Уравнение колебаний заряда на обкладках конденсатора имеет вид (5 видео)

Уравнение колебаний

Рис. 15.4

Попробуем выяснить, как зависят от времени заряд на обкладке конденсатора и сила тока в колебательном контуре (рис. 15.4). Но прежде, чем мы приступим к вычислениям, отметим следующее:

1) ток в процессе колебаний течет то в одном, то в другом направлении. Чтобы величина силы тока в данный момент времени была определена однозначно, необходимо задать направление обхода контура. Тогда ток, текущий вдоль направления обхода, считаем положительным, а против – отрицательным;

2) заряды на пластинах конденсатора всегда равны по величине и противоположны по знаку, поэтому надо договориться, заряд какой пластины (1 или 2) в данный момент мы рассматриваем;

3) напряжение между пластинами конденсатора – это разность между потенциалами пластин. Эта величина, как и сила тока, меняет знак в процессе колебаний. Чтобы величина была однозначно определена в данный момент времени, договоримся, что мы считаем напряжением U = j₁ – j₂ или U = j₂ – j₁, где j₁ и j₂ – потенциалы пластин 1 и 2 соответственно.

С учетом данных замечаний приступим к установлению зависимости от времени заряда q(t), тока i(t) и напряжения и(t):

1) зададим направление обхода контура по часовой стрелке (см. рис. 15.4);

2) назовем «первой» ту пластинку конденсатора, которая встретилась первой после катушки при следовании по направлению обхода контура, а «второй» – смежную с ней пластину. Зарядом конденсатора будем называть заряд первой пластины;

3) под напряжением будем понимать величину U = j₁ – j₂. Если q₁ > 0, а q₂ = –q₁ 0. Но величина Dq может быть и отрицательной, если ток в данный момент времени t течет против направления обхода, тогда i(t)

. (15.10)

СТОП! Решите самостоятельно: В1–В3, С1–С2.

Задача 15.1. В каких пределах должна изменяться индуктивность катушки колебательного контура, чтобы в контуре происходили колебания с частотой от f₁ = 400 Гц до f₂ = 500 Гц. Емкость конденсатора С = 10 мкФ.

f₁ = 400 Гц f₂ = 500 Гц С = 10 мкФ	Решение. Воспользуемся формулой (15.9): , отсюда Гн;
L₁ = ? L₂ = ?

Гн.

Ответ: индуктивность должна изменяться от Гн до Гн.

СТОП! Решите самостоятельно: А1–А4.

Задача 15.2. Период электрических колебаний в контуре 1,0×10 –5 с. При подключении параллельно конденсатору контура дополнительного конденсатора электроемкостью 3,0×10 –8 Ф период колебаний увеличился в два раза. Определите индуктивность катушки и начальную электроемкость конденсатора колебательного контура.

Т₁ = 1,0×10 –5 с С₂ = 3,0×10 –8 Ф Т₂/Т₁ = 2	Решение. Вспомним, что при параллельном соединении емкости конденсаторов складываются, и применим формулу Томсона для обоих случаев: Т₁ = , (1) 2Т₁ = , (2)
L = ? C₁ = ?

Разделим (2) на (1) и получим

Выразим индуктивность L из (1):

Т₁ =

Гн.

Ответ: , Гн.

СТОП! Решите самостоятельно: В4–В6, С3–С5.

Задача 15.3. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,20 Гн и конденсатора емкостью С = 1,0×10 –5 Ф. Конденсатор зарядили до напряжения U = 2,0 В, и он начал разряжаться. Каким будет ток в момент, когда энергия контура окажется поровну распределенной между электрическим и магнитным полем?

L = 0,20 Гн С = 1,0×10 –5 Ф U = 2,0 В W_м = W_э	Решение. Энергия контура равна . В тот момент, когда энергии электрического и магнитного полей равны, на долю энергии магнитного поля приходится ровно половина полной энергии контура, поэтому
i = ?

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: А5–А7, В7–В9.

Задача 15.4.Заряд q на пластинах конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени t по закону q = =10 -6 cosl0 4 pt. Записать закон зависимости силы тока от времени i(t). Найти период и частоту колебаний в контуре, амплитуду колебаний заряда и амплитуду колебаний силы тока. Все величины считать точными и заданными в единицах СИ.

q = 10 -6 cosl0 4 pt	Решение. Воспользуемся формулой (15.3) i(t) = = q¢(t): i(t) = (10 -6 cosl0 4 pt)¢ = 10 -6 (–sinl0 4 pt)×10 4 p = = –10 –2 psin10 4 pt.
i(t) = ? T = ? f = ? q_m = ? i_m = ?

Учитывая, что q = q_mcoswt, а i = –i_msinwt, легко находим значения заряда и тока:

Находим амплитуду колебаний заряда и амплитуду колебаний силы тока:

w = 10 4 p Þ Гц;

i_m = 10 –2 p А; w = 5×10 3 Гц; .

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнение колебаний заряда на обкладках конденсатора имеет вид

Электромагнитные колебания и волны

Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре имеет вид U = 50cos 10 4 πt В. Емкость конденсатора С = 0,1 мкФ. Найти период T колебаний, индуктивность L контура, закон изменения со временем t тока I в цепи и длину волны λ, соответствующую этому контуру.

Дано:

U = 50cos 10 4 πt В

q = 2,5 мкКл = 2,5·10 -6 Кл

Решение:

Закон изменения напряжения на обкладках конденсатора

Период колебаний находим по формуле Томсона

Циклическая частота связана с периодом соотношением

Уравнение колебания напряжения запишется в виде

Тогда период колебаний

Амплитуда заряда на обкладках конденсатора

Аналогично можно записать уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора

Ток в контуре – первая производная от заряда по времени

Видео:Изменение заряда на обкладках конденсатора в цепи CRL без возбуждения. (Случай I ).Скачать

Уравнение колебаний заряда на обкладках конденсатора имеет вид

Колебательный контур содержит конденсатор электроемкостью С = 8 пФ и катушку индуктивностью L = 0,5 мГн. Каково максимальное напряжение U_max на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока I_max = 40 мА?

В колебательном контуре совершаются электромагнитные колебания. Заряд одной из обкладок конденсатора изменяется по закону: q = q_m0·e –β·t ·cos(ω·t), где q_m0 = 0,5 мкКл, β = 42 c –1 и частота колебаний равна 800 Гц. Индуктивность контура 80 мГн. Запишите уравнение для силы тока в контуре, постройте график зависимости силы тока от времени. Определите, через сколько колебаний амплитуда силы тока уменьшится в 5 раз.

На рисунке приведена зависимость заряда q на одной из обкладок конденсатора при затухающих колебаниях от времени t. Верно ли, что .
1 . это колебание гармоническое?
2 . из графиков можно определить условный период затухания?
3 . частота колебаний уменьшается со временем?
4 . условный период колебаний больше периода собственных электромагнитных колебаний этого контура?
5 . амплитуда колебаний уменьшается со временем?
На сколько вопросов и какие именно Вы ответили «да, верно»?

В колебательном контуре без потерь в начальный момент t₀ сила тока, меняющегося по закону синуса, равна i₀ = 1,2 A, начальная фаза колебаний φ₀ = π/3, частота колебаний 2,6 кГц. Найти амплитуду колебаний силы тока в цепи и заряда на обкладках конденсатора, а также значение заряда q₀ в начальный момент.

Вынуждающее напряжение, действующее в колебательном контуре (в единицах СИ), имеет вид U(t) = 40cos10 4 πt. Индуктивность контура 10 –5 Гн, емкость 10 –5 Ф, сопротивление 0,2 Ом. Определить уравнение установившихся колебаний заряда на обкладках конденсатора с числовыми коэффициентами и записать дифференциальное уравнение, описывающее указанные колебания.

Определить добротность L-R-C последовательного электрического контура, содержащего периодическую эдс, если индуктивность катушки L = 2,5 Гн, активное сопротивление контура R = 12,5 Ом, а максимальное значение напряжения на резисторе U_m = 50 В достигается при частоте ν = 9,28 Гц. Считать затухание малым. Определить резонансную амплитуду колебаний силы тока. Записать дифференциальное уравнение колебаний заряда на обкладках конденсатора и его решение в установившемся режиме.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний в LC-контуре имеет вид: d 2 q/dt 2 + 10 12 q = 0, емкость конденсатора С = 1 нФ. Определить индуктивность контура. Записать уравнение колебаний тока в контуре, если в начальный момент заряд на обкладках конденсатора максимален и равен q_max = 0,1 мкКл. Построить график I = f(t) в пределах двух периодов колебаний.

К катушке с индуктивностью 0,30 Гн и сопротивлением 6,2 Ом подключили заряженный до напряжения 500 В конденсатор и в образовавшемся контуре возникли электромагнитные колебания. В начальный момент энергия заряженного конденсатора была равна 62,5 мДж, а ток в контуре отсутствовал. Запишите уравнение затухающих колебаний для изменения заряда на обкладках конденсатора. Постройте график зависимости заряда одной из пластин конденсатора от времени.

Дифференциальное уравнение колебаний в контуре имеет вид: d 2 q/dt 2 + 4·10 4 dq/dt + 10 10 q = 0, Кл/с 2 . В начальный момент времени заряд на обкладках конденсатора был равен 25 нКл, а ток в конденсаторе — нулю. Запишите уравнение колебаний заряда на обкладках конденсатора, постройте графики этой величины в зависимости от времени.