Про уравнения - легко » Статьи

Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

Обновлено
Уравнение касательной к графику функции. 10-й класс

Класс: 10

Содержание
  1. Презентация к уроку
  2. 1. Уравнение касательной к графику функции
  3. Теория:
  4. Уравнение касательной к графику функции
  5. п.1. Уравнение касательной
  6. п.2. Алгоритм построения касательной
  7. п.3. Вертикальная касательная
  8. п.4. Примеры
  9. 🔍 Видео

Презентация к уроку

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

    Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
  1. Развивать логическое мышление, математическую речь.
  2. Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер.

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример. (Слайд № 3)

Пусть дана парабола Уравнение касательной к графику дробной функции якласси две прямые Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

  • Сформулировать определение производной. (Слайд № 5)
  • Заполнить таблицу произвольных элементарных функций. (Слайд № 6)
  • Вспомнить правила дифференцирования. (Слайд № 7)
  • Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно) (Слайд №8)

    • IV Изучение нового материала.

    Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

    Пусть дан график функции Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. На нем выбрана точка Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

    Дадим аргументу приращение Уравнение касательной к графику дробной функции якласси рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Если мы теперь устремим Уравнение касательной к графику дробной функции якласск нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной Уравнение касательной к графику дробной функции яклассбудет вычисляться по формуле Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Следовательно, Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

    Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

    Причем, если :

    1. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс
    2. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс
    3. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Выясним общий вид уравнения касательной.

    Пусть, прямая задана уравнением Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Мы знаем, что Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Подставим в уравнение. Получим Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, т.е. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)

    Составим уравнение касательной:

    1. к параболе Уравнение касательной к графику дробной функции яклассв точке Уравнение касательной к графику дробной функции якласс(Слайд № 13)
    2. к графику функции Уравнение касательной к графику дробной функции яклассв точке Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)

    1. Обозначим абсциссу точки касания буквой a.
    2. Вычислим Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.
    3. Найдем Уравнение касательной к графику дробной функции якласси Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.
    4. Подставим найденные числа Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции яклассв формулу Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Рассмотрим типичные задания и их решение.

    №1 Составить уравнение касательной к графику функции Уравнение касательной к графику дробной функции яклассв точке Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    1) Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    2) Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    3) Уравнение касательной к графику дробной функции якласс; Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    4) Подставим найденные числа Уравнение касательной к графику дробной функции якласс,Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции яклассв формулу.

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, т.е. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Ответ: Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    №2 К графику функции Уравнение касательной к графику дробной функции якласспровести касательную так, чтобы она была параллельна прямой Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. (Слайд № 17)

    Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Искомая касательная должна быть параллельна прямой Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.Но Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Следовательно: Уравнение касательной к графику дробной функции якласс; Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Из уравнения Уравнение касательной к графику дробной функции якласс,т.е. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, находим, что Уравнение касательной к графику дробной функции якласси Уравнение касательной к графику дробной функции якласс. Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

    Действуем по алгоритму.

    1) Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    2) Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    3) Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    4) Подставив значения Уравнение касательной к графику дробной функции якласс,Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, получим Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, т.е. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    Подставив значения Уравнение касательной к графику дробной функции якласс,Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, получим Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, т.е. Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Ответ: Уравнение касательной к графику дробной функции якласс, Уравнение касательной к графику дробной функции якласс.

    V. Решение задач.

    1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс

    2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12 (б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)

    VI. Подведение итогов.

    1. Ответьте на вопросы:

    • Что называется касательной к графику функции в точке?
    • В чем заключается геометрический смысл производной?
    • Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

    2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

    3. Выставление отметок.

    VII. Комментарии к домашней работе

    № 29.3 (б,г), № 29.12 (а,в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)

    Литература. (Слайд 23)

    1. Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
    2. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
    3. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
    4. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010.

    Видео:Производная: касательная к графику.Скачать

    Производная: касательная к графику.

    1. Уравнение касательной к графику функции

    Теория:

    Даны функция (y=f(x)) и точка (M(a;f(a))); известно, что существует f ′ ( a ) .
    Уравнение касательной к графику функции (y=f(x)) в точке (M) имеет вид (y=kx+m). Найдём значения коэффициентов (k) и (m).

    Известно, что k = f ′ ( a ) . Для вычисления значения (m) воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку (M(a;f(a))).
    При подстановке координаты точки (M) в уравнение прямой, получим верное равенство (f(a)=ka+m), т. е. (m=f(a)-ka).

    Подставим найденные значения коэффициентов (k) и (m) в уравнение прямой:

    y = kx + m ; y = kx + ( f ( a ) − ka ) ; y = f ( a ) + k ( x − a ) ; y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .

    Нами получено уравнение касательной к графику функции (y=f(x)) в точке (x=a).

    Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции (y=f(x))

    1. Обозначаем абсциссу точки касания буквой (a).

    3. Находим f ′ ( x ) и вычисляем f ′ ( a ) .

    4. Подставляем найденные числа (a), (f(a)), f ′ ( a ) в формулу y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .

    Для функции (y=f(x)), имеющей производную в фиксированной точке (x), справедливо приближенное равенство Δ y ≈ f ′ ( x ) ⋅ Δ x ;

    или, подробнее, f ( x + Δ x ) − f ( x ) ≈ f ′ ( x ) ⋅ Δ x .

    В этом приближённом равенстве заменим (x) на (a), вместо x + Δ x будем писать (x) и тогда Δ x будет равно (x-a). Получим:

    f ( x ) − f ( a ) ≈ f ′ ( a ) ( x − a ) или f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .

    Смысл равенства заключается в том, что приближенное значение функции в точке (x) равно значению касательной в этой точке.

    Видео:Касательная к графику функции в точке. 10 класс.Скачать

    Касательная к графику функции в точке. 10 класс.

    Уравнение касательной к графику функции

    п.1. Уравнение касательной

    Рассмотрим кривую (y=f(x)).
    Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.
    Уравнение касательной к графику дробной функции якласс
    Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
    Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end

    Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace_x+underbrace_ $$

    п.2. Алгоритм построения касательной

    На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
    Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
    Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
    Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
    Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
    На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассПусть (f(x)=x^2+3).
    Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1).

    (f(x_0)=1^2+3=4 )
    (f'(x)=2x )
    (f'(x_0)=2cdot 1=2)
    Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: (y=2x+2)

    п.3. Вертикальная касательная

    Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
    Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
    А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).

    Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]).

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассПусть (f(x)=sqrt[5]+1).
    Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1).

    (f(x_0)=sqrt[5]+1=1)
    (f'(x)=frac15(x-1)^+0=frac15(x-1)^=frac<5(x-1)^> )
    (f'(x_0)=frac<5(1-1)^>=frac10=+infty)
    В точке (x_0) проходит вертикальная касательная.
    Её уравнение: (x=1)
    Ответ: (y=2x+2)

    п.4. Примеры

    Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
    a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассНаходим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin x=0\ x=-2 end right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0).
    Касательная в точке (x_0=0): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end Касательная в точке (x_0=-2): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end

    б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассОбщее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4)
    По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1)
    Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac end Уравнение касательной: begin y=1cdotleft(x+frac34right)-frac=x-frac98 end

    в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассНайдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2).
    Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end Точка касания (x_0=-frac32) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end Уравнение касательной: begin y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end Или, в каноническом виде: begin 2x+y+frac92=0 end

    г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассУ горизонтальной прямой (k=0).
    Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end Точка касания (x_0=-1) begin f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end Уравнение касательной: begin y=0cdot(x+1)-2=-2 end

    Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)

    Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.

    Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
    Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac=-frac) begin f'(x)=left(fracright)’-x’=frac-1=frac=\ =frac=- frac end В точке касания: begin f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac=-fracRightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin x=-14\ x=8 end right. end Уравнение касательной к графику дробной функции якласс
    Уравнение касательной при (x_0=-14) begin f(x_0)=frac+14=frac+14=-18+14=-4\ y=-frac(x+14)-4=-frac end Уравнение касательной при (x_0=8) begin f(x_0)=frac-8=frac-8=-2\ y=-frac(x-8)-2=-frac end
    Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac)
    и точка касания (8;-2), уравнение (-frac)

    Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.

    Найдем производные функций: begin f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b — для второй.
    Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin begin 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end Rightarrow begin 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end Rightarrow begin a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end Rightarrow begin a-b=3\ a+b=frac53 end Rightarrow \ Rightarrow begin 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end Rightarrow begin a=frac73\ b=-frac23 end end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$ Уравнение касательной к графику дробной функции якласс
    Точки касания: begin a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac-frac+6=frac=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac=frac79 end
    Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))

    Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.

    Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac<-3pmsqrt> end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
    Значит, (xinvarnothing) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
    Что и требовалось доказать.

    Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
    Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin x=0\ 2x^2+3=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x^2=-frac32 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ xinvarnothing end right. Rightarrow x=0 end Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
    Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)

    Уравнение касательной к графику дробной функции яклассИщем расстояние между двумя параллельными прямыми:
    (y=2x) и (y=2x-1).
    Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0).

    Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
    Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac=-0,2 end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
    Находим расстояние (OA=sqrt=0,2sqrt=frac<sqrt>)
    Ответ: (frac<sqrt>)

    🔍 Видео

    10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

    10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функции

    Уравнение касательной к графику функции | Алгебра 10 класс #45 | ИнфоурокСкачать

    Уравнение касательной к графику функции | Алгебра 10 класс #45 | Инфоурок

    Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

    Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

    Уравнение касательнойСкачать

    Уравнение касательной

    Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.Скачать

    Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.

    Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

    Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

    Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать

    Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

    ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

    ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

    Уравнение касательной к графику функции. Алгебра 10 классСкачать

    Уравнение касательной к графику функции. Алгебра 10 класс

    Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 4. Алгебра 10 классСкачать

    Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 4. Алгебра 10 класс

    Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 5. Алгебра 10 классСкачать

    Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 5. Алгебра 10 класс

    Уравнение касательной к графику функции в заданной точкеСкачать

    Уравнение касательной к графику функции в заданной точке

    Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x^2+7x-7. Найдите абсциссу точки касания.Скачать

    Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x^2+7x-7. Найдите абсциссу точки касания.

    Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.Скачать

    Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.

    Уравнение касательной(shkol-nik.ru)Скачать

    Уравнение касательной(shkol-nik.ru)

    Что такое касательная | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать

    Что такое касательная | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |
    Поделиться или сохранить к себе: