Видео:Уравнение модуль в модулеСкачать
Построение графиков с модулем
путём преобразований
Видео:Задание 23 из ОГЭ Построение графиков функций с модулем | МатематикаСкачать
Модуль аргумента и модуль функции
Если Вы попали на эту страницу из поисковика, миновав предыдущие разделы темы «Графики функций и их преобразования», то рекомендую сначала повторить графики основных элементарных функций и общие правила преобразования графиков функций.
В контексте построения графиков это означает использование преобразования симметрии относительно осей координат.
Пример 1.
В этом примере оба графика получены из графика функции y = x − 3.
Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|) , второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)| .
Пример 2.
В этом примере оба графика получены из графика функции y = x 2 − 2x − 3.
Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|) , второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)| .
Один из способов быстро и точно построить исходную параболу по характерным точкам показан в видео на канале Mathematichka.
III При построении из графика функции y = f(x) более сложных графиков, например, вида y = k·f (a|x| + b) + c или y = k·|f (ax + b)| + c тщательно соблюдайте последовательность преобразований.
Ниже показаны примеры графиков различных функций, содержащих модуль, которые получены из графика функции (y=sqrt.) y = √|x| __ .
- 1.
2.
3.
4.
5.
| 1. (y=sqrt) √x _ —> | 2. (y=sqrt) √|x| __ —> | 3. (y=sqrt) y = √|x − 1| _____ | 4. (y=sqrt) y = √|x| − 1 _____ | 5. (y=|sqrt-1|.) y = | √x − 1 _ | |
IV Равенство вида |y| = f (x) по определению не является функцией, так как допускает неоднозначность при вычислении значения y. Однако линию на координатной плоскости оно задает, и эту линию тоже можно построить, исходя из графика функции y = f(x) .
Для этого нужно:
- Построить график функции y = f(x) .
- Исключить его часть, расположенную ниже оси абсцисс, поскольку указанное равенство возможно только для положительных значений f(x).
- Построить нижнюю часть линии (при отрицательных y) симметричным отображением относительно оси Ox.
Эти кривые также получены из графика функции (y=sqrt). y = √x _ .
- 6.
7.
8.
| 6. (|y|=sqrt) | 7. (|y|=|sqrt-1|) | 8. (|y|=sqrt.) |
Пример 3.
Задан график функции y = x 2 .
Построить кривые, удовлетворяющие уравнению, |y| = x 2 − 2|x| − 5 .
Заметим, что x 2 = |x| 2 (значение четной степени, как и значение модуля, всегда неотрицательно). Поэтому, выделяя полный квадрат, преобразуем функцию к виду |y| = (|x| − 1) 2 − 6 и строим её график последовательными преобразованиями.
Строим график функции f(x) = (x − 1) 2 − 6 переносом на 1 вправо вдоль оси Ox, а затем переносом вниз на 6 единиц вдоль оси Oy.
Строим график функции f(|x|) = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Oy.
Строим линии, удовлетворяющие уравнению |y| = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Ox.
- 1.
2.
3.
4.
5.
6.
| 1.y = x 2 | 2.y = (x − 1) 2 | 3.y = (x − 1) 2 − 6 | 4.y = (|x| − 1) 2 − 6 |
| 5.y = (|x| − 1) 2 − 6, y ≥ 0 | 6.|y| = (|x| − 1) 2 − 6 |
Следующий график постройте самостоятельно, чтобы убедиться, что вы правильно поняли материал.
Пример 4.
Задан график функции y = x 2 .
Построить график функции y = |x 2 − 2x − 5| .
Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать
Сумма модулей
Если формула функции включает сумму или разность несколько модулей, то следует разбить координатную плоскость на участки и построить каждую ветвь графика отдельно. Границы участков определяются приравниванием каждого модуля к нулю и решением соответствующего уравнения. Подробный пример такого подхода можно увидеть в задаче 1 на странице, посвященной решению уравнений с параметрами.
Однако, если подмодульные выражения простые и содержат элементарные функции, графики которых вам хорошо известны, то можно получить результат прямым сложением ординат этих графиков в характерных точках.
Пример 5.
Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| .
Эти два модуля содержат только линейные функции, графиками которых являются прямые линии. В результате сложения должна получиться ломаная линия, состоящая из трёх звеньев. (2 модуля, следовательно 2 уравнения, каждое из которых имеет одно решение, следовательно 2 границы, которыми плоскость разбита на 3 участка.) Трёхзвенную ломаную можно построить по 4-ём точкам.
На одних осях независимо друг от друга строим графики функций y = |x + 2| и y = |x − 1| , используя сдвиг и отражение. Складываем ординаты в точках излома x = −2 и x = 1 и в двух удобных точках на крайних участках, например, при x = −3 и x = 3 . На приведенном рисунке красным цветом представлен результирующий график, полученный по этим 4-ём точкам: (−3;5 ), (−2;3 ), (1; 3), (3;7).
Теперь проверьте себя.
Пример 6.
Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| − |x| .
Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.
Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.
Видео:График функции с модулем ★ Быстрый способСкачать
Уравнение модуль в модуле график
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Контакты
 |
Получается такая зеленая «галочка».
Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!
Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!
