Уравнение лапласа для оболочки вращения

Рисунок 3.1.3 – Эпюра распределения гидростатического давления для горизонтального аппарата внутренней поверхностей оболочки

Меридианаминазываются кривые, образованные пересечением срединной поверхности плоскостями, проходящими через ось симметрии оболочки (рисунок 3.1.4).

Рисунок 3.1.4 – Срединная поверхность

Параллелями(параллельными кругами или кольцевыми сечениями) называются окружности, образованные пересечением срединной поверхности плоскостью, перпендикулярной оси оболочки.

Полюсом оболочки называется точка пересечения срединной поверхности с осью (рисунок 3.1.5).

Рисунок 3.1.5 – Основные параметры оболочки

Параметры r_m, r_t называются радиусами кривизны соответственно меридиана и параллельного круга.

Напряженное состояние материала упругих осесимметричных оболочек вращения

При расчете оболочек вращения обычно определяют напряжения от действия внутреннего давления и толщину стенки. При этом рассматривают бесконечно малый элемент “D”, выделенный из оболочки двумя меридиональными и двумя кольцевыми сечениями (рисунок 3.1.6).

Рисунок 3.1.6 – Элемент оболочки

r_m – радиус кривизны меридиана; r_t – радиус кривизны параллельного круга.

Как известно из курса сопротивление материалов, в самом общем случае от действия внешних нагрузок по каждой из граней могут действовать шесть внутренних силовых факторов (ВСФ):

– продольное (нормальное) усилие (сила) N_z;

– изгибающие M_x, M_y и крутящий M_z моменты,

от которых возникают нормальные s (от M_x, M_y, N_z ) и касательные t (от Q _x, Q_y, M_z) напряжения. На рисунке 3.1.7 показаны внутренние силовые факторы только по одному из сечений – меридиональному, аналогично можно было бы изобразить внутренние силовые факторы и по остальным трем граням.

Какие внутренние силовые факторы возникают в оболочке под действием внутреннего давления Р_внутр?

Для решения этой задачи рассмотрим пример – воздушный шарик, находящийся под действием газового давления.

Рисунок 3.1.7 – Внутренние силовые факторы, действующие на выделенный

T, U– тангенциальные и меридиональные растягивающие усилия;

M_t, M_m – тангенциальный и меридиональный изгибающий моменты;

P – усилие от давления.

Изобразим деформации стенки сферы (рисунке 3.1.8).

Рисунок 3.1.8 – Деформации сферической оболочки

Допустим, надули шарик до давления P₁ и он принял определенный размер, характеризующийся длиной окружности поперечного сечения.

Надуваем шарик до давления P₂ > Р₁, размеры шарика увеличиваются и, соответственно, изменяются размеры дуги AB.

Совместим эти дуги до деформации и после (рисунок 3.1.9).

Рисунок 3.1.9 – Схема совмещения дуг AB и A’B’

Из рисунка видно, что дуги не совпадут, так как, во-первых, одна дуга длиннее другой, т.е. на нее должны действовать растягивающие усилия, в данном случае тангенциальные – T , а во-вторых, различна их кривизна.

Изменить свою кривизну дуга может только под действием изгибающих моментов. Для рассматриваемого случая это – М_t.

Если шарик повернуть на 90°, то параллельный круг превратится в меридиан.

Для дуги BD будут происходить аналогичные изменения, т.е. на эту дугу будут действовать меридиональные растягивающие усилия U и меридиональный изгибающий момент M_m (рис.унок 3.1.10).

Таким образом, в оболочках под действием внутреннего давления возникают усилия U и T и изгибающие моменты М_t, М_m.

Рисунок 3.1.10 – Схема совмещения дуг BD и B’D’

Доказано, что в случае, когда вдоль меридиана не будет резких изменений внешней нагрузки, толщины оболочки и ее радиусов кривизны, то можно принять, что оболочка не подвергается изгибу, т.е. изгибающие моменты и поперечная сила равны нулю (М_x = М_y = О_y = 0), благодаря же симметрии формы и нагрузки оболочки действие крутящих моментов М_z и поперечной силы О_x на всех гранях исключено и тогда касательные напряжения отсутствуют.

Таким образом, по граням действуют только нормальные усилия N; будем называть их соответственно меридиональными и обозначать N = U (по меридиональным сечениям АВ и СД) и тангенциальными (кольцевыми) N = Т (по граням АС и ВД). От них возникают нормальные напряжения, соответственно — меридиональные s_m и тангенциальные s_t (рисунок 3.1.11).

Рисунок 3.1.11 – Напряженное состояние и эпюры распределения тангенциальных напряжений по толщине стенки

Кроме этого на грань АВСД действует внешняя нагрузка Р. (В данном примере это внутренне избыточное давление). От этой нагрузки возникает, так называемое, радиальное напряжение, направленное вдоль радиуса оболочки и равное по величине давлению, т. е. s_r = Р. Так как для тонкостенных оболочек давление обычно меньше 10 МПа, то радиальное напряжение также не больше этого значения, и соответственно, значительно меньше допускаемых напряжений. Поэтому для тонкостенных оболочек обычно пренебрегают величиной радиальных напряжений и принимают их равными нулю.

При расчете тонкостенных оболочек считают, что кольцевые и меридиональные напряжения постоянны по толщине оболочки, т.е. пренебрегают их изменением (рисунок 3.1.11), как это наблюдается для толстостенных аппаратов.

Таким образом, можно принять, что напряженное состояние тонкостенных оболочек – плоское (двухосное).

Основанная на этих предположениях теория, не учитывающая действие изгибающих моментов, а принимающая во внимание только продольные силы U и Т, называетсябезмоментной илимембранной теорией расчета оболочек, в отличие отмоментной теории.

3.1.3 Безмоментная теория расчета оболочек

Определение напряжений

Основным исходным уравнением безмоментной теории для расчета на прочность осесимметричных оболочек вращения, нагруженных внутренним избыточным давлением, является уравнение Лапласа. Для его нахождения рассмотрим равновесие выделенного элемента “Э” под действием равномерно распределенного внутреннего давления. Приложим внешние нагрузки и покажем внутренние силовые факторы, как изображено на рисунке 3.1.12.

Рисунок 3.1.12 – Выделенный элемент оболочки, находящийся в

равновесии под действием равномерно распределенного давления

Рассмотрим условие равновесия всех сил на ось Y. Для наглядности рассмотрим этот элемент с двух видов (рисунок 3.1.12).

Сумма всех сил, действующих вдоль оси Y, равна нулю, т.е.

Рисунок 3.1.12 – Элемент оболочки. Вид сверху

Как было сказано ранее на элемент действуют напряжение s_m на гранях АС и ВD, а напряжение s_t на гранях АВ и СD. Кроме того, внешние силы, нормальная составляющая которых, относится к единице площади, есть Р (внутреннее давление).

Составим уравнение равновесия в проекциях на нормаль (ось у), проведенную в середине элемента. На грани АВСD, площадь которой есть S*dl_m, действует напряжение s_t. Таким образом, сила, действующая на указанной грани, равна

. (3.1.1)

Эта сила составляет с осью Y угол, равный , и направлена в противоположную оси Y сторону, поэтому ее проекция на нормаль равна — .

Рассматривая совершенно аналогичные силы, действующие на грани АС и ВD, найдем, что проекция каждой из них на нормаль равна

(3.1.2)

Наконец, составляющая внешней силы, направленная вдоль оси Y (по нормали), равна

. (3.1.3)

Находя сумму проекций на нормаль всех действующих на элемент сил и приравнивая эту сумму нулю, получим

, (3.1.4)

или, если вместо Т, U и P ’ подставить из (3.1.1) значения, выраженные через напряжения и внешнюю нагрузку, уравнение (3.1.4) примет вид

(3.1.5)

В виду малости углов и можно записать, что , . Кроме того, используя зависимость между длной дуги и радиусом кривизны, получим и . Подставляя эти значения в уравнение (3.5), имеем

(3.1.6)

Сократив каждый член данного уравнения на , его можно записать следующим образом

, (3.1.7)

. (3.1.8)

Полученное уравнение носит название уравнение Лапласа.

Одного этого уравнения недостаточно для определения напряжений s_m и s_t, т.е. для нахождения этих напряжений к уравнению (3.1.8) нужно добавить еще одно уравнение.

Для получения второго уравнения отсечем нормальным коническим сечением часть оболочки и отбросим верхнюю часть. Для оставшегося элемента (так называемой зоны оболочки), показанного на рисунке . составим уравнение равновесия всех сил в направлении оси оболочки Х. Площадь А поверхности поперечного сечения элемента есть кольцо. Поэтому

. (3.1.9)

На нее действует меридиональная сила U, от которой возникает напряжение

. (3.1.10)

. (3.1.11)

Кроме этого, на выделенный элемент действует осевая равнодействующая Р’ внешних сил,приложенных к отсеченной части. В качестве внешних сил выступает равномерное внутреннее давление Р. Проектируя все силы на ось Х, получим

, (3.1.12)

, (3.1.13)

где a – угол между направлением U и осью Х.

Доказано, что если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то независимо от формы поверхности, проекция равнодействующей сил давления, на заданную ось равна произведению давления Р на площадь проекции поверхности А’ на плоскость, перпендикулярную к заданной оси. Следовательно

. (3.1.14)

Таким образом, для того чтобы определить проекцию равнодействующих сил давления на ось Х, нужно предварительно спроектировать поверхность на плоскость, перпендикулярную этой оси и определить ее площадь. Для рассматриваемой зоны проекция ее поверхности на плоскость, перпендикулярную оси Х, представляет собой окружность и площадь, соответственно, равна

. (3.1.15)

. (3.1.16)

Подставляя значение Р’ в уравнение (3.1.13), получим

(3.1.17)

. (3.1.18)

Это уравнение называется уравнением равновесия зоны или просто уравнением зоны.

Из этого уравнения находится меридиональное напряжение s_m.

Таким образом, по безмоментной теории напряжения s_m и s_t в оболочке определяются из уравнений равновесия.

Мембранная теория дает следующие значения напряжений для основных геометрических форм оболочек:

– сферический сосуд (шаровая оболочка, полушаровое днище) (рисунок 3.1.13), нагруженный равномерно распределенным внутренним давлением Р.

Для него r_t = r_m = R , где R – радиус сферы.

Рисунок 3.1.13 – Сферическая оболочка, нагруженная внутренним давлением

Тогда меридиональное напряжение s_m равно кольцевому напряжению s_t и они определяются по формуле

, (3.1.19)

где r_сп – радиус срединной поверхности, м.

Рисунок 3.1.14 – Применение сферических оболочек для изготовления шаровых емкостей и полусферических днищ

– цилиндр с крышками, нагруженный равномерно распределенным давлением Р. (рисунок 3.1.15)

Рисунок 3.1.15 – Цилиндрическая обечайка

, (3.1.20)

, (3.1.21)

, (3.1.22)

то есть в продольных швах действуют в два раза большие напряжения, чем в поперечных (см. рисунок 3.1.11), и соответственно по этим швам в первую очередь может произойти разрыв при разрушении оболочки.

– конус, шарнирно подвешенный по краю со стороны основания, нагруженный равномерно распределенным давлением Р.

Кольцевые напряжения в любом сечении конического днища n — n можно найти из уравнения Лапласа.

Учитывая, что величина

, (3.23)

, (3.24)

где , – соответственно радиус кривизны и радиус конуса в сечении n – n. Величину меридиональных напряжений, возникающих в сечении n – n конуса можно определить из уравнения зоны (4), т.е

. (3.25)

Из формул (3.1.24) и (3.1.25) вытекает, что максимальная величина кольцевых и меридиональных напряжений будет на краю конуса при r = R, причем

, (3.26)

при этом кольцевые напряжения (как и для цилиндра) в любом данном сечении в 2 раза больше меридиональных, т.е.

. (3.27)

У вершины конуса при г = 0 и кольцевые и меридиональные напряжения равны нулю. Пример эпюры тангенциальных напряжений приведен на рисунке 3.1.16.

Риcунок 3.1.16 – Коническая оболочка, нагруженная внутренним давлением

Те же значения будут справедливы и для усеченного конуса, закрытого днищем. Эти формулы верны в том случае, если угол a

Видео:Сопротивление материалов. Лекция: тонкостенные оболочки вращения (исправленное видео)Скачать

iSopromat.ru

Оболочки, имеющие форму тел вращения (рис. 11.1), стенки которых тонки ( t ≤ 0,1D₀ ), не имеют резких переходов и изломов при действии осесимметричных нагрузок (например, давления жидкости или газа), попадают под класс тонкостенных сосудов и могут быть рассчитаны по безмоментной теории.

Связь между меридиональными σ_m и кольцевыми σ_t нормальными напряжениями (рис. 11.1) описывается уравнением Лапласа:

где ρ_m и ρ_t – радиусы кривизны серединной поверхности меридионального и кольцевого сечений на уровне рассматриваемой точки;
р – интенсивность внутреннего давления.

Для определения σ_m обычно используется зависимость

где Q – вес части сосуда и жидкости ниже рассматриваемого сечения.

Уравнения (11.1) и (11.2) позволяют найти величины σ_m и σ_t в каждой точке сосуда.

Рассмотрим частные случаи:

Видео:Задача Дирихле для круга. Уравнение ЛапласаСкачать

Сферическая оболочка

Сферический сосуд под действием внутреннего давления газа (рис.11.2).

Благодаря симметричности сосуда

Из уравнения (11.1) находим

Видео:Урок 202. Давление под искривленной поверхностью жидкости. Формула ЛапласаСкачать

Цилиндрическая оболочка

Цилиндрический сосуд под действием внутреннего давления газа (рис. 11.3).

Для цилиндрической части сосуда имеем:

Из уравнения (11.1) находим

Из уравнения (11.2), полагая cosα = 1, Q = 0,

Напряжения в днищах определяем, как в сферическом сосуде:

Видео:Уравнения математической физики. Уравнение Лапласа. Часть 1Скачать

Напряжения в стенках труб

Напряжения в стенке трубы определяются аналогично, как для цилиндрической части тонкостенного сосуда.

Сравнение (11.4) и (11.5) показывает, что σ_t = 2σ_m , т.е. напряжения, растягивающие стенки цилиндрической части сосуда, по окружности в 2 раза больше напряжений вдоль образующей. Поэтому разрушение котлов, труб обычно происходит от кольцевых напряжений вдоль образующей.

Третье главное напряжение, перпендикулярное к поверхности сосуда со стороны, где действует давление,

с противоположной стороны, σ₃ =0 .

В тонкостенных оболочках обычно величины σ_m и σ_t намного больше, чем интенсивность внутреннего давления р, и поэтому величиной σ₃ можно пренебречь, т.е. считать равной нулю.

Так как в любой точке тонкостенного сосуда имеет место сложное напряженное состояние, для расчета на прочность в зависимости от материала следует пользоваться соответствующей гипотезой прочности

Для рассматриваемой задачи при неучете σ₃ эквивалентные напряжения по третьей гипотезе прочности и по гипотезе Мора одинаковы, т.е.

а по энергетической теории

Если тонкостенный сосуд имеет резкие переломы в очертании (например, примыкание днищ к цилиндрической части), а также в местах закрепления, приложения сосредоточенных сил, установки патрубков, фланцев, у краев оболочки возникает изгиб. Зоны, прилегающие к таким местам, должны рассчитываться по моментной теории.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

💡 Видео

Семинар 10 \ оболочкиСкачать

Решение уравнения Лапласа в шареСкачать

Уравнение Лапласа. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне кругаСкачать

КИР Расчет по безмоментной теорииСкачать

Сопротивление материалов. T-01 (безмоментная теория оболочек вращения, введение).Скачать

Лекция 6. Семестр 2. Сопротивление материалов.Скачать

выпуск 2 [ вирусные лекции по сопромату ]Скачать

КиР Моментная teoreticalСкачать

Лекция 124. Преобразование Лапласа. ВведениеСкачать

Уравнения математической физики 15+16 Задача Дирихле для уравнения Лапласа - Пуассона в кругеСкачать

Сопротивление материалов. Лекция от 11.04.2020Скачать

Локальная формула ЛапласаСкачать