Уравнение касательной с тремя переменными

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М₀.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 0 , y₀ = 1 , тогда z₀ = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_x = 3•x 2
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_y = 5
В точке М₀(0,1) значения частных производных:
f’_x(0;1) = 0
f’_y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М₀(1,0,1) значения частных производных:
f’_x(1;0;1) = -3 /₁₆
f’_y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 1 = -3 /₁₆(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /₁₆•x+z- 19 /₁₆ = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀ = –1, y₀ = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
f_x’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f_y’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_y = 1/x + x.
Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z₀, подставив заданные x₀ = –1 и y₀ = 2 в уравнение поверхности:

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х₀, y₀) и В(х₁,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x₀,y₀,z₀).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 1, y₀ = 2, тогда z₀ = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_x = 2•x+3•y 3
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_y = 9•x•y 2
В точке М₀(1,2) значения частных производных:
f’_x(1;2) = 26
f’_y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Примеры решений задач: функции нескольких переменных

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа для функций нескольких переменных:

Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

Примеры: область определения ФНП

Задача 1. Найти область определения функции двух переменных $z=f(x,y)$. Изобразить ее на координатной плоскости и заштриховать.

Задача 2. Для данной функции найти область определения и изобразить ее на рисунке в системе координат.

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Примеры: частные производные ФНП

Задача 3. Найти частные производные: $z=tg^3 (3x-4y)$

Задача 4. Найти частные производные второго порядка $z=sqrt$

Задача 5. Найти частные производные сложной функции:

$$ z=u^2 cdot ln v; quad u=frac, , v=x^2+y^2.$$

Задача 6. Проверить справедливость теоремы о смешанных производных второго порядка.

Задача 7. Найти полный дифференциал данной функции

Задача 8. Найти дифференциал второго порядка функции:

Задача 9. Для функции $z(x,y)$ двух переменных, неявно заданной уравнением $sin(xz)+cos(yz)=1$, найдите первый и второй дифференциалы в точке $x=y=1, z=0$.

Задача 10. Проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных $z(x,y)$ указанному дифференциальному уравнению.

Видео:УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХСкачать

Градиент, производная по направлению

Задача 11. Найти производную функции $f(x,y,z)$ в точке $M(x_0,y_0,z_0)$ по направлению вектора $overline$. Вычислить наибольшую скорость изменения функции в данной точке.

Задача 13. Найдите градиент, производную по направлению $overline$ и матрицу Гессе в точке $M$ заданной функции, где $u=f(x,y,z)=x^2z+z^2x^2+y^3$, $overline=$, $M(1,3,1)$.

Задача 14. Найти производную функции $u$ в точке $M$ по направлению нормали к поверхности $S$, образующей острый угол с положительным направлением оси $Oz$.

Видео:Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

Касательная плоскость и нормаль

Задача 15. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x^2+y^2-x+2y+4z-13=0$ в точке $M(2,1,2)$.

Задача 16. Для кривой $overline=overline(t)$ найти в точке $t_0$ уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии.

$$ overline(t)=(t^2-3)overline + (t^3+2)overline+ln t overline, quad t_0=1 $$

Задача 17. Найти градиент, первый дифференциал, матрицу вторых производных, второй дифференциал функции $z=2xy-xy^4+5y^3-3$ в точке $A(2,-3)$. Составить уравнения касательной плоскости и соприкасающегося параболоида к графику данной функции.

Видео:3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.Скачать

Экстремумы функции нескольких переменных

Задача 18. Найти точки экстремума функции $z=x^2+xy+y^2+2x-y$.

Задача 19. Найти точки локального экстремума и экстремальные значения $z=x^2+y^2-xy+x+y$.

Задача 20. Исследовать на экстремум функцию $z=x^4+xy+fracy^2+5$.

Задача 21. Определите, при каких значениях параметра $a$ функция $z(x,y)=x^3+y^3+4xy-7x-7y+a(x-1)^2+a(y-1)^2$ в точке (1;1):
А) имеет максимум,
Б) имеет минимум,
В) не имеет экстремума.

Задача 22. Найдите (локальные) экстремумы функции трех переменных $f(x,y,z)=2x^2-xy+2xz-y+y^3+z^2$.

Видео:Уравнение касательнойСкачать

Приближенные вычисления

Задача 23. Вычислить приближенно значение функции $Z=Z(x,y)$ и данной точке с помощью дифференциала.

Задача 24. Дана функция $z=x^2+2xy+3y^2$ и две точки $А (2; 1)$ и $В (1,96; 1,04)$. Требуется:
1) вычислить точное значение функции в точке $В$;
2) вычислить приближённое значение функции в точке $В$, исходя из значения функции в точке $А$ и заменив приращение функции при переходе от точки $А$ к точке $B$ дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом.

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Ряд Тэйлора

Задача 25. Разложите функцию $f(x,y)=x^2ln y + y^2$ по формуле Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано) в окрестности точки $M(2;1)$ до членов второго порядка включительно. Выпишите первый и второй дифференциалы заданной функции.

Задача 26. Найти первые и вторые частные производные функции $F$ и записать формулу Тэйлора в указанной точке $x^0$.

Видео:14.1. Касательная к параметрически заданной функцииСкачать

Наибольшее и наименьшее значение в области

Задача 27. Найти наименьшее $m$ и наибольшее $M$ значения функции $z=f(x,y)=3-2x^2-xy-y^2$ в замкнутой области $D$, заданной системой неравенств $-1 le x le 1; 0le y le 2$. Сделать чертёж области $D$.

Задача 28. Экстремумы функций нескольких переменных. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=5x^2-3xy+y^2+4$ в области, ограниченной заданными линиями $x=0, y=0, x+y=2$.

Видео:Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать

Решение контрольной

Контрольное задание. Дана функция $f(x,y)=x^2+y^2-3xy$
1. Исследовать функцию $f$ на экстремум. Найти экстремальные значения функции.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f$ в заданной области $D$.
3. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности $z=f(x,y)$ в точке, где $x=x_0=1$, $y=y)0=3$.
4. Найти величину наибольшей скорости возрастания функции $f$ в точке $M_1(-1;1)$.
5. Вычислить производную функции $f$ в точке $M_1$ в направлении вектора $overline$. Каков характер изменения функции? Почему?
6. Найти угол между градиентами функции $f$ в точках $M_1$ и $M_2(2;2)$. Построить векторы и указать угол.

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.Скачать

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Видео:Уравнение касательнойСкачать

Дипломный проект – это исследование на научную тему

Рассмотрим график данной функции: и его сечения вертикальными плоскостями и . Как отмечалось выше, прямые, касательные к сечениям графика в этих плоскостях, наклонены, соответственно, к осям и под углами и , такими, что и .

Проведём плоскость через эти две взаимно перпендикулярные касательные. Эта плоскость будет касательной к поверхности графика . Найдём её уравнение.

где , и покажем, что плоскость (7.13) в пространстве , где расположен график, обладает нужными свойствами. Действительно, эта плоскость проходит через точку касания , что проверяется подстановкой координат этой точки в уравнение плоскости (7.13). При , то есть в сечении плоскости (7.13) вертикальной плоскостью , получаем

откуда тангенс угла наклона прямой, лежащей в пересечении плоскостей, с осью равен

Значит, плоскость (7.13) пересекается с вертикальной плоскостью в точности по касательной к сечению графика. Аналогично, плоскость пересекается с плоскостью (7.13) в точности по касательной этого вертикального сечения.

Уравнение (7.13) можно записать также в виде

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной плоскости к поверхности , называется нормалью к этой поверхности, проведённой в точке , или нормальной прямой .

очевидно, перпендикулярен к касательной плоскости (поскольку его координаты равны коэффициентам при и в уравнении касательной плоскости) и, следовательно, параллелен нормали, проведённой через точку касания, то уравнения нормали мы получим как канонические уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно известному вектору :

проходящих через точку . (Заметим, что эта поверхность — график функции — эллиптический параболоид.)

Частные производные от , вычисленные в точке , равны

Подставляя координаты точки касания и значения производных в уравнения касательной плоскости и нормали, получаем

Заметим, что касательная плоскость pасположена гоpизонтально , то есть задаётся уpавнением , если значения частных пpоизводных в точке pавняются 0:

Такие точки называются стационаpными точками функции .

Академик А. А. Марков вел непримиримую борьбу с реакционной политикой царского правительства. Так, в 1903 роду письменным заявлением Марков отказывается от всех царских орденов. В 1908 году Марков наотрез отказывается доносить о революционных настроениях студентов, как этого требовал циркуляр Министерства просвещения.

🌟 Видео

Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать

Алгебра 10 Уравнение касательнойСкачать

Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать

Уравнение касательной к графику функции в заданной точкеСкачать

Касательная к графику функции в точке. 10 класс.Скачать

Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 3. Алгебра 10 классСкачать

Как составить уравнение касательной и нормали к графику функцииСкачать

7. ФНП. Касательная плоскость и нормальная прямая к поверхностиСкачать