Уравнение касательной и нормали заданной неявно

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М₀.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 0 , y₀ = 1 , тогда z₀ = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_x = 3•x 2
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_y = 5
В точке М₀(0,1) значения частных производных:
f’_x(0;1) = 0
f’_y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М₀(1,0,1) значения частных производных:
f’_x(1;0;1) = -3 /₁₆
f’_y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 1 = -3 /₁₆(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /₁₆•x+z- 19 /₁₆ = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀ = –1, y₀ = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
f_x’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f_y’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_y = 1/x + x.
Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z₀, подставив заданные x₀ = –1 и y₀ = 2 в уравнение поверхности:

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х₀, y₀) и В(х₁,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x₀,y₀,z₀).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 1, y₀ = 2, тогда z₀ = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_x = 2•x+3•y 3
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_y = 9•x•y 2
В точке М₀(1,2) значения частных производных:
f’_x(1;2) = 26
f’_y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Видео:Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

Касательная и нормаль к графику функции

Видео:Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать

Основные формулы

Пусть на некотором интервале X задана функция . Нас интересуют геометрические характеристики графика этой функции в некоторой заданной точке при значении аргумента , где . Пусть функция имеет в производную, которую будем обозначать как . Тогда через точку мы можем провести касательную к графику. Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной равен производной функции в точке :
(1) .
А само уравнение касательной имеет вид:
(2) .
В аналитической геометрии тангенс угла между прямой и осью абсцисс называют угловым коэффициентом прямой. Таким образом производная равна угловому коэффициенту касательной в .
См. Геометрический смысл производной

Прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через точку , называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали имеет вид:
(3) .
См. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ⇓

Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4) , где .
Отсюда .
при .
Вывод формулы ⇓

Видео:11.1. Касательная к неявной функции / производная неявной функции ПРИМЕРЫСкачать

Определения

Здесь мы приводим определения, которые встречаются в литературе, и имеют отношение к касательной и нормали. Вывод формул приводится в примере 1 ⇓.

Определение касательной приводится здесь. Уравнение касательной:
.

Касательная TM₀, нормаль M₀N, подкасательная TP, поднормаль PN. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.
Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.
Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Полезные формулы из аналитической геометрии

Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Здесь – направляющий вектор прямой.

Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов и .

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t :

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.

Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.

Видео:3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.Скачать

Примеры решения задач

Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.

Находим значение функции при :
.

Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2):
;
;
;
– уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .

Касательная и нормаль к графику функции y=x 2 в точке M₀(1;1).

Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (1):
.
Подставляем :
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
– уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .

Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.

Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.

Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .

Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .

Находим производные переменных x и y по параметру t .
;
;
;
;
.

Подставляя , находим производную y по x в точке .
.

Касательная и нормаль к циссоиде в точке (2;2).

Применяя формулу (2), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.

Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3) ,
проведенных в точке .

Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x , считая, что y является функцией от x .
;
;
;
.
Отсюда
.

Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2).
;
;
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.

Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 4

Найти угол между кривыми и .

Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.

Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4) .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .

Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.

Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.

Видео:14.1. Касательная к параметрически заданной функцииСкачать

Вывод формулы для угла между кривыми

Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример ⇑, в котором .

Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
, где .
Или ;
при .

Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.

В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться только в пределах
(Ф2) .

На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше. Поэтому .

При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.

1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).

2) Пусть .
Тогда ; . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:

.

Этот случай изображен на рисунке ⇑.

3) Пусть .
При этом касательные взаимно перпендикулярны, . В этом случае , что указано в (4).

Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-06-2021

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:11. Производная неявной функции примерыСкачать

Поверхности. Касательная плоскость и нормаль

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Краткие теоретические сведения

Способы задания поверхностей

Рассматриваем вектор–функцию двух скалярных аргументов: $$vec=vec(u,v).$$ Годографом такой функции является поверхность.

Запишем четыре способа задания поверхности: 1. Векторное уравнение: $$vec=vec(u,v).$$ 2. Параметрическое уравнение: $$x=x(u,v),,, y=y(u,v),,, z=z(u,v).$$ 3. Неявное уравнение: $$varPhi(x,y,z)=0.$$ 4. Явное уравнение: $$z=z(x,y).$$

Поверхность называется регулярной ($k$ раз дифференцируемой), если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию (то есть функции $x(u,v), y(u,v),z=z(u,v)$ $k$ раз непрерывно дифференцируемы). При $k=1$ поверхность называется гладкой.

Регулярная поверхность в окрестности каждой своей точки допускает бесчисленное множество параметризаций.

Кривая, лежащая на поверхности $vec=vec(u,v)$, задается уравнениями $$ u=u(t),,, v=v(t).$$ Линии $u=mbox$, $v=mbox$ являются координатными линиями данной параметризации поверхности.

Видео:Уравнения касательной и нормали к кривойСкачать

Решение задач

Задача 1 (Феденко №544)

Дана поверхность begin x=u+v, ,, y=u-v,,, z=uv. end Проверить, принадлежат ли ей точки $A(4,2,3)$ и $B(1,4,-2)$.

Ответ. Точка $A$ принадлежит, так как ее координаты удовлетворяют системе уравнений, задающих поверхность. Точка $B$ не принадлежит поверхности.

Задача 2 (Феденко № 546)

Найдите неявное уравнение поверхности, заданной параметрическими уравнениями: begin begin x & = x_0 + a,mbox,u,mbox,v, \ y & = y_0 + b,mbox,u,mbox,v, \ z & = z_0 + c,mbox,u. end end

Ответ. Эллипсоид с полуосями $a$, $b$, $c$ и центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$: begin frac+frac+frac=1. end

Задача 3 (Феденко №528)

В плоскости $xOz$ задана кривая $x=f(u)$, $z=g(u)$, не пересекающая ось $Oz$. Найдите параметризацию поверхности, полученной при вращении этой кривой вокруг оси $Oz$.

Решение задачи 3

Произвольная точка $M$, принадлежащая кривой и имеющая координаты $x_0=f(u_0)$, $y_0=0$, $z_0=g(u_0)$, движется по окружности с центром на оси $Oz$ и радиусом $R=f(u_0)$ в плоскости, параллельной плоскости $xOy$: $z=g(u_0)$. Поэтому изменение ее координат можно записать следующими уравнениями: begin left< begin x_0 & = & f(u_0),mbox,v, \ y_0 & = & f(u_0),mbox,v, \ z_0 & = & g(u_0). \ end right. end

Поскольку точка $M$ произвольная, уравнение искомой поверхности: begin left< begin x & = & f(u),mbox,v, \ y & = & f(u),mbox,v, \ z & = & g(u). \ end right. end

Видео:Касательная к параметрически и неявно заданной функцииСкачать

Касательная плоскость. Нормаль

Видео:14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.Скачать

Краткие теоретические сведения

Пусть $vec=vec(u,v)in C^1$ — поверхность, проходящая через точку $P(u_0, v_0)$. Пусть $u=u(t)$, $v=v(t)$ — уравнения гладкой кривой, проходящей через точку $P(u_0, v_0)$ и лежащей на заданной поверхности.

Пусть точка $P$ не является особой, то есть ранг матрицы begin left( begin x_u & y_u & z_u \ x_v & y_v & z_v \ end right) end в точке $P$ равен $2$ (для особой точки ранг меньше $2$). Если поверхность задана неявно $varPhi(x,y,z)=0$, то в не особой точке $P$ выполняется условие: $varPhi_x^2+varPhi_y^2+varPhi_z^2neq0.$

Касательная к кривой $u=u(t)$, $v=v(t)$ на поверхности $vec=vec(u,v)$ определяется вектором: begin displaystylefrac<dvec>

$ лежат в одной плоскости, определяемой векторами $vec_u$, $vec_v$. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке $P$. Запишем уравнение касательной плоскости.

Обозначения:
— $vec=$ — радиус-вектор произвольной точки касательной плоскости.
— $vec=$ — радиус вектор точки $P(u_0, v_0)$.
— Частные производные $x_u$, $y_u$, $z_u$, $x_v$, $y_v$, $z_v$ вычисляются в точке $P(u_0, v_0)$.

Уравнение касательной плоскости:

1. Если поверхность задана векторно, то уравнение касательной плоскости можно записать через смешанное произведение трех линейно зависимых векторов: $$ left(vec-vec, , vec_u, , vec_v right)=0. $$ 2. Если поверхность задана параметрически, запишем определитель: begin left| begin X-x & Y-y & Z-z \ x_u & y_u & z_u\ x_v & y_v & z_v\ end right|=0 end 3. Если поверхность задана неявным уравнением: begin varPhi_x(X-x)+varPhi_y(Y-y)+varPhi_z(Z-z)=0. end 4. В случая явного задания поверхности, уравнение касательной плоскости примет вид: begin (Z-z)=z_x(X-x)+z_y(Y-y). end

Нормалью поверхности в точке $P$ называется прямая, проходящая через $P$ перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Уравнение нормали:

1.$$ vec=vec + lambdavec, ,, vec=vec_utimesvec_v. $$ 2. begin displaystylefrac< left| begin y_u & z_u\ y_v & z_v\ end right|>= displaystylefrac< left| begin z_u & x_u\ z_v & x_v\ end right|>= displaystylefrac< left| begin x_u & y_u\ x_v & y_v\ end right|>. end 3. begin displaystylefrac=displaystylefrac=displaystylefrac. end 4. begin displaystylefrac=displaystylefrac=displaystylefrac. end

Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

Решение задач

Задача 1 (Феденко №574)

Дана поверхность begin x=u,mbox,v,,, y=u,mbox,v,,, z=u. end Написать:
а) уравнение касательной плоскости к поверхности;
б] уравнение нормали к поверхности;
в) касательной к линии $u=2$
в точке $Mleft(u=2, v=displaystylefracright)$ поверхности.

Задача 2

Через точки $A(0,1,0)$ и $B(1,0,0)$ провести плоскость, касательную к поверхности $vec=$.

Ответ. $z=0, -2X-2Y+Z+2=0$.

Задача 3

Построить касательную плоскость к поверхности $y=x^2+z^2$, перпендикулярную вектору $vec$.

Задача 4

Через точку $M(1,2,1)$ провести плоскость, касательную к поверхности $x^2+y^2-z^2=0$.

Ответ. $X-Z=0$, $3X-4Y+5Z=0$.

Задача 5 (Феденко №594)

Докажите, что поверхности begin z=mbox(xy), ,, x^2-y^2=a end ортогональны в точках их пересечения.

Решение задачи 5

Запишем направляющие векторы нормалей к поверхностям, проведенным в точках их пересечения: begin begin vec_1&=left<frac<mbox^2(x_0y_0)>,frac<mbox^2(x_0y_0)>,-1right>,\ vec_2&=left. end end Скалярные произведения векторов $n_1$ и $n_2$ равны нулю, следовательно векторы ортогональны. begin n_1cdot n_2=0. end

🎦 Видео

Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Производная неявной функции.Скачать

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностиСкачать

Как составить уравнение касательной и нормали к графику функцииСкачать

Математика Без Ху!ни. Производная функции, заданной параметрически.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.Скачать