Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?
Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:
- Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
- Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.
Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).
Найти уравнения медиан треугольника.
Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.
Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.
Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:
Отсюда k= 4; b= -11.
Уравнение медианы AA1: y=4x-11.
2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC
Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.
3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:
Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.
Видео:Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать
Длина медианы треугольника
Медиана треугольника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.
Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной из каждой вершины, и все они пересекаются друг с другом в центре треугольника. В случае равнобедренного и равностороннего треугольников, медиана делит пополам любой угол в вершине у которого две смежные стороны равны.
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Калькулятор длины медианы треугольника
Онлайн калькулятор расчета длины медианы треугольника при условии, что известны координаты его вершин. Нахождение длины трех медиан треугольника
Формула расчета длины медианы
- a,b,c — Длина сторон треугольника.
Пример расчета медиан:
Даны точки A( 1 , 5 ), B( 8 , 9 ) и C( 5 , 6 ). Найдите медианы треугольника.
Получаем:
A( 1 , 5 ) B( 8 , 9 ) C( 5 , 6 )
Решение:
Шаг 1:
Найдем длину сторон a,b,c используя формулу
Найдем длину стороны A между точками B( 8 , 9 ) and C( 5 , 6 )
a = √((5 — 8) 2 + (6 — 9) 2 )= 4.242
Найдем длину стороны B между точками C( 5 , 6 ) и A( 1 , 5 )
b = √((1 — 5) 2 + (5 — 6) 2) = 4.123
Найдем длину стороны C между точками A( 1 , 5 ) и B( 8 , 9 )
c = √((8 — 1) 2 + (9 — 5) 2) = 8.062
Шаг 2:
Полученные значения a,b,c применяем в формулы
ma = (1/2) √2c 2 + 2b 2 — a 2
mb = (1/2) √(2c 2 + 2a 2 — b 2 )
mc = (1/2) √(2a 2 + 2b 2 — c 2 )
- ma = (1/2)√(2(8.062) 2 + 2(4.123) 2 — 4.242 2 )= 6.042
- mb = (1/2)√(2(8.062) 2 + 2(4.242) 2 — 4.123 2 )= 6.103
- mc = (1/2)√2(4.242) 2 + 2(4.123) 2 — 8.062 2 = 1.118
Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать
Уравнение медианы в трехмерном пространстве
уравнение и длину высоты А D ; уравнение и длину медианы СЕ; внутренний угол В; систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Y
1. Составим уравнения всех сторон треугольника, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
.
Так как точки А и С имеют одинаковую ординату, используем данное уравнение в преобразованном виде:
.
2. Найдем длину высоты А D . Используем формулу расстояния от точки до прямой:
.
Приведем уравнение ВС к общему уравнению прямой.
.
3. Составим уравнение высоты А D . Она проходит через точку А(2,1) и перпендикулярна прямой ВС, k BC =2/3. Из условия перпендикулярности k AD =-1/ k BC =-3/2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:
.
4. Для нахождения длины и уравнения медианы СЕ найдем координаты точки Е как середины отрезка АВ.
Точка Е (1 /2,2).
5. Найдем внутренний угол В. Он отсчитывается в положительном направлении от прямой ВС к прямой АВ. k BC =2/3, k AB =-2/3.
6. Составим систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Запишем уравнения сторон в виде
AB : 2 x + 3 y = 7 ,
BC : 2 x — 3 y =- 11 ,
Подставим точку с координатами (-1, 2), лежащую внутри треугольника, в левые части равенств.
2 x — 3 y =- 2-6=-8>-11,
Следовательно, система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид
Задача 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен 1,25 и гипербола проходит через точку .
Решение . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . Так как гипербола проходит через точку А (8;
), то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е.
. Так, как
= 1,25, то
= 1,25, но
, тогда
= 1,5625
или
.
Итак, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b .
Решая эту систему, находим = 16 и
= 9, следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид
.
Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы и центр окружности
.
Решение . Найдем координаты вершины параболы и координаты центра окружности. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной.
Уравнение параболы: ;
уравнение окружности: .
Следовательно, вершина параболы имеет координаты В (2;3), а центр окружности имеет координаты С (-2; 1).
Тогда уравнение искомой прямой составим по формуле
.
Получим , или
.
🔥 Видео
№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать
Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать
Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать
11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать
Математика это не ИсламСкачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать
Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задачСкачать
Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать
Длина медианы треугольникаСкачать
Уравнение прямой в пространстве. 11 класс.Скачать