Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?
Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:
- Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
- Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.
Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).
Найти уравнения медиан треугольника.
Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.
Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.
Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:
Отсюда k= 4; b= -11.
Уравнение медианы AA1: y=4x-11.
2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC
Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.
3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:
Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Медиана треугольника
Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).
Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.
На рисунке 1 медианой является отрезок BD .
Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).
Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),
и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)
Поскольку отрезок BD является медианой, то
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).
Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).
Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).
Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,
Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,
Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).
Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.
Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.
Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).
Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна 
площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Длина медианы треугольника
Медиана треугольника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.
Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной из каждой вершины, и все они пересекаются друг с другом в центре треугольника. В случае равнобедренного и равностороннего треугольников, медиана делит пополам любой угол в вершине у которого две смежные стороны равны.
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Калькулятор длины медианы треугольника
Онлайн калькулятор расчета длины медианы треугольника при условии, что известны координаты его вершин. Нахождение длины трех медиан треугольника
Формула расчета длины медианы
- a,b,c — Длина сторон треугольника.
Пример расчета медиан:
Даны точки A( 1 , 5 ), B( 8 , 9 ) и C( 5 , 6 ). Найдите медианы треугольника.
Получаем:
A( 1 , 5 ) B( 8 , 9 ) C( 5 , 6 )
Решение:
Шаг 1:
Найдем длину сторон a,b,c используя формулу
Найдем длину стороны A между точками B( 8 , 9 ) and C( 5 , 6 )
a = √((5 — 8) 2 + (6 — 9) 2 )= 4.242
Найдем длину стороны B между точками C( 5 , 6 ) и A( 1 , 5 )
b = √((1 — 5) 2 + (5 — 6) 2) = 4.123
Найдем длину стороны C между точками A( 1 , 5 ) и B( 8 , 9 )
c = √((8 — 1) 2 + (9 — 5) 2) = 8.062
Шаг 2:
Полученные значения a,b,c применяем в формулы
ma = (1/2) √2c 2 + 2b 2 — a 2
mb = (1/2) √(2c 2 + 2a 2 — b 2 )
mc = (1/2) √(2a 2 + 2b 2 — c 2 )
- ma = (1/2)√(2(8.062) 2 + 2(4.123) 2 — 4.242 2 )= 6.042
- mb = (1/2)√(2(8.062) 2 + 2(4.242) 2 — 4.123 2 )= 6.103
- mc = (1/2)√2(4.242) 2 + 2(4.123) 2 — 8.062 2 = 1.118
📺 Видео
Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать
Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать
Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать
№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать
Математика это не ИсламСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
§8.1 Общее уравнение прямой на плоскостиСкачать
Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать
18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать
КАК РАЗОБРАТЬСЯ В ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕСкачать
Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задачСкачать
найти уравнение высоты треугольникаСкачать
Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать
