Уравнение навье стокса кто решил

Нерешаемые задачи — это 7 интереснейших математических проблем. Каждая из них была предложена в свое время известными учеными, как правило, в виде гипотез. Вот уже много десятилетий над их решением ломают головы математики во всем мире. Тех, кто добьется успеха, ждет вознаграждение в миллион американских долларов, предложенное институтом Клэйя.

Видео:Уравнения Навье-Стокса - Numberphile на русском.Скачать

Предыстория

В 1900 году великий немецкий математик-универсал Дэвид Гильберт, представил список из 23-х проблем.

Исследования, осуществленные с целью их решения, оказали огромное влияние на науку 20 века. На данный момент большинство из них уже перестали быть загадками. В числе нерешенных или решенных частично остались:

• проблема непротиворечивости арифметических аксиом;
• общий закон взаимности на пространстве любого числового поля;
• математическое исследование физических аксиом;
• исследование квадратичных форм при произвольных алгебраических числовых коэффициентах;
• проблема строгого обоснования исчислительной геометрии Федора Шуберта;
• и пр.

Видео:Уравнение Навье-Стокса на пальцах. МЛФ#2Скачать

Институт Клэйя

Под таким названием известна частная некоммерческая организация, штаб-квартира которой находится в Кембридже, штат Массачусетс. Она была основана в 1998 году гарвардским математиком А. Джеффи и бизнесменом Л. Клэйем. Целью деятельности института является популяризация и развитие математических знаний. Для ее достижения организация выдает премии ученым и спонсирует многообещающие исследования.

В начале 21 столетия Математический институт Клэйя предложил премию тем, кто решит проблемы, которые известны, как самые сложные нерешаемые задачи, назвав свой список Millennium Prize Problems. Из «Списка Гильберта» в него вошла только гипотеза Римана.

Видео:Science show. Выпуск 51. Уравнение Навье - СтоксаСкачать

Задачи тысячелетия

В список института Клэйя изначально входили:

• гипотеза о циклах Ходжа;
• уравнения квантовой теории Янга — Миллса;
• гипотеза Пуанкаре;
• проблема равенства классов Р и NP;
• гипотеза Римана;
• уравнения Навье Стокса, о существовании и гладкости его решений;
• проблема Берча — Свиннертон-Дайера.

Эти открытые математические проблемы представляют огромный интерес, так как могут иметь множество практических реализаций.

Видео:Вывод уравнений Навье-Стокса - Лекция 3Скачать

Что доказал Григорий Перельман

В 1900 году известный ученый-философ Анри Пуанкаре предположил, что всякое односвязное компактное 3-мерное многообразие без края гомеоморфно 3-мерной сфере. Ее доказательство в общем случае не находилось в течение века. Лишь в 2002-2003 годах петербургский математик Г. Перельман опубликовал ряд статей с решением проблемы Пуанкаре. Они произвели эффект разорвавшейся бомбы. В 2010 году гипотеза Пуанкаре была исключена из списка «Нерешенные задачи» института Клэйя, а самому Перельману было предложено получить полагающееся ему немалое вознаграждение, от которого последний отказался, не объяснив причин своего решения.

Самое понятное объяснение того, что удалось доказать российскому математику, можно дать, представив, что на бублик (тор), натягивают резиновый диск, а затем пытаются стянуть края его окружности в одну точку. Очевидно, что это невозможно. Другое дело, если произвести этот эксперимент с шаром. В таком случае вроде бы трехмерная сфера, получившаяся из диска, окружность которого стянули в точку гипотетическим шнуром, будет трехмерной в понимании обычного человека, но двумерной с точки зрения математики.

Пуанкаре предположил, что трехмерная сфера является единственным трехмерным «предметом», поверхность которой можно стянуть в одну точку, а Перельману удалось это доказать. Таким образом, список «Нерешаемые задачи» сегодня состоит из 6 проблем.

Видео:"Проблема тысячелетия" решена казахстанским математикомСкачать

Теория Янга-Миллса

Эта математическая проблема была предложена ее авторами в 1954-м году. Научная формулировка теории имеет следующий вид: для любой простой компактной калибровочной группы квантовая пространственная теория, созданная Янгом и Милльсом, существует, и при этом имеет нулевой дефект массы.

Если говорить на языке, понятном для обычного человека, взаимодействия между природными объектами (частицами, телами, волнами и пр.) делятся на 4 типа: электромагнитное, гравитационное, слабое и сильное. Уже много лет физики пытаются создать общую теорию поля. Она должна стать инструментом для объяснения всех этих взаимодействий. Теория Янга-Миллса — это математический язык, с помощью которого стало возможно описать 3 из 4-х основных сил природы. Она не применима к гравитации. Поэтому нельзя считать, что Янгу и Миллсу удалось создать теорию поля.

Кроме того, нелинейность предложенных уравнений делает их крайне сложными для решения. При малых константах связи их удается приближенно решить в виде ряда теории возмущений. Однако пока непонятно, как можно решить эти уравнения при сильной связи.

Видео:Гладкое решение уравнения Навье — СтоксаСкачать

Уравнения Навье-Стокса

С помощью этих выражений описываются такие процессы, как воздушные потоки, течение жидкостей и турбулентность. Для некоторых частных случаев аналитические решения уравнения Навье-Стокса уже были найдены, однако сделать это для общего пока никому не удалось. В то же время, численное моделирование для конкретных значений скорости, плотности, давления, времени и так далее позволяет добиться прекрасных результатов. Остается надеяться, что у кого-нибудь получится применить уравнения Навье-Стокса в обратном направлении, т. е. вычислить с их помощью параметры, либо доказать, что метода решения нет.

Видео:В А Садовничий, О А Олейник, Гагарин и уравнение Навье–СтоксаСкачать

Задача Берча — Свиннертон-Дайера

К категории «Нерешенные задачи» относится и гипотеза, предложенная английскими учеными из Кембриджского университета. Еще 2300 лет назад древнегреческий ученый Эвклид дал полное описание решений уравнения x2 + y2 = z2.

Если для каждого из простых чисел посчитать количество точек на кривой по его модулю, получится бесконечный набор целых чисел. Если конкретным образом «склеить» его в 1 функцию комплексной переменной, тогда получится дзета-функция Хассе-Вейля для кривой третьего порядка, обозначаемая буквой L. Она содержит информацию о поведении по модулю всех простых чисел сразу.

Брайан Берч и Питер Свиннертон-Дайер выдвинули гипотезу относительно эллиптических кривых. Согласно ей, структура и количество множества ее рациональных решений связаны с поведением L-функции в единице. Недоказанная на данный момент гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера зависит от описания алгебраических уравнений 3 степени и является единственным сравнительно простым общим способом расчета ранга эллиптических кривых.

Чтобы понять практическую важность этой задачи, достаточно сказать, что в современной криптографии на эллиптических кривых основан целый класс асимметричных систем, и на их применении основаны отечественные стандарты цифровой подписи.

Видео:Уравнение Навье — Стокса для чайниковСкачать

Равенство классов p и np

Если остальные «Задачи тысячелетия» относятся к чисто математическим, то эта имеет отношение к актуальной теории алгоритмов. Проблема, касающаяся равенства классов р и np, известная также, как проблема Кука-Левина, понятным языком может быть сформулирована следующим образом. Предположим, что положительный ответ на некий вопрос можно проверить достаточно быстро, т. е. за полиномиальное время (ПВ). Тогда правильно ли утверждение, что ответ на него можно довольно быстро отыскать? Еще проще эта задача звучит так: действительно ли решение задачи проверить не труднее, чем его найти? Если равенство классов р и np будет когда-либо доказано, то все проблемы подбора можно будет решать за ПВ. На данный момент многие специалисты сомневаются в истинности этого утверждения, хотя не могут доказать обратное.

Видео:Программа решения уравнений Навье-Стокса. Лекция 1. Введение.Скачать

Гипотеза Римана

Вплоть до 1859 года не было выявлено какой-либо закономерности, которая описывала бы, как распределяются простые числа среди натуральных. Возможно, это было связано с тем, что наука занималась другими вопросами. Однако к середине 19 столетия ситуация изменилась, и они стали одними из наиболее актуальных, которыми начала заниматься математика.

Гипотеза Римана, появившаяся в этот период — это предположение о том, что в распределении простых чисел существует определенная закономерность.

Сегодня многие современные ученые считают, что если она будет доказана, то придется пересмотреть многие фундаментальные принципы современной криптографии, составляющие основу значительной части механизмов электронной коммерции.

Согласно гипотезе Римана, характер распределения простых чисел, возможно, существенно отличается от предполагаемого на данный момент. Дело в том, что до сих пока не было обнаружено какой-либо системы в распределения простых чисел. Например, существует проблема «близнецов», разность между которыми равна 2. Этими числами являются 11 и 13, 29. Другие простые числа образуют скопления. Это 101, 103, 107 и др. Ученые давно подозревали, что подобные скопления существуют и среди очень больших простых чисел. Если их найдут, то стойкость современных криптоключей окажется под вопросом.

Видео:Уравнение навье стоксаСкачать

Гипотеза о циклах Ходжа

Эта нерешенная до сих пор задача сформулирована в 1941 году. Гипотеза Ходжа предполагает возможность аппроксимации формы любого объекта путем «склеивания» вместе простых тел большей размерности. Этот способ был известен и успешно применяется достаточно давно. Однако не известно, до какой степени можно производить упрощение.

Теперь вы знаете, какие нерешаемые задачи существуют на данный момент. Они являются предметом исследования тысяч ученых во всем мире. Остается надеяться, что в ближайшее время они будут решены, а их практическое применение поможет человечеству выйти на новый виток технологического развития.

Видео:О решении уравнений Навье-Стокса на пространстве R3Скачать

Математики нашли проблему в знаменитых уравнениях для описания жидкостей

Видео:Обзор математики в фильме "Одаренная"Скачать

Два математика доказали, что при определённых экстремальных условиях уравнения Навье-Стокса выдают бессмыслицу

Уравнения Навье-Стокса при помощи нескольких лаконичных членов описывают одно из самых распространённых явлений физического мира: течение жидкостей. Сегодня эти уравнения, появившиеся ещё в 1820-х, используются для описания всего, от океанских течений и турбулентности, следующей за самолётом до потока крови в сердце.

Хотя физики считают эти уравнения надёжными, как молоток, математики относятся к ним с недоверием. Для математика то, что эти уравнения вроде бы работают, мало что значит. Им нужны доказательства того, что уравнения безошибочны: что для любой жидкости и для долгосрочного прогноза, распространённого сколь угодно далеко в будущее, математика уравнений не подведёт. Такую гарантию оказалось нелегко отыскать. Первый человек или команда, которая сумеет доказать, что уравнения Навье-Стокса будут работать всегда — или представить пример, доказывающий, что они не работают — сможет получить награду за решение одной из «Задач тысячелетия», анонсированных математическим институтом Клэя, и миллионом долларов в придачу [по состоянию на 2017 год только одна из семи задач тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена Григорием Перельманом / прим. перев.].

Математики разработали множество способов для решения этой задачи. Новая работа, опубликованная в сентябре, ставит серьёзные вопросы по поводу того, сможет ли добиться успеха один из самых популярных подходов к задаче, разрабатываемый в течение многих лет. Работа, которую написали Тристан Бакмастер и Влад Викол из Принстонского университета, представляет собой первый результат, показывающий, как при определённых условиях уравнения Навье-Стокса дают противоречивое описание физического мира.

«Мы пытаемся понять определённые проблемы, присущие этим уравнениям, и то, почему людям, вероятно, придётся их переосмыслить», — говорит Бакмастер.

Работа Бакмастера и Викола показывает, что, если принять при решении уравнений Навье-Стокса очень грубые допущения, они начинают выдавать бессмыслицу: утверждают, что одна и та же жидкость с одними и теми же начальными условиями может прийти в два или более различных состояний. Она может течь одним образом, или же совершенно другим. Если так, то эти уравнения не могут надёжно описывать физический мир, для которого они были разработаны.

Видео:Задача на миллион. Уравнение Навье-СтоксаСкачать

Взрывая уравнения

Чтобы понять, как уравнения могут сломаться, представьте себе океанское течение. В его рамках могут существовать локальные течения, в результате чего некоторые его части могут перемещаться в одном направлении и с одной скоростью, а другие — в другом направлении с другой скоростью. Локальные течения взаимодействуют друг с другом в постоянном взаимном действии трения и давления воды, определяющих её поток.

Математики моделируют это взаимодействие при помощи карты, сообщающей вам о направлениях и скорости потока в любой точке жидкости. Эта карта, называемая векторным полем — снимок внутренней динамики жидкости. Уравнения Навье-Стокса берут этот снимок и воспроизводят его, как видео, сообщая, как именно будет выглядеть векторное поле в каждый последующий момент времени.

Карта ветров (windy.com) работает похожим на векторное поле образом. В каждой точке у ветра есть определённое направление и сила

Эти уравнения работают. Они описывают течение жидкости так же надёжно, как уравнения Ньютона предсказывают будущие положения планет; физики постоянно используют их, и они постоянно совпадают с результатами экспериментов. Однако математикам нужно нечто большее, чем эпизодическое подтверждение — им нужно доказательство того, что уравнения не нарушаются, что вне зависимости от того, с какого векторного поля вы начнёте, и от того, как далеко в будущее вы будете его воспроизводить, уравнения всегда дадут вам новое, уникальное векторное поле.

Это и есть тема Задачи тысячелетия, спрашивающей, есть ли у уравнений Навье-Стокса решения (решение, по сути, и есть векторное поле) для всех начальных точек во все моменты времени. Эти решения должны обеспечить точное направление и силу потока в каждой точке жидкости. Решения, дающие информацию с таким бесконечно мелким разрешением, называются «гладкими». У гладкого решения каждая точка поля имеет связанный с ней вектор, позволяющий вам «гладко» путешествовать по полю, не застревая в точках, где вектор отсутствует — в точке, дальнейшее движение из которой вам будет непонятно.

Гладкие решения — полное представление физического мира, но с математической точки зрения они могут существовать не всегда. Математики, работающие над уравнениями, подобными этим, переживают по поводу такой ситуации: вы запускаете уравнения Навье-Стокса и наблюдаете за изменениями векторного поля. По прошествии какого-то конечного времени уравнения говорят вам, что некая частица жидкости двигается с бесконечной скоростью. Тогда у вас будут проблемы. В уравнения входит измерение изменений таких свойств, как давление, трение, скорость жидкости — говоря жаргонным языком, они берут производные этих величин — но производную от бесконечной величины взять не проще, чем поделить на ноль. Так что если уравнения выдают бесконечное значение, можно сказать, что они отказали вам, или «взорвались». Они уже не могут описывать последующие состояния вашей жидкости.

Такой «взрыв» — свидетельство того, что в уравнениях не хватает описания каких-то свойств физического мира, который они должны описывать. «Возможно, уравнения охватывают не все эффекты реальной жидкости, поскольку в реальной жидкости мы не ожидаем» бесконечной скорости движения частиц, как говорит Бакмастер.

Решение Задачи тысячелетия состоит либо в том, чтобы показать, что уравнения Навье-Стокса никогда не взрываются, либо найти условия, при которых это происходит. Одна из стратегий, используемых математиками — смягчить требования к тому, как точно эти уравнения должны описывать требуемые решения.

Видео:Одно уравнениеСкачать

Нарушение потока

Уравнения Навье-Стокса должны описывать течение любой жидкости, с любыми начальными условиями, и распространять описание бесконечно далеко в будущее. Пытаясь доказать эту их способность, математики иногда «ослабляют», то есть, используют приближённые описания векторных полей, описывающих жидкость. Но с этим возникают трудности.

В идеале, математики хотят доказать, что применение уравнений Навье-Стокса к любой непрерывной, «гладкой» жидкости выдаст один уникальный результат.

Однако проще работать со «слабыми», не такими детализированными векторными полями. И вот математики обнаружили, что некоторые слабые описания выдают неуникальные результаты — позволяют одной и той же жидкости в одних и тех же начальных условиях течь двумя способами.

Видео:74 Александр Коптев. 1/2 доклад. Уравнения Навье-Стокса.Скачать

От слабых к гладким

Когда математики изучают такие уравнения, как эти, они иногда начинают расширять определение того, что считается решением. Гладким решениям требуется максимум информации — в случае с Навье-Стоксом им требуется, чтобы в каждой точке векторного поля, связанного с жидкостью, существовал вектор. Но что, если ослабить требования, и сказать, что вам нужно подсчитывать вектора только для некоторых точек поля, или нужно получить только примерные значения векторов? Такие решения называют «слабыми». Они позволяют математикам почувствовать поведение уравнения без утомительной работы по поиску абсолютно всех решений (что на практике может оказаться и невозможным).

Тристан Бакмастер, математик из Принстонского университета

«С какой-то точки зрения слабые решения ещё легче описать, чем реальные, поскольку знать нужно гораздо меньше», — сказал Камилло Де Леллис, в соавторстве с Лазло Щекелихиди написавший несколько важных работ, заложивших фундамент для работы Бакмастера и Викола.

Слабые решения бывают разной градации. Если представить себе гладкое решение в виде математического изображения жидкости с бесконечным разрешением, то слабые решения будут представлять собой нечто вроде 32-битных, 16-битных или 8-битных версий этого изображения.

В 1934 году французский математик Жан Лере определил важный класс слабых решений. Вместо работы с точными векторами, «решения Лере» берут среднее значение векторов в небольшой окрестности векторного поля. Лере доказал, что всегда можно решить уравнения Навье-Стокса, позволяя вашим решениям принимать форму такого вида. Иначе говоря, решения Лере не взрываются.

Достижение Лере определило новый подход к задаче Навье-Стокса: начать с решений Лере, о существовании которых уже известно, и посмотреть, можно ли превратить их в гладкие решения, существование которых вы хотите доказать. Этот процесс напоминает тот, где вы начинаете с грубой картинки, и смотрите, нельзя ли постепенно подкрутить разрешение, чтобы достичь идеального изображения реальности.

«Одна из возможных стратегий — показать, что эти слабые решения Лере гладкие, и если вы сможете показать, что они гладкие — вы решите Задачу тысячелетия», — сказал Бакмастер.

Влад Вкол представляет собой половину команды, вскрывшей проблемы в подходе к проверке уравнений Навье-Стокса.

Есть и ещё один подвох. Решения уравнений Навье-Стокса соответствуют реальным физическим событиям, а физические события происходят одним возможным образом. Учитывая это, хотелось бы, чтобы у ваших уравнений был только один набор уникальных решений. Если уравнения дают вам множество возможных решений, они не справляются со своей задачей.

Поэтому математики смогут использовать решения Лере для решения Задачи тысячелетия, только если решения Лере уникальны. Неуникальные решения Лере будут означать, что, согласно правилам Навье-Стокса, одна и та же жидкость с одними и теми же начальными условиями может прийти к двум разным физическим состояниям, что не имеет физического смысла, и подразумевает, что уравнения на самом деле не описывают то, что должны.

Новый результат Бакмастера и Викола — первый намёк на то, что для определённых определений слабых решений может происходить именно это.

Видео:Но там нет ничего сложного, там ошибка. Мэри решает уравнение. Одарённая. 2017Скачать

Множество миров

В своей новой работе Бакмастер и Викол рассматривают ещё более слабые решения, чем решения Лере — решения, в которых используется тот же принцип усреднения, что у и Лере, но ослаблено ещё одно дополнительное требование (известное, как неравенство энергий). Они используют метод «выпуклого интегрирования», берущий начало из работ по геометрии математика Джона Нэша, и позднее привлечённый к изучению жидкостей Де Леллисом и Щекелихиди.

Используя такой подход, Бакмастер и Викол доказывают, что эти очень слабые решения уравнений Навье-Стокса неуникальны. Они, к примеру, демонстрируют, что если начать с полностью спокойной жидкости, к примеру, со стакана с водой рядом с кроватью, возможны два вида развития событий. Первый очевиден: вода начинает со спокойного состояния и остаётся спокойной всегда. Второй фантастичный, но математически возможный: вода начинает со спокойного состояния, взрывается в середине ночи, а затем возвращается в спокойное состояние.

«Это доказывает отсутствие уникальности, поскольку из начальных данных можно сконструировать по меньшей мере два объекта», — говорит Викол.

Бакмастер и Викол доказали существование множества неуникальных слабых решений (не только тех двух, что описаны выше) уравнений Навье-Стокса. Важность этого доказательства ещё предстоит понять. В какой-то момент слабые решения могут стать настолько слабыми, что они перестанут быть связанными с более гладкими решениями, которые должны имитировать. Если так и есть, тогда результат, полученный Бакмастером и Виколом, мало к чему приведёт.

«Такой результат однозначно является предупреждением, но можно спорить о том, что это предупреждение касается самой слабой идеи слабых решений. Существует множество слоёв более сильных решений, на гораздо лучшее поведение которых можно возлагать надежду» в случае уравнений Навье-Стокса, — говорит Де Леллис.

Бакмастер и Викол также мыслят в терминах слоёв, и он нацелились на решения Лере — на доказательство того, что и те допускают множественную физику, в которой одна и та же жидкость из одного и того же состояния может прийти к разным формам в будущем.

«Мы с Тристаном считаем, что решения Лере неуникальны. Мы пока этого не доказали, но наша работа закладывает плацдарм для атаки на эту задачу», — сказал Викол.

Видео:Новости ЗАДАЧ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ к 2021 годуСкачать

НАВЬЕ́ – СТО́КСА УРАВНЕ́НИЯ

НАВЬЕ́ – СТ О́КСА УРАВНЕ́НИЯ, диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния дви­же­ния сплош­ной сре­ды (жид­ко­сти или га­за), учи­ты­ваю­щие её вяз­кость. Вы­ве­де­ны Л. На­вье в 1822 (опубл. в 1827) на ос­но­ве уп­ро­щён­ной мо­де­ли мо­ле­ку­ляр­ных взаи­мо­дей­ствий. В 1845 Дж. Стокс в ре­зуль­та­те изу­че­ния ста­цио­нар­но­го дви­же­ния не­сжи­мае­мой жид­ко­сти по­лу­чил эти урав­не­ния в совр. фор­ме с ис­поль­зо­ва­ни­ем за­ко­нов со­хра­не­ния мас­сы и им­пуль­са для сплош­ной сре­ды.

🎥 Видео

Математик Из Казахстана Решил Одну Из Задач Тысячелетия. 2014Скачать

Как распознать талантливого математикаСкачать

Visual C++. Программа решения уравнений Навье-Стокса. Урок 6. Решение модельного уравнения энергииСкачать