Про уравнения - легко » Статьи

Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

Обновлено
Уравнение касательной к графику функции. 10-й класс

Класс: 10

Содержание
  1. Презентация к уроку
  2. 1. Уравнение касательной к графику функции
  3. Теория:
  4. Уравнение касательной к графику функции
  5. п.1. Уравнение касательной
  6. п.2. Алгоритм построения касательной
  7. п.3. Вертикальная касательная
  8. п.4. Примеры
  9. 🎥 Видео

Презентация к уроку

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

    Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
  1. Развивать логическое мышление, математическую речь.
  2. Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер.

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример. (Слайд № 3)

Пусть дана парабола Уравнение касательной к графику дробной функции якласси две прямые Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

  • Сформулировать определение производной. (Слайд № 5)
  • Заполнить таблицу произвольных элементарных функций. (Слайд № 6)
  • Вспомнить правила дифференцирования. (Слайд № 7)
  • Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно) (Слайд №8)

    • IV Изучение нового материала.

    Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

    Пусть дан график функции Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. На нем выбрана точка Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

    Дадим аргументу приращение Уравнение касательной к графику дробной функции якласси рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Если мы теперь устремим Уравнение касательной к графику дробной функции якласск нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной Уравнение касательной к графику дробной функции яклассбудет вычисляться по формуле Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Следовательно, Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

    Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

    Причем, если :

    1. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс
    2. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс
    3. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Выясним общий вид уравнения касательной.

    Пусть, прямая задана уравнением Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Мы знаем, что Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Подставим в уравнение. Получим Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, т.е. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)

    Составим уравнение касательной:

    1. к параболе Уравнение касательной к графику дробной функции яклассв точке Уравнение касательной к графику дробной функции якласс(Слайд № 13)
    2. к графику функции Уравнение касательной к графику дробной функции яклассв точке Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)

    1. Обозначим абсциссу точки касания буквой a.
    2. Вычислим Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.
    3. Найдем Уравнение касательной к графику дробной функции якласси Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.
    4. Подставим найденные числа Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции яклассв формулу Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Рассмотрим типичные задания и их решение.

    №1 Составить уравнение касательной к графику функции Уравнение касательной к графику дробной функции яклассв точке Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    1) Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    2) Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    3) Уравнение касательной к графику дробной функции якласс; Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    4) Подставим найденные числа Уравнение касательной к графику дробной функции якласс,Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции яклассв формулу.

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, т.е. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Ответ: Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    №2 К графику функции Уравнение касательной к графику дробной функции якласспровести касательную так, чтобы она была параллельна прямой Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. (Слайд № 17)

    Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Искомая касательная должна быть параллельна прямой Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.Но Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Следовательно: Уравнение касательной к графику дробной функции якласс; Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Из уравнения Уравнение касательной к графику дробной функции якласс,т.е. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, находим, что Уравнение касательной к графику дробной функции якласси Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

    Действуем по алгоритму.

    1) Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    2) Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    3) Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    4) Подставив значения Уравнение касательной к графику дробной функции якласс,Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, получим Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, т.е. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Подставив значения Уравнение касательной к графику дробной функции якласс,Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, получим Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, т.е. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Ответ: Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    V. Решение задач.

    1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12 (б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)

    VI. Подведение итогов.

    1. Ответьте на вопросы:

    • Что называется касательной к графику функции в точке?
    • В чем заключается геометрический смысл производной?
    • Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

    2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

    3. Выставление отметок.

    VII. Комментарии к домашней работе

    № 29.3 (б,г), № 29.12 (а,в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)

    Литература. (Слайд 23)

    1. Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
    2. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
    3. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
    4. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010.

    Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

    10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функции

    1. Уравнение касательной к графику функции

    Теория:

    Даны функция (y=f(x)) и точка (M(a;f(a))); известно, что существует f ′ ( a ) .
    Уравнение касательной к графику функции (y=f(x)) в точке (M) имеет вид (y=kx+m). Найдём значения коэффициентов (k) и (m).

    Известно, что k = f ′ ( a ) . Для вычисления значения (m) воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку (M(a;f(a))).
    При подстановке координаты точки (M) в уравнение прямой, получим верное равенство (f(a)=ka+m), т. е. (m=f(a)-ka).

    Подставим найденные значения коэффициентов (k) и (m) в уравнение прямой:

    y = kx + m ; y = kx + ( f ( a ) − ka ) ; y = f ( a ) + k ( x − a ) ; y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .

    Нами получено уравнение касательной к графику функции (y=f(x)) в точке (x=a).

    Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции (y=f(x))

    1. Обозначаем абсциссу точки касания буквой (a).

    3. Находим f ′ ( x ) и вычисляем f ′ ( a ) .

    4. Подставляем найденные числа (a), (f(a)), f ′ ( a ) в формулу y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .

    Для функции (y=f(x)), имеющей производную в фиксированной точке (x), справедливо приближенное равенство Δ y ≈ f ′ ( x ) ⋅ Δ x ;

    или, подробнее, f ( x + Δ x ) − f ( x ) ≈ f ′ ( x ) ⋅ Δ x .

    В этом приближённом равенстве заменим (x) на (a), вместо x + Δ x будем писать (x) и тогда Δ x будет равно (x-a). Получим:

    f ( x ) − f ( a ) ≈ f ′ ( a ) ( x − a ) или f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .

    Смысл равенства заключается в том, что приближенное значение функции в точке (x) равно значению касательной в этой точке.

    Видео:Касательная к графику функции в точке. 10 класс.Скачать

    Касательная к графику функции в точке. 10 класс.

    Уравнение касательной к графику функции

    п.1. Уравнение касательной

    Рассмотрим кривую (y=f(x)).
    Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.
    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс
    Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
    Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end

    Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace_x+underbrace_ $$

    п.2. Алгоритм построения касательной

    На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
    Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
    Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
    Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
    Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
    На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассПусть (f(x)=x^2+3).
    Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1).

    (f(x_0)=1^2+3=4 )
    (f'(x)=2x )
    (f'(x_0)=2cdot 1=2)
    Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: (y=2x+2)

    п.3. Вертикальная касательная

    Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
    Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
    А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).

    Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]).

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассПусть (f(x)=sqrt[5]+1).
    Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1).

    (f(x_0)=sqrt[5]+1=1)
    (f'(x)=frac15(x-1)^+0=frac15(x-1)^=frac<5(x-1)^> )
    (f'(x_0)=frac<5(1-1)^>=frac10=+infty)
    В точке (x_0) проходит вертикальная касательная.
    Её уравнение: (x=1)
    Ответ: (y=2x+2)

    п.4. Примеры

    Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
    a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассНаходим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin x=0\ x=-2 end right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0).
    Касательная в точке (x_0=0): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end Касательная в точке (x_0=-2): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end

    б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассОбщее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4)
    По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1)
    Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac end Уравнение касательной: begin y=1cdotleft(x+frac34right)-frac=x-frac98 end

    в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассНайдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2).
    Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end Точка касания (x_0=-frac32) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end Уравнение касательной: begin y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end Или, в каноническом виде: begin 2x+y+frac92=0 end

    г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассУ горизонтальной прямой (k=0).
    Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end Точка касания (x_0=-1) begin f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end Уравнение касательной: begin y=0cdot(x+1)-2=-2 end

    Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)

    Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.

    Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
    Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac=-frac) begin f'(x)=left(fracright)’-x’=frac-1=frac=\ =frac=- frac end В точке касания: begin f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac=-fracRightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin x=-14\ x=8 end right. end Уравнение касательной к графику дробной функции якласс
    Уравнение касательной при (x_0=-14) begin f(x_0)=frac+14=frac+14=-18+14=-4\ y=-frac(x+14)-4=-frac end Уравнение касательной при (x_0=8) begin f(x_0)=frac-8=frac-8=-2\ y=-frac(x-8)-2=-frac end
    Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac)
    и точка касания (8;-2), уравнение (-frac)

    Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.

    Найдем производные функций: begin f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b — для второй.
    Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin begin 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end Rightarrow begin 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end Rightarrow begin a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end Rightarrow begin a-b=3\ a+b=frac53 end Rightarrow \ Rightarrow begin 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end Rightarrow begin a=frac73\ b=-frac23 end end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$ Уравнение касательной к графику дробной функции якласс
    Точки касания: begin a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac-frac+6=frac=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac=frac79 end
    Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))

    Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.

    Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac<-3pmsqrt> end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
    Значит, (xinvarnothing) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
    Что и требовалось доказать.

    Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
    Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin x=0\ 2x^2+3=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x^2=-frac32 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ xinvarnothing end right. Rightarrow x=0 end Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
    Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассИщем расстояние между двумя параллельными прямыми:
    (y=2x) и (y=2x-1).
    Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0).

    Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
    Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac=-0,2 end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
    Находим расстояние (OA=sqrt=0,2sqrt=frac<sqrt>)
    Ответ: (frac<sqrt>)

    🎥 Видео

    Производная: касательная к графику.Скачать

    Производная: касательная к графику.

    Уравнение касательнойСкачать

    Уравнение касательной

    Уравнение касательной к графику функции | Алгебра 10 класс #45 | ИнфоурокСкачать

    Уравнение касательной к графику функции | Алгебра 10 класс #45 | Инфоурок

    Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.Скачать

    Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.

    Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

    Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

    Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

    Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

    Уравнение касательной к графику функции. Алгебра 10 классСкачать

    Уравнение касательной к графику функции. Алгебра 10 класс

    ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

    ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

    Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать

    Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

    Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.Скачать

    Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.

    Уравнение касательной к графику функции в заданной точкеСкачать

    Уравнение касательной к графику функции в заданной точке

    Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x^2+7x-7. Найдите абсциссу точки касания.Скачать

    Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x^2+7x-7. Найдите абсциссу точки касания.

    Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 4. Алгебра 10 классСкачать

    Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 4. Алгебра 10 класс

    Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 5. Алгебра 10 классСкачать

    Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 5. Алгебра 10 класс

    Что такое касательная | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать

    Что такое касательная | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |

    Уравнение касательной(shkol-nik.ru)Скачать

    Уравнение касательной(shkol-nik.ru)
    Поделиться или сохранить к себе: