Уравнение колебания струны краевые задачи

Рассмотрим струну длины l

Струной будем называть тонкую туго натянутую упругую нить.

При построени математической модели колебаний струны будем рассматривать малые колебания, происходящие в одной и той же плоскости. Пусть в состояниии покоя струна расположена вдоль оси Ox на отрезке [0,l] и при колебании каждая точка перемещается перпендикулярно оси (поперечные колебания). Тогда отклонение любой точки струны в произвольный момент времени U есть функция U(x,t) (см. рис.2).

Предположим, что натяжение столь велико, что силой тяжести и сопротивлением при изгибе можно пренебречь. Кроме того, в силу малости колебаний, будем пренебрегать также величинами высшего порядка малости по сравнению с производной U_x.

Рис. 3

Выделим малый участок струны (см. рис.3) и рассмотрим силы, действующие на него. Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение направлено по касательной к струне в точке x. Более того, в рамках наших предположений можно считать величину силы натяжения постоянной. В самом деле, длина любого участка струны (величиной U_x 2 можно пренебречь). С ледовательно, в соответствии с законом Гука _.

Пусть ρ ( x )- линейная плотность в точке x , а γ ( x , t )- плотность внешних сил, действующих на струну в момент времени t, и направленных перпендикулярно Ox .

Результирующая сила, действующая на участок струны [ x , x +∆ x ] в направлении перпендикулярном оси OX , равна (см. рис. 3)

.

При выводе этой формулы учитываем, что при малых колебаниях

По второму закону Ньютона произведение массы на ускорение равно действующей силе mw = F , где w=U_tt, поэтому

ρ ∆ xU_tt = T ₀[ U_x ( x + ∆ x , t )- U_x ( x , t )]+ γ ( x , t ) ∆ x .

Разделим обе части равенства на Δx и устремим Δx к нулю:

ρ ( x ) U_tt = T ₀[ U_x ( x + ∆ x , t )- U_x ( x , t )]/ ∆ x + γ ( x , t ) .

Это уравнение называется уравнением вынужденных колебаний струны. Если струна однородная, то есть ρ ( x )= const , то уравнение (3) обычно записывают в виде

U_tt = a 2 U_xx + f ( x , t ),где a 2 = T ₀/ ρ ; f ( x , t )= γ ( x , t ) / ρ .

В том случае, когда на струну не действуют внешние силы, получается уравнение свободных колебаний струны

Уравнения (3) и (4) являются одномерными волновыми уравнениями (соответственно, неоднородным и однородным).

Волновыми эти уравнения называются потому, что они описывают распространение слабых возмущений в упругой среде (т.е. механические колебания с малыми амплитудами), которые в физике называют волнами. Волновые уравнения возникают также в задачах об электрических колебаниях, в гидродинамике и акустике, в теории упругости, при изучении электромагнитных полей.

Начальные условия и граничные условия.

Дифференциальные уравнения с частными производными, вообще говоря, имеют бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выбрать то единственное решение, которое соответствует реальному физическому процессу (например, колебанию данной струны), надо задать некоторые дополнительные условия. В теории уравнений с частными производными, как и в обыкновенных дифференциальных уравнениях, задаются условия, называемые начальными и краевыми (граничными) условиями. Начальные условия в математической физике соответствуют состоянию физического процесса в начальный момент времени, который обычно принимают за t=0. В результате возникает задача Коши. Однако здесь есть некоторые отличия. Во-первых, начальные условия задаются для нестационарных уравнений, то есть таких уравнений, которые описывают нестационарные (зависящие от времени) процессы. Такими уравнениями являются, к примеру, волновые уравнения и уравнения теплопроводности. Во-вторых, задача Коши для уравнений с частными производными имеет единственное решение только в том случае, когда соответствующее уравнение рассматривается или на всей прямой, или на всей плоскости, или во всем пространстве. Например, это может быть задача о колебании бесконечной струны или о распространении тепла в бесконечном стержне. На практике к таким задачам приходят в том случае, когда имеется очень длинная струна или очень длинный стержень и интересуются процессами, происходящими далеко от концов, а влиянием концов пренебрегают. Если взять, допустим, длинный провод и слегка качнуть его в середине, то по нему влево и вправо побегут волны. Картина начнет искажаться только тогда, когда волны дойдут до концов провода и, отразившись, пойдут обратно. Следовательно, не учитывая влияния концов, мы тем самым не будем учитывать влияния отраженных волн.

Для волнового уравнения U_tt = a 2 U_xx задаются два начальных условия U | _{t =0} = φ ( x ), U_t | _{t =0} = ψ ( x ). Иногда их записывают иначе: U ( x , 0) = φ (х), U_t ( x , 0) = ψ (х). Первое условие физически задает начальную форму струны (начальные отклонения точек струны), а второе условие — начальные скорости точек струны. В случае волнового уравнения U_tt = a 2 Δ U на плоскости или в пространстве задаются те же два начальных условия, только функции φ и ψ , соответственно, будут зависеть от двух или трех переменных.

Если размеры струны или стержня не очень велики и влиянием концов нельзя пренебречь, то в этих случаях одни начальные условия уже не обеспечивают единственность решения задачи. Тогда необходимо задавать условия на концах. Они называются граничными условиями или краевыми условиями.Для уравнения колебаний струны часто задаются условия U | _{x =0} = 0, U | _{x = l} = 0. Иначе их записывают еще и гак: U (0, t )=0, U ( l , t ) = 0. Эти условия физически означают, что концы струны закреплены (то есть отклонения при х = 0 и при х = l в любой момент времени равны нулю). Можно задавать и другие условия на концах струны, например, U_x |_х=0= 0 , U_x |_{х= l} = 0. Такие условия возникают в следующей задаче.

Пусть концы сруны перемещаются вдоль вертикальных направляющих без трения (см. рис.4).

рис.4

Так как вертикальные силы, действующие на левый и правый концы струны, определяютя выражениями T ₀ U_x ( O , t ) и T ₀ U_x (l, t ) (см рис. 2), то записанные выше условия означают, что на концы струны не действуют никакие силы(поэтому такие условия называют еще условиями свободных концов).

Как было уже сказано, волновое уравнение U_tt = a 2 U_xx описывает не только колебания струны, но и другие волновые процессы, к примеру, продольные колебания пружины, продольные колебания стержня, крутильные колебания вала. В этих задачах возникают граничные условия и других видов. Подробно такие задачи мы изучать не будем. Однако приведем основные типы граничных условий. Обычно рассматривают три типа:

Граничные условия (5), (6) и (7) называются однородными, если правые части g₁(t) и g₂(t) тождественно равны нулю при всех значениях t. Если хотя бы одна из функций в правых частях не равна нулю, то граничные условия называются неоднородными.

Аналогично формулируются граничные условия и в случае трех или четырех переменных при условии, что одна из этих переменных — время. Г раницей в этих случаях будет или замкнутая кривая Г, ограничивающая некоторую плоскую область, или замкнутая поверхность Ω, ограничивающая область в пространстве. Соответственно изменится и производная от функции, фигурирующая в граничных условиях второго и третьего рода. Это будет производная по нормали n к кривой Г на плоскости или к поверхности Ω в пространстве, причем, как правило, рассматривают нормаль, внешнюю по отношению к области(см.рис. 5 ) .

К примеру, граничное условие (однородное) первого рода на плоскости записывается в виде U|_Γ=О, в пространстве U|_Ω=0. Граничное условие второго рода на плоскости имеет вид ,а в пространстве . Конечно, физический смысл этих условий разный для различных задач.

При постановке начальных и граничных условий возникает задача об отыскании решения дифференциального уравнения, удолетворяющего заданным начальным и граничным (краевым) условиям. Для волнового уравнения (3) или (4), начальных условий U(x,0)= φ(x), U_t (x,0)=ψ(x) и в случае граничных условий первого рода (5), задача называется первой начально-краевой задачей для волнового уравнения. Если вместо граничных условий первого рода задавать условия второго рода (6) или третьего рода (7), то задача будет называться, соответственно, второй и третьей начально-краевой задачей. Если граничные условия на разных участках границы имеют различные типы, то такие начально-краевые задачи называют смешанными.

Видео:Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

Уравнение колебания струны краевые задачи

А. А. Гусак. Высшая математика. Том 2.
Глава 27. Простейшие дифференциальные уравнения математической физики

В этой главе рассматриваются некоторые уравнения математической физики, т.е. уравнения с частными производными второго порядка, к которым приводят следующие задачи: задача о колебаниях струны, задача о распространении тепла и др.

27.1. Вывод уравнения колебаний струны

Рассмотрим туго натянутую струну, закрепленную на концах. Выведем струну из положения равновесия (оттянув ее или ударив по ней), струна начнет колебаться.

Предположим, что любая точка струны колеблется по прямой, перпендикулярной к исходному положению струны, и струна все время находится в одной и той же плоскости.

Выберем в этой плоскости декартову прямоугольную систему координат Охu. В качестве оси Ох возьмем прямую, на которой находилась струна в положении равновесия, за ось Оu примем прямую, проходящую через левый конец струны и перпендикулярно к оси Ох (рис. 27.1).

Отклонение струны от положения равновесия обозначим через u; очевидно, u зависит от абсциссы х точки струны и времени t, т.е. u = u(х, t).

При фиксированном t графиком функции u = u(х, t) в плоскости Охu является форма струны в данный момент времени t. Угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой х равен частной производной по х от функции u(х, t) т.е.

где α = α (x, t) – угол наклона касательной.

Чтобы составить представление о колебаниях струны, необходимо начертить ряд графиков функции u = u(х, t) при различных значениях t.

При фиксированном значении х функция u = u(х, t) определяет закон движения точки с абсциссой х. Эта точка движется по прямой, параллельной оси Оu. Скорость и ускорение указанного движения выражаются соответственно формулами

Будем изучать малые колебания струны, т.е. такие, при которых угол α = α (x, t) (угол наклона касательной к графику функции u = u(х, t) при каждом фиксированном значении t) настолько мал, что его квадратом можно пренебречь, т.е. приближенно считать

то отсюда следует, что

sin α = α, cos α = 1.

tg α – sin α = tg α(1 – cos α) = tg α · 0 = 0 ,

Принимая во внимание (27.3) – (27.5), заключаем, что

tg² α = 0 , или

Следовательно, длина дуги струны, ограниченной точками M1(x1, u1), M2(x2, u2) выразится формулой

Соотношение (27.7) означает, что длина любого участка струны остается постоянной.

Будем предполагать струну абсолютно гибкой, что означает следующее: если удалить участки ОМ1, M2L (см. рис. 27.1), то их действия на участок М1М2 заменяются соответственно действием сил натяжения T1 и Т2, направленных по касательным к графику функции u = u(х, t) в точках М1 и М2 (рис. 27.2). Поскольку по предположению точки струны движутся по прямым, параллельным оси Оu, то сумма проекций сил T1, Т2 на ось Ох равна нулю. Проектируя эти силы на ось Ох, получаем T2сos α2 – T1cos α1 = 0, где T1, Т2 – величины сил T1, Т2.

На основании второго из равенств (27.4) заключаем, что T1 = T2 т.е. величина силы натяжения остается постоянной. Обозначая ее через T, получаем

Проектируя силы T1, Т2 на ось Оu, находим

С учетом равенства (27.1) получаем

где х – абсцисса точки М1; х + Δх – абсцисса точки М2.

Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении дифференцируемой функции, находим, что

поэтому проекция сил натяжения T1 и Т2 на ось Ох выразится формулой

Предположим, что на струну действуют также внешние силы, параллельные оси Оu, плотность распределения* которых равна g(x, t), тогда величина равнодействующей этих сил, приложенных к участку М1М2, приближенно равна g(x, t)Δx. Силами сопротивления внешней среды пренебрегаем.

* Под плотностью понимают предел средней плотности распределения сил на данном отрезке, когда длина отрезка стремится к нулю; средняя плотность – отношение величины равнодействующей сил к длине отрезка, на котором они приложены.

Будем считать струну однородной, обозначим через ρ ее линейную плотность, тогда масса участка М1М2 выразится так: ρ М1М2 = ρ Δх, m = ρ Δх

В соответствии со вторым законом Ньютона mw = F (произведение массы на ускорение равно действующей силе) получаем

Уравнение (27.10) называется уравнением колебаний струны, или одномерным волновым уравнением.

Если g(x, t) = 0 (внешние силы отсутствуют), то уравнение (27.10) принимает вид

Уравнение (27.12) называется уравнением свободных колебаний, уравнение (27.10) — уравнением вынужденных колебаний струны.

27.2. Начальные и краевые условия. Задача Коши

Чтобы из множества решений уравнения с частными производными второго порядка выбрать определенное решение, необходимо задать дополнительные условия.

Так, в случае уравнения (27.10) или (27.12) нужно указать отклонение и скорость движения в начальный момент времени t0 (будем полагать t0 = 0), т.е.

где f(x), F(x) – заданные функции, а также зафиксировать отклонения концов струны. Поскольку концы закреплены, то

где l – длина струны.

Условия (27.13) называются начальными условиями, а условия (27.14) – краевыми (или граничными) условиями.

Итак, задача о свободных колебаниях струны ставится следующим образом. Найти решение u = u(х, t) линейного однородного уравнения с частными производными второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям u(х, 0) = f(x), u'(х,0) = F(x) и краевым условиям u(0, t) = 0, u(l, t) = 0.

Функции f(х) и F(x) определены на отрезке [0, l], из краевых условий следует, что f(0) = 0, f(l) = 0. Можно доказать, что при некоторых предположениях относительно функций f(x) и F(x) поставленная задача имеет единственное решение.

В случае, когда предполагается, что струна является неограниченной, граничные условия не налагаются.

Задача о свободных колебаниях неограниченной струны ставится так. Найти решение u = u(х, t) уравнения с частными производными второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям

где f(x) и F(x) – заданные функции, определенные на всей действительной оси. Эта задача называется задачей Коши.

27.3. Задача о свободных колебаниях бесконечной струны. Метод Д’Аламбера

Как уже отмечалось, задача о свободных колебаниях бесконечной струны, или задача Коши, состоит в следующем.

Найти решение u = u(х, t) линейного однородного уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

где f(х), F(x) – заданные функции, определенные в бесконечном промежутке (-∞, +∞).

Уравнение (27.15) перепишем так: и (положив t = у) сравним его с уравнением (26.9). Поскольку В² — АС = а² > 0, то уравнение является уравнением гиперболического типа.

Уравнение характеристик Ady² — 2Bdxdy + Cdx² = 0 принимает вид a²dt² — dx² = 0 или dx² — a²dta² = 0. Оно распадается на два уравнения dx – adt = 0, dx + adt = 0, откуда получаем х – at = С1, х + at – С1.

Введя новые переменные ξ и η по формулам

преобразуем уравнение (27.15) к каноническому виду.

Выражаем частные производные по переменным х, t через частные производные по ξ, η :

Подставляя в уравнение (27.15) выражения для частных производных второго порядка, получаем

Проинтегрируем последнее уравнение. Положим тогда

Следовательно, , или u = φ(ξ) + ψ(η) , где φ(ξ), ψ(η) – произвольные дважды дифференцируемые функции своих аргументов. Принимая во внимание (27.17), последнюю формулу можно записать так:

Формула (27.18) определяет общее решение уравнения (27.15).

Среди всех этих решений найдем то, которое удовлетворяет условиям (27.16), Для функции (27.18) и ее частной производной по t

условия (27.16) принимают вид

Второе равенство проинтегрируем по отрезку [0, х]. Обозначив переменную интегрирования через z получим

где С = φ (0) + ψ (0)

Это уравнение и первое из уравнений (27.19) позволяют определить функции φ (x) и ψ (x):

Подставляя в эти формулы вместо х соответственно х – at и х + at, получаем

В соответствии сформулой (27.18) находим

Формула (27.20) представляет решение Д’Аламбера рассматриваемой задачи Коши для уравнения колебаний неограниченной струны. Читателю предлагается непосредственной проверкой убедиться в том, что функция (27.20) удовлетворяет уравнению (27.15) и условиям (27.16).

А. А. Гусак. Высшая математика. Том 2. Стр. 247-253.

Видео:Уравнение колебания струны. Решение методом ДаламбераСкачать

А.Н. Тихонов, А.А. Самарский
Уравнения математической физики

Глава I. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными

1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. 2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными. 3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Задачи к главе I

Глава II. Уравнения гиперболического типа

1. Уравнение малых поперечных колебаний струны. Уравнение продольных колебаний стержней и струн. 3. Энергия колебания струны. 4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах. 5. Поперечные колебания мембраны. 6. Уравнения гидродинамики и акустики. 7. Граничные и начальные условия. 8. Редукция общей задачи. 9. Постановка краевых задач для случая многих переменных. 10. Теорема единственности. Задачи.

1. Формула Даламбера. 2. Физическая интерпретация. 3. Примеры. 4. Неоднородное уравнение. Устойчивость решении. 6. Полуограниченная прямая и метод продолжений. 7. Задачи для ограниченного отрезка. 8. Дисперсия волн. 9. Интегральное уравнение колебаний. 10. Распространение разрывов вдоль характеристик. Задачи.

1. Уравнение свободных колебаний струны. 2. Интерпретация решения. 3. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих воли. 4. Неоднородные уравнения. 5. Общая первая краевая задача. 6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями. 7. Задачи без начальных условий. 8. Сосредоточенная Сила. 9. Общая схема метода разделения переменных. Задачи.

1. Постановка задачи. 2. Метод последовательных приближений дли задачи Гурса. Задачи.

1. Сопряженные дифференциальные операторы. 2. Интегральная форма решения. 3. Физическая интерпретации функции Римана. 4. Уравнения с постоянными коэффициентами. Задачи к главе II

Приложения к главе II

1. Постановка задачи. 2. Собственные колебания нагруженной струны. 3. Струна с грузом на конце. 4. Поправки для собственных значений.

1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии. 2. Ударные волны. Условия динамической совместности. 3. Слабые разрывы.

1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа. 2. Асимптотическое решение.

Глава III. Уравнения параболического типа

1. Линейная задача о распространении тепла. 2. Уравнение диффузии. 3. Распространение тепла в пространстве. 4. Постановка краевых задач. 5. Принцип максимального значения. 6. Теорема единственности. 7. Теорема единственности для бесконечной прямой.

1. Однородная краевая задача. 2. Функция источника. 3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями. 4. Неоднородное уравнение теплопроводности. 5. Общая первая краевая задача. Задачи.

1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция источника для неограниченной области. 2. Краевые задачи для полуограниченной прямой.

Задачи к главе III

Приложения к главе III

1. Функция источника для бесконечной прямой. 2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности.

1. Определение d -функции. 2. Разложение d -фикции в ряд Фурье. 3. Применение d -функции к построению функции источника.

Глава IV. Уравнения эллиптического типа

1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач. 2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля. 3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат. 4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа. 5. Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного. 6. Преобразование обратных радиусов-векторов.

1. Формулы Грина. Интегральное представление решения. 2. Некоторые основные свойства гармонических функций. 3. Единственность и устойчивость первой краевой задачи. 4. Задачи с разрывными граничными условиями. 5. Изолированные особые точки. 6. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности. 7. Внешние краевые задачи. Единственность решения для двух- и трехмерных задач. 8. Вторая краевая задача. Теорема единственности.

1. Первая краевая задача для круга. 2. Интеграл Пуассона. 3. Случай разрывных граничных значений.

1. Функция источника для уравнения D u=0 и ее основные свойства. 2. Метод электростатических изображений и функция источника для сферы. 3. Функция источника для круга. 4. Функция источника для полупространства.

1. Объемный потенциал. 2. Плоская задача. Логарифмический потенциал. Несобственные интегралы. 4. Первые производные объемного потенциала. 5. Вторые производные объемного потенциала. 6. Поверхностные потенциалы. 7. Поверхности и кривые Ляпунова. 8. Разрыв потенциала двойного слоя. 9. Свойства потенциала простого слоя. 10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач. 11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым задачам. Задачи к главе IV

Приложения к главе IV

1. Единственность решения. 2. Представление бигармонических функций через гармонические функции. 3. Решение бигармонического уравнения для круга.

Глава V. Распространение волн в пространстве

1. Уравнение колебаний в пространстве. 2. Метод усреднения. 3. Формула Пуассона. 4. Метод спуска. 5. Физическая интерпретация. 6. Метод отражения.

1. Вывод интегральной формулы. 2. Следствия из интегральной формулы.

1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие волны. 2. Колебания прямоугольной мембраны. 3. Колебания круглой мембраны. Задачи к главе V

Приложения к главе V

1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия. 2. Потенциалы электромагнитного поля. 3. Электромагнитное поле осциллятора.

Глава VI. Распространение тепла в пространстве

1. Функция температурного влияния. 2. Распространение тепла в неограниченном пространстве.

1. Схема метода разделения переменных. 2. Остывание круглого цилиндра. 3. Определение критических размеров.

1. Формула Грина дли уравнения теплопроводности и функция источника. 2. Решение краевой задачи. 3. Функция источника для отрезка.

1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя. 2. Решение краевых задач. Задачи к главе VI

Приложения к главе VI

Глава VII. Уравнения эллиптического типа (продолжение)

1. Установившиеся колебания. 2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях. 3. Диффузия в движущейся среде. 4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения D v + cv=0.

1. Функции влияния точечных источников. 2. Интегральное представление решения. 3. Потенциалы.

1. Уравнение D v + cv =-f в неограниченном пространстве. 2. Принцип предельного поглощения. 3. Принцип предельной амплитуды. 4. Условия излучения.

1. Постановка задачи. 2. Единственность решения задачи дифракции. 3. Дифракция на сфере. Задачи к главе VII

Приложения к главе VII

1. Собственные колебания цилиндрического эндовибратора. 2. Электромагнитная энергия собственных колебаний. 3. Возбуждение колебаний в эндовибраторе.

Дополнение I. Метод конечных разностей

1. Сетки и сеточные функции. 2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов. 3. Разностная задача. 4. Устойчивость.

1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами. 2. Погрешность аппроксимации. 3. Энергетическое тождество. 4. Устойчивость. 5. Сходимость и точность. 6. Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами. 7. Метод баланса. Консервативные схемы. 8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. 9. Трехслойные схемы. 10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки. 11. Разностные методы решения квазилинейных уравнений.

1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа. 2. Принцип максимума. 3. Оценка решения неоднородного уравнения. 4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле. 5. Решение разностных уравнений методом простой итерации.

1. Многомерные схемы. 2. Экономичные схемы. 3. Итерационные методы переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле.

Дополнение II. Специальные функции

1. Введение. 2. Общее уравнение теории специальных функций. 3. Поведение решений в окрестности х=а, если k(а)=0. 4. Постановка краевых задач.

Часть I. Цилиндрические функции

1. Степенные ряды. 2. Рекуррентные формулы. 3. Функции полуцелого порядка. 4. Асимптотический порядок цилиндрических функций.

1. Функции Ханкеля. 2. Функции Ханкеля и Неймана. 3. Функции мнимого аргумента. 4. Функция K 0 (х).

1. Контурные интегралы. 2. функции Ханкеля. 3. Некоторые свойства гамма-функции. 4. Интегральное представление функции Бесселя. 5. Интегральное представление K _n (х). 6, Асимптотические формулы для цилиндрических функций.

1. Многомерные схемы. 2. Экономичные схемы. 3. Итерационные методы переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле.

Часть II. Сферические функции

1. Производящая функция и полиномы Лежандра. 2. Рекуррентные формулы. 3. Уравнение Лежандра. 4. Ортогональность полиномов Лежандра. 5. Норма полиномов Лежандра. 6. Нули полиномов Лежандра. 7. Ограниченность полиномов Лежандра.

1. Присоединенные функции. 2. Норма присоединенных функций. 3. Замкнутость системы присоединенных функций.

1. Гармонические полиномы. 2. Сферические функции. 3. Ортогональность системы сферических функции. 4. Полнота системы сферических функций. 5. Разложение по сферическим функциям.

1. Задача Дирихле для сферы. 2. Проводящая сфера в поле точечного заряда. 3. Поляризация шара в однородном поле. 4. Собственные колебания сферы. 5. Внешняя краевая задача для сферы.

Часть III. Полиномы Чебышева — Эрмита и Чебышева — Лагерра

1. Дифференциальная формула. 2. Рекуррентные формулы. 3. Уравнение Чебышева — Эрмита. 4. Норма полиномов Н_n(x). 5. Функции Чебышева — Эрмита.

1. Дифференциальная формула. 2. Рекуррентные формулы. 3. Уравнение Чебышева —Лагерра. 4. Ортогональность и норма полиномов Чебышева—Лагерра. 5. Обобщенные полиномы Чебышева —Лагерра.

1. Уравнение Шредингера. 2. Гармонический осциллятор. 3. Ротатор. 4. Движение электрона в кулоновом поле.

📺 Видео

Неоднородное уравнение колебания струныСкачать

УМФ решение краевой задачи уравнения колебания струны. Метод Фурье. Задача Штурма–Лиувилля. Пример.Скачать

4.1 Колебания полуограниченной струны с закрепленным и свободным концомСкачать

УМФ, 22.12, вывод уравнения колебаний струныСкачать

Неоднородное уравнение колебаний струныСкачать

Решение первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.Скачать

Неоднородное уравнение колебания струныСкачать

Уравнение колебаний струны. Метод Фурье - 1Скачать

Уравнение колебаний струны. Постановка краевых задач. Формула Д'АламбераСкачать

Уравнение малых колебаний струныСкачать

Вывод уравнения колебаний струныСкачать

Уравнение колебаний струны. Метод Фурье - 2Скачать

решение задачи колебание струны конечной длиныСкачать

Уравнения колебаний струны с ненулевыми граничными условиямиСкачать

Урок 376. Колебания струн, стержней и воздушных столбовСкачать