Уравнение менделеева клапейрона для адиабатического процесса

Адиабатический переход между двумя состояниями в газах не относится к числу изопроцессов, тем не менее, он играет важную роль не только в различных технологических процессах, но и в природе. В данной статье рассмотрим, что представляет собой этот процесс, а также приведем уравнения адиабаты идеального газа.

Видео:Физика. МКТ: Уравнение Менделеева-Клапейрона для идеального газа. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Кратко об идеальном газе

Идеальным называется такой газ, в котором нет взаимодействий между его частицами, и их размеры равны нулю. В природе, конечно же, не существует идеальных на сто процентов газов, поскольку все они состоят из имеющих размеры молекул и атомов, которые взаимодействуют друг с другом всегда как минимум с помощью ван-дер-ваальсовых сил. Тем не менее, описанная модель часто выполняется с достаточной для решения практических задач точностью для многих реальных газов.

Вам будет интересно: Атеизм и антиклерикализм — это. В чем отличие понятий

Главным уравнением идеального газа является закон Клапейрона-Менделеева. Он записывается в следующей форме:

Это уравнение устанавливает прямую пропорциональность между произведением давления P на объем V и количества вещества n на абсолютную температуру T. Величина R — газовая константа, которая играет роль коэффициента пропорциональности.

Видео:Физика 10 класс: Уравнение Клапейрона-МенделееваСкачать

Что это адиабатический процесс?

Адиабатический процесс — это такой переход между состояниями газовой системы, при котором обмена энергией с внешней средой не происходит. При этом изменяются все три термодинамических характеристики системы (P, V, T), а количество вещества n остается постоянным.

Различают адиабатическое расширение и сжатие. Оба процесса происходят только за счет внутренней энергии системы. Так, в результате расширения давление и особенно температура системы сильно падают. Наоборот, адиабатическое сжатие приводит к положительному скачку температуры и давления.

Чтобы не происходил обмен теплом между окружающей средой и системой, последняя должна обладать теплоизолированными стенками. Кроме того, сокращение длительности протекания процесса значительно уменьшает тепловой поток от и к системе.

Видео:Адиабатный процесс. 10 класс.Скачать

Уравнения Пуассона для адиабатического процесса

Первый закон термодинамики записывается в таком виде:

Иными словами, сообщенная системе теплота Q идет на выполнение системой работы A и на повышение ее энергии внутренней ΔU. Чтобы написать уравнение адиабаты, следует положить Q=0, что соответствует определению изучаемого процесса. Получаем:

При изохорном процессе в идеальном газе все тепло идет на повышение внутренней энергии. Этот факт позволяет записать равенство:

Где CV — изохорная теплоемкость. Работа A, в свою очередь, вычисляется так:

Где dV — малое изменение объема.

Помимо уравнения Клапейрона-Менделеева, для идеального газа справедливо следующее равенство:

Где CP — изобарная теплоемкость, которая всегда больше изохорной, так как она учитывает потери газа на расширение.

Анализируя записанные выше равенства и проводя интегрирование по температуре и объему, приходим к следующему уравнению адиабаты:

Здесь γ — это показатель адиабаты. Он равен отношению изобарной теплоемкости к изохорной. Это равенство называется уравнением Пуассона для процесса адиабатического. Применяя закон Клапейрона-Менделеева, можно записать еще два аналогичных выражения, только уже через параметры P-T и P-V:

График адиабаты можно привести в различных осях. Ниже он показан в осях P-V.

Цветные линии на графике соответствуют изотермам, черная кривая — это адиабата. Как видно, адиабата ведет себя более резко, чем любая из изотерм. Этот факт просто объяснить: для изотермы давление меняется обратно пропорционально объему, для изобаты же давление изменяется быстрее, поскольку показатель γ>1 для любой газовой системы.

Видео:Урок 156. Уравнение состояния идеального газа. Квазистатические процессыСкачать

Пример задачи

В природе в горной местности, когда воздушная масса движется вверх по склону, то ее давление падает, она увеличивается в объеме и охлаждается. Этот адиабатический процесс приводит к снижению точки росы и к образованию жидких и твердых осадков.

Предлагается решить следующую задачу: в процессе подъема воздушной массы по склону горы давление упало на 30 % по сравнению с давлением у подножия. Чему стала равна ее температура, если у подножия она составляла 25 oC?

Для решения задачи следует использовать следующее уравнение адиабаты:

Его лучше записать в таком виде:

Если P1 принять за 1 атмосферу, то P2 будет равно 0,7 атмосферы. Для воздуха показатель адиабаты равен 1,4, поскольку его можно считать двухатомным идеальным газом. Значение температуры T1 равно 298,15 К. Подставляя все эти числа в выражение выше, получаем T2 = 269,26 К, что соответствует -3,9 oC.

Видео:Успеть за 300 секунд, #3: Уравнение Клапейрона-МенделееваСкачать

2.4. Адиабатный процесс

Адиабатный процесс — это процесс, при котором не происходит теплообмена с внешней средой.

Физически это означает, что процесс протекает достаточно быстро и система не успевает обменяться теплотой с внешними телами. Однако коль скоро мы имеем дело с равновесными процессами, скорость адиабатного процесса не должна быть слишком уж велика. Примером таких процессов может служить распространение звуковых колебаний в упругой среде.

Выведем уравнение, описывающее адиабатный процесс. Ранее мы имели дело с самыми простыми уравнениями процессов

— для изотермического процесса;

— для изобарного процесса;

— для изохорного процесса.

Поскольку в адиабатном процессе dQ = 0, из первого начала термодинамики следует, что

C другой стороны,

Приравнивая эти выражения, находим

Умножая уравнение (2.28) на V g –1 , получаем в левой части полный дифференциал

В результате интегрирования (2.29) приходим к уравнению адиабатного процесса

Графически адиабатный процесс описывается на (р,V) — диаграмме кривыми, похожими на изотермы (рис. 2.12), но идущими круче, так как g > 1, поскольку С_p > С_V.

Рис. 2.12. Адиабатный процесс в идеальном газе: 1 — адиабата, 2 — изотерма

Это и понятно, так как при адиабатном расширении газ совершает работу за счет внутренней энергии, и его температура падает, что еще больше уменьшает давление по сравнению с изотермическим расширением.

Экспериментальное исследование адиабатного процесса в идеальном газе можно выполнить с помощью установки, представленной на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Экспериментальное изучение адиабатного процесса в идеальном газе

Учитывая, что из уравнения состояния идеального газа следует пропорциональность

уравнение адиабатного процесса можно также представить в виде

Первый закон термодинамики в применении к адиабатному процессу позволяет вычислить работу газа при адиабатном расширении:

Выражения для работы при адиабатном процессе с учетом уравнения Клапейрона — Менделеева можно выразить также через температуры в начале и конце процесса

Для бесконечно малых изменений параметров уравнения (2.32), (2.33) переходят в соотношения

Пример. Горючая смесь в двигателе Дизеля (см. рисунок выше) воспламеняется при температуре Т₂ = 1 100 К. Начальная температура смеси Т₁ = 350 К. Определим, во сколько раз нужно уменьшить объем смеси при сжатии, чтобы она воспламенилась. Сжатие будем считать адиабатным. Показатель адиабаты для смеси g = 1,4.

Для решения удобнее воспользоваться уравнением адиабатного процесса в форме (2.31):

Отсюда сразу следует выражение для степени сжатия горючей смеси:

Видео:Уравнение Менделеева-Клапейрона и 4 изопроцесса для состояния идеального газа (графики и смысл).Скачать

Адиабатный процесс, его суть и и формулы

Адиабатный процесс (в некоторых источниках упоминается как адиабатический) — это термодинамический процесс, который происходит при отсутствии теплообмена с окружающей средой. Есть несколько факторов, которые характеризуют этот класс. Например, адиабатный процесс происходит динамично и укладывается в короткий срок времени. Происходят процессы данного класса, как правило, мгновенно.

Видео:Физика 10 класс. Адиабатный процесс.Скачать

Связь с первым началом термодинамики

Адиабатный процесс (адиабатический) можно напрямую связать с первым законом термодинамики. Его формулировка “по умолчанию” звучит следующим образом: изменение количества теплоты в системе при протекании в ней термодинамического процесса будет численно равно сумме изменения внутренней энергии идеального газа и работы, совершаемой этим газом.

Если мы попытаемся записать первое начало термодинамики в его стандартном виде, то получим следующее выражение: dQ = dU + dA. А теперь постараемся видоизменить эту формулу применительно к адиабатическому процессу. Как было сказано ранее, подобные процессы протекают при условии отсутствия теплообмена с окружающей (внешней, как ее называют некоторые литературные источники) средой.

В таком случае формула, описывающая первое начало термодинамики, примет следующий вид: dA = -dU. Теперь несколько подробнее о видоизменении. Если мы говорим о том, что теплообмена в системе не происходит, изменение количества теплоты (обозначенное в формуле первого закона термодинамики через dQ) будет равно нулю. Следовательно, мы можем перенести одно из слагаемых из правой части в левую, после чего получим формулу, приведенную к описанному ранее виду.

Видео:Задачи на уравнение Менделеева-Клапейрона. Ч.1. Краткая теория + решение задачиСкачать

Следствие из первого начала термодинамики для адиабатического процесса

Допустим, что в системе произошел адиабатный процесс. В этом случае можно, не вдаваясь в мельчайшие детали, говорить о том, что газ при расширении совершает работу, но при этом он теряет свою внутреннюю энергию. Иными словами, работа, совершаемая при адиабатном расширении газа, будет осуществляться за счет убыли внутренней энергии. Следовательно, в качестве исхода этого процесса мы будем рассматривать понижение температуры самого вещества.

Абсолютно логично можно предположить, что если газ будет адиабатически сжат, его температура вырастет. Несложно заметить, что в ходе процесса будут изменяться все главные характеристики идеального газа. Речь идет о его давлении, объеме и температуре. Следовательно, грубой ошибкой стало название адиабатического процесса изопроцессом.

Видео:29. Адиабатический процесс. Уравнение ПуассонаСкачать

Адиабатный процесс. Формулы

Ранее была записана формула, выведенная из первого начала термодинамики. Используя ее, мы без особого труда можем вычислить работу в общем виде, которую будет выполнять газ при течении адиабатного процесса. Как вы уже могли догадаться, делать это мы будет при помощи интегрирования.

Итак, чтобы получить общую формулу работы для x молей газа, проинтегрируем выражение первого закона термодинамики для адиабатного процесса. Выглядеть все это будет следующим образом: A = — (интеграл) от dU. Раскроем это выражение, получим: A = — xCv (интеграл в пределах от T1 до T2) dT.

Теперь, когда мы привели интеграл к конечному виду, мы можем его упростить. На выходе получим формулу следующего вида: A = — xCv (T2 – T1). Ну и последним шагом станет небольшое упрощение. Избавимся от минуса перед формулой. Для этого сделаем в скобках небольшую перестановку, поменяв конечную температуру с начальной местами. В итоге получим: A = xCv (T1 – T2).

Видео:Эта тема ВСЕГДА встречается на экзамене ЦТ — Изопроцессы (Физика для чайников)Скачать

Уравнение адиабаты

Используя первое начало термодинамики для адиабатного процесса, мы можем найти уравнение адиабаты. При этом оно будет записано для произвольного числа молей идеального газа. Итак, запишем первоначальную формулу. Она имеет такой вид: dA + dU = 0. Но ведь мы прекрасно знаем, что работа идеального газа представляет численно собой не что иное, как произведение давления на изменение объема.

В то же время изменение внутренней энергии будет равно работе, взятой с обратным знаком. А ее-то мы уже нашли при помощи интегрирования. Значит, первое начало термодинамики для адиабатического процесса может принять следующий вид: pdV + xCvdT = 0. Из этого уравнения нам нужно исключить один показатель, а именно, температуру. Вернее, ее изменения. Чтобы сделать это, мы обратимся к достаточно часто используемому в молекулярной физики уравнению. А именно к уравнению Менделеева-Клапейрона.

Видео:Урок 172. Применение 1 закона термодинамики для различных процессовСкачать

Первичное выражение

Его нам нужно продифференцировать, чем мы и займемся. Итак, в общем виде уравнение выглядит следующим образом: PV = XRT. Вследствие дифференцирования оно будет приведено к такой форме: pdV + Vdp = xRdT. Отсюда мы можем выразить изменение энергии. Оно будет равно левой части, деленной на произведение количества вещества на универсальную газовую постоянную. Иными словами, формула будет такой: (pdV + Vdp)/xR. Остается только упростить ее. В итоге получим следующее выражение: dT = (pdV + Vdp)/x(Cp — Cv)

По сути дела, первая часть задачи выполнена. Остается только довести все до ума.

Видео:Уравнение Менделеева - Клапейрона за 10 минут | Физика с Никитой АрхиповымСкачать

Вторичное выражение. Подстановка значения

Возьмем полученную в результате дифференцирования формулу Менделеева-Клапейрона и подставим ее в выражение, выведенное нами ранее для первого закона термодинамики по отношению к адиабатному процессу. Итак, что мы получим? Все это громоздкое выражение примет следующий вид: pdV + xCv ((pdV + Vdp)/x(Cp-Cv)) = 0.

Чтобы упростить все это, мы должны принять во внимание пару фактов. Во-первых, упростить выражение можно за счет приведения к общему знаменателю. Когда мы получим одну дробь, мы можем воспользоваться старым добрым правилом, которое гласит, что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель от нуля отличен. В результате совокупности всех этих действий мы получим следующее выражение: pCpdV – pCvdV + pCvdV + VCvdp = 0.

Теперь следующим шагом мы можем разделить данное выражение на pVCv. Получим сумму двух частей, дающих в итоге ноль. Это будет Cp/Cv * dV/V + dp/p = 0. Эту формулу необходимо проинтегрировать. Тогда мы получим следующее выражение: y (интеграл) dV/V + (интеграл) dp/p = (интеграл) 0.

Ну а дальше все достаточно просто. Воспользовавшись формулами интегрирования (можно использовать табличные интегралы, чтобы все было проще), получим в итоге следующую запись: y ln V + ln p = ln (const). Получается, что p(V)y = const. Данное выражение называется в молекулярной физике уравнением Пуассона. Многие литературные источники научной направленности также называют эту формулу уравнением адиабаты. В то же время величина y, которая имеет место в данной записи, называется показателем адиабаты. Она равна (i+2)/i. Нужно отметить, что показатель адиабаты всегда больше единицы, что, в принципе, логично.

Видео:62. Уравнение Клапейрона-МенделееваСкачать

Примеры адиабатных процессов

Вскоре после того, как был открыт адиабатический процесс, стартовало огромное количество различных исследований. Так, была создана первая теоретическая модель, имеющая отношение к циклу Карно. Именно она позволила установить условные пределы, ограничивавшие развитие тепловых машин. Но в случае некоторых реальных процессов осуществлять цикл Карно достаточно трудно. Все дело в том, что в его состав входят изотермы. А они, в свою очередь, требуют задания определенной скорости термодинамических процессов.

Видео:Уравнение состояния идеального газа | Физика 10 класс #33 | ИнфоурокСкачать

Заключение

С целью обойти подобные проблемы был придуман цикл Отто, а также цикл сжижения газа. Они стали широко применяться при решении конкретных задач на практике. Стартовавшие исследования показали возможность описания некоторых природных процессов в адиабатическом плане, что позволило выявлять общие закономерности соответствующих процессов. Примером адиабатического процесса можно смело назвать химическую реакцию, которая происходит внутри некоторого объема газа, если система является замкнутой, а обмен с внешней средой теплом отсутствует.

🌟 Видео

ЕГЭ Физика 2020.Адиабатный процесс.НЕстандартная С-шка #2Скачать

Физика. Термодинамика: Адиабатный процесс. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Урок 2.Уравнение Менделеева-Клапейрона. Решение задач. База. ЕГЭСкачать

Задача #1. Сосуд с теплоизолирующим поршнем (адиабатический процесс и ур-ние Клапейрона-Менделеева)Скачать

мкт ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ процесс ИЗОХОРНЫЙ процесс ИЗОБАРНЫЙ процессСкачать

Решение графических задач на тему Газовые законыСкачать