Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?
Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:
- Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
- Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.
Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).
Найти уравнения медиан треугольника.
Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.
Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.
Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:
Отсюда k= 4; b= -11.
Уравнение медианы AA1: y=4x-11.
2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC
Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.
3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:
Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Медиана треугольника
Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).
Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.
На рисунке 1 медианой является отрезок BD .
Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).
Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),
и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)
Поскольку отрезок BD является медианой, то
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).
Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).
Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).
Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,
Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,
Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).
Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.
Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.
Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).
Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна 
площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Длина медианы треугольника
Медиана треугольника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.
Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной из каждой вершины, и все они пересекаются друг с другом в центре треугольника. В случае равнобедренного и равностороннего треугольников, медиана делит пополам любой угол в вершине у которого две смежные стороны равны.
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Калькулятор длины медианы треугольника
Онлайн калькулятор расчета длины медианы треугольника при условии, что известны координаты его вершин. Нахождение длины трех медиан треугольника
Формула расчета длины медианы
- a,b,c — Длина сторон треугольника.
Пример расчета медиан:
Даны точки A( 1 , 5 ), B( 8 , 9 ) и C( 5 , 6 ). Найдите медианы треугольника.
Получаем:
A( 1 , 5 ) B( 8 , 9 ) C( 5 , 6 )
Решение:
Шаг 1:
Найдем длину сторон a,b,c используя формулу
Найдем длину стороны A между точками B( 8 , 9 ) and C( 5 , 6 )
a = √((5 — 8) 2 + (6 — 9) 2 )= 4.242
Найдем длину стороны B между точками C( 5 , 6 ) и A( 1 , 5 )
b = √((1 — 5) 2 + (5 — 6) 2) = 4.123
Найдем длину стороны C между точками A( 1 , 5 ) и B( 8 , 9 )
c = √((8 — 1) 2 + (9 — 5) 2) = 8.062
Шаг 2:
Полученные значения a,b,c применяем в формулы
ma = (1/2) √2c 2 + 2b 2 — a 2
mb = (1/2) √(2c 2 + 2a 2 — b 2 )
mc = (1/2) √(2a 2 + 2b 2 — c 2 )
- ma = (1/2)√(2(8.062) 2 + 2(4.123) 2 — 4.242 2 )= 6.042
- mb = (1/2)√(2(8.062) 2 + 2(4.242) 2 — 4.123 2 )= 6.103
- mc = (1/2)√2(4.242) 2 + 2(4.123) 2 — 8.062 2 = 1.118
🔍 Видео
Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать
Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать
Математика это не ИсламСкачать
Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать
№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
§8.1 Общее уравнение прямой на плоскостиСкачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать
18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать
Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать
КАК РАЗОБРАТЬСЯ В ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕСкачать
найти уравнение высоты треугольникаСкачать
Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задачСкачать
Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать
