристического уравнения m/Bi = ctgm.

Значения m_п и А_п приводятся в справочниках.

Результирующее выражение температурной функции, в форме произведения функции времени exp(-m 2 Fo) на некоторую функцию от координаты справедливо не только для пластины, но и для других тел, в которых распространение теплоты происходит в одном направлении, как, например, в бесконечно длинном цилиндре или шаре. Различаются результирующие выражения видом функции координаты: вместо cos – для пластины, для цилиндра появляется функция Бесселя, а для шара – гиперболическая. Для классических тел получены аналитические решения задач нестационарной теплопроводности.

В соответствии с формой результирующих уравнений (1) порядок решения задачи нестационарной теплопроводности для тела классической формы следующий:

1. На основании исходных данных вычисляют безразмерную координату Х и критерии Bi и Fo. Здесь характерный размер тела: для пластины при симметричном охлаждении l = d/2,при одностороннем охлаждении l = d;для бесконечно длинного цилиндра и шара l = R,где R – радиус.

2. По величине критерия Bi в специальных таблицах находят значения m_n и А_п для нескольких значений п.В обычных инженерных расчетах достаточно учитывать два-четыре члена суммы в формуле (1).

3. По формуле (1) или аналогичной ей для тел другой формы вычисляют значение безразмерной температуры Q в данной точке в заданный момент времени. Из Q определяют искомую температуру t = f(t, x).

Анализ решения (1) позволяет выявить влияние величины числа Bi на нестационарную теплопроводность. Рассмотрим два предельных случая: Bi ® ¥ и Bi ® 0.

Первый предельный случай:Bi ® ¥ (практически Bi >100). Для тела конечных размеров (l – конкретная конечная величина) этот случай соответствует условию a/l ® ¥, т. е. большим значениям коэффициента теплоотдачи a и сравнительно малым значениям коэффициента теплопроводности l.В этом случае сразу после начала процесса температура поверхности тела принимает и в дальнейшем сохраняет постоянное значение t_c = t_ж = const. Следовательно, интенсивность процесса охлаждения (нагрева) определяется внутренним процессом теплопроводности в теле и зависит только от физических свойств и размеров тела.

При этом общее решение (1) упрощается: из числа определяющих критериев выпадает критерий Bi. Так, для точек, расположенных в средней плоскости пластины (при Х = 0), уравнение для безразмерной температуры при Fo > 0,3 приобретает вид

Второй предельный случай:Bi ® 0 (практически при Bi 2 ; Bi_пл = al/l; Fo_пл = аt/l 2 .

Величины Q_ц иQ_пл могут быть найдены по графикам с учетом расположения рассматриваемой точки в безграничном теле. Так, для точки 1 (рис.)величина Q_ц находится по графику для центральных точек неограниченного цилиндра, а величина Q_пл – по графику для средней плоскости пластины. Для точки 2величина Q_ц определяется по тому же графику, что и для точки 1, а Q_пл – по графику для поверхностных точек пластины. Для точки 3обе величины находятся по графикам для поверхностных точек цилиндра и пластины. Для точки 4величина Q_ц определяется по графику для поверхностных точек цилиндра, а величина Q_пл – по графику для средней плоскости пластины. Перечисленные четыре точки являются характерными для ограниченного цилиндра. Температуры остальных точек ограниченного цилиндра по графикам не могут быть найдены, но для их определения можно воспользоваться соответствующими формулами.

Аналогичные рассуждения справедливы и для параллелепипеда,но его следует рассматривать как тело, образованное пересечением трех неограниченных пластин.

Регулярный режим охлаждения (нагревания) тел

При значении Fo > 0,3 в выражениях типа (1) достаточно ограничиться одним первым членом ряда. В этом случае для пластины

. (2)

Режим охлаждения (или нагрева), определяемый формулой (2), называется регулярным. Этот результат обобщается и на более сложные задачи охлаждения (нагрева) тел любой геометрической формы при условии t_ж и a = const:

где m – темп охлаждения, [1/с].

В этом случае начальные условия начинают играть второстепенную роль, и процесс полностью определяется только условиями охлаждения на границе тела и среды, физическими свойствами тела, его геометрической формой и размерами.

Логарифмируя последнее уравнение, получаем:

Из последнего уравнения следует, что натуральный логарифм избыточной температуры для всех точек тела изменяется во времени по линейному закону. Если продифференцировать это выражение по времени получим:

В левой части уравнения стоит выражение для относительной скорости изменения температуры, и оно равняется постоянному значению т,не зависящему ни от координат, ни от времени. Следовательно, темп охлаждения характеризует относительную скорость изменения температуры в теле и зависит только от физических свойств тела, процесса охлаждения на его поверхности, геометрической формы и размеров тела.

Если экспериментально определить изменение избыточной температуры Jво времени t и построить зависимость в полулогарифмических координатах, то темп охлаждения в стадии регулярного режима найдется как

Выражение для зависимости темпа охлаждения т от физических свойств тела, его геометрической формы и размеров, а также условий теплообмена на поверхности тела можно найти из анализа теплового баланса. В результате получим:

где С – полная теплоемкость тела;

y = J_F/J_V – коэффициент неравномерности распределения температуры в теле;

J_F, J_V – средние по поверхности и по объему температуры тела.

Из уравнения следует, что темп охлаждения т, однородного тела при конечном значении коэффициента теплоотдачи a пропорционален коэффициенту теплоотдачи, поверхности тела и обратно пропорционален его теплоемкости (первая теорема Кондратьева ).

Коэффициент y зависит от числа Bi, учитывающего условия протекания процесса на поверхности тела. Рассмотрим два предельных случая:

а) Bi ® 0 (практически Bi 100). При этом условии задача становится внутренней, и процесс охлаждения определяется только размерами тела и его физическими свойствами. В силу большой интенсивности теплообмена температура на поверхности тела принимает постоянное значение, равное температуре окружающей среды. Коэффициент неравномерности распределения температуры y = 0.

При Bi ® ¥, или, что то же, a ® ¥, темп охлаждения т становится прямо пропорциональным коэффициенту температуропроводности тела а (вторая теорема Кондратьева):

Коэффициент пропорциональности К зависит от геометрической формы и размеров тела и определяется в зависимости от формы тела по выражениям:

для шара радиусом r ;

для параллелепипеда с длиной граней l₁, l₂, l₃ ;

для цилиндра длиной l и радиусом r .

На основе теории регулярного режима разработаны различные экспериментальные методики определения теплофизических характеристик материалов.

Содержание

Теплопроводность при нестационарном режиме
Теплопроводность при нестационарном режиме
Нестационарный теплообмен. Нестационарная теплопроводность. Нестационарный процесс конвективного теплообмена
Страницы работы
Содержание работы
🌟 Видео

Видео:Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Теплопроводность при нестационарном режиме

Видео:6-1. Уравнение теплопроводностиСкачать

Теплопроводность при нестационарном режиме

Если теплопередача в теле зависит как от координаты, так и от времени (теплопроводность в нестационарных условиях), то это объясняется. Теплопроводность в процессе работы Долгое время инженеров интересовал нестационарный режим нагрева металла для различных технических операций, например, ковки, штамповки, закалки и др. Нестационарный режим.

С появлением сверхзвуковых самолетов, ракетных двигателей и др., интерес к процессу теплопроводности в нестационарных условиях представляет growing. In некоторые случаи Рекомендуется рассчитать теплозащиту головки ракеты или стенок камеры сгорания и сопла двигателя с учетом нестационарного режима работы. Дело в том, что самолет и его Двигатель может работать в очень короткие сроки, поэтому тепловой процесс элементов конструкции не успевает выйти на стационарный режим.

Переходные процессы характеризуются переходом от одного стационарного режима к другому. Людмила Фирмаль

Нестационарный режим Теплопроводность является периодической или переходной. Периодический режим называется режимом, в котором определенное распределение температуры повторяется через определенное время Промежуток времени, любое количество раз. В практике технических, временных Процесс более распространенный, поэтому он будет рассмотрен подробно. § 1.

Общее решение уравнения 1-мерной теплопроводности уравнение нестационарной теплопроводности（ Теплота тела) имеет вид dT dT, T = f (x, y, zₜt),= — коэффициент теплопроводности, ПК. Для 1-D уравнение упрощается следующим образом: Вычислите уравнение (V-1) методом разделения переменных таким же образом, как это было сделано при решении уравнения(V-1).Решение(V-1) находится в следующем виде: T = f (x, t)= X (x)F (t), где (V-2), X — он работает только с x. F является функцией только m.

Подставляя формулу (V-1) в (V-2) и деля ее на произведение X (x) F (x), i gx i 1 dF / watch X ’dx * A F dx * ’» один раз слева Равенство (V-3) является функцией только x, а правая сторона является функцией только r. Это означает, что он не изменяется в x и m. то есть, 1 d * X 1 X dxz «и J_dF F dx = const. Где уравнение (V-3) разбивается на 2 обыкновенных дифференциальных уравнения (V-4) и имеет формулу (V-4) для d ^ X dx2 = — ±k2X (V-5) (4-L2 Следующее общее решение: X =С₁ ？?* — pC₂e-Ч (V-6) и (- k2) для X-Coscos KX 4-csinsin KX. (U-7).

Обыкновенное дифференциальное уравнение (V-5)решается путем разделения переменных — = ±е * ал. После интегрирования этого уравнения в F — ±k2at4-InC₅ получается и записывается общее решение (±&2) (V-8) (v-5).Используется для общих решений (V-6), (V-7) и (V-8 Получить конкретное решение конкретной проблемы теплопередачи. Уравнение (V-6) предполагает экспоненциальное распределение температуры, а уравнение (V-7) допускает разложение Распределение бесконечных строк.

Уравнение (V-8) является периодическим, если экспоненциальное распределение температуры (знак минус экспоненциальный) или k2 является мнимым. Размер. Форма общего решения формулы (V-1) (для-k2) такова: Tg-XF =(Coscos KX +c₄sin KX) c₅e-AK * X. заметим, что решение уравнения не всегда является функцией (Теплопроводность) может быть выражена как произведение 2 функций, каждая из которых зависит только от 1 переменной. Например, решением уравнения (V-1) является следующая функция: (k -) 1Т=С, −1 —е (V-10) для подтверждения этого различают (V-10) относительно m, x (V-H) и подставляют результат в (V-1).

Последние 2 уравнения идентичны друг другу other. In другими словами, (V-10) является Решение (V-1). § 2.Неограниченная теплопроводность плоской стенки рассмотрим процесс охлаждения плоской стенки 2 /толщина (рисунок V-1).Температура стенки T равна、 направление оси X. Такое ограничение возможно в любом из 2 Условий.1. размеры стенки в направлении осей Y и Z не ограничены, то есть теплоотвод с конца.

Стена не искажает температурное поле в направлении оси X. 2. второе условие обеспечивает полную изоляцию торцов, но размеры стен в направлении оси y и оси z、 С конечным размером. если r = 0, то стенки начальной температуры T0, одинаковые во всех точках поперечного сечения, вступают в контакт с жидкостью при температуре Tf В. Процесс охлаждения стен не происходит change. It удобно использовать Tf в качестве точки отсчета температуры. То есть более сложные случаи, в которых to-f (x) рассматривается в специализированной литературе (57].

Форма, записанная с избыточной температурой Φ= T-Tf, является dx2a dt(V-12), а граничные условия (начальные и граничные) могут быть записаны в виде: начальное условие 1) m-0 0 = TQ-Tf = Oo для — / x c /; если граничное условие 2) (x> 0, — I = 0, dx, 1x = 0, потому что плоскость симметрии пластины проходит x = 0, 3) m> 0 =.в случае 5L прямая цитата.

Рассматриваемый В этом случае температура во всех точках стенки уменьшается со временем, поэтому нужно выбрать константу в следующем виде:— здесь Л2> 0.Имея это в виду, общее решение (V-9) является Напишите в виде О=СБе » Аач»c₃coskx4-c₄sin KX). Для определения константы (V-13) (V-13) используйте начальные условия 1, 2, 3.Во-первых, мы используем граничное условие 2. = МКО-ac2x (- C₃ksinkx + СК coskx).Это выражение должно быть равно нулю при x = 0./ ?Потому что # = 0, так как x = 0 и k cos k x, постоянная константа равна нулю, то есть С0.

Должно быть равно = 0. Форма (V-13) равна d = 0″ ALC cos kx. (V-14) чтобы найти собственные значения k =kₙ, используйте граничное условие 3.производная (V-14) относительно X —=〜Ce-ak2xk sin kx. dх(в-15) Найдите (V-14) Се ^ ⁴ = —V COS KX и замените его на (V-15). в результате DX — — -/?Вы получаете Sin£x. последняя форма уравнения cos kx x = / is-MtgW. dx> x ^ 1 I. наконец, применить Граничное условие 3, Get-kft / ₓₑ / TGA?/ = откуда последнее выражение может быть переписано в виде cigP-al X P -£/. Комплекс значений (в-16) био-критерии (II1-11) знаменатель(в-16).

Трансцендентальное уравнение (V-17) легче всего решить графически. Левая и правая части уравнения являются Z/₁>.Далее, пересечение линии y₂-P = — gj и котангентоид yx = = ctgP (рисунок V-2) определяет корень уравнения (V-17).Из рисунка(Фау-2)видно, что каждому значению BI имеет бесчисленное множество корней. На фото Первый корень Р₂, Р₃ р₃ и Р₄ отображаются для 3 значений BI. (Sh-11) температура стенки и жидкости относительно конкретного материала стенки и ее размер A°C Получилась фигура V-2.

Графическое решение граничного уравнения bi (V-17). Для Bi oo p равно. Прямая y., = y. совпадает с абсциссой и корни уравнения (V-14) равны:= ПЗ = уу……….. A =(2 «-1) y (V-18) (n = 1, 2, 3, Если Bi — > 0, то a — > 0 и (ft) ₓ ₌ Z-oo-to-TF, для P теплопередачи от пластины к жидкости Pet: прямая y₂ = — G-is Корни оси ординат и уравнения (V-17) равны:/ =(n-1) l. (n = 1, 2,…(V-19) для каждого значения Bi в диапазоне 0 Biкраевая задача (V-12）、（1）-（3）дополнительные сведения см. В разделе практическое руководство: 0 = 2 C. форма cosfo-Me»■, (V-20) i = 1. 2 X1 ■ константа.

C определяется начальным условием 1.формула для r-0, 0-Oo для — / x /(V-20) принимает вид Oo = 2ciC⁰s (pi7 -)- Легко показать, что система функций 1 = 1,2 1 (V-21) (Pn-положительный корень трансцендентного уравнения) ортогональна на отрезке| 0,Z], то есть если/#= / 0 #= 0 i = j. легко указать / o. So, чтобы найти его, действуйте следующим образом (закон Фурье): умножьте обе стороны (V-21) на cos y x и интегрируйте x в интервале 10, Z].И затем… Получить силу ортогональности системы/ / ДХ, (в-22) dxo2sⁱⁿp1⁰Pi-sin Пи, потому что Пи (в-23) в окончательном виде с DX материи.

Дж потому что Х) DX = ДХ, потому что — если значение Cₜ из с i-vo / (V-23) подставляется в Формулу (V-20), то можно записать решение о охлаждении plate. So, 00 — = y » О_ _ _ _ 2 sin Pj Pi — Ф-грех, потому что Пи п — ф = 1,2 а-2sⁱⁿP * ⁴pi — / — грех, потому что Пи-Пи или (V-17), потому что? Ввиду…?11 (V-24) (V-25) (V-26) A = f_lV4 ′ 2BⁱAnd2+ P? * ’^(Би ^ Би + Р? Анализ ) ’ Решение (V-2 4). Выражение с учетом (V-26) (V-24) может быть выражено в виде обобщенной переменной в виде следующей зависимости (111-15): а r / n-ar x, — CV |> p’i)•, где числовой Фурье.

В случае охлаждения стенки, учитывая обозначение (V-27), зависимость (II1-15) находим в температурном поле стенки, что очень хлопотно (V-28) по формуле (V-24) — e F (Bⁱⁱt) Это требует времени. Поэтому в инженерной практике мы решаем такие задачи с помощью номограмм, которые строятся в виде уравнений (V-28).Обычно создается номограмма. Получены следующие значения безразмерных координат: -= 0 / x 1 и m = 1, что соответствует центру стенки (плоскости симметрии) и ее внешней поверхности.

Согласно каждому из (V-28) В такой номограмме B принимается за температуру интересующей безразмерной переменной, а число Фурье био-за безразмерную независимую переменную. Если дело имеет конкретное решение Когда тело охлаждается в виде (V-28), оно сохраняет свою прочность в случае нагрева, при определении 015]и параметра-Крит-Т / — К(V-29） Температура тела 7 ′ ₀ — начальная температура тела; T-температура среды для мытья тела.

Рисунки V-3 и V-4 являются номограммами для определения безразмерной температуры [57]6 (V-27) центр (симметричная плоскость) и стороны пластины. Не менее интересны и другие тела простой формы, например, аналогичные решения шариков и цилиндров (V-24). Бесконечная длина. Аналитические решения с громоздкостью не показаны here. In обобщенные переменные, форма решения как шара, так и цилиндра аналогична (V-28). На рисунках V-5 и V-6 показана номограмма для определения безразмерной температуры B(U-27) поверхности шара (безразмерные координаты-5 =1.г-текущий радиус, R-радиус шара） ivcentresreshold ^безразмерные координаты при нагреве.

В стандарте Biot радиус шара вводится как характерный размер. Цифры V-7 и V-8 являются номограммами для определения. Безразмерная температура на поверхности бесконечного цилиндра B (V-27) (безразмерные координаты= 1) и координаты-0) вводит радиус цилиндра R. (Рис. V-3, V-4, V-5, V-6, V-7 и V-8): число Фурье Fo = — и ссылка Bi =(оси Fo и Bi определяют все значения для определения цилиндра^безразмерный. Био-критерии в качестве характерного размера РНС. В-3. Для значения Bi 0,1-1000 составлен график для определения относительного превышения температуры 0С в середине пластины [57] V-4.

Для значения Bi 0,1-1000 составлен график для определения относительной избыточной температуры поверхности пластины 6a[57] V-5.График для определения относительного избытка Температура поверхности шара [57]рисунок V-6.График для определения относительной избыточной температуры центра шара[57] рис. V-7.График для определения относительного избытка Темпера! 0.1-1000 [57] 5 0.5 10 вам нужно знать 0 цилиндрической поверхности с Bi-значением).

Далее от точки на горизонтальной оси номограммы, где абсцисса равна i’o、 Восстановите перпендикуляр к точке пересечения с линией, соответствующей полученному значению Bi-в ординатах точки пересечения будет искомая безразмерная температура 9.Продолжать. Анализ решений (V-24).Дело Би — > ОО. Для данного материала X и размера стенки I условие Bi — > oo эквивалентно a — > — oo. Это значит что термальное сопротивление к передаче тепла Стенка 1 / а против жидкости равна нулю.

Это означает, что на протяжении всего процесса охлаждения наружная поверхность стенок и температура жидкости остаются равными друг другу. В этих условиях (V-18） Л =(2л-1), а коэффициент Aₜ(в-25) — это 2 греха Пи Р4-грех, потому что Пи пт 2 Син | [(2Н ->) Ф | (2л — — 1)г + грех(2 ″ — — 1) г Кос =( -!) «+>(V-30) cos(2n-1) — = 0 2 решение Подставляя значения Ai из (V-30) в (V-24), мы получаем рассматриваемый случай. То есть, (2l — 1) l X exp 4 —— cos /(2l −1) l для определения 2 (2d −1) 2L* ar 4 p (V-3I) скорость изменения.

Из основное направление температура стенки х (прочность охлаждение)(в-32) (в-32), эта стена охлаждая сила (б = /(% ) свойства)、 Коэффициент теплопроводности a. если значение критерия БИО очень мало (Bi 0,1). Bi — > ■для 0, (V-19) (n-1) l, согласно 4(2l-1) l’, Все коэффициенты A 0 можно заменить tg Pi на P. тогда из (V-16) получается, когда пластина охлаждается.

И решение (V-24) принимает вид: В-9.Случай 0 Bioo распределение температуры y = /(X сила охлаждения рассматриваемого случая .(Bi) (V-33) равна d dr (V-34) случай 0 Bi. в этом случае Между 2 промежуточными позициями рассмотрены. Скорость охлаждения стенки определяется отношением интенсивности 2 эффектов-теплообмена через пограничный слой (Передача тепла в стене) и передача тепла материалом стены(термальной проводимостью в теле).

Безразмерное распределение температуры стенок по безразмерной координате X =y, а биопоказано при охлаждении Фурье-ориентированного Fo = случай 0. V-9.At первый момент, m = O, Fo = O, температура Φ= Oo(положение V-9, положение a). Итак… В более поздний момент времени форма кривой-f (x, Fo) Bi равна b и c (см. Рисунок V-9).В течение некоторого времени выполняется граничное условие для уравнения стенки (V-12) 3 время x> 0 для x = I и X = 1 имеет следующий вид или oY _ _ _ _ _ 0_ dx X Av-I0.

Касательная равна O, а O ’ = a равно O. Людмила Фирмаль

Распределение температуры£ — = / ( * ) PO VO рисунок V-11.VO над распределением температуры$ — = / (X) толщина Плоская стенка — толщина плоской стенки при охлаждении для корпуса Bi — >oo ki — >0 при охлаждении для case. So если мы проведем касательную линию в точке x =

/ кривая О/Оо-F (X)、 длина касательной не изменяется при r> 0.Это положение используется для определения температуры (I>/^₀) X₀₀ И (M> 0) x = 1 для заданных Bi и Fo, например, из номограммы (рис. V-3, V-4) можно построить(почти граф зависимостей Ф/Фо= /(X) (см. рис.) V-9).

Показаны рисунки V-10 и V-11 Зависимости.£( ) = «(*Рис. V. для −13, соответственно, у-в0, зависимости зависимостей / выражений (V-35) / h = f (Bi) [57]рис. V-12.F (Bi) [57]продолжение зависимости Pj =выражение (V-35) Анализ решений (V-24). Значение Pₜ представляет собой ряд возрастающих чисел Р1Рг * * * число ряда членов PF (V-24) быстро уменьшается с увеличением членов. Как вы увеличиваете значение Pᵢₜ в этом случае? То есть серия(V-24) сходится быстро. Из (V-24), для большого числа Фурье Fo, ряд сходится быстрее, чем для малого числа Фурье.

Для машиностроения Если уравнение (V-24) уже вычислено при Fo 0.3, то оно может быть ограничено только первым членом ряда*, и при этом принимает вид „l d x-P * — =A_cosposposp-e“, что значительно simplified. To решай Для величины Ax и Px можно использовать графики= /(Bi) (рисунок V-12) и Aₜ= / (Bi) (рисунок V-13) 157).Определение расхода тепла. Расход тепла на кубический метр материала охлаждаемая за время от m-0 до m = Tj стенка определяется по формуле: Q =Ф[Оо-0 (г)], (V-35) рис. V-14.

Определение средней температуры O (t)по толщине стенки Уравнение(V-36) (V-36), где О (г)-средняя температура M = Tj толщины стенки в конкретный момент (рисунок V -!4).Температура 0(t)、 Функция от 0 до Z(V-24), то есть найти область под кривой 0 (x, Tj)и разделить результат на I (рисунок V-14): Ieo _ _ Qpₙ2axflfl (Ti)» i L11 ″ Cos Pi-DX-BZ=i1oCos- дуплексный. Начиная с 1l, первое число в серии sin-pT — *(V-24) равно x / 1 = 0, Bi = = 1, Fo> 0.55 [57J .

Далее введем обозначение/ 1 / / sin Рассматривая P / P /(V-26), он обозначается как 2Bi2. В-И5.Зависимость формулы (V-38) Bi = /(Bi) [57]что в итоге получается-АС -/>? ^ — 1-v 2 ve•(V-37) » / ask = 1.2 для В инженерных расчетах последняя формула упрощается, и lДТ1А (т) = = ^ — вхе(V-38) может быть ограничена первым членом ряда, так что здесь коэффициент первого члена ряда уравнений (V-37).для облегчения расчета по формуле(V-38) можно использовать график-/(Bi). В-15. § 3.

Теплопроводность с неограниченным телом Бесконечное твердое тело с заданным начальным распределением, где температура изменяется только в одном направлении x. To определить температурное поле в любой момент времени t> 0 (Tm> o = Dx, m)) начальное условие Tₓ ₌ Q = f (x) должно решить уравнение (V-1) dt _ d * t DX〜a DX^.Ранее (§ 2) Функция (V-39) | l / 4at удовлетворяла уравнению、 Начальная state.

To уточним физический смысл константы с, содержащейся в формуле (V-39), определим количество теплоты Q, содержащейся в бесконечном ящике (вдоль оси x на базе dydz. Основной объем такого параллелепипеда содержит количество теплоты dQ = cpdydz Td (±- х) (заштриховано рисунком V-16,а). V-I6.To определите константу C из Количество тепла, включенное в уравнение (V-39) и поле Бесконечности, будет равно Интегралу последней Формулы cpdydz j j-OOC__ 1_ u l [Аат-CI-XP tax D (I-x) ^ cpdydzc.

Из Формулы (V-40) (V-40), величина C равна площади под кривой (V-39), размерность[C]-град-м. Из (V-39), в зависимости от времени t, кривая T = f(t） Чем круче, тем короче время t(рисунок V-16, б). Переход в (V-39) к пределу m — > 0 сохранит область ниже кривой. Начальная температура, Tx = 0, может рассматриваться как высота элементарного Площадь основания d% (рисунок V-17), но площадь таких участков постоянна C. используя (V-40) и учитывая, что базовый участок должен использовать dQ вместо Q, рисунок V И7.

Для уравнения (V-40), t = odB = F ( £ ) d£.Где константу С можно рассматривать как выход плоского источника тепла с временем 1 = 0 в вертикальной плоскости. X =ось x£.Если подставить значение константы C ((V-39)), то в результате получим решение (V-1) в другом виде), общее решение формулы (V-1)описывается .

Интегралом от частного Форма решения (V-41). известно, что общее решение линейного дифференциального уравнения (V-1) является суммой (V-42).(V-42) -] 4pt dp.] / 4ag = p или заменить переменную x + p 1/4 оси, то (V-43) (V-42)+°T (x, m）= ——-（F (X b P 4ax) e〜^ 4 при dB / I V4at X или T (x, x)= f F (x h-f f4ax) dp.(V-44) тогда, (V-44） Выполняется не только формула (V-1), но и начальные условия(если m = 0, то T-F(x)].если m = 0, то функция F равна F(x + p> 4ax)= F (x) и( V-44)равна Ch-oo 7(x, m = 0） = — ЛФ(х)е — » ДП. V L-so 4-00 5 e-t’dfi = Yi, oo T(x, x = 0)-F(x)следовательно, функция(V-44) удовлетворяет начальному условию. § 4.

Теплопроводность в полуограниченном теле 1D температурное поле (1-мерная материя) рассматривает теплопроводность объекта, который простирается бесконечно в направлении оси±g /;и-f-x является и отделяется плоскостью. перпендикулярно оси x при x = 0; такое тело называется semi-bounded. To определив температурное поле, необходимо решить уравнение (V-1) с начальным условием T(x,0)= F(x). = T0 = const и граничные условия T (0, t) — = 0.В качестве точки отсчета используется температура Tw.

Вам нужно найти зависимость y — = F (x, r). Используйте 1о для определения желаемой зависимости Решение (V-42), полученное для неограниченного body. To для этого продолжите функцию Γ (x) в отрицательном направлении и установите начальную температуру F (- x) на-F (x).С этим. Продолжение F (x = 0)= 0, условие поверхности выполнено, и решение x> 0 совпадает с решением исходной задачи (рисунок V-18).Обозначим Интеграл (V-42).

Как сумму 2 из двух терминов 1/ + +°°（£-） + Замените x в первом члене 5⁴atd£(V-45) (V-45) на x и получите F (- x)= — F (x) (V-46) из (V-43).、 (V-47) рис V-18.Распределение температуры в полу-ограничение тела V-19.Для уравнения зависимости±p/(e «p2) (V-47) график f (iP)=показан на рисунке V-19. Квадратные скобки (V-47) равны площади 123&2 ′ G1.Интеграл (V-47) может быть выражен в следующем виде(рисунок V-19): T I Go 1 / l $ e-!!- Да. — X U 4ax(V-48), Интеграл также равен площади 1233 ′ 2 ′ Г1 Его можно представить как сумму равных площадей: Ил. 122 ′ Г1 ч-ЛП.

Перепишите (V-48) в соответствии с 233 ’2’2 — = 2 pl 233’2’2 в виде: (V-49） Является функцией верхней границы. Уравнение (V-49)является искомым solution. It вводит символ, обычно называемый f u и k c. речь идет о erf z = — Str b на Гауссовой стороне w. Тогда решение (V-49） Может быть выражена в виде (V-50).Различные значения G erf z приведены в таблице. Фау-1.

Таблица V-1 функция ошибки или интеграл ошибки[92] erf2 — e Y * o g erf g G erf z SGG 2 2 2 erf з. 0.00 0.00000 0.66 0.64938 1.30 0.93401 1.94 0.99392 0.02 0.09253 0.68 0.66378 1.32 0.93807 1.96 0.99443 0.04 0.01511 0.70 0.67780 1.31 0.94191 1.98 0.99189 0.06 0.06762 0.72 0.69143 1.36 0.94556 2.00 0.99532 0.08 0.09008 0.74 0.70468 1.38 0.94902 2.05 0.99626 0.10 0.11246 0.76 0.71751 1.40 0.95229 2.10 0.99702 0、 12 0.13476 0.78 0.73001 1.42 0.95538 2.15 0.99764 0.14 0.15695 0.80 0.74210 1.44 0.95830 2.20 0.99814 0.16 0.17901 0.82 0.75381 1.46 0.96105 2.25 0.99854 0.18 0.20094 0.84 0 76514 1.48 0.96365 2.30 0.99886 0.20 0.22270 0.85 0.77610 1.50 0.96611 2.35 0.9991107 0.22 0.24430 0.88 0.78669 1.52 0.96841 2.40 0.9993115 0.24 0.26570 0.90 0.79691 1.54 0.97059 2.50 0.9995930 0.26 0.28690 0.92 0.80677 1.56 0.97263 2.60 0.9997640 0.28 0.30788 0.94 0.81627 1.58 0.97455 2.

70 0.9998657 0.30 0.32863 0.96 0.82542 1.60 0.97635 2.80 0.9999250 0.32 0.34913 0.98 0.83423 1.62 0、 97804 2.90 0.9999589 0.34 0.36936 1.00 0.84270 1.64 0.97962 3.00 0.9999779 0.36 0.38933 1.02 0.85084 1.65 0.98110 3.10 0.999988 * 1 0.38 0.40901 1.04 0.85865 1.68 0 98249 3r20 0.9999940 0.40 0.42839 1.06 0.86614 1.70 0.98379 3.30 0.9999969 0.42 0.44747 1.08 0.87333 1.72 0.98500 3.40 0.9999985 0.44 0.46623 1.10 0.88020 1.74 0.98613 3.50 0.99999925691 0.46 0.48466 1.12 0.88679 1.76 0.98719 3.60 0.99999964414 0.48 0.50275 1.14 0.89308 1.78 0.98817 3.70 0.99999983285 0.50 0.52050 1.16 0.89910 1.80 0.98909 3.80 0.99999992300 0.

52 0.53790 1.18 0.90484 1.82 0.98991 3.90 0.99999996521 0.54 0.55494 1.20 0.91031 1.84 0.99074 4.00 0.99999998158 0.56 0.57162 1.22 0.91553 1.86 0.99147 4.20 0.99999999714 0.58 0.58792 1.24 0.92051 1.88 0.99216 4.40 Определение 0.99999999951 0.60 0.60386 1.26 0.92524 1.90 0.99279 4.60 0.99999999992 0.62 0.61941 1.28 0.92973 1.92 0.99338 4.80 0.99999999999 0.64 0、 63459 1.0 потребления тепла.

Количество тепла DQ, поступающего в среду для промывки поверхности YZ путем прохождения через платформу dydz (рисунок V-20) от полуограниченного объекта в течение времени dr в результате дифференциала Возвращает выражение (V-49). 4-х / Y4ax x1dx ДХ г ^ₚJQ / уя УАТ в-20.Для определения расхода тепла полуограничивающим телом (формула V-53) заменить а на значение Х = 0 Последнее выражение принимает вид (V-52).Формула для теплопотребления в единицу времени поверхности YZ имеет вид^ = — K — ^ dydz. (V-53) dx Y L в уравнении расхода тепла .

Получим Интеграл (V-52) cp-Ydydz, (V-54) для временного интервала tx через поверхность YZ, чтобы получить. Значения характеризуют способность физических констант Вещество накапливает тепло. § 5.Рассмотрим охлаждение параллелепипеда (рис. V-21) конечного размера 2 / x, 2ly, 2lz из изотропии теплопроводности объекта ограниченных размеров.

Материал начальной температуры, то же самое[321 во всех точках его volume. At время t = » 0, параллелепипед погружен в жидкость с температурой TfT₀. При этом не изменяется на протяжении всего процесса охлаждения и коэффициент теплопередачи А. При таких условиях температурное поле симметрично относительно центра параллелепипеда. Поставь Происхождение есть.

Математическая постановка этой задачи основана на дифференциальном термическом уравнении (P-54)^(*dtATLₑV. T (W, t) состоит из dx и граничных условий. Р = 0. T (x, y, z)= To = const; b)границы t> 0,= a $(x, y, r, r)m / xx g^1xdx 38(X, y, 2, m)j 38 (x. u. 2, m)i du = FX GE8(x, y, 2, t) 1 L d2 и/ e»(X, y, ’•T) ’ | −0. к ДХ / х = 0/38 (x, y. gtP-0.1 du / / = 0 /(x, y. g ’ t) ’| −0.to dg A = 0 для-lₓX+lₓ, — lyylᵥ.на корме (x, y, z, t) АО (x, y, z, r) рисунок V-21.Теплопроводность объекта ограниченных размеров (принимается здесь） .

Обозначения О(х, ууг, т)=Т(х, у, з, т)-Tₕ—(T₀-ТФ)распределение температуры, чтобы найти нужную—= ф (х, Г, З,-С). «O 157J доказал, что искомая функция может быть выражена в виде: Продукт 3 функций. Если поле представляется как пересечение 3 таких стенок, то каждая из них может быть записана на основе неограниченного решения стены (V-24). Формат нужной функции-0 _ (х, т) 0(у.0 (z, т)•V-55) * Vo-это V0o. Oo O (X t) O (Y, t) 0 (z, t)O’o o’o OO-распределение температуры в неограниченной плоскости YZ、 XZ, XY.

Формой решения рассматриваемой задачи на основе (V-55) и (V-24) является/ + Pm. y, PVz 12y’h(V-56), где Aᵢₜx, am > y-коэффициенты ряда решений (V-25) соответственно. Если ограничиться только первыми членами (V-35) строки: 0 (x, t) и Bi =y-Zₓ, а также (y, t) и Bi = y-1y, 0(z, t) и Bi = y / Z. формула (V-56) значительно упрощается и принимает вид коэффициентов коэффициентов. ЛtheХ, Л₁₂, и характеристическое уравнение Пи, х, Р₁>у, Pᵢₜz корней, потребление тепла, чтобы определить из графика каждого может быть определена (рисунок V-12 и V-13 справки).

Теплопотребление каждый кубический метр материала параллелепипеда за время от m-0 до m-m (см. Рисунок V-21) определяется по формуле: Q — cf [- &₀- 0(m) 1, 0 ® — средняя температура Tx ly LZ e w = JJ Ji $ Y определяется из соотношения параллелепипеда в конкретной точке m = m. 2, x) dxdydz. (V-58) ’ x ’ y ’ zooo уравнение для усреднения При температуре 0 (t) в определенный момент времени tx значение d (x, y, z, t) из (V-58) получается путем подстановки (V-58) Oo 1X1 y x (V-59) коэффициентов Bᵢₓ, Bₗₜ y, Bᵢₜg и корня. Характерные уравнения₁жж, л, у, P1.Z можно определить из графика соответственно (см. Рисунки V-12 и V-15).

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Видео:Уравнение в частных производных Уравнение теплопроводностиСкачать

Нестационарный теплообмен. Нестационарная теплопроводность. Нестационарный процесс конвективного теплообмена

Страницы работы

Содержание работы

ЛЕКЦИЯ 20 Нестационарный теплообмен

20.1. Общие сведения

Нестационарными тепловыми процессами называют процессы теплообмена, протекающие в изменяющемся во времени температурном поле. Особенностью этих процессов является непрерывное изменение теплосодержания тел и связанное с этим их нагревание или охлаждение. Чаще всего нестационарный теплообмен наблюдается в периодически действующих аппаратах (нагревание или охлаждение твердых тел, неподвижных масс жидкостей, кристаллизация из растворов и расплавов, процессы в химических реакторах и т.д.). В непрерывно действующих теплообменных аппаратах нестационарный перенос тепла возникает лишь в периоды пуска, остановки или изменения режима их работы.

При расчете нестационарных процессов теплообмена определяют либо время, необходимое для нагревания или охлаждения до заданной температуры, либо конечную температуру, которая достигается за то же время, а также количество тепла, переданное телу или отнятое от него. В случае жидких или газообразных веществ определяют лишь зависимость их средней температуры от времени, так как температура жидкости и газа всегда выравнивается за счет конвекции, сопутствующей теплопроводности.

20.2. Нестационарная теплопроводность

Нестационарные процессы теплопроводности протекают в случае нагревания или охлаждения твердых тел при их непосредственном соприкосновении с горячими или холодными потоками жидкостей или газов.

На рис. 20.1 показан характер изменения температур на поверхности t_пов и в глубине тела t_гл, внесенного в среду с более высокой температурой t_ж.

Рисунок 20.1 – Характер изменения температуры
тела во времени

Любой процесс нагревания или охлаждения тела можно разделить на три режима. Первый из них охватывает начало процесса и характеризуется постепенным изменением температуры в глубь тела (участок τ₁). При этом скорость изменения температуры в отдельных точках различна, а температурное поле зависит от начального распределения температур в теле. Этот режим носит название неупорядоченного. В дальнейшем влияние начального распределения температур в теле исчезает, и относительная скорость изменения температуры в каждой точке тела становится постоянной величиной, зависящей от формы и размеров тела, его теплофизических свойств, условий теплообмена на поверхности тела. Такой упорядоченный режим нагрева назван регулярным (участок τ₂). По истечении длительного времени (теоретически по истечении бесконечно большого времени) наступает третий, стационарный режим, характерной особенностью которого является постоянство распределения температур во времени, в каждой точке тела . Если температура во всех точках тела одинакова и равна температуре окружающей среды, то наступает режим теплового равновесия.

Решение задачи нестационарной теплопроводности заключается в определении зависимости изменения температуры во времени для любой точки тела t и количества подведенной или отведенной теплоты. Это может быть осуществлено аналитическим путем в результате решения дифференциального уравнения теплопроводности при Q = 0 совместно с условиями однозначности.

Для технических целей в большинстве случаев ограничиваются рассмотрением течения процесса лишь в одном каком-либо направлении – направлении х, например. В этом случае

Краевыми условиями для аналитического решения дифференциального уравнения теплопроводности являются:

а) начальное распределение температуры в теле

б) действие на поверхность тела окружающей среды.

Последнее условие может быть задано тремя способами:

1) распределением температуры на поверхности тела t_пов в любой момент времени τ – граничное условие 1-го рода;

2) распределением плотности теплового потока по поверхности тела q_пов во времени – граничное условие 2-го рода;

3) распределением температуры окружающей среды t_ж и коэффициентом теплоотдачи от поверхности тела к этой среде: – граничные условия 3-го рода.

Тогда дифференциальные уравнения теплопроводности для тел различной геометрической формы принимают следующий вид.

Для плоской неограниченной стенки толщиной 2δ, омываемой жидкостью с температурой t_ж ,

. (20.1)

Краевые условия при этом:

; ;

; ,

где t₀ – температура в начальный момент времени, равная температуре поверхности стенки.

Для сплошного цилиндра неограниченной длины

. (20.2)

; ;

; ,

(R – радиус сечения цилиндра).

Для сплошного шара с радиусом R

. (20.3)

; ;

; .

Решение уравнений (20.1) – (20.3) ввиду их сложности приводятся в специальной литературе.

Предложены приближенные методы расчета, в которых пренебрегают наличием начального, неупорядоченного режима, характеризуемого неравномерным изменением температуры тела, и задачу решают относительно регулярного теплового режима. Для этого режима влияние начального распределения температуры несущественно и процесс определяется условиями теплообмена на границе твердое тело–жидкость (газ), физическими свойствами, геометрической формой и размерами тела. Для него характерна линейная зависимость

или . (20.4)