Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:
Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 0 , y0 = 1 , тогда z0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’x = 3•x 2
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’y = 5
В точке М0(0,1) значения частных производных:
f’x(0;1) = 0
f’y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0
Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
В точке М0(1,0,1) значения частных производных:
f’x(1;0;1) = -3 /16
f’y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 1 = -3 /16(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /16•x+z- 19 /16 = 0
Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’y = 1/x + x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х0, y0) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x0,y0,z0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 1, y0 = 2, тогда z0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’x = 2•x+3•y 3
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’y = 9•x•y 2
В точке М0(1,2) значения частных производных:
f’x(1;2) = 26
f’y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0
Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение
- VMath
- Инструменты сайта
- Основное
- Навигация
- Информация
- Действия
- Содержание
- Поверхности. Касательная плоскость и нормаль
- Краткие теоретические сведения
- Способы задания поверхностей
- Решение задач
- Задача 1 (Феденко №544)
- Задача 2 (Феденко № 546)
- Задача 3 (Феденко №528)
- Решение задачи 3
- Касательная плоскость. Нормаль
- Краткие теоретические сведения
- Решение задач
- Задача 1 (Феденко №574)
- Задача 2
- Задача 3
- Задача 4
- Задача 5 (Феденко №594)
- Решение задачи 5
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- 🎦 Видео
Видео:14.1. Касательная к параметрически заданной функцииСкачать
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать
Поверхности. Касательная плоскость и нормаль
Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать
Краткие теоретические сведения
Способы задания поверхностей
Рассматриваем вектор–функцию двух скалярных аргументов: $$vec=vec(u,v).$$ Годографом такой функции является поверхность.
Запишем четыре способа задания поверхности: 1. Векторное уравнение: $$vec=vec(u,v).$$ 2. Параметрическое уравнение: $$x=x(u,v),,, y=y(u,v),,, z=z(u,v).$$ 3. Неявное уравнение: $$varPhi(x,y,z)=0.$$ 4. Явное уравнение: $$z=z(x,y).$$
Поверхность называется регулярной ($k$ раз дифференцируемой), если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию (то есть функции $x(u,v), y(u,v),z=z(u,v)$ $k$ раз непрерывно дифференцируемы). При $k=1$ поверхность называется гладкой.
Регулярная поверхность в окрестности каждой своей точки допускает бесчисленное множество параметризаций.
Кривая, лежащая на поверхности $vec=vec(u,v)$, задается уравнениями $$ u=u(t),,, v=v(t).$$ Линии $u=mbox$, $v=mbox$ являются координатными линиями данной параметризации поверхности.
Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать
Решение задач
Задача 1 (Феденко №544)
Дана поверхность begin x=u+v, ,, y=u-v,,, z=uv. end Проверить, принадлежат ли ей точки $A(4,2,3)$ и $B(1,4,-2)$.
Ответ. Точка $A$ принадлежит, так как ее координаты удовлетворяют системе уравнений, задающих поверхность. Точка $B$ не принадлежит поверхности.
Задача 2 (Феденко № 546)
Найдите неявное уравнение поверхности, заданной параметрическими уравнениями: begin begin x & = x_0 + a,mbox,u,mbox,v, \ y & = y_0 + b,mbox,u,mbox,v, \ z & = z_0 + c,mbox,u. end end
Ответ. Эллипсоид с полуосями $a$, $b$, $c$ и центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$: begin frac+frac+frac=1. end
Задача 3 (Феденко №528)
В плоскости $xOz$ задана кривая $x=f(u)$, $z=g(u)$, не пересекающая ось $Oz$. Найдите параметризацию поверхности, полученной при вращении этой кривой вокруг оси $Oz$.
Решение задачи 3
Произвольная точка $M$, принадлежащая кривой и имеющая координаты $x_0=f(u_0)$, $y_0=0$, $z_0=g(u_0)$, движется по окружности с центром на оси $Oz$ и радиусом $R=f(u_0)$ в плоскости, параллельной плоскости $xOy$: $z=g(u_0)$. Поэтому изменение ее координат можно записать следующими уравнениями: begin left< begin x_0 & = & f(u_0),mbox,v, \ y_0 & = & f(u_0),mbox,v, \ z_0 & = & g(u_0). \ end right. end
Поскольку точка $M$ произвольная, уравнение искомой поверхности: begin left< begin x & = & f(u),mbox,v, \ y & = & f(u),mbox,v, \ z & = & g(u). \ end right. end
Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать
Касательная плоскость. Нормаль
Видео:Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать
Краткие теоретические сведения
Пусть $vec=vec(u,v)in C^1$ — поверхность, проходящая через точку $P(u_0, v_0)$. Пусть $u=u(t)$, $v=v(t)$ — уравнения гладкой кривой, проходящей через точку $P(u_0, v_0)$ и лежащей на заданной поверхности.
Пусть точка $P$ не является особой, то есть ранг матрицы begin left( begin x_u & y_u & z_u \ x_v & y_v & z_v \ end right) end в точке $P$ равен $2$ (для особой точки ранг меньше $2$). Если поверхность задана неявно $varPhi(x,y,z)=0$, то в не особой точке $P$ выполняется условие: $varPhi_x^2+varPhi_y^2+varPhi_z^2neq0.$
Касательная к кривой $u=u(t)$, $v=v(t)$ на поверхности $vec=vec(u,v)$ определяется вектором: begin displaystylefrac<dvec>
Обозначения:
— $vec=$ — радиус-вектор произвольной точки касательной плоскости.
— $vec=$ — радиус вектор точки $P(u_0, v_0)$.
— Частные производные $x_u$, $y_u$, $z_u$, $x_v$, $y_v$, $z_v$ вычисляются в точке $P(u_0, v_0)$.
Уравнение касательной плоскости:
1. Если поверхность задана векторно, то уравнение касательной плоскости можно записать через смешанное произведение трех линейно зависимых векторов: $$ left(vec-vec, , vec_u, , vec_v right)=0. $$ 2. Если поверхность задана параметрически, запишем определитель: begin left| begin X-x & Y-y & Z-z \ x_u & y_u & z_u\ x_v & y_v & z_v\ end right|=0 end 3. Если поверхность задана неявным уравнением: begin varPhi_x(X-x)+varPhi_y(Y-y)+varPhi_z(Z-z)=0. end 4. В случая явного задания поверхности, уравнение касательной плоскости примет вид: begin (Z-z)=z_x(X-x)+z_y(Y-y). end
Нормалью поверхности в точке $P$ называется прямая, проходящая через $P$ перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.
Уравнение нормали:
1.$$ vec=vec + lambdavec, ,, vec=vec_utimesvec_v. $$ 2. begin displaystylefrac< left| begin y_u & z_u\ y_v & z_v\ end right|>= displaystylefrac< left| begin z_u & x_u\ z_v & x_v\ end right|>= displaystylefrac< left| begin x_u & y_u\ x_v & y_v\ end right|>. end 3. begin displaystylefrac=displaystylefrac=displaystylefrac. end 4. begin displaystylefrac=displaystylefrac=displaystylefrac. end
Видео:Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать
Решение задач
Задача 1 (Феденко №574)
Дана поверхность begin x=u,mbox,v,,, y=u,mbox,v,,, z=u. end Написать:
а) уравнение касательной плоскости к поверхности;
б] уравнение нормали к поверхности;
в) касательной к линии $u=2$
в точке $Mleft(u=2, v=displaystylefracright)$ поверхности.
Задача 2
Через точки $A(0,1,0)$ и $B(1,0,0)$ провести плоскость, касательную к поверхности $vec=$.
Ответ. $z=0, -2X-2Y+Z+2=0$.
Задача 3
Построить касательную плоскость к поверхности $y=x^2+z^2$, перпендикулярную вектору $vec$.
Задача 4
Через точку $M(1,2,1)$ провести плоскость, касательную к поверхности $x^2+y^2-z^2=0$.
Ответ. $X-Z=0$, $3X-4Y+5Z=0$.
Задача 5 (Феденко №594)
Докажите, что поверхности begin z=mbox(xy), ,, x^2-y^2=a end ортогональны в точках их пересечения.
Решение задачи 5
Запишем направляющие векторы нормалей к поверхностям, проведенным в точках их пересечения: begin begin vec_1&=left<frac<mbox^2(x_0y_0)>,frac<mbox^2(x_0y_0)>,-1right>,\ vec_2&=left. end end Скалярные произведения векторов $n_1$ и $n_2$ равны нулю, следовательно векторы ортогональны. begin n_1cdot n_2=0. end
Видео:Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Пусть поверхность задана в неявном виде: $F(x,y,z)=0$ и пусть точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ принадлежит данной поверхности. Тогда уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке $M_0$ таково:
Уравнение нормали имеет вид:
Если же уравнение поверхности задано в явном виде $z=f(x,y)$, то уравнение касательной плоскости имеет вид:
Уравнение нормали в случае явного задания поверхности таково:
Примечание (желательное для более полного понимания текста): показатьскрыть
Формулы (3) и (4) легко получить из формул (1) и (2). Если $z=f(x,y)$, то перенося $z$ в правую часть равенства получим: $f(x,y)-z=0$. Обозначая $F(x,y,z)=f(x,y)-z$, получим: $F_^=left(f(x,y)-zright)_^=f_^(x,y)-0=f_^(x,y)$. Аналогично и $F_^=left(f(x,y)-zright)_^=f_^(x,y)-0=f_^(x,y)$. Что же касается последней производной (т.е. производной по переменной $z$), то тут нужно учесть, что выражение $f(x,y)$ не содержит $z$, поэтому: $F_^=left(f(x,y)-zright)_^=0-1=-1$. Подставляя в формулы (1) и (2) вместо $F_^$, $F_^$, $F_^$ соответственно $f_^$, $f_^$ и $-1$ и получим формулы (3) и (4).
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=3x^2y^4-6xy^3+5x-4y+10$ в точке $M_0(-2;1;20)$.
Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$, $y_0$, $z_0$ (координаты точки $M_0$) в нашем случае таковы: $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$. Но перед тем, как переходить к решению, осуществим небольшую проверку. Убедимся, что точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Эта проверка не является обязательной, но желательна, ибо ошибка в условиях подобных задач – дело вовсе не редкое. Подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в уравнение нашей поверхности и убедимся, что $z_0$ действительно равно 20:
$$ z_0=3x_^y_^-6x_0y_^+5x_0-4y_0+10=3cdot (-2)^2cdot 1^4-6cdot (-2)cdot 1^3-4cdot 1+10=12+12-4=20. $$
Проверка пройдена, точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Теперь найдём частные производные, т.е. $z_^$ и $z_^$:
Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в выражения частных производных:
Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_^ left(x_0, y_0right)=-13$, $z_^ left(x_0, y_0right)=80$ в формулу (3) получим уравнение касательной плоскости:
Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_^ left(x_0, y_0right)=-13$, $z_^ left(x_0, y_0right)=80$ в формулу (4) получим уравнение нормали:
Ответ: Касательная плоскость: $-13x+80y-z-86=0$; нормаль: $frac=frac=frac$.
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=5sqrt-2xy-39$ в точке $M_0(3;-4;z_0)$.
Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=3$, $y_0=-4$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:
Теперь, как и в предыдущем примере, перейдём к нахождению частных производных $z_^$ и $z_^$. После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения при $x=x_0$ и $y=y_0$:
Подставляя $x_0=3$, $y_0=-4$, $z_0=10$, $z_^ left(x_0, y_0right)=11$, $z_^ left(x_0, y_0right)=-10$ в формулы (3) и (4) получим уравнения касательной плоскости и нормали:
Ответ: Касательная плоскость: $11x-10y-z-63=0$; нормаль: $frac=frac=frac$.
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $3xy^2z+5xy+z^2=10xz-2y+1$ в точке $M_0(1;-2;3)$.
Перенесём все слагаемые в левую часть равенства и обозначим полученное в левой части выражение как $F(x,y,z)$:
Используем формулы (1) и (2). Значения $x_0$, $y_0$ и $z_0$ как и ранее обозначают координаты точки $M_0$, т.е. $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$.
Проверим, действительно ли точка $M_0$ лежит на данной поверхности. Для этого подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражение $3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1$ и выясним, равен ли нулю полученный результат:
Итак, точка $M_0$ действительно лежит на данной поверхности. Естественно, что данная проверка не является обязательной, но она крайне желательна. Перейдём к дальнейшему решению. Нам нужно найти $F_^$, $F_^$ и $F_^$:
Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражения частных производных:
Подставляя $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$, $F_^ left(M_0right)=-4$, $F_^ left(M_0right)=-29$ и $F_^ left(M_0right)=8$ в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:
Ответ: Касательная плоскость: $-4x-29y+8z-78=0$; нормаль: $frac=frac=frac$.
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z^3+4xyz=-3x^2+5y+7$ в точке $M_0(0;-3;z_0)$.
Поверхность задана в неявном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (1) и (2). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=0$, $y_0=-3$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:
Перенесём все слагаемые в левую часть равенства:
Обозначим $F(x,y,z)=z^3+4xyz+3x^2-5y-7$ и применим формулы (1) и (2). Найдём частные производные первого порядка $F_^$, $F_^$ и $F_^$. После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения в точке $M_0$:
Подставляя $x_0=0$, $y_0=-3$, $z_0=-2$, $F_^ left(M_0right)=-24$, $F_^ left(M_0right)=-5$ и $F_^ left(M_0right)=12$ в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:
Ответ: Касательная плоскость: $-24x-5y+12z+9=0$; нормаль: $frac=frac=frac$.
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
🎦 Видео
14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.Скачать
Математика Без Ху!ни. Производная функции, заданной параметрически.Скачать
Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностиСкачать
Уравнение касательной к функции заданной параметрическиСкачать
Касательная к параметрически и неявно заданной функцииСкачать
7. ФНП. Касательная плоскость и нормальная прямая к поверхностиСкачать
Уравнения касательной и нормали к кривойСкачать
Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.Скачать
3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.Скачать
найти уравнение касательной к параметрической кривойСкачать
Уравнение касательной к графику функции в заданной точкеСкачать
Уравнение касательнойСкачать
