Уравнение кинематической связи для ускорений тел (5 видео)

Черноуцан А.И. Кинематические связи в задачах динамики // Квант

Черноуцан А.И. Кинематические связи в задачах динамики // Квант. — 1988. — № 2. — С. 57-62.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

В задачах по механике часто встречается ситуация, когда движение тел не является свободным. Ограничения могут создавать твердые поверхности, нерастяжимые нити, жесткие стержни и т. п.

В простейших случаях мы учитываем подобные ограничения автоматически, часто даже не оговаривая их существования. Например, ускорение тела на плоскости мы направляем вдоль плоскости (учитывая наличие твердой поверхности), скорости буксира и баржи считаем одинаковыми (принимая во внимание присутствие нерастяжимого троса) и т. д. Однако иногда возникает необходимость выразить эти ограничения в виде специального уравнения, которое мы будем называть «кинематической связью». Начнем с такой задачи.

Задача 1. Найдите ускорения призмы массой m₁ и куба массой m₂, изображенных на рисунке 1, а. Трением пренебречь.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела (в проекции на направление, совпадающее с соответствующим ускорением):

Мы учли, что по третьему закону Ньютона т. е. N₁₂ = N₂₁ = N. Написанные два уравнения содержат три неизвестных. Третье уравнение — кинематическая связь между а₁ и a₂ — должно отразить тот факт, что куб и призма остаются все время в контакте друг с другом. Это можно сделать несколькими способами.

1) Рассмотрим два близких положения системы, разделенные промежутком времени Δt (рис. 1, б). В треугольнике ABC сторона АВ равна перемещению призмы Δx₁, а сторона ВС — перемещению куба Δx₂. Имеем

Разделив обе части равенства на Δt, получаем

Так как это соотношение справедливо для произвольного момента времени, из него следует искомое соотношение

Такой подход к получению кинематической связи будем называть прямым методом.

2) Другой способ получения необходимой связи основан на переходе в такую систему отсчета, где условие контакта становится тривиальным. В системе отсчета, связанной с призмой (см. рис. 1, б), скорость куба направлена вдоль ее поверхности, т. е. под углом α к вертикали. Записывая закон сложения скоростей

из соответствующего векторного треугольника получаем

Решаем совместно уравнения (1)-(3) и находим

В этой задаче второй метод выглядит несколько искусственно. Однако в некоторых случаях именно правильный выбор системы отсчета позволяет существенно упростить проблему кинематических связей. Вот пример.

Задача 2. Клин высотой h с углом наклона α стоит на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 2). Масса клина m₁. С вершины клина начинает соскальзывать без трения брусок массой m₂. Найдите ускорение клина и время соскальзывания бруска.

Начнем со второго закона Ньютона. Запишем его для клина в проекции на горизонтальное направление, а для бруска пока что в векторной форме:

(5)

Как и раньше, т. е. N₁₂ = N₂₁ = N. Выбор направления осей для бруска связан с решением вопроса о кинематической связи.

Кинематическая связь между ускорениями должна отразить тот факт, что в процессе движения брусок все время остается на поверхности клина. Записать это в виде прямого уравнения оказывается непросто. Вместо этого перейдем в систему отсчета, связанную с клином. В этой системе скорость бруска и его ускорение направлены вдоль клина. Тогда из закона сложения скоростей получаем закон сложения ускорений (см. рис. 2)

(6)

Отсюда видно, что от неизвестных a₁ и a₂ удобнее перейти к неизвестным a₁ и a_отн, решив тем самым проблему кинематической связи. Подставляя равенство (6) в уравнение (5) и проектируя это уравнение на направления вдоль поверхности клина и перпендикулярно к ней, получаем

Из уравнений (4), (5′) и (5″) находим

Для ответа на второй вопрос задачи нам не надо искать a₁, так как время соскальзывания выражается как раз через a_отн:

Как уже говорилось, ограничение на движение может определяться не только прямым контактом рассматриваемых тел, но и наличием в системе соединительных элементов — стержней, нитей и т. п. В большинстве случаев, даже если в условии это не оговорено, соединительные элементы считаются идеальными, т. е. нити — невесомыми и нерастяжимыми, стержни — невесомыми и абсолютно жесткими, для блоков кроме невесомости предполагается также отсутствие трения на оси. (На самом деле слово «невесомый» означает, что масса данного элемента пренебрежимо мала по сравнению с массами других тел системы, слово «нерастяжимый» — что удлинение элемента мало по сравнению с перемещениями тел системы и т. д.) Перед тем, как разбирать конкретные примеры, выясним, что следует из идеальности соединительных элементов. Рассмотрим три частных случая.

1. Невесомость нити. Напишем второй закон Ньютона для участка нити массой Δm_н (рис. 3, а):

Так как Δm_н = 0, то T – T´, т. е. сила натяжения не меняется вдоль нити.

2. Невесомость подвижного блока и отсутствие трения на его оси. Для раскручивания невесомого блока, в котором нет трения, не нужен вращательный момент. Из этого следует, что натяжение одной и той же нити по обе стороны блока одинаково (рис. 3, б), кроме того

3. Невесомость стержня. Это условие означает, что сумма сил и сумма моментов сил, действующих на стержень, равны нулю. Например, если к стержню приложены две силы, то они равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль стержня (рис. 3, в). (В отличие от нити, стержень может быть не только в растянутом, но и в сжатом состоянии.)

Нерастяжимость и жесткость нитей и стержней приводит к появлению кинематических связей, которые мы разберем отдельно в следующих задачах.

Задача 3. Найдите ускорения грузов массой m₁ и m₂ после перерезания верхней нити (рис. 4). Нити и блок считать идеальными.

Выберем положительное направление оси вертикально вниз и запишем второй закон Ньютона для обоих тел:

(мы учли свойства блока и нити, описанные выше).

Для нахождения кинематической связи между a₁ и а₂ применим, как мы его назвали, прямой метод. Запишем длину нити в виде

где х₁ — координата груза массой m₁, x₂ — координата центра блока, R — его радиус, и учтем, что длина нити при движении грузов не изменяется. Тогда для перемещений грузов получим соотношение

Решая уравнения (7)-(9) совместно, находим

(Обратите внимание на то, что a₁ > g. Подумайте, почему получился такой ответ.)

Задача 4. Невесомый стержень с одинаковыми грузами массой m на концах шарнирно закреплен на оси, которая делит его длину в отношении 2:1 (рис. 5). Стержень удерживают в горизонтальном положении и в некоторый момент освобождают. Найдите ускорения грузов сразу после этого, а также давление стержня на ось в этот момент.

Запишем второй закон Ньютона для грузов, выбрав положительные направления осей в сторону соответствующих ускорений:

где N₁ и N₂ — силы, действующие на грузы со стороны стержня. Так как сумма моментов сил, действующих на невесомый стержень, равна нулю, то

где l — длина стержня. Отсюда

Осталось записать кинематическую связь между a₁ и а₂. Для этого изобразим на рисунке 5 положение стержня через малый промежуток времени Δt после начала движения. Из подобия получаем

Решая совместно уравнения (10)-(13), находим

Так как сумма сил, действующих на невесомый стержень, равна нулю, то сила реакции оси (равная по модулю силе давления на ось) равна

Во многих задачах, рассчитанных на применение закона сохранения энергии, требуется найти скорости тел к определенному моменту времени. В этом случае надо установить кинематические связи не между ускорениями, а между скоростями тел. При решении таких задач полезно использовать тот факт, что полная работа, совершаемая любым идеальным соединительным элементом, равна нулю. Физическая причина этого состоит в том, что в таком элементе не может запасаться никакая энергия — ни кинетическая (его масса равна нулю), ни потенциальная (элемент не деформируется).

Последнее утверждение требует пояснения. Может показаться, что даже при малой деформации очень жесткого стержня (или другого элемента) потенциальная анергия его деформации может быть велика — ведь она пропорциональна жесткости стержня k. Но если учесть, что сила F = k·x, возникающая при деформации, остается конечной при (она определяется движением тел, закрепленных на стержне), то потенциальная энергия при больших k оказывается очень малой.

Эта и следующая задачи по своему уровню несколько выходят за пределы задач, предлагаемых обычно на вступительных экзаменах в вузы. Однако знакомство с ними для абитуриентов окажется небесполезным.

Задача 5. Груз массой М сначала удерживают на уровне блоков, а затем освобождают (рис. 6). Считая нити и блоки идеальными, размеры блоков малыми по сравнению с расстоянием 2l между ними, а массу m грузиков, висящих на концах нитей, известной, найдите скорость груза в тот момент, когда нити составляют угол α с вертикалью. Полученный ответ исследуйте.

К рассматриваемому моменту груз массой М опустился на H = l·ctg α, а грузики массой m поднялись на каждый. Согласно закону сохранения энергии,

(14)

Для того чтобы найти связь между υ и V, можно, например, применить прямой метод. Из рисунка 6

Дифференцируя по времени (и учитывая, что l´ = 0), находим

Так как L´ = υ, H´ = V, a H/L = cos α, то получаем искомую связь

Однако проще получить это соотношение из следующих соображений. Раз расстояние L от груза массой М до блока в рассматриваемый момент увеличивается со скоростью υ (с такой скоростью вытягивается нить), то проекция скорости этого груза на направление нити должна быть равна υ. Учитывая, что скорость направлена вертикально, получаем уравнение (15).

Из уравнений (14) и (15) находим

Выясним, будет ли центральный груз все время опускаться (мы считаем нити очень длинными) или при каком-то α он остановится и начнет подниматься. Уравнение V = 0 (условие остановки) преобразуется к виду

т. е. остановка и обратное движение грузов происходят только при М 2m, то центральный груз будет все время перевешивать и его скорость будет неограниченно возрастать ( при — проверьте это сами). Если же М = 2m, то при опускании центрального груза система все ближе подходит к равновесию, ускорения грузов стремятся к нулю, а их скорости — к предельному значению (убедитесь в этом самостоятельно).

Хотелось бы обратить внимание на то, что при использовании закона сохранения энергии сила натяжения нити вообще не вошла в расчеты.

Последний пример иллюстрирует методы получения кинематических связей при движении твердых стержней (или других твердых связей). Напомним, что при движении твердого тела расстояние между любыми двумя его точками не изменяется.

Задача 6. Невесомый стержень длиной l с грузами массой m на концах соскальзывает по сторонам прямого двугранного угла (рис. 7, а). Найдите скорости грузов в тот момент, когда стержень составляет с горизонтом угол α. Трения нет. В начальный момент стержень находился в вертикальном положении.

Из закона сохранения энергии получаем

(16)

где y = l·sin α — координата второго груза в рассматриваемый момент. Для получения кинематической связи можно применить прямой метод, как это было сделано в предыдущей задаче (проделайте это сами). Быстрее же и нагляднее кинематическая связь получается из таких соображений. Раз расстояние между грузами остается неизменным, то в каждый момент скорость, с которой первый груз «удаляется» от второго, равна скорости, с которой второй груз «приближается» к первому. Иначе говоря, проекции скоростей грузов на стержень в любой момент времени одинаковы (см. рис. 7, a):

Подставляя (17) в (16), находим

В кинематике твердого тела часто используется «разложение» сложного движения на поступательное и вращательное. Чтобы продемонстрировать этот метод, применим его для получения кинематической связи (17). В системе отсчета, связанной с первым грузом, стержень совершает чисто вращательное движение. Значит, в этой системе скорость второго груза направлена перпендикулярно стержню. Применяя закон сложения скоростей (см. рис. 7, б), получаем соотношение (17).

Может показаться, что найденные выражения для скоростей дают полное решение задачи. Однако в этой задаче содержится поучительный подвох, разбором которого мы и закончим статью.

Решение было бы полным, если бы второй груз не мог оторваться от вертикальной стены. (Для этого можно было бы, например, посадить грузы на гладкие штанги, а стержень присоединить к ним шарнирно). Однако в нашем варианте задачи (см. рис. 7, а) при некотором угле произойдет отрыв второго груза от вертикальной стены, после чего найденный ответ будет неприменим. Дело в том, что горизонтальный импульс системы определяется только движением первого груза, скорость которого, в соответствии с выражением для υ₁, до некоторого угла возрастает, а потом начинает убывать. Это означает, что в какой-то момент должна изменить направление внешняя горизонтальная сила, действующая на систему. Но есть только одна горизонтальная сила — сила реакции вертикальной стенки, которая не может изменить свое направление. Таким образом, в тот момент, когда реакция стенки обращается в нуль, происходит отрыв второго груза от стенки. Дифференцируя выражение для υ₁ по времени, находим, что υ₁ максимальна при sin α = 2/3. При угле и происходит отрыв стержня от вертикальной стенки.

1. Найдите ускорения стержня и клина, изображенных на рисунке 8. Трения нет.

2. Найдите натяжение нити в системе, изображенной на рисунке 9.

3. (для любителей каверз и ловушек). Чему равны ускорения грузов в системе, изображенной на рисунке 10?

4. Найдите ускорение клина на рисунке 11. Трения нет. Указание. Примените метод, использованный при решении задачи 2 в статье.

Содержание

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем (стр. 4 )
Кинематические связи
Список использованной литературы:
🎥 Видео

Видео:Кинематические связи в задачах динамики | Олимпиадная физика, динамика | 10, 11 класс LIVEСкачать

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем (стр. 4 )

Уравнение кинематической связи для ускорений тел

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7

В соответствии с принципом суперпозиции движений (1.26) в любой момент времени или в проекциях на оси координат:

(1.51)

По условию задачи модуль скорости течения реки, ширина которой d, нарастает от берегов к середине реки по параболическому закону, поэтому можно записать:

, (1.52)

где и – постоянные величины. Для определения величины используем условие задачи:

Используя начальные условия и соотношение (1.53), получим величину a:

. (1.54)

III. Система уравнений (1.51) с учетом (1.52) – (1.54) преобразуется к виду:

(1.55)

Интегрируя уравнения (1.55) с учетом начальных условий для координат лодки (1.50), находим закон движения:

, (1.56)

. (1.57)

Уравнение траектории получаем, исключая время t из закона движения в координатной форме (1.56) и (1.57):

. (1.58)

Поскольку в момент причаливания , время движения лодки равно:

. (1.59)

Следовательно, для искомого сноса лодки l получим (см. 1.58):

. (1.60)

(Принцип суперпозиции движений)

Определить форму траектории капель дождя на боковом стекле трамвая, движущегося горизонтально со скоростью , во время его торможения с ускорением . Капли дождя падают на землю вертикально вниз, и скорость их относительно земли постоянна и равна .

I. Нарисуем чертеж и изобразим на нем заданные в условии задачи кинематические характеристики капли дождя и трамвая в момент начала торможения трамвая (рис. 1.8).

Выберем систему координат XY, связанную с Землей, так, чтобы ось X была направлена горизонтально вдоль ускорения трамвая, а ось Y – вертикально вниз. Выберем также вторую систему координат X¢Y¢, связанную со стеклом трамвая, так, чтобы ее оси X¢ и Y¢ были сонаправлены с осями X и Y. Время в обеих системах отсчитываем от момента начала торможения трамвая.

Будем считать, что капля дождя является материальной точкой, положение которой в момент начала торможения трамвая совпадает с началом координат системы X¢Y¢.

II. Используя принцип суперпозиции движений (1.26), запишем скорость и ускорение капли дождя относительно стекла трамвая (системы координат X¢Y¢):

, (1.61)

. (1.62)

В соответствии с выбранной системой отсчета запишем начальные условия для капли дождя:

, (1.63)

, (1.64)

III. Записанные дифференциальные уравнения (1.61) и (1.62) с учетом начальных условий (1.63) и (1.64) позволяют найти закон движения капли в проекциях на оси координат:

(1.65)

Уравнение траектории находится из закона движения капли путем исключения из (1.65) времени t:

. (1.66)

Как видим, траектория в системе координат X¢Y¢, связанной со стеклом трамвая, является параболой (см. рис. 1.9) с вершиной в точке с координатами:

, . (1.67)

(Уравнения кинематической связи)

Концы твердого стержня MN могут свободно скользить по сторонам прямого угла MON (см. рис. 1.10). Найти уравнение траектории точки P стержня, которая делит его на части длиной а и b.

I. Выберем и изобразим декартову систему координат, оси которой совпадают со сторонами угла MON (см. рис. 1.10).

В соответствии с условием задачи будем считать стержень абсолютно твердым. Следовательно, его положение в любой момент времени t однозначно задается углом j(t) между осью OX и стержнем MN.

II. Запишем закон движения точки P стержня в координатной форме (см. рис. 1.10):

(1.68)

Искомое уравнение траектории точки P можно получить, исключив время из закона движения (1.68).

III. Преобразуя уравнения (1.68), получаем:

. (1.69)

Следовательно, искомое уравнение траектории принимает вид:

. (1.70)

Уравнение (1.70) является уравнением эллипса с полуосями, совпадающими по направлению с осями выбранной системы координат и равными a и b. В случае, когда a = b, эллипс вырождается в окружность.

(Уравнения кинематической связи)

На клине с углом при основании a, расположенном на горизонтальной поверхности, находится система двух тел 1 и 2 (см. рис. 1.11), связанных нерастяжимой нитью, перевешенной через маленький блок, ось которого закреплена в верхней точке клина. Записать уравнение кинематической связи для ускорений клина и двух тел, если тело 2 не отрывается от вертикальной поверхности клина в процессе движения.

I. Выберем систему отсчета, связанную с горизонтальной поверхностью. Ось X декартовой системы координат направим горизонтально, а ось Y вертикально вверх (см. рис. 1.11).

Будем считать тела 1 и 2 материальными точками, связанными нерастяжимой нитью, а клин – абсолютно твердым телом, которое может двигаться поступательно вдоль оси X. Обозначим координаты первого и второго тел в системе координат XY – (x1, y1) и (x2, y2), соответственно. Линейные размеры блока по условию задачи малы по сравнению с длиной нити, поэтому не будем учитывать их при записи уравнений кинематической связи для координат тел системы.

II. Выразим длину нити l через вертикальные координаты различных точек рассматриваемой системы тел:

где – координата блока, не изменяющаяся в процессе движения.

Если длину наклонного участка нити выразить через горизонтальные координаты тел системы, то выражение для длины нити принимает вид:

III. Дифференцируя (1.71) и (1.72) дважды по времени и учитывая, что и , получаем искомые уравнения кинематической связи для ускорений тел рассматриваемой системы:

(1.73)

(Уравнения кинематической связи)

Система тел состоит из двух блоков и двух подвешенных к ним тел (см. рис. 1.12). Один из блоков составлен из двух коаксиальных цилиндров с неподвижной относительно потолка осью, имеющих различные радиусы r и R. Первое тело подвешено на нити, намотанной на цилиндр радиуса r, второй – на нити, прикрепленной к оси другого блока. Найти ускорение второго тела, если известно, что ускорение первого тела равно a1. Нити считать нерастяжимыми.

Решение

I. Выберем систему отсчета, жестко связанную с потолком. Направление осей декартовой системы координат, связанной с телом отсчета, показано на рис. 1.12.

Видео:Кинематические связи: задачи с блоками теперь не вызовут проблем!🔥#физикаСкачать

Кинематические связи

Кинематические связи – уравнения, связывающие между собой кинематические характеристики (координата, скорость, ускорение) тел системы.

Зачастую связи между кинематическими характеристиками различных тел системы возникают благодаря замене реальных тел на физические модели. Физическая модель – это упрощенная версия некоторого явления или тела, которая сохраняет свойства этого явления или тела, исследуемые в данной задаче.

Разберем наиболее распространенные физические модели и кинематические связи, появляющиеся при их использовании.

1. Модель абсолютно твердого тела (АТТ).

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого постоянно. Надо понимать, что указанное свойство присуще абсолютно твердому телу всегда, независимо от взаимодействия его с другими телами и от способа движения этого тела. Поэтому если мы рассмотрим две произвольные точки АТТ (A) и (B) , то в любой момент времени проекции скоростей этих точек (V_) и (V_) на ось (x) , соединяющую (A) и (B) (см. рисунок 1), должны быть равны друг другу, иначе точка (B) будет «убегать» от точки (A) , или наоборот, точка (A) будет «догонять» точку (B) , что невозможно, так как расстояние между ними остается постоянным. Таким образом, в данном случае уравнение кинематической связи связывает проекции скоростей: