Уравнение лейбензона для неустановившегося движения жидкости в пористой среде

Основы теории движения газа в пористой среде были разработаны основателем советской школы нефтегазовой гидромеханики академиком Л.С.Лейбензоном. Он впервые получил дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарси.При выводе уравнения предполагалось, что коэффициенты пористости и проницаемости не изменяются с давлением, т.е. пласт недеформируем, вязкость газа также не зависит от давления, газ совершенный, а фильтрация газа в пласте происходит при неизменных во времени температурах газа и пласта (изотермический закон).Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа воспользуемся уравнением, которое справедливо для любого сжимаемого флюида:

, (1) где коэффициенты проницаемости и вязкости постоянны.

Функция Лейбензонадля совершенного газа определяется по формуле:

Продифференцируем (2) по координатам 2 раза:

, , (3)

Преобразуя правую часть уравнения (1) и считая пористость m₀ постоянной и учитывая, что для совершенного газа ρ = ρ_атp ⁄ p_ат, (4 )получим: (5). Подставив выражения (3) и (5) в уравнение (1), получим:

(6)

Где выражение в скобке представляет собой оператор Лапласа относительно р 2 , поэтому уравнение (6) принимает вид:

(7)

Полученное дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации совершенного газа называется уравнением Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Оно справедливо для совершенного газа при выполнении закона Дарси. Так как коэффициент пористости входит в уравнение (1) в виде произведения ρm, в котором плотность газа меняется в большей степени, чем пористость, его изменением пренебрегают.

Уравнение Лейбензона (6) можно записать следующим образом, умножив правую и левую части на давление р и заменив

(8)

В такой записи под знаками производных по координатам и по времени находится одна и таже функция р 2 , но коэффициент в правой части kр/(ηm₀)-переменный, в него входит искомая функция p(x,y,z,t).

Неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния ρ = ρ_атp ⁄ [p_атz(p)] и с учетом зависимости коэффициента вязкости от давления η=η(p) и недеформируемости пористой среды (m₀=const, k=const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа: (9)

Для решения задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (6) или (8) должно быть проинтегрировано по всей области газовой залежи при заданных начальных и граничных условиях.

Так как уравнение (6) или (8) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, оно в большинстве случаев не имеет точных аналитических решений. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны.

11. и 14. Методы расчета нефтеотдачи пластов

Особое значение для познания природных факторов, влияющих на величину нефтеотдачи пластов, имеют исследования по выработанным или находящимся в длительной разработке залежам.Существующая в настоящее время методика определения коэффициентов нефтеотдачи по геолого-промысловым данным для выработанных залежей или заводненных участков требует значительного совершенствования и единого подхода к определению наиболее важных параметров, влияющих на нефтеотдачу пласта.

Современные методы исследования пластов позволяют в значительной степени уточнить величину нефтеотдачи, определяемую по геолого-промысловым данным, и познать некоторые особенности процесса вытеснения благодаря учету следующих факторов:

1) упругих сил пласта при определении нефтеотдачи пласта по заводненным участкам;

2) степени охвата залежи в процессе заводнения, обусловленной неоднородностью пласта и коллектора;

3) степени вытеснения нефти водой, обусловленной особенностями структуры норового пространства и капиллярными силами;

4) точности определения положения водо-нефтяного контакта как первоначального, так и текущего;

5) истинной величины нефтенасыщенности пород и т.п.
Коэффициент нефтеотдачи в заводненных участках (в условиях водонапорного режима) определяется отношением добытого объема нефти из залежи к первоначальному объему нефти в пределах данного участка.
В условиях водонапорного режима добыча нефти из заводненного участка обычно принимается равной суммарной добыче по залежи в целом, что справедливо только в том случае, если текущее давление в залежи равно начальному пластовому давлению. Если же текущее давление в залежи меньше начального пластового давления, то некоторое количество нефти будет добыто за счет упругих сил всей залежи, а не только за счет вытеснения нефти из заводненного участка.
При вычислении коэффициента нефтеотдачи заводненного участка необходимо эту дополнительную добычу исключать из общей добычи нефти за счет упругих сил пласта. Влияние упругих сил пласта на нефтеотдачу заводненного участка тем больше, чем меньше относительный объем заводненного участка (по отношению ко всему объему залежи).Точность определения коэффициента нефтеотдачи пластов, разрабатываемых в условиях водонапорного режима, зависит от точности определения заводненного объема залежи. Вследствие неоднородности пласта по проницаемости в залежи могут оставаться при данной системе размещения скважин не заводненные участки пласта. Отношение объема нефтесодержащей породы, охваченного заводнением (т.е. где прошла вода), ко всему объему нефтесодержащей породы в пределах всей залежи (в случае выработанной залежи) пли в пределах заводненного участка представляет собой коэффициент охвата залежи (в данном случае участка) заводнением. Поскольку коэффициент нефтеотдачи пласта можно представить в виде произведения коэффициентов вытеснения (т.е. нефтеотдачи однородного пласта по лабораторным данным) и охвата, то для выработанной залежи (или участка) можно вычислить достигнутый коэффициент охвата. Однако определенная таким образом величина коэффициента охвата не позволяет выявить невыработанные зоны пласта. Поэтому для более эффективного обнаружения не вырабатываемых участков пласта необходимо шире использовать не только давно применяемые геологические методы, но и методы гидроразведки, разработанные Н.П. Яковлевым во ВНИИ.

Точность определения коэффициента нефтеотдачи пласта зависит в значительной степени от точности определения нижней границы залежи.

При подсчете запасов нефти на ряде крупнейших месторождений Татарии и Башкирии до недавнего времени выделялась так называемая переходная зона. При опробовании переходной зоны на Ромашкинском месторождении во многих скважинах получены притоки чистой нефти или нефти с водой. Существуют совершенно различные представления о так называемой переходной зоне. Одни исследователи к переходной зоне относят значительную часть нефтяной залежи только на том основании, что содержание воды в залежи несколько увеличивается по сравнению с номинальным содержанием связанной воды.

Так, Н.Н. Сохранов отмечает, что переходная зона может иметь мощность 8-10 м, а водо-нефтяной контакт залегает на расстоянии 1,5 м от зеркала воды. Если учесть, что многие крупные платформенные залежи имеют в среднем мощность пласта всего 7-8 м, то в таком представлении почти всю залежь надо относить к переходной зоне.В.П. Савченко предлагает выделять две переходные зоны: за верхнюю границу первой переходной зоны он предлагает принимать 75% -нуюнефтенасыщенность, а кровлю второй переходной зоны проводить по 25% -ной нефтенасыщенности. Следовательно, если в залежи связанной воды будет 30%, то всю залежь надо относить к переходной зоне. Однако если нефтенасыщенность пласта составляет 15-25%, то при опробовании этой части залежи можно получить только чистую воду. Поскольку эти предложения не дают точного представления о нижней границе и объеме самой залежи и, следовательно, не обеспечивают точности подсчета запасов нефти, они не могут быть приняты.

Имеющийся керновый материал дает ясное представление о нижней границе залежи и позволяет однозначно решить вопрос о так называемой переходной зоне.

Различные результаты испытания скважин в переходной зоне свидетельствуют о том, что интерпретация физической сущности переходной зоны, основанная только на данных промысловой геофизики, субъективна и несовершенна; поэтому в одних случаях к переходной зоне относят часть нефтяной залежи, а в других к той же зоне относят водоносную часть пласта.Вдействительности же под понятием ВНК следует подразумевать поверхность раздела между нефтеносными и водоносными породами, ограничивающую нефтяную залежь снизу. Выше этой поверхности при опробовании можно получить чистую нефть или нефть с водой, ниже — только воду.Для анализа разработки крупных нефтяных залежей большое значение имеет определение текущего положения водо-нефтяного контакта. Для этого необходимо в пределах водоплавающей части крупных залежей иметь специальные неперфорированные скважины, в которых должны вестись радиометрические исследования за подъемом водо-нефтяного контакта в процессе разработки залежей.

Точность определения коэффициента нефтеотдачи пласта по геолого-промысловым данным в значительной степени зависит от знания объема пор, насыщенных нефтью. Между тем до последнего времени даже по крупнейшим нефтяным залежам страны нет ни одного достоверного определения коэффициента нефтенасыщенности по кернам, отобранным на безводных растворах. Такое положение в значительной степени отражается на точности подсчета первоначальных запасов нефти и на величинах коэффициентов нефтеотдачи пластов, определяемых по геолого-промысловым данным.Отсутствие каких бы то ни было данных о величине истинного коэффициента нефтенасыщенности пород обусловило широкое внедрение в промысловую практику геофизических методов определения нефтенасыщенности коллекторов. Так, в Башкирии, Для совершенствования методики определения нефтенасыщенности пластов и их практического внедрения в практику нефтепромыслового дела во ВНИИ при подсчете запасов нефти по Шкаповскому месторождению, Миннибаевской., Абдрахмановскойи Павловской площадям были составлены карты нефтенасыщенности по отдельным пластам и горизонту Д в целом, которые доказывают возможность широкого использования данных Геофизических методов.

По картам нефтенасыщенности пластов были выявлены зоны с различной нефтенасыщенностью. Так, например, по Миннибаевской площади минимальный предел нефтенасыщенности пород составляет 58%, максимальный — 94%, средний по всему пласту — 87%; по Абдрахмановской площади минимальная величина нефтенасыщенности достигает 62%, максимальная — 94%, средняя-85%; по Павловской площади минимальная величина нефтенасыщенности равна 66%, максимальная — 93%, средняя — 82%; по Шкаповскому месторождению получены следующие данные: по пласту Д (верхняя пачка) минимальный коэффициент нефтенасыщенности (в долях единицы) равен 0,60, максимальный — 0,92. средний — 0,84; по пласту Д минимальный коэффициент нефтенасыщенности достигает 0,61, максимальный — 0,92, средний — 0,81. Эти данные показывают, что в целом величины нефтенасыщенности пластов, определенные по промыслово-геофизическим исследованиям скважин, вполне согласуются с геологическими представлениями о степени нефтенасыщенности пород.

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)

Видео:Вывод уравнений движения идеальной жидкости - Лекция 2Скачать

Дифференциальное уравнение движения 1 страница

Лекция 2

Аналитическое и численное исследование задач связано с применением основных законов течения в дифференциальной форме. Для процессов, происходящих в нефте-газовых пластах, характерно изменение основных параметров течения во времени. Такие процессы называются неустановившимися (нестационарными). Для получения дифференциальных уравнений движения выделяется бесконечно-малый элемент и рассматриваются законы сохранения массы, количества движения и энергии за бесконечно малый промежуток времени. При этом используются экспериментальные соотношения, определяющие зависимость силы трения, пористости и т.д. от параметров течения. Число уравнений должно равняться числу неизвестных параметров, что даёт замкнутую систему.

Для подземной гидромеханики характерно изотермическое изменение параметров вследствие значительных величин удельной поверхности коллекторов и их теплоёмкости. Т.о. для таких процессов можно не рассматривать уравнение энергии и ограничиваться уравнениями балланса массы (неразрывности) и движения.

Уравнение энергии необходимо рассматривать в локальных областях призабойной зоны из-за значительных перепадов давления, проявления дроссельного эффекта, а также при применении тепловых методов повышения нефте-газоотдачи.

Для замыкания системы уравнений необходимо введение замыкающих соотношений, а именно уравнений состояния флюидов и пористой среды. Кроме того для получения однозначного решения необходимо задание граничных и начальных условий.

В большинстве случаев решение задач подземной гидродинамике требует использования численных методов и только в сильно идеализированных случаях одномерного течения удаётся получить аналитическое решение.

Рассмотрим фильтрацию флюидов в пористых средах, принимая во внимание линейный закон Дарси.

Выделим два сечения – первое на расстоянии S от начала отсчета вдоль линии тока, второе – на расстоянии DS от первого (рис. 1).

Движение флюида происходи в направлении возрастания координаты S. В сечении с координатой S обозначим приведенное давление через p*(S, t), в сечении координат S + DS – через p*(S + DS ,t), используя формулу ,

получаем

, (20) Рис. 1. Трубка тока

или перейдем к пределу при ,

, (21)

Знак (-) в правой части означает, что приведенное давление падает по движению жидкости, т.е. градиент приведенного давления отрицателен .

Формула (21) справедлива только для изотропной среды, для которой характерно постоянство проницаемости по всем направлениям в окрестности рассматриваемой точки. Однако с переходом от точки к точке пласта проницаемость может и изменяться, таким образом (модель изотропного неоднородного пласта).

Запишем уравнение (21) в проекциях на оси координат x, y, z. Если обозначить через , , единичные векторы вдоль осей координат, вектор скорости фильтрации можно записать в виде

, (22)

, (23)

, (24)

или в проекциях на оси координат

, , , (25)

если ось z направлена вверх и дифференциальные уравнения движения примут вид

, , , (26)

в векторной форме . (27)

В дифференциальной форме двучленный закон записывается в виде , (28)

где S – координата, взятая вдоль линии тока по движению жидкости.

В векторной форме двучленный закон выведен из теории размерностей, в виде

(29)

В прекциях на оси координат имеем

, (30)

,

.

При фильтрации неньютоновских вязкопластичных жидкостей, а также при фильтрации с очень малыми скоростями имеет место закон фильтрации (5), который отличается от закона Дарси наличием предельного градиента , по достижении которого начинается движение. В векторной форме закон фильтрации с предельным градиентом выведен из теории размерностей и имеет вид . (31)

; (32)

в проекции на оси координат:

; (33)

;

.

Вывод дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации однородного флюида по закону Дарси. Функция Л. С. Лейбензона.

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации используем уравнение неразрывности

(34)

Сумма в скобках в левой части уравнения (34) представляет собой дивергенцию вектора скорости фильтрации и кратко записывается таким образом:

, (35)

поэтому уравнение (34) можно записать в виде:

. (36)

Уравнение (34) (или 36) справедливо только в том случае, если внутри объема нет источников или стоков, выделяющих или поглощающих флюид, не происходит химических реакций, фазовых превращений и т.д.

И уравнения движения

(37)

В уравнении (11) не будем учитывать силу тяжести.

Введем функцию (функцию Лейбензона), тогда дифференциал этой функции равен:

, (38)

, (39)

т. к. функция Лейбензона и давление зависит от координат x, y, z и времени t, то (38) можно записать в развернутом виде, используя понятие полного дифференциала функции от многих переменных:

.

Сравнивая коэффициенты при x, y, z получаем:

, , , (40)

Запишем выражение для составляющих массовой скорости фильтрации, умножив правую и левую части уравнения (37) на плотность и используя соотношения (40):

, (41)

Подставим выражение (41) в уравнение неразрывности (34), получим:

(42)

, (43)

где — оператор Лапласа от функции Лейбензона (39).

Уравнение (42) справедливо для неустановившегося движения однородного флюида в однородной пористой среде по закону Дарси.

При установившейся фильтрации и будет удовлетворяться уравнение Лапласа для функции Лейбензона:

(44)

При k = const, m = const, и , тогда можно ввести функцию Лейбензона в виде:

. (45)

Тогда дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации примет вид:

. (46)

Выразим функцию Лейбензона (45) через давление для различных флюидов – несжимаемой жидкости, упругой жидкости, совершенного газа и реального газа. Для этого в (45) подставим соответствующие выражения для плотности и проинтегрируем.

Для несжимаемой жидкости rо = const, тогда

, (47)

т. е. функция Лейбензона пропорциональна давлению.

Для упругой жидкости:

, (48)

т. е. имеем тот же вид, что и для несжимаемой жидкости.

Для совершенного газа с уравнением состояния

, (49)

, (50)

т. е. функция Лейбензона пропорциональна квадрату давления.

Для реального газа с уравнением состояния

, (51)

, (52)

т. е. функция Лейбензона записывается в виде интеграла.

Т. к. реальные свойства газа проявляются при высоких пластовых давлениях, то в этом случае оказывается существенной зависимость вязкости от давления и нужно использовать функцию Лейбензона в виде (39).

1. Установившиеся потоки флюида в пористой среде.

Одномерным называется фильтрационный поток жидкости или газа, в котором скорость фильтрации, давление и другие характеристики течения являются функциями только одной координаты, отсчитываемой вдоль линии тока.

1.Прямолинейно-параллельный поток. Траектории всех частиц жидкости — параллельные прямые, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока равны между собой, поверхности равных потенциалов (эквипотенциальные поверхности) и поверхности равных скоростей (изотахи) являются плоскими поверхностями перпендикулярными траекториям. Законы движения вдоль всех траекторий такого фильтрационного потока идентичны, а потому достаточно изучить движение вдоль одной из траекторий, которую можно принять за ось координат — осьх.

а) Пласт (рис.3.1) имеет в плане полосообразную форму шириной B и длиной L, толщина пласта h постоянна, граничный контур непроницаем и непроницаемы кровля и подошва пласта. Батарея эксплуатационных скважин расположена параллельно начальному контуру нефтеносности. Приближение тем больше, чем меньше расстояние между скважинами и если заменить батарею сплошной прямолинейной выработкой — галереей, то движение жидкости к галерее будет строго прямолинейно-параллельным.

б) Поток между круговыми батареями нагнетательных и эксплуатационных скважин в случае больших радиусов батарей (угол схождения векторов скорости бесконечно мал). При этом толщина пласта постоянна, а его кровля и подошва непроницаемы.

в) в лабораторных условиях при течении через цилиндрический керн или прямую трубу постоянного сечения, заполненную пористой средой.

2. Плоскорадиальный поток. Траектории всех частиц жидкости — прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру скважины, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока параллельны и равны между собой; изотахи и эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют цилиндрические окружности с осью, совпадающей с осью скважины. Схемы линий тока в любой горизонтальной плоскости потока будут идентичными и для характеристики потока достаточно рассмотреть движение жидкости в одной горизонтальной плоскости.

а) Горизонтальный пласт постоянной толщины (h) и неограниченной протяженности, подошва и кровля пласта непроницаемы. Пласт вскрыт единственной гидродинамически совершенной скважиной (рис. 3.2), т.е. вскрыт на всю толщину и забой полностью открыт. Для эксплуатационной скважины поток — радиально-сходящий, а для нагнетательной — радиально-расходящий. Плоско-радиальным потоком будет занята вся зона от стенки скважины до контура питания.

б) Гидродинамически- несовершенная скважина — вблизи скважины линии тока искривляются и поток можно считать плоско-радиальным только при некотором удалении от скважины.

в) Круговая батарея эксплуатационных скважин — поток плоско-радиален на некотором удалении, т.к. жидкость движется как бы к укрупнённой скважине радиуса, равного радиусу окружности батареи.

3. Радиально-сферический поток.Траектории всех частиц жидкости — прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру полусферического забоя; изотахи и эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют сферические поверхности. Скорость фильтрации в любой точке потока является функцией только расстояния этой точки от центра забоя. Следовательно, этот вид фильтрационного потока также является одномерным.

Такой поток может реализовываться, когда скважина вскрывает только плоскую горизонтальную, непроницаемую кровлю пласта (рис.3.3). Пласт при этом должен быть неограниченной толщины, а забой иметь полусферическую форму. Приближение к данному виду потока тем лучше, чем глубина вскрытия меньше толщины пласта.

Описанные три вида одномерного потока играют большую роль при решении многих задач нефте-газопромысловой практики. Они лежат в основе ряда исследований закономерностей течения жидкости в пласте в зависимости от принятой системы разработки или от конструктивных особенностей скважин. Естественно, моделируя каждый из трёх видов одномерного потока, мы прибегаем к некоторой схематизации реальных пластов и течений жидкости. Тем не менее рассмотренные схемы не только воспроизводят хотя и приближенно простейшие случаи течения жидкости в реальном пласте, но и помогают изучать более сложные виды потоков пластовой жидкости в тех случаях, в которых сложный фильтрационный поток удобно представить себе состоящим из простейших видов потока.

К числу сложных потоков можно отнести: плоский фильтрационный поток в случае, когда число скважин не менее двух; многофазные течения и т.д.

Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении дебита (расхода), давления, градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока, а также в установлении закона движения частиц жидкости (или газа) вдоль их траекторий и в определении средневзвешенного по объёму порового пространства пластового давления.

При условии вытеснения флюида из пласта или его нагнетания в пласт через галерею или скважину условимся принимать за координату произвольной точки пласта расстояние r до этой точки от:

1) галереи (для прямолинейно- параллельного потока);

2) центра контура скважины в основной плоскости (плоскости подошвы пласта) фильтрации (для плоско-радиального потока);

3) центра полусферического забоя скважины (для сферически-радиального потока).

2.Характеристики одномерных фильтрационных потоков

жидкости и газов.

Для расчета перечисленных характеристик одномерных фильтрационных потоков жидкости и газа можно использовать два подхода. Первый из них – вывод дифференциальных уравнений и их решение отдельно для прямолинейно-параллельного, плоскорадиального и радиально-сферического потоков жидкости и газа. Второй – вывод обобщенного уравнения одномерного течения флюида в недеформируемой трубке тока переменного сечения с использованием функции Лейбензона и получение из него конкретных формул применительно к различным схемам фильтрационных потоков. Второй подход более эффективен, позволяет исходить из обобщенных характеристик течения, он был использован и при выводе следующих характеристик:

Прямолинейно – параллельный фильтрационный поток.

Площадь поперечного сечения ; на контуре питания x₁=0, P₁=P_K, на галерее x₂=L, P₂=P_Г;

Схема прямолинейно параллельного течения в пласте

(53, 54, 55)

Плоскорадиальный фильтрационный поток

От координаты S переходим к r, отсчитываемой от центра скважины. Для добывающей скважины , , площадь фильтрционной поверхности — боковая поверхность цилиндра; на контуре питания r1 = Rk ,P₂=P_K на забое скважины r 2 = r c ,P₂=P_C .

Схема плоско – радиального потока в круговом пласте. (56)

, (57)

(58)

Радиально – сферический фильтрационный поток.

В этом случае для добывающей скважины с полусферическим забоем имеем: , , — площадь поверхности полусферы с радиусом r, r 1 = Rk , P₁=P_K, r₂=r_C, P₂=P_C.

(59)

; (60)

. (61)

3. Анализ одномерных потоков несжимаемой жидкости и газа.

Рассмотрим конкретные модели флюидов – несжимаемую жидкость и совершенный газ. Выпишем для них формулы для расчета основных характеристик одномерных фильтрационных потоков. Сопоставление этих формул позволит оценить эффект сжимаемости при прочих одинаковых условиях.

Прямолинейно – параллельный поток несжимаемой жидкости и совершенного газа

Подставим в основные расчетные формулы (53), (54), (55) выражение функции Лейбензона (для несжимаемой жидкости) и (для совершенного газа ) , а также на контуре и на галерее (аналогично и для совершенного газа)

Расчетные формулы для прямолинейно-параллельного потока несжимаемой жидкости и совершенного газа

Характеристика	Несжимаемая жидкость	Совершенный газ
Функция Лейбензона
Распределение давления по пласту, 0 £ x £ L	(62)	(63)
Массовый расход Qm	(64)	(65)
Массовая скорость фильтрации	(66)	(67)
Объемный расход Q	(68)
Скорость Фильтрации (объемная)	(71)	(72)
Средневзвешенное давление	(73)	(74)
Время движения отмеченных частиц t	(75)	(76)
Время продви – жения до галереи Т	(77)	(78)

Массовые расходы и массовые скорости фильтрации для обоих флюидов постоянны вдоль пласта; объемный расход и объемная скорость фильтрации жидкости вдоль пласта не меняются, однако для газа эти характеристики зависят от координаты, возрастая от входа к выходу, что является следствием расширения газа при снижении давления.

Плоскорадиальный фильтрационный поток

Характеристика	Несжимаемая жидкость	Совершенный газ
Распределение давления по пласту	(79) (81)	(80) (82)
Массовый расход Qm	(83)	(84)
Массовая скорость фильтрации rW	(85)	(86)
Объемный расход Q	(формула Дюпюи) (87)	(88) (89)
Объемная скорость фильтрации	(90)	(91)
Средневзвешенное давление	(92)	(93)
Время движения отмеченных частиц	(94)	________________
Время движения частицы от контура до забоя Т	(95)	(96)

Рис.2 Кривые распределения давления в плоскорадиальном потоке:

1 – для жидкости, 2 – для газа.

Для несжимаемой жидкости давление меняется вдоль координаты r по логарифмическому закону (Рис. 2, кривая 1). Вращение кривой p(r) в пространстве вокруг оси скважины образует поверхность, называемую воронкой депрессии.

Зависимость дебита от перепада давления называется индикаторной линией. В потоке жидкости по закону Дарси индикаторная линя – прямая (Рис. 3).

Вид индикаторной линии не зависит от геометрии потока и определяется только законом фильтрации. Отношение массового дебита скважины Qm к перепаду давления Dр называется коэффициентом продуктивности скважины k. Рис. 3.

Видео:Дифференциальное уравнение Эйлера. Основное уравнение гидростатикиСкачать

Упругий режим пласта и его характерные особенности

VII. НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Упругий режим пласта и его характерные особенности

В практике разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений в пластах часто возникают неустановившиеся процессы, связанные с пуском или остановкой скважины, с изменением темпов отбора флюида из скважины. Характер этих процессов проявляется в перераспределении пластового давления, в изменениях во времени скоростей фильтрационных потоков, дебитов скважин и т.д.

Особенности этих процессов зависят от упругих свойств пластов и насыщающих их жидкостей, т.е. основным видом пластовой энергии в этих процессах является энергия упругой деформации жидкостей (нефти и воды) и материала пласта (горной породы). При этом предполагается, что фильтрационный поток однофазный, т.е. давление в любой точке потока выше давления насыщения.

При снижении пластового давления объем сжатой жидкости увеличивается, а объем порового пространства сокращается за счет расширения материала пласта. Все это способствует вытеснению жидкости из пласта в скважину.

Хотя коэффициенты объемной упругой деформации жидкости и горной породы малы, но зато очень велики бывают объемы пласта и насыщающих их жидкостей, поэтому объемы жидкости, извлекаемой из пласта за счет упругости пласта и жидкости, могут быть весьма значительными.

Характерная особенность проявления упругого режима в процессе разработки нефтяных месторождений – длительность процесса перераспределения пластового давления после начала работы скважины или изменения темпа отбора жидкости из скважины. Это связано с тем, что при фильтрации вязкой жидкости в пласте возникают очень большие силы сопротивления. Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости пласта К, и тем медленнее, чем больше коэффициент вязкости жидкости m и коэффициенты объемной упругости жидкости b_Ж и пласта (среды) b_С.

Теория упругого режима была начата работами Стрижова И.Н., М. Маскета, Р.Шилсюиза, У.Херста. Однако наиболее строго основы теории упругого режима были разработаны в нашей стране В.Н Щелкачевым. Им были впервые учтены влияние объемной упругости пористой среды и впервые решены фундаментальные задачи теории упругого режима для практических целей разработки нефтяных месторождений.

Обратимся к общему дифференциальному уравнению (6.8) неустановившегося движения сжимаемой жидкости по закону Дарси в деформируемой пористой среде; при этом принимаем k=const и m=const, т.е.

, (7.1)

— функция Лейбензона (7.2)

Используя уравнения состояния упругой жидкости (2.9) и упругой пористой среды (2.23)

;

,

находим произведение (mr) для (7.1)

.

Последним слагаемым (ввиду его малости по сравнению с первыми слагаемыми) пренебрегаем.

,

.

Обозначим (7.3)

и называем — коэффициентом упругоемкости пласта.

.

Дифференцируя по времени, находим

. (7.4)

В свою очередь функция Лейбензона (7.2) принимает вид (6.15) с учетом (2.9)

,

. (7.5)

Дифференцируя (7.5) дважды по координатам и складывая, получим

. (7.8)

Подставляя (7.4) и (7.8) в исходное диф. уравнение (7.1), будем иметь

,

.

, (7.9)

тогда окончательно получим

;

. (7.10)

Уравнение (7.10) является основным дифференциальным уравнением упругого режима фильтрации.

Уравнение вида (7.10) в математической физике известно под названием уравнения теплопроводности. По аналогии с коэффициентом температуропроводности, который характеризует скорость перераспределения температуры в проводниках, коэффициент в теории упругого режима назван В.Н.Щелкачевым коэффициентом пьезопроводности, характеризующий скорость перераспределения давления в пласте.

Размерность можно установить из (7.9)

,

где L,M,T – соответственно размерность длины, массы и времени.

Наиболее встречающиеся в нефтепромысловой практике значения =(0,1¸5) м 2 /с.

Уравнение (7.10) позволяет решать ряд задач неустановившегося движения жидкости при упругом режиме. В частности при соответствующих начальных и граничных условиях находится закон распределения давления в пласте Р=Р(x,y,z,t).

🎥 Видео

Теорема Эйлера о движении жидкостиСкачать

Закон БернуллиСкачать

Потери напора при движении жидкостиСкачать

Урок 132. Основные понятия гидродинамики. Уравнение непрерывностиСкачать

Вязкость. Ламинарное и турбулентное течения жидкостей. 10 класс.Скачать

Закон БернуллиСкачать

Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать

14. Движение идеальной жидкостиСкачать

Особенности фильтрации в трещиноватых и трещиновато-пористых средах {подземная гидрогазодинамика}Скачать

Галилео. Эксперимент. Закон БернуллиСкачать

Закон Бернулли и движение по инерцииСкачать

Превращение энергии при колебаниях. Уравнение колебательного движения. 1 часть. 9 класс.Скачать

Эффект Вентури и трубка Пито (видео 16) | Жидкости | ФизикаСкачать

Уравнение движенияСкачать

Уравнение Бернулли для потока жидкостиСкачать

Вязкость и течение Пуазёйля (видео 14) | Жидкости | ФизикаСкачать

Уравнение Бернулли гидравликаСкачать

Основы гидродинамики и аэродинамики | уравнение БернуллиСкачать