Уравнение нелинейной регрессии равносторонней гиперболы

1. Полиномальное уравнение регрессии:
   y = a + bx + cx 2 (см. метод выравнивания)
2. Гиперболическое уравнение регрессии:
3. Квадратичное уравнение регрессии:

1. Показательное уравнение регрессии:
2. Экспоненциальное уравнение регрессии:
3. Степенное уравнение регрессии:
4. Полулогарифмическое уравнение регрессии: y = a + b lg(x)

Видео:Эконометрика. Нелинейная регрессия. Степенная функция.Скачать

Нелинейные регрессии

полиномы разных степеней

у =а + bх +сх +dx3+ ε,

степенная y = axb ε

показательная у = аbх ε

В параболе второй степени

у= а0 + а1 х + а2 х2 + ε

заменяя переменные х1 =х, х2 = х2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

у= а0 + а1 х1 + а2 х2 + ε

для оценки параметров которого используется МНК.

Соответственно для полинома третьего порядка

y= a0+a1x+a2x2+a3x3+ ε,

при замене х=х1, х2=х2, х3=х3 получим трехфакторную модель линейной регрессии:

у= а0 + а1 х1 + а2 х2 + а3 х3 + ε,

Для полинома k-порядка

y= a0+a1x+a2x2+…+akxk+ ε

получим линейную модель множественной регрессии с k объясняющими переменными:

у= а0 + а1 х1 + а2 х2 + …+ аk хk + ε

Приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени.

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

Для равносторонней гиперболы такого вида, заменив 1/х на z, получим линейное уравнение регрессии

оценка параметров которого может быть дана МНК.

Система нормальных уравнений составит:

В отдельных случаях может использоваться и нелинейная модель вида

Но, если в равносторонней гиперболе преобразованию подвергается объясняющая переменная

z = 1/x и y = а + bz + ε,

то для получения линейной формы зависимости в обратной модели преобразовывается у, а именно:

z =1/y и z = a + bx +ε.

В результате обратная модель оказывается внутренне нелинейной и требование МНК выполняется не для фактических значений признака у, а для их обратных величин 1/у, а именно

Видео:Нелинейная регрессия в MS Excel. Как подобрать уравнение регрессии? Некорректное значение R^2Скачать

Линеаризация

• Парабола
• Гипербола
• Полулогарифмическая функция

Модели, нелинейные по параметрам

• нелинейные модели внутренне линейные
  — нелинейные модели внутренне нелинейные.

в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция:

где у – спрашиваемое количество;

ε – случайная ошибка.

логарифмирование данного уравнения по основанию ε приводит его к линейному виду:

lnу = lnа + b lnx + ln ε.

Если же модель представить в виде

то она становится внутренне нелинейной, т.к. ее невозможно превратить в линейный вид. Внутренне нелинейной будет и модель вида

В этом плане к линейным относят, например, экспоненциальную модель

т.к. логарифмируя ее по натуральному основанию, получим линейную форму модели

lnу = а + b х +lnε.

Модели внутренне нелинейные по параметрам могут иметь место в эконометрических исследованиях. Среди них можно назвать и обратную модель вида:

В степенной функции

параметр b является коэффициентом эластичности. Его величина, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%.

Формула расчета коэффициента эластичности:

Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия

то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т. е. lnу, 1/у.

Так, в степенной функции y = axbε

МНК применяется к преобразованному уравнению

Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах:

Соответственно, если в линейных моделях (включая нелинейные по переменным ∑(y-ŷх) =0, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам,

Корреляция для нелинейной регрессии

Для равносторонней гиперболы

Линейный коэффициент корреляции между переменными y и lnx

Ошибка разности между индексом детерминации R2yx и коэффициентом детерминации r2yx:

Видео:Эконометрика. Нелинейная регрессия. Полулогарифмические функции.Скачать

Эконометрика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

Кафедра экономико-метематических моделей

Тема 4. Множественная регрессия.

Вопросы

1. Нелинейная регрессия. Нелинейные модели и их линеаризация.

Нелинейная регрессия

При рассмотрении зависимости экономических показателей на основе реальных статистических данных с использованием аппарата теории вероятности и математической статистики можно сделать выводы, что линейные зависимости встречаются не так часто. Линейные зависимости рассматриваются лишь как частный случай для удобства и наглядности рассмотрения протекаемого экономического процесса. Чаще встречаются модели которые отражают экономические процессы в виде нелинейной зависимости.

Если между экономическими явлениями существуют не­линейные соотношения, то они выражаются с помощью со­ответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих пе­ременных, но линейные по оцениваемым параметрам: регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Нелинейные регрессии по включаемым в нее объясня­ющим переменным, но линейные по оцениваемым пара­метрам

Данный класс нелинейных регрессий включает уравне­ния, в которых зависимая переменная линейно связана с параметрами. Примером могут служить:

полиномы разных степеней

(полином k-й степени)

и равносторонняя гипербола

.

При оценке параметров регрессий нелинейных по объясняю­щим переменным используется подход, именуе­мый «замена переменных». Суть его состоит в замене «нели­нейных» объясняющих переменных новыми «линейными» переменными и сведение нелинейной регрессии к линейной регрессии. К новой «преобразованной» регрессии может быть приме­нен обычный метод наименьших квадратов (МНК).

Полином любого порядка сводится к ли­нейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез.

Среди нелинейной полиноминальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях — полином третьего порядка. Ограничение в ис­пользовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и, соответственно, менее однородна совокупность по резуль­тативному признаку.

Равносторонняя ги­пербола, для оценки параметров которой используется тот же подход «замены переменных» (1/x заменяют на переменную z) хорошо известна в эконометрике.

Она может быть использована, например, для характеристики связи удельных расходов сы­рья, материалов и топлива с объемом выпускаемой продукции. Также примером использования равносторонней ги­перболы являются кривые Филлипса и Энгеля..

Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам

К данному классу регрессий относятся уравнения, в которых зависимая переменная нелинейно связана с параметрами. Примером таких нелинейных регрессий являются функции:

• степенная — ;

• показательная — ;

• экспоненциальная —

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с по­мощью соответствующих преобразований может быть при­ведена к линейному виду (например, логарифмированием и заменой переменных). Если же нелинейная модель внут­ренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции и для оценки её параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особен­ностей применяемого итеративного подхода.

Примером нелинейной по параметрам регрессии внут­ренне линейной является степенная функция, которая ши­роко используется в эконометрических исследованиях при изучении спроса от цен: , где у — спрашиваемое количество; х — цена;

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, т. к. включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логариф­мирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду . Заменив пе­ременные и параметры, получим линейную регрессию, оцен­ки параметров которой а и b могут быть найдены МНК.

Ши­рокое использование степенной функции связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолко­вание, т. е. он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %.

Коэффициент эластичности можно определять и при наличии других форм связи, но только для степенной функ­ции он представляет собой постоянную величину, равную па­раметру b.

По семи предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений ( Х, млн. руб. ).

📺 Видео

Эконометрика. Нелинейная регрессия: парабола.Скачать

Нелинейная регрессияСкачать

Что такое линейная регрессия? Душкин объяснитСкачать

1.1 Нелинейная регрессия в ExcelСкачать

Эконометрика. Множественная регрессия и корреляция.Скачать

Математика #1 | Корреляция и регрессияСкачать

Эконометрика. Линейная парная регрессияСкачать

Что такое полиномиальная регрессия? Душкин объяснитСкачать

Уравнение линейной регрессии. Интерпретация стандартной табличкиСкачать

Парная регрессия: линейная зависимостьСкачать

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Множественная регрессия в ExcelСкачать

Линейная регрессияСкачать

Корреляционно-регрессионный анализ многомерных данных в ExcelСкачать