Уравнение лапласа в сферических координатах (8 видео)

Боковая панель

Полное и подробное, насколько это возможно, решение уравнения Лапласа в сферических координатах, приводящее к шаровым и сферическим функциям. Всё самое интересное на, хоть и длинной, но одной странице. Много математики — много веселья!

Эту запись можно посмотреть в nbviewer.

Содержание

Уравнение Лапласа в сферических координатах
Разделение переменных
Уравнение гармонических колебаний
Присоединённое уравнение Лежандра
Уравнение Коши-Эйлера
Шаровые функции
Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа. Понятие о криволинейных координатах
Скалярное поле
Цилиндрические координаты
📺 Видео

Видео:6.1 Уравнение Лапласа в полярных координатах. Принцип решения и постановка задачСкачать

Уравнение Лапласа в сферических координатах

Уравнение Лапласа в сферических координатах имеет вид

где $ r, vartheta = 90^circ — varphi, lambda $ — радиус, полярное расстояние (дополнение широты $varphi$ до $90^circ$), долгота соответственно.

Решить уравнение Лапласа это значит найти конкретный вид гармонической функции $f left( r, vartheta, lambda right)$, удовлетворяющей ему.

Прежде, чем переходить к решению, заметим важное и полезное свойство уравнения Лапласа: оно линейно. Это означает, что если есть два решения этого уравнения $f_1$ и $f_2$, то есть

$$ Delta f_1 = 0,qquad Delta f_2 = 0, $$

то их линейная комбинация

$$ f = alpha f_1 + beta f_2 $$

тоже является решением $Delta f = 0$.

Видео:Оператор Лапласа в полярных координатахСкачать

Разделение переменных

Будем искать решение уравнения Лапласа методом разделения переменных, суть которого в следующем. Представим искомую функцию $f$ трёх переменных $r, vartheta, lambda$ как произведение трёх других функций

begin f left(r, vartheta, lambda right) = R(r) cdot Theta left( vartheta right) cdot Lambda left( lambda right), end

каждая из которых теперь зависит только от одной переменной: $R$ есть функция только от $r$, $Theta$ есть функция только от $vartheta$, а $Lambda$ есть функция только от $lambda$. Стоит заметить, что не всякая система координат позволяет решить уравнение Лапласа методом разделения переменных, например этого нельзя сделать в геодезических координатах $H, B, L$.

Итак, делаем подстановку

Замечаем, что частные производные заменены на полные дифференциалы, поскольку функции $R, Theta, Lambda$ имеют только одну переменную. Разделим обе части уравнения на $RThetaLambda$ и умножим на $r^2$:

Первый член уравнения зависит только от $r$, а вся оставшаяся часть зависит только от угловых величин $vartheta, lambda$. Для того, чтобы равенство выполнялось необходимо, чтобы обе части равнялись некоторой постоянной $alpha$:

Первое уравнение будем называть радиальной частью уравнения Лапласа, поскольку она зависит только от $r$. Оставшуюся часть умножим на $sin^$ и запишем уравнение

которое является угловой частью уравнения Лапласа и называется дифференциальным уравнением сферических функций, поскольку, как увидим позже, именно они будут его решением.

И снова становится очевидным, что для сохранения равенства в полученном уравнении необходимо, чтобы обе части равнялись некоторой постоянной $beta$:

Таким образом, уравнение Лапласа, дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, разбивается на три обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка:

$$ begin r^2 frac <d^R><d r^> + 2 r frac — alpha R &= 0, label tag\ frac frac <d^Theta><d vartheta^> + frac< tan> frac- alpha Theta sin^- dfrac<sin> &= 0, label tag \ frac<d^Lambda><d lambda^> + beta Lambda &= 0. label tag end $$ Нам требуется теперь решить каждое из уравнений в отдельности, а заодно и определить вид постоянных $alpha$ и $beta$.

Отметим, что угловая часть уравнения Лапласа $Y (vartheta, lambda) = Theta (vartheta) Lambda (lambda)$ зависит только от полярного расстояния $vartheta$ и долготы $lambda$, то есть явялется функцией, заданной на сфере, следовательно решение этой части должно быть периодическим: $pi$ для широтной части и $2pi$ для долготной части. Только при этих условиях функция $Y (vartheta, lambda)$ может быть однозначно заданной на сфере.

Видео:Урок 5. Решение уравнения Лапласа в сферических координатахСкачать

Уравнение гармонических колебаний

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

называется уравнением гармонических (или свободных) колебаний.

Оно имеет два линейно независимых решения при $beta > 0$

что легко проверяется подстановкой.

Как уже было сказано выше, для того, чтобы функция $Y left( vartheta, lambda right)$ была однозначной на сфере, необходимо, чтобы функция $Lambda$ имела период $2pi$. Из последнего уравнения нетрудно установить, что такое возможно только при $beta = m^2$, $m = 0, 1, 2, …$ Таким образом, решения уравнения гармонических колебаний принимают вид

линейная комбинация которых

является общим решением дифференциального уравнения. Здесь $C_1$ и $C_2$ — произвольные константы.

Видео:Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор ЛапласаСкачать

Присоединённое уравнение Лежандра

Перепишем второе уравнение, подставив в него значение $beta = m^2$:

И подставляя всё это, получим уравнение без тригонометрических функций в явном виде:

$$ left( 1 — t^2 right) dfrac

— 2 t dfrac

+ left[ alpha — dfrac right] P = 0. $$

Сначала установим некоторые свойства решения этого уравнения.

Во-первых, поскольку $t = cos$, то $-1 leq t leq +1$. Таким образом, областью определения $P (t)$ является интервал $[-1, 1]$.
Во-вторых, поскольку $0 leq vartheta leq pi$ и $-1 leq t leq +1$, то по теорема Вейерштрасса функция $P (t)$ является ограниченной и должна принимать некоторые конечные значения на этом интервале:

$$ left|P (-1)right| Сферические функции

Пользуясь полученными нами решениями уравнения гармонических колебаний и присоединённого уравнения Лежандра, мы можем записать теперь решение дифференциального уравнения для сферических функций (или угловой части уравнения Лапласа) в виде:

$$ Y_n^m left( vartheta, lambda right) = P_n^m (cos) cos ,qquad Y_n^m left( vartheta, lambda right) = P_n^m (cos) sin ,qquad $$

Функции такого вида называют элементарными сферическими функциями степени $n$ и порядка $m$. Видно, что степень и порядок элементарной сферической функции определяется степенью и порядком присоединённой функции Лежандра.

Поскольку дифференциальное уравнение для сферических функций является линейным, то и линейная комбинация его решений также будет решением. Эту комбинацию можно записать как

где $A_n^m$ и $B_n^m$ являются произвольными константами, которые ещё называют гармоническими коэффициентами или просто гармониками. Мы получили общее выражение для сферической функции степени $n$.

Видео:Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 5. Уравнение Лапласа в полярных коорд. 1Скачать

Уравнение Коши-Эйлера

Наконец, найдём решение радиальной части уравнения Лапласа. Запишем её снова:

begin r^2 frac + 2 rfrac — alpha R = 0. end

Это уравнение Коши—Эйлера — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Будем искать решение в виде степенной функции $R = r^n$, тогда

Подставляем в дифференциальное уравнение и после тривиальных преобразований, получаем

begin n(n — 1) r^n + 2nr^n — alpha r^n = 0. end

Сокращаем на $r^n$, получаем характеристическое уравнение

begin n^2 + n — alpha = 0, end

два корня которого легко находим из решения квадратного уравнения

откуда, возвращаясь к нашей подстановке $R = r^n$, получаем два линейно независимых решения

Теперь, пользуясь значением для $alpha = n (n + 1)$, которое мы установили выше при рассмотрении присоединённого уравнения Лежандра, находим решения

линейная комбинация которых

по свойству линейных ОДУ второго порядка, является общим решением дифференциального уравнения. Здесь $C_1, C_2$ — произвольные постоянные.

Таким образом, мы получили решение радиальной (зависимой только от $r$) части уравнения Лапласа.

Видео:Оператор Лапласа в криволинейных координатахСкачать

Шаровые функции

Итак, мы решили все обыкновенные дифференциальные уравнения, возникшие после разделения переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. Осталось найти окончательный вид решения. Напоминаю, что искали мы его в виде

begin f left(r, vartheta, lambda right) = R(r) cdot Theta left( vartheta right) cdot Lambda left( lambda right) = R(r) cdot Y left( vartheta, lambda right). end

Подставляем сюда выражения eqref для $R$ и получаем два решения вида

begin f left(r, vartheta, lambda right) = r^ Y (vartheta, lambda),quad f left(r, vartheta, lambda right) = r^ Y (vartheta, lambda), end

которые называются шаровыми функциями (solid spherical harmonics), а функции $Y (vartheta, lambda)$ — сферическими (spherical harmonics). Таким образом, последние два выражения устанавливают связь шаровых и сферических функций.

Используя общее выражение для сферической функции степени $n$ eqref, шаровые функции можно записать так

begin f left(r, vartheta, lambda right) &= r^ sumlimits_^n (A_n^m cos + B_n^m sin) P_n^m (cos),\ f left(r, vartheta, lambda right) &= dfrac<r^> sumlimits_^n (A_n^m cos + B_n^m sin) P_n^m (cos). end

Вспоминая свойство линейности, о котором мы упоминали в самом начале, можно записать общее решение уравнения Лапласа, как линейную комбинацию частных решений в виде ряда по степеням $n$:

begin f left(r, vartheta, lambda right) &= sumlimits_^ r^ sumlimits_^n (A_n^m cos + B_n^m sin) P_n^m (cos),\ f left(r, vartheta, lambda right) &= sumlimits_^ dfrac<r^> sumlimits_^n (A_n^m cos + B_n^m sin) P_n^m (cos). end

Эти выражения называются рядами шаровых функций, а при $r = 1$ они обратятся в ряды сферических функций или ряды Лапласа.

Ряды шаровых функций и являются решением уравнения Лапласа в сферических координатах.

Для геодезии, изучающей внешнее гравитационное поле, куда более важными являются шаровые функции вида $f = r^ Y_n (vartheta, lambda)$, через которые может быть выражен потенциал притяжения вне притягивающих масс, поскольку $r$ здесь, как и у потенциала притяжения стоит в знаменателе. Вообще говоря, любая гармоническая вне сферы функция $f_e$ ($e$, external) может быть разложена в ряд

$$ f_e = sumlimits_^ r^ Y_n (vartheta, lambda) $$,

а любая гармоническая внутри сферы функция $f_i$ ($i$, internal) может быть разложена в ряд

$$ f_i = sumlimits_^ r^n Y_n (vartheta, lambda).$$

Видео:Оператор момента в сферических координатахСкачать

Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа. Понятие о криволинейных координатах

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

рассмотрели три основные операции векторного анализа: вычисление gradtx для скалярного поля а и rot а для векторного поля а = а(ж, у, г). Эти операции могут быть записаны в более простом виде с помощью символического оператора V («набла»): Оператор V (оператор Гамильтона) обладает как дифференциальными, так и вектор- ными свойствами.

Формальное умножение, например, умножение ^ на функцию и(х, у), будем понимать как частное дифференцирование: В рамках векторной алгебры формальные операции над оператором V будем проводить так, как если бы он был вектором. Используя этот формализм, получим следующие основные формулы: 1.

Если — скалярная дифференцируемая функция, то по правилу умножения вектора на скаляр получим где P, Q, R — дифференцируемые функции, то по формуле для нахождения скалярного произведения получим Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты 3.

Вычисляя векторное произведение [V, а], получим Для постоянной функции и = с получим а для постоянного вектора с будем иметь Из распределительного свойства для скалярного и векторного произведений получаем Замечание 1. Формулы (5) и (6) можно трактовать тамке как проявление дифференциальных свойств оператора «набла» (V — линейный дифференциальный оператор). Условились считал., что оператор V действует на все величины, написанные за ним.

В этом смысле, например, — скалярный дифференциальный оператор.

Применяя оператор V к произведению каких-либо величин, надо иметь в виду обычное правило дифференцирования произведения. Пример 1. Доказать, что По формуле (2) с учетом замечания 1 получаем или Чтобы отметить тот факт, что «набл а» не действует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом с («const»), который в окончательном результате опускается. Пример 2.

Пусть u(xty,z) — скалярная дифференцируемая функция, а(х,у,г) — векторная дифференцируемая функция. Доказать, что 4 Перепишем левую часть (8) в символическом виде Учитывая дифференциальный характер оператора V, получаем . Так как ие — постоянный скаляр, то его можно вынести за знак скалярного произведения, так что а (на последнем шаге мы опустили индекс е). В выражении (V, иас) оператор V действует только на скалярную функцию и, поэтому В итоге получаем Замечай ие 2.

Используя формализм действа с оператором V как с вектором, надо помнить, что V не является обычным вектором — он не им«ет ни длины, ни направления, так что. например, вектор [V,aJ не будет, вообще говоря, перпендикулярным вектору а (впрочем, для плоского поля вектор перпендикулярен плоскости ,а значит, и вектору а).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Не имеет смысла и понятие коллинеарности по отношению к символическому вектору V. Например, выражение , где V и ^ — скалярные функции, формально напоминает векторное произведение двух коллинеарных векторов, которое всегда равно нулю. Однако вобшем случае это не имеет места. В самом деле, вектор = grad направлен по нормали к поверхности уровня , а вектор Vy = grad t> определяет нормаль к поверхности уровня i> = const.

Вобшем случае эти нормали не обязаны

быть коллннеарнымн (рис. 40). С другой стороны, в любом дифференцируемом скалярном поле ) имеем Эта примеры показывают, что с оператором «набла» нужно обращаться с большой осторожностью и при отсутствии уверенности в полученном результате его следует проверить аналитическими методами. §12. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа Дифференциальные операции второго порядка получаются в результате двукратного применения оператора V. 1.

Скалярное поле

В этом поле оператор V порождает векторное поле В векторном поле grad и можно определить две операции: что приводит к скалярному полю, и что приводит к векторному полю. 2. Пусть задано векторное поле . Тогда оператор V порождает в нем скалярное поле В скалярном поле div а оператор V порождает векторное поле 3.

В векторном поле оператор V порождает также векторное поле Применяя к этому полю снова оператор V, получим: а) скалярное поле Выберем в пространстве прямоугольнуюдекартову систему координат Oxyz и рассмотрим каждую из формул (1)-(5) более подробно. 1. Предполагая, что функция имеет непрерывные вторые частные производные , получим Символ называется оператором Лапласа, или лапласианом. Его можно представить как скалярное произведение оператора Гамильтона V на самого себя,т. е. Оператор Д (дельта) играет важную роль в математической физике.

Уравнение называется уравнением Лапласа. С его помощью описывается, например, стационарное распределение тепла. Скалярное поле и, удовлетворяющее условию , называется лапла-совым или гармоническим полем. Например, скалярное поле является гармоническим во воем трехмерном пространстве: из того, что получаем Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты 2.

Пусть функция и имеет непрерывные частные производные второго порядка включительно. Тогда В самом деле, действуя формально, получим ибо как векторное произведение двух одинаковых «векторов». Tor же результат можно получить, используя выражения градиента и ротора в декартовых координатах Пусть задано векторное поле координаты которого P, Q, R имеют непрерывные частные производные второго порядка. Тогда получим 4. При тех же условиях, что и в пункте 3, имеем Это соотношение уже было доказано ранее путем непосредственных вычислений.

Здесь мы приведем его формальное доказательство, используя известную формулу из векторной алгебры Имеем как векторное произведение двух одинаковых «векторов». 5. Покажем, наконец, что при тех же условиях, что и ранее, Так как то, полагая в формуле для двойного векторного произведения получим Поэтому окончательно будем иметь где grad diva выражается по формуле (8), а Да для вектора надо понимать так:. В заключение приведем таблицу дифференциальных операций второго порядка. Скалярное поле Векторное поле Заштрихованные прямоугольники означают, что соответствующая операция не имеет смысла (например, градиент от. § 13.

Понятие о криволинейных координатах Во многих задачах бывает удобно определять положение точки пространства не декартовыми координатами ), а тремя другими числами (qh 42,4з), более естественно связанными с рассматриваемой части ой задачей. Если задано правило, согласно которому каждой точке М пространства отвечает определенная тройка чисел и, обратно, каждой такой тройке чисел отвечает единственная точка М, то говорят, что в пространстве задана криволинейная координатная система.

В этом случае величины ф, называют криволинейными координатами точки М. Координатными поверхностями в системе криволинейных координат qtqi, Яз называются поверхности На координатных поверхностях одна из координат сохраняет постоянное значение. Линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными линиями. В качестве примеров криволинейных координат рассмотрим цилиндрические и сферические координаты. 13.1.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах положение точки М в пространстве определяется тремя координатами: (р = const — полуплоскости, примыкающие к оси Oz z = const — плоскости, перпендикулярные оси Oz (рис. 41). Координатные линии: 1) линии (р) — лучи, перпендикулярные оси Oz и имеющие начало на этой оси, т.е. линии пересечения координатных поверхностей у? = const, z = const; 2) линии (ip) — окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси Oz 3) линии (z) — прямые, параллельные оси Связь декартовых координат точки с цилиндрическими координатами ( задается формулами 13.2.

Сферические координаты В сферических координатах положение точки Af в пространстве определяется следующими координатами: Координатные поверхности (рис.42): г = const — сферы с центром в точке О; • в = const — круговые полуконусы с осью полуплоскости, примыкающие к оси Oz. Координатные линии: 1) линии (г) — лучи, выходящие източки О; 2) линии (в) — меридианы на сфере; 3) линии — параллели на сфере. Связь декартовых координат (х, у, z) точки М с ее сферическими координатами задается формулами.

Введем единичные векторы (орты), направленные по касательным к коор-динатнымлиниям вточке М всторонувозрастанияпеременных qx, q2, соответствен но. Определение. Система криволинейных координат называется ортогональной, если в каждой точке М орты попарно ортогональны. В такой системе ортогональны и координатные линии, и координатные поверхности. Примерами ортогональных криволинейных координат служатсистемы цилиндрических и сферических координат.

Мы ограничимся рассмотрением только ортогональных систем координат. Пусть — радиус-вектор точки М — Тогда можно показать, что Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты Аналогично для сферических координат имеем Величины являются дифференциалами длин дуг соответс твующих координатных линий.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.