Видео:Касательная к графику функции в точке. 10 класс.Скачать
Уравнение касательной к графику функции. 10-й класс
Класс: 10
Презентация к уроку
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: наглядный, частично поисковый.
Цель урока.
- Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
- Развивать логическое мышление, математическую речь.
- Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.
Оборудование: интерактивная доска, компьютер.
I. Организационный момент
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.
II. Актуализация знаний.
(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)
Вспомним, что же такое касательная?
“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)
Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.
Рассмотрим пример. (Слайд № 3)
Пусть дана парабола 
и две прямые 
, имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).
На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.
Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)
III. Подготовительная работа к изучению нового материала.
IV Изучение нового материала.
Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.
Пусть дан график функции 
. На нем выбрана точка 
, в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.
Дадим аргументу приращение 
и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой 
. Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле 
.
Если мы теперь устремим 
к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной 
будет вычисляться по формуле 
.
Следовательно, 
.
Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)
Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке 
.
Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)
Причем, если :
- .
.Выясним общий вид уравнения касательной.
Пусть, прямая задана уравнением 
. Мы знаем, что 
. Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку 
. Подставим в уравнение. Получим 
, т.е. 
. Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:
– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)
Составим уравнение касательной:
- к параболе в точке (Слайд № 13)
- к графику функции в точке
в точке 
(Слайд № 13)
в точке 
Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)
- Обозначим абсциссу точки касания буквой a.
- Вычислим .
- Найдем и .
- Подставим найденные числа , в формулу
.
и 
.
, 
в формулу Рассмотрим типичные задания и их решение.
№1 Составить уравнение касательной к графику функции 
в точке 
.
Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере 
.
1) 
2) 
3) 
; 
4) Подставим найденные числа ,
, 
в формулу.
, т.е. 
Ответ: 
№2 К графику функции 
провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой 
. (Слайд № 17)
Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере 
.
Искомая касательная должна быть параллельна прямой 
. Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: 
.Но 
. Следовательно: 
; 
.
Из уравнения 
,т.е. 
, находим, что 
и 
. Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.
Действуем по алгоритму.
1) 
, 
2) 
, 
3) 
4) Подставив значения ,
, 
, получим 
, т.е. 
.
Подставив значения ,
, 
, получим 
, т.е. 
Ответ: , 
.
V. Решение задач.
1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)
2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12 (б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)
VI. Подведение итогов.
1. Ответьте на вопросы:
- Что называется касательной к графику функции в точке?
- В чем заключается геометрический смысл производной?
- Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?
2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?
3. Выставление отметок.
VII. Комментарии к домашней работе
№ 29.3 (б,г), № 29.12 (а,в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)
Литература. (Слайд 23)
- Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
- ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010.
Видео:Производная: касательная к графику.Скачать
1. Уравнение касательной к графику функции
Теория:
Даны функция (y=f(x)) и точка (M(a;f(a))); известно, что существует f ′ ( a ) .
Уравнение касательной к графику функции (y=f(x)) в точке (M) имеет вид (y=kx+m). Найдём значения коэффициентов (k) и (m).
Известно, что k = f ′ ( a ) . Для вычисления значения (m) воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку (M(a;f(a))).
При подстановке координаты точки (M) в уравнение прямой, получим верное равенство (f(a)=ka+m), т. е. (m=f(a)-ka).
Подставим найденные значения коэффициентов (k) и (m) в уравнение прямой:
y = kx + m ; y = kx + ( f ( a ) − ka ) ; y = f ( a ) + k ( x − a ) ; y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .
Нами получено уравнение касательной к графику функции (y=f(x)) в точке (x=a).
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции (y=f(x))
1. Обозначаем абсциссу точки касания буквой (a).
3. Находим f ′ ( x ) и вычисляем f ′ ( a ) .
4. Подставляем найденные числа (a), (f(a)), f ′ ( a ) в формулу y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .
Для функции (y=f(x)), имеющей производную в фиксированной точке (x), справедливо приближенное равенство Δ y ≈ f ′ ( x ) ⋅ Δ x ;
или, подробнее, f ( x + Δ x ) − f ( x ) ≈ f ′ ( x ) ⋅ Δ x .
В этом приближённом равенстве заменим (x) на (a), вместо x + Δ x будем писать (x) и тогда Δ x будет равно (x-a). Получим:
f ( x ) − f ( a ) ≈ f ′ ( a ) ( x − a ) или f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .
Смысл равенства заключается в том, что приближенное значение функции в точке (x) равно значению касательной в этой точке.
Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать
Уравнение касательной к графику функции
п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace_x+underbrace_ $$
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)
 | Пусть (f(x)=x^2+3). Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1). |
(f(x_0)=1^2+3=4 )
(f'(x)=2x )
(f'(x_0)=2cdot 1=2)
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: (y=2x+2)
п.3. Вертикальная касательная
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]).
 | Пусть (f(x)=sqrt[5]+1). Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1). |
(f(x_0)=sqrt[5]+1=1)
(f'(x)=frac15(x-1)^+0=frac15(x-1)^=frac<5(x-1)^> )
(f'(x_0)=frac<5(1-1)^>=frac10=+infty)
В точке (x_0) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: (x=1)
Ответ: (y=2x+2)
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
 | Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin x=0\ x=-2 end right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке (x_0=0): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end Касательная в точке (x_0=-2): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
 | Общее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4) По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac end Уравнение касательной: begin y=1cdotleft(x+frac34right)-frac=x-frac98 end |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.
 | Найдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end Точка касания (x_0=-frac32) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end Уравнение касательной: begin y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end Или, в каноническом виде: begin 2x+y+frac92=0 end |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
 | У горизонтальной прямой (k=0). Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end Точка касания (x_0=-1) begin f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end Уравнение касательной: begin y=0cdot(x+1)-2=-2 end |
Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.
Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac=-frac) begin f'(x)=left(fracright)’-x’=frac-1=frac=\ =frac=- frac end В точке касания: begin f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac=-fracRightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin x=-14\ x=8 end right. end 
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin f(x_0)=frac+14=frac+14=-18+14=-4\ y=-frac(x+14)-4=-frac end Уравнение касательной при (x_0=8) begin f(x_0)=frac-8=frac-8=-2\ y=-frac(x-8)-2=-frac end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac)
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac)
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: begin f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b — для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin begin 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end Rightarrow begin 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end Rightarrow begin a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end Rightarrow begin a-b=3\ a+b=frac53 end Rightarrow \ Rightarrow begin 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end Rightarrow begin a=frac73\ b=-frac23 end end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$ 
Точки касания: begin a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac-frac+6=frac=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac=frac79 end
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))
Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac<-3pmsqrt> end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin x=0\ 2x^2+3=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x^2=-frac32 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ xinvarnothing end right. Rightarrow x=0 end Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)
 | Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: (y=2x) и (y=2x-1). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0). |
Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac=-0,2 end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt=0,2sqrt=frac<sqrt>)
Ответ: (frac<sqrt>)
📸 Видео
Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.Скачать
Уравнение касательной к графику функции | Алгебра 10 класс #45 | ИнфоурокСкачать
Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать
Уравнение касательнойСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать
Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать
Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Уравнение касательной к графику функции. Алгебра 10 классСкачать
Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 5. Алгебра 10 классСкачать
Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.Скачать
Уравнение касательной к графику функции в заданной точкеСкачать
Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x^2+7x-7. Найдите абсциссу точки касания.Скачать
Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 4. Алгебра 10 классСкачать
Уравнение касательной(shkol-nik.ru)Скачать
Что такое касательная | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать
