Уравнение из высшей математики с ответом

На этой странице мы собрали простые и сложные примеры из курса высшей математики — от векторов и матриц до дифференциальных уравнений. На каждую тему приведен один решенный пример и даны ссылки на разделы, где собраны другие решения. Фактически, это шпаргалка-каталог типовых задач и решений к ним.

Если вам нужна помощь, узнайте больше о заказе решений по высшей математике.

Далее решенные задачи по темам:

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Высшая математика. Комплексные числа

Задача. Вычислить сумму $(z_1 + z_2)$ и разность $(z_1 — z_2)$ комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости.

Видео:КАК РАЗОБРАТЬСЯ В ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕСкачать

Высшая математика. Матрицы

Задача. Найти матрицу, обратную матрице $A$. Сделать проверку.

$$A= begin 1 & 2 & 1 & -1\ 1 & 1 & 0 & 0\ 0 & 2 & 0 & -1\ 1 & 1 & 1 & 0\ end $$

Видео:Высшая математика. Рисую дерево вышматаСкачать

Высшая математика. Определители

Задача. Вычислить определитель матрицы $A$

$$A= begin 4 & 5 & 6 & 5 & 11\ 1 & 4 & 2 & 0 & 13\ 1 & 1 & 0 & -1 & 5\ 3 & 2 & 3 & 0 & 7\ 4 & 1 & 2 & 3 & 8\ end $$

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Высшая математика. Системы уравнений

Задача. Исследовать на совместность и решить систему уравнений:

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Высшая математика. Векторы

Задача. Написать разложение вектора $X$ по векторам $(a, b, c)$.

Видео:Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия на плоскости

Задача. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Аналитическая геометрия в пространстве

Задача. Для пирамиды с вершинами в точках $A_1, A_2, A_3, A_4$ найти:
А) длину ребра $A_1A_2$;
Б) угол между ребрами $A_1A_2$ и $A_1A_4$;
В) уравнение плоскости $A_1A_2A_3$;
Г) площадь грани $A_1A_2A_3$;
Д) угол между ребрами $A_1A_4$ и плоскостью $A_1A_2A_3$;
Е) уравнение высоты, опущенной из точки $A_4$ на грань $A_1A_2A_3$;
Ж) объем пирамиды $A_1A_2A_3A_4$.

Видео:Тест-драйв | Решение тригонометрических уравнений | Математика (профиль) NeoFamily ЕГЭ-2024Скачать

Высшая математика. Пределы

Задача. Найти предел функции

Видео:Задача из вступительного теста по математике в ОксфордСкачать

Высшая математика. Производные

Задача. Найти производную от следующей функции

Видео:Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математикаСкачать

Высшая математика. Исследование функции

Задача. Провести полное исследование функции и построить график.

Видео:Матрицы: начало. Высшая математикаСкачать

Высшая математика. Интегралы

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Высшая математика. Применение интегралов

Задача. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями:

$$ x=3(1-cos t)cos t, quad y=3(1-cos t)sin t, quad 0leq t leq pi. $$

Высшая математика. Кратные и криволинейные интегралы

Видео:Супер жесть! Уравнение с олимпиадыСкачать

Высшая математика. Ряды

Задача. Исследовать сходимость числового ряда

Видео:Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать

Высшая математика. Дифференциальные уравнения

Задача. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Видео:Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

Высшая математика. Теория вероятностей

Задача. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит 8; б) произведение числа очков не превосходит 8; в) произведение числа очков делится на 8.

Видео:Как распознать талантливого математикаСкачать

Высшая математика — задачи с решением и примерами

Прежде чем изучать готовые решения задач по высшей математике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила лекции по предмету «высшая математика», в которых подробно решены задачи.

Я собрала весь курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики, это самый полный курс лекций на сегодняшний день в интернете! Он подходит для школьников и студентов всех курсов и специальностей обучения. Курс лекций содержит, правила, теоремы, примеры решения.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Высшая математика

Высшая математика — это совокупность математических дисциплин, преподаваемых в высших учебных заведениях (ВУЗах). В разных университетах могут преподаваться разные наборы математических дисциплин.

В технических университетах и институтах, например, курс высшей математики может включать следующие разделы:

• аналитическая геометрия и линейная алгебра;
• математический анализ в объёме дифференцирования и интегрирования функции одной переменной и функции нескольких переменных;
• теория кратных интегралов и векторное поле;
• обыкновенные дифференциальные уравнения;
• числовые и функциональные ряды;
• теория функции комплексного переменного;
• преобразование Лапласа и операционное исчисление;
• гармонический анализ и теория рядов Фурье;
• уравнения математической физики; вариационное исчисление.

В высших учебных заведениях с гуманитарной и экономической направленностью курс по высшей математике может существенно отличаться от соответствующего курса в техническом университете. Скорее всего, экономисты и гуманитарии изучают только основы линейной алгебры и математического анализа.

Во многих высших учебных заведениях курс высшей математики включает такие разделы, как дискретная математика: математическая логика; теория графов и др.

Высшая математика считается самым сложным предметом в университете.

Видео:Парадокс Монти Холла | Двадцать одно. 2008. Момент из фильма [1080p]Скачать

Элементы линейной алгебры

Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения[⇨], системы линейных уравнений[⇨], среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы[⇨], сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы[⇨], тензоры[⇨] и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Матрицы

Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк одинаковой длины (или столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

или, сокращенно, , где (т. е. ) — номер строки, (т. е. ) — номер столбца.

Матрицу называют матрицей размера и пишут . Числа , составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют гласную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е.

, если , где , .

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера называют матрицей -го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой .

Пример №1.1.

— единичная матрица 3-го порядка.

— единичная матрица -го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой . Имеет вид

В матричном исчислении матрицы и играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:

Матрица размера , состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е. есть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается .

Так, если , то , если , то .

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: .

Лекции и примеры решения к этой теме:

Определители

Основные понятия

Квадратной матрице порядка можно сопоставить число (или , или ), называемое ее определителем, следующим образом:

Определитель матрицы также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда (с. 23, свойство 7). При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

Пример №2.1.

Найти определители матриц

и .

Решение:

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

Лекции и примеры решения к этой теме:

Системы линейных уравнений

Основные понятия

Системой линейных, алгебраических уравнений, содержащей уравнений и неизвестных, называется система вида

где числа , называются коэффициентами системы, числа — свободными членами. Подлежат нахождению числа .

Такую систему удобно записывать в компактной матричной
форме

Здесь — матрица коэффициентов системы, называемая основной
матрицей:

— вектор-столбец из неизвестных ,

— вектор-столбец из свободных членов .

Произведение матриц определено, так как в матрице столбцов столько же, сколько строк в матрице ( штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется значений неизвестных при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется оборш решением.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две; системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Видео:Самая простая нерешённая задача — гипотеза Коллатца [Veritasium]Скачать

Элементы векторной алгебры

Векторная алгебра — это раздел математики, отвечающий за изучение систем линейных уравнений, векторов, матриц, векторных пространств и их линейных преобразований.

Векторная алгебра в высшей математике распределена по разделам:

• раздел векторного исчисления, изучающий линейные операции с векторами и их геометрические свойства;
• часть линейной алгебры, занимающаяся векторными пространствами;
• различные векторные алгебры XIX века (например, кватернионов, бикватернионов, сплит-кватернионов).

Векторы

Основные понятия

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если — начало вектора, а — его конец, то вектор обозначается символом или . Вектор (у него начало в точке , а конец в точке ) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается —.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают .

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора и называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства.

На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство , но . Векторы и — противоположные, .

Равные векторы называют также свободными.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хота бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Аналитическая геометрия на плоскости

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры. В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Такой метод «алгебраизации» геометрических свойств доказал свою универсальность и плодотворно применяется во многих естественных науках и в технике.

В высшей математике аналитическая геометрия является также основой для других разделов геометрии — например, дифференциальной, алгебраической, комбинаторной и вычислительной геометрии.

Система координат на плоскости

Основные понятия

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной
из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения — началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью ), другую — осью ординат (осью ) (рис. 23).

На рисунках ось абсцисс, обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат — вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области — четверти (или квадранты).

Единичные векторы осей обозначают и .

Систему координат обозначают (или ), а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку плоскости . Вектор называется радиусом-вектором точки .

Координатами точки в системе координат () называются координаты радиуса-вектора . Если , то координаты точки записывают так: , число называется абсциссой точки , — ординатой точки .

Эти два числа и полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел и соответствует единственная точка плоскости, и наоборот.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой , называемой полюсом, лучом , называемым полярной осью, и единичным’ вектором того же направления, что и луч .

Возьмем на плоскости точку , не совпадающую с . Положение точки определяется двумя числами: ее расстоянием от полюса и углом , образованным отрезком с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 24).

Числа и называются полярными координатами точки , пишут (;), при этом называют полярным радиусом, — полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол ограничить промежутком (или ), а полярный радиус — . В этом случае каждой точке плоскости (кроме ) соответствует единственная пара чисел и , и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс с началом координат системы , а полярную ось — с положительной полуосью . Пусть и — прямоугольные координаты точки , а и — ее полярные координаты.

Из рисунка 25 видно, что прямоугольные координаты точки выражаются через полярные координаты точки следующим образом:

Полярные же координаты точки выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами:

Определяя величину , следует установить (по знакам и ) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что .

Пример №9.1.

Дана точка . Найти полярные координаты точки .

Решение:

Находим и :

Отсюда . Но так как точка лежит в 3-й четверти, то и . Итак, полярные координаты точки есть , т. е. .

Лекции и примеры решения к этой теме:

Преобразование системы координат

Основные понятия

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы, координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Линии второго порядка на плоскости

Основные понятия

Рассмотрим .пинии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Коэффициенты уравнения — действительные числа, но по крайней мере одно из чисел или отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором с помощью алгебры исследуются геометрические фигуры и их свойства. Этот метод основан на так называемом координатном методе, впервые примененном Декартом в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Этот метод «алгебры» геометрических свойств доказал свою многогранность и плодотворно применяется во многих естественных науках и техниках.

Уравнения поверхности и линии в пространстве

Лекции и примеры решения к этой теме:

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

По заданному уравнению поверхности второго порядка (т. е. поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второй степени) будем определять ее геометрический вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им параллельными.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Введение в математический анализ

Математический анализ — это совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное[⇨] и интегральное[⇨] исчисления.

Множество чисел

Лекции и примеры решения к этой теме:

Понятие функции

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества и . Соответствие , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается , или . Говорят еще, что функция отображает множество на множество .

Например, соответствия и , изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г — нет. В случае в — не каждому элементу соответствует элемент . В случае г не соблюдается условие однозначности.

Множество называется областью определения функции и обозначается . Множество всех называется множеством значений функции и обозначается .

Числовые функции. График функции. Способы задания функций

Пусть задана функция .

Если элементами множеств и являются действительные числа (т. е. и ), то функцию называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать .

Переменная называется при этом аргументом или независимой переменной, a — функцией или зависимой переменной (от ). Относительно самих величин и говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость от пишут в виде , не вводя новой буквы () для обозначения зависимости.

Частное значение функции при записывают так: .
Например, если , то .

Графиком функции называется множество всех точек плоскости , для каждой из которых является значением аргумента, а — соответствующим значением функции.

Например, графиком функции является верхняя полуокружность радиуса с центром в (см. рис. 99).

Чтобы задать функцию , необходимо указать правило, позволяющее, зная , находить соответствующее значение .

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции является отрезок [-1; 1].

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию .

Графический способ: задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции , соответствующие тем или иным значениям аргумента , непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком — его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

Основные характеристики функции

1. Функция , определенная на множестве , называется четной, если выполняются условия и ; нечетной, если выполняются условия и .

График четной функции симметричен относительно оси , а нечетной — относительно начала координат.

Например, — четные функции; а — нечетные функции; — функции общею вида, т. е. не четные и не нечетные.

2. Пусть функция определена на множестве и пусть . Если для любых значений аргументов из неравенства неравенство: , то функция называется возрастающей на множестве , то функция называется неубывающей на множестве , то функция называется убывающей на множестве ; , то функция называется невозрастающей на множестве .

Например, функция, заданная графиком (см. рис. 100), убывает на интервале (—2; 1), не убывает на интервале (1; 5), возрастает на интервале (3; 5).

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна на (—2; 1) и (3; 5); монотонна на (1;3).

3. Функцию , определенную на множестве , называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство (короткая запись: , называется ограниченной на , если . Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми и (см. рис. 101).

4. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при каждом значение . При этом число называется периодом функции. Если — период функции, то ее периодами будут также числа, где Так, для периодами будут числа Основной период (наименьший положительный) — это период . Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число , удовлетворяющее равенству .

Лекции и примеры решения к этой теме:

Предел функции

Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, являющихся образами точек такой последовательности элементов области определения функции, которая сходится к точке, в которой рассматривается предел. Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, иначе говорят, что функция расходится.

Лекция и примеры решения к этой теме:

Эквивалентные бесконечно малые функции

Быстрым способом нахождения пределов функций имеющих особенности вида ноль на ноль является применение эквивалентных бесконечно малых функций. Они крайне необходимы если нужно находить границы без применения правила Лопиталя. Эквивалентности заключаются в замене функции ее разложением в ряд Маклорена. Как правило при вычислении предела используют не более двух членов разложения.

Лекция и примеры решения к этой теме:

Непрерывность функций

Непрерывная функция — это функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Производная функции

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Задачи, приводящие к понятию производной

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Производные высших порядков

Если функция y=f(x) имеет производную в каждой точке x своей области определения, то ее производная f′(x) есть функция от x. Функция y=f′(x), в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго (высшего) порядка функции y=f(x) (или второй производной) и обозначают символом f′′(x).

Лекции и примеры решения к этой теме:

Дифференциал функции

Дифференциал — это линейная часть приращения функции.

Понятие дифференциала функции

Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную . Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющихся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем :

Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции .

Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ):

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной , т. е. дифференциал функции .

Так как , то, согласно формуле (24.1), имеем , т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: .

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .

Пример №24.1.

Найти дифференциал функции

Решение:

По формуле находим

Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции в точке касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки (см. рис. 138). На рисунке . Из прямоугольного треугольника имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому .

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем , т. е. дифференциал функции в точке ранен приращению ординаты, касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение .

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: .

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть и две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию . По теореме о производной сложной функции можно написать

Умножив обе части этого равенства на , получаем . Но и . Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

Сравнивая формулы и , видим, что первый дифференциал функции определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула по внешнему виду совпадает с формулой , но между ними есть принципиальное отличий: в первой формуле — независимая переменная, следовательно, , во второй формуле и есть функция от , поэтому, вообще говоря, .

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например, .

Лекции и примеры решения к этой теме:

Исследование функций при помощи производных

В заданиях ЕГЭ по математике обязательно встретиться исследование функции с помощью производной. Исследование функций при помощи производных – не самая простая в мире вещь. Но в КИМах не встречается такого, с чем бы не справился ученик средней школы, если он приложил достаточно стараний к учебе.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Комплексные числа

Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a. Видно, что действительные числа — это частный случай комплексных чисел.

Понятие и представления комплексных чисел

Основные понятия

Комплексным числом называется выражение вида , где и — действительные числа, а — так называемая мнимая единица, .

Если , то число называется чисто мнимым; если , то число отождествляется с действительным числом , а это означает, что множество всех действительных чисел является подмножеством множества всех комплексных чисел, т. е. .

Число называется действительной частью комплексного числа и обозначается , а — мнимой частью , .

Два комплексных числа и называются равными () тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: . В частности, комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда: . Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Два комплексных числа и , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Понятие неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию , зная ее производную (или дифференциал). Искомую функцию называют первообразной функции .

Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство

(или ).

Например, первообразной функции , является функция , так как

Очевидно, что.первообразными будут также любые функции

где — постоянная, поскольку

Теорема 29.1. Если функция является первообразной функции на , то множество всех первообразных для задается формулой , где — постоянное число.

Функция является первообразной . Действительно, .

Пусть — некоторая другая, отличная от , первообразная функции , т. е. . Тогда для любого имеем

А это означает (см. следствие 25.1), что

где — постоянное число. Следовательно, .

Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

Таким образом, по определению

Здесь называется подынтегральной функцией, — подынтегральным выражением, — переменной интегрирования, — знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых (каждому числовому значению соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 165). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?

Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на функция имеет на этом промежутке первообразную», а следовательно, и неопределенный интеграл.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Основные методы интегрирования

Лекции и примеры решения к этой теме:

Интегрирование рациональных функций

Лекции к этой теме:

Интегрирование тригонометрических функций

Лекции и примеры решения к этой теме:

Интегрирование иррациональных функций

Лекции и примеры решения к этой теме:

Определенный интеграл

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)[⇨]. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨]. В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Лекции и примеры решения к этой теме:

Несобственные интегралы

Определенный интеграл , где промежуток интегрирования конечный, а подынтегральная функция непрерывна на отрезке , называют еще собственным интегралом.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Геометрические и физические приложения определенного интеграла

Лекции и примеры решения к этой теме:

Механические приложения определенного интеграла

Лекции и примеры решения к этой теме:

Приближенное вычисление определенного интеграла

Лекция и примеры решения к этой теме:

Функции нескольких переменных

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

Лекции и примеры решения к этой теме:

Экстремум функции двух переменных

Основные понятия

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).

Пусть функция определена в некоторой области точка .

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство .

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек , отличных от , из -окрестности точки выполняется неравенство: .

На рисунке 209: — точка максимума, а — точка минимума функции .

Значение функции в точке максимума (минимума) называется
максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к . В области функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение — уравнение, в которое входят производные функции и могут входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Общие сведения о дифференциальных уравнениях

Основные понятия

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнения является функция — первообразная для функции .

Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях (ДУ).

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае — ДУ в частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновенные ДУ.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Например, уравнение — обыкновенное ДУ третьего порядка, а уравнение — первого порядка; — ДУ в частных производных первого порядка.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ — интегральной кривой.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям.

Лекция и примеры решения к этой теме:

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде

Уравнение связывает независимую переменную , искомую функцию и ее производную . Если уравнение (48.1) можно разрешить относительно , то его записывают в виде

и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ.

Уравнение (48.2) устанавливает связь (зависимость) между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости . Таково геометрическое истолкование ДУ первого по рядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить , т. е. .

Пример №48.1.

С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения .

Решение:

Уравнение изоклин этого ДУ будет , т. е. изоклинами здесь будут прямые, параллельные оси . В точках прямых проведем отрезки, образующие с осью один и тот же угол , тангенс которого равен .

Так, при имеем , поэтому ;

при уравнение изоклины , поэтому и ;

при

при и т. д.

Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси под определенным углом (см. рис. 213), по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют собой семейство парабол.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

где и — известные функции. Уравнение (48.3) удобно тем, что переменные и в нем равноправны, т. е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записи ДУ можно перейти к другому.

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величинами). Легко догадаться, что решением уравнения является функция , а также , и вообще где .

Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям.

Условие, что при функция должна быть равна заданному числу , т. е. называется начальным условием. Начальное условие записывается в виде

или

Общим решением ДУ первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1. Функция является решением ДУ при каждом фиксированном значении .
2. Каково бы ни было начальное условие (48.4), можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной .

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде уравнения , то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение в этом случае называется частным интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения есть семейство интегральных кривых на плоскости , частное решение — одна кривая из этого семейства, проходящая через точку .

Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетворяющего заданному начальному условию (48.4), называется задачей Коши.

Теорема 48.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (48.2) функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области , содержащей точку , то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (48.4).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку .

Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка определенного типа.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

Будем в основном рассматривать уравнение вида (49.2): от него всегда, можно перейти к (49.1).

Решением ДУ (49.2) называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ (49.2) называется функция , где и — не зависящие от произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1. является решением ДУ для каждого фиксированного значения и .

2. Каковы бы ни были начальные условия

существуют единственные значения постоянных и такие, что функция является решением уравнения (49.2) и удовлетворяет начальным условиям (49.3).

Всякое решение уравнения (49.2), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных , , называется частным решением.

Решения ДУ (49.2), записанные в виде

называются общим и частным интегралом соответственно.

График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение ДУ (49.2) представляет собой множество интегральных кривых; частное решение — одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом .

Переписав ДУ (49.1) в виде

видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координатами точки интегральной кривой, угловым коэффициентом касательной к ней и кривизной в точке . В этом состоит геометрическое истолкование ДУ второго порядка.

Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ (49.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (49.3), называется задачей Коши.

Теорема 49.1 (существования и единственности задачи Коши). Если в уравнении (49.2) функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области изменения переменных , и , то для всякой точки существует единственное решение уравнения (49.2), удовлетворяющее начальным условиям (49.3).

Примем теорему без доказательства.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ -го порядка, которое в общем виде записывается как

если его можно разрешить относительно старшей производной.

Начальные условия для ДУ (49.4) имеют вид

Общее решение ДУ -го порядка является функцией вида

содержащей произвольных, не зависящих от постоянных.

Решение ДУ (49.4), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных , называется частным решением.

Задача Коши для ДУ -го порядка: найти решение ДУ (49.4), удовлетворяющее начальным условиям (49.5).

Проинтегрировать (решить) ДУ -го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.

Задача нахождения решения ДУ -го порядка сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.

Лекция и примеры решения к этой теме:

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия

Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям.

где — заданные функции (от ), называется линейным ДУ -го порядка.

Оно содержит искомую функцию и все ее производные дашь в первой степени. Функции называются коэффициентами уравнения (49.11), а функция — его свободным членом.

Если свободный член , то уравнение (49.11) называется линейным однородным уравнением; если , то уравнение (49.11) называется неоднородным.

Разделив уравнение (49.11) на и обозначив

запишем уравнение (49.11) в виде приведенного:

Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (49.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (49.12) являются непрерывными функциями (на некотором интервале ). При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (49.12) (см. теорему 49.1).

Лекции и примеры решения к этой теме:

Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Лекции и примеры решения к этой теме:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)

Лекции и примеры решения к этой теме:

Системы дифференциальных уравнений

Основные понятия

Для решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций I порядка; отыскания векторных линий ноля и других) нередко требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей искомых функций , следующий:

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. система вида

называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (52.1).

Так, система трех ДУ второго порядка

описывающая движение тонки в пространстве, путем введения новых переменных: , приводится к нормальной системе ДУ:

Уравнение третьего порядка путем замены сводится к нормальной системе ДУ

Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормальных систем.

Решением системы (52.1) называется совокупность из функций , удовлетворяющих каждому из уравнений этой
системы.

Начальные условия для системы (52.1) имеют вид

Задача Коши для системы (52.1) ставится следующим образом: найти решение системы (52.1), удовлетворяющее начальным условиям (52.2).

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства.

Теорема 52.1 (Коши). Если в системе (52.1) все функции

непрерывны вместе со всеми своими частными производными по в некоторой области (-мерного пространства), то в каждой точке этой области существует, и притом единственное, решение системы, удовлетворяющее начальным условиям (52.2).

Меняя в области точку (т. е. начальные условия), получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения, зависящего от произвольных постоянных:

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (52.2) можно однозначно определить постоянные из системы уравнений

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных , называется частным решением системы (52.1).

Лекции и примеры решения к этой теме:

Двойные и тройные интегралы

Двойной интеграл — это обобщение понятия определенного интеграла на двумерный случай.

Тройной интеграл — это аналог двойного интеграла для функции трёх переменных, заданной как f(M) = f(x, y, z).

Двойной интеграл

Основные понятия и определения

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области плоскости задана непрерывная функция . Разобьем область на «элементарных областей» площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) — через (а рис. 214).

В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений:

(53.1) Эта сумма называется интегральной суммой функции в области .

Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда стремится к бесконечности таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается или .

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция называется интегрируемой в области ; — область интегрирования; и — переменные интегрирования; (или ) — элемент площади.

Для всякой ли функции существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.

Теорема 53.1 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.

1. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.
2. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область на площадки
   прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом , равенство (53.2) можно записать в виде

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу, по ссылкам:

Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. п. 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства. Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

Если область разбить линией на две области и такие, что , а пересечение и состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то

Если в области имеет место неравенство , то и . Если в области функции и удовлетворяют неравенству , то и

, так как .

Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то , где и — соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка , что . Величину

называют средним значением функции в области .

Лекции и примеры решения к этой теме:

Тройной интеграл

Основные понятия

Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый «тройной интеграл».

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.

Пусть в замкнутой области пространства задана непрерывная функция . Разбив область сеткой поверхностей на частей и выбрав в каждой из них произвольную точку , составим интегральную сумму для функции по области (здесь — объем элементарной области ).

Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа таким образом, что каждая «элементарная область» стягивается в точку (т. е. диаметр области стремится к пулю, т. е. ), то его называют тройным интегралом от функции по области и обозначают

Таким образом, по определению, имеем:

Здесь — элемент объема.

Теорема 54.1 (существования). Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то предел интегральной суммы (54.1) при и существует и не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них.

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:

, если , а пересечение и состоит из границы, их разделяющей.

, если в области функция .

Если в области интегрирования , то и

, так как в случае любая интегральная сумма имеет вид и численно равна объему тела.

Оценка тройного интеграла:

где и — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в области .

Теорема о среднем значении: если функция непрерывна в замкнутой области , то в этой области существует такая точка , что

где — объем тела.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Криволинейные и поверхностные интегралы

Обобщением определенного интеграла на случай, когда область интегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криво линейный интеграл.

Криволинейный интеграл I рода

Основные понятия

Пусть на плоскости задана непрерывная кривая (или ) длины . Рассмотрим непрерывную функцию , определенную и точках дуги . Разобьем кривую точками на произвольных дуг с длинами (см. рис. 233). Выберем на каждой дуге произвольную точку и составим сумму

Ее называют интегральной суммой, для функции по кривой .

Пусть — наибольшая из длин дуг деления. Если при (тогда ) существует конечный предел интегральных сумм (55.1), то его называют криволинейным интегралом от функции по длине кривой (или I рода) и обозначают (или ).

Таким образом, по определению,

Условие существования криволинейного интеграла 1 рода (существования предела интегральной суммы (55.1) при ()) представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без доказательства.

Теорема 55.1. Если функция непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интеграла от функции по пространственной кривой .

Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги (I рода).

1. , т. е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.

2.

3.

4. , если путь интегрирования разбит на части и такие, что и и имеют единственную общую точку.

5. Если для точек кривой выполнено неравенство , то .

6. , где — длина кривой .

7. Если функция непрерывна на кривой , то на этой кривой найдется точка такая, что (теорема о среднем).

Лекции и примеры решения к этой теме:

Криволинейный интеграл II рода

Основные понятия

Решение задачи о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) приводит к понятию криволинейного интеграла II рода.

Криволинейный интеграл II рода определяется почти так же, как и интеграл I рода.

Пусть в плоскости задана непрерывная кривая (или ) и функция , определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую точками в направлении от точки к точке на дуг с длинами .

На каждой «элементарной дуге» возьмем точку и составим сумму вида

где — проекция дуги на ось (см. рис. 237).

Сумму (56.1) называют интегральной суммой для функции по переменной . Таких сумм можно составить бесчисленное множество. (Отличие сумм (55.1) и (56.1) очевидно.)

Если при интегральная сумма (56.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой , ни от выбора точек , то его называют криволинейным интегралом по координате (или II рода) от функции по кривой и обозначают или .

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции по координате :

где — проекция дуги на ось .

Криволинейный интеграл II рода общего вида

Криволинейный интеграл по пространственной кривой определяется аналогично.

Теорема 56.1. Если кривая гладкая, а функции и непрерывные на кривой , то криволинейный интеграл II рода существует.

Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла II рода.

1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т. е.

(проекция дуги на оси и меняют знаки с изменением направления).

2. Если кривая точкой разбита на две части и , то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е.

3. Если кривая лежит в плоскости, перпендикулярной оси , то

(все );

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси :

(все ).

4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается ) не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

(см. рис. 238). С другой стороны,

Лекции и примеры решения к этой теме:

Поверхностный интеграл I рода

Основные понятия

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхности , с площадью , пространства определена непрерывная функция . Разобьем поверхность на частей , площади которых обозначим через (см. рис. 246), а диаметры — через , . В каждой части возьмем произвольную точку и составим сумму

Она называется интегральной для функции по поверхности .

Если при интегральная сумма (57.1) имеет предел, то он называется поверхностным интегралом I рода от функции по поверхности и обозначается .

Таким образом, по определению,

Отметим, что «если поверхность гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема существования).

Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

1. , где — число.

2.

3. Если поверхность разбить на части и такие, что , а пересечение и состоит лишь из границы, их разделяющей, то

4. Если на поверхности выполнено неравенство , то .

5. , где — площадь поверхности .

6. .

7. Если непрерывна на поверхности , то на этой поверхности существует точка такая, что

(теорема о среднем значении).

Лекции и примеры решения к этой теме:

Поверхностный интеграл II рода

Основные понятия

Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволинейного интеграла II рода, где направленную кривую разлагали на элементы и проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.

Пусть задана двусторонняя поверхность (таковой является плоскость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнением , где , и — функции, непрерывные в некоторой области плоскости и т. д.). После обхода такой поверхности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меняется. Примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон и прямоугольника так, что точка совмещается с точкой , а — с (см. рис. 251).

Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности в пространстве определена непрерывная функция . Выбранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность ориентирована) разбиваем на части , где , и проектируем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции берем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности, или, что то же самое, если нормаль к выбранной стороне поверхности составляет с осью острый угол (см. рис. 252, в), т. е. ; со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или ) (см. рис. 252, б). В этом случае интегральная сумма имеет вид

где — площадь проекции на плоскость . Ее отличие от интегральной суммы (57.1) очевидно.

Предел интегральной суммы (58.1) при , если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности на части и от выбора точек , называется поверхностным интегралом II рода (по координатам) от функции по переменным и по выбранной стороне поверхности и обозначается

Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода по переменным и и и :

Общим видом поверхностного интеграла II рода служит интеграл

где — непрерывные функции, определенные в точках двусторонней поверхности .

Отметим, что если — замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне ее обозначается , по внутренней .

Из определения поверхностного интеграла II рода вытекают следующие его свойства:

1. Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла.
3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.
4. Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности равен сумме интегралов по ее частям и (аддитивное свойство), если и пересекаются лишь по границе, их разделяющей.
5. Если — цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям , то

Лекции и примеры решения к этой теме:

Числовые ряды

Основные понятия

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

где — действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, — общим членом ряда.

Ряд (59.1) считается заданным, если известен общий член рада , выраженный как функция его номера .

Сумма первых членов ряда (59.1) называется -й частичной суммой ряда и обозначается через , т. е. .

Рассмотрим частичные суммы

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (59.1), то этот предел называют суммой ряда (59.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: .

Если не существует или , то ряд (59.1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

1. Ряд нельзя считать заданным, а ряд 2 + 5 + 8 +… — можно: его общий член задастся формулой .
2. Ряд 0 + 0 + 0 + … + 0 + … сходится, его сумма равна 0.
3. Ряд 1 + 1 + 1 + … + 1 + … расходится, при .
4. Ряд 1—1+1—1+1—1+… расходится, так как последовательность частичных сумм 1,0,1,0,1,0,… не имеет предела.
5. Ряд сходится. Действительно,

т. e. ряд сходится, его сумма равна 1.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд (59.1) сходится и его сумма равна , то ряд

где — произвольное число, также сходится и его сумма равна . Если же ряд (59.1) расходится и , то и ряд (59.2) расходится.

Обозначим -ю частичную сумму ряда (59.2) через . Тогда

т.е. ряд (59.2) сходится и имеет сумму .

Покажем теперь, что если ряд (59.1) расходится, , то и ряд (59.2) расходится. Допустим противное: ряд (59.2) сходится и имеет сумму . Тогда

т. e. ряд (59.1) сходится, что противоречит условию о расходимости ряда (59.1).

Свойство 2. Если сходится ряд (59.1) и сходится ряд

а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

причем сумма каждого равна соответственно .

Обозначим -е частичные суммы рядов (59.1), (59.3) и (59.4) через и соответственно. Тогда

т. e. каждый из рядов (59.4) сходится, и сумма его равна соответственно.

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

В справедливости этого утверждения можно убедиться методом от противного.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (59.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (59.1) сходятся или расходятся одновременно.

Обозначим через сумму отброшенных членов, через — наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда (59.1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при будет выполняться равенство , где — это -я частичная сумма ряда, полученного из ряда (59.1) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому . Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (59.1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.

Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

называется -м остатком ряда (59.1). Он получается из ряда (59.1) отбрасыванием первых его членов. Ряд (59.1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (59.1) и его остаток (59.5) одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд (59.1) сходится, то его остаток стремится к нулю при , т. е. .

Лекции и примеры решения к этой теме:

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Лекции и примеры решения к этой теме:

Степенные ряды

Лекции и примеры решения к этой теме:

Разложение функций в степенные ряды

Лекции и примеры решения к этой теме:

Ряды Фурье. Интеграл Фурье

Лекции и примеры решения к этой теме:

Элементы теории поля

Основные понятия теории поля

Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

Полем называется область пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке этой области соответствует определенное число , говорят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция вместе с ее областью определения. Если же каждой точке области пространства соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела, …), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, …), электрического потенциала и т. д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное папе, папе плотности электрического тока и т. д.

Если функция ) не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное пале температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).

Далее будем рассматривать только стационарные паля.

Если — область трехмерного пространства, то скалярное поле можно рассматривать как функцию трех переменных (координат точки ):

(Наряду с обозначениями , , используют запись , где — радиус-вектор точки .)

Если скалярная функция зависит только от двух переменных, например и , то соответствующее скалярное поле называют плоским.

Аналогично: вектор , определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов , и : (или ).

Вектор можно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде

где , — проекции вектора на оси координат. Если в выбранной системе координат одна из проекций вектора равна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, .

Векторное поле называется однородным, если — постоянный вектор, т. е. и — постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь , — ускорение силы тяжести, — масса точки.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции ( — определяющая скалярное поле, и — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными.

Пример №69.1.

Функция определяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом ; скалярное поле определено во всем пространстве, за исключением точек оси (на ней ).

Скалярное поле

Лекции и примеры решения к этой теме:

Векторное поле

Лекции и примеры решения к этой теме:

Математика

52. Более сложные примеры уравнений.
Пример 1 .

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

Общий знаменатель есть x 2 – 1, так как x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x 2 – 1. Получим:

или, после сокращения,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

Рассмотрим еще уравнение:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

Решая, как выше, получим:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.

Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.

Для первого примера получим:

Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.

Для второго примера получим:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0

Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.

Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x 2 . Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x 2 — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x 2 уничтожатся, и мы получим:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:

Вспоминая данное уравнение

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.

Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:

2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,

Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:

Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:

или 11 = 11

Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

Здесь уже члены с x 2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы

Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:

1) 2 2 – 3 · 2 = –2 и 2) 1 2 – 3 · 1 = –2

Если мы вспомним начальное уравнение

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.

Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:

на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.

Если бы мы взяли уравнение:

то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

откуда получили бы

что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.