Уравнение инерционного звена второго порядка (3 видео)

Инерциальное звено второго порядка. Колебательное звено.

Дифференциальное уравнение инерционного звена второго порядка:

в операторной форме:

Переходную характеристику звена можно найти классическим способом, решая дифференциальное уравнение звена, когда в правой части 1(t)=x_вх(t)

Решение однородного уравнения определяются корнями характеристического уравнения звена, которое имеет вид:

Возможно два случая:

В этом случае полное решение уравнения, т.е. переходная характеристика, может быть записана следующим образом:

где С₁, С₂ – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Характеристика звена в этом случае имеет вид:

Звено в этом случае называется инерционным второго порядка.

2) T₁ – a t sin(bt + j)],

где А и определяются из начальных условий.

Переходная характеристика в этом случае представляется затухающими колебаниями, и звено в этом случае называется колебательным звеном. Переходные характеристики звена второго порядка можно определить также в операторной форме из передаточной функции, а оригинал найти из таблиц преобразования Лапласа.

Уравнение звена второго порядка для случая T₁/2T₂

Дата добавления: 2015-09-28 ; просмотров: 1074 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Содержание

Инерционное звено 2-го порядка
3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления. ч. 3.4 Апериодическое звено 2−го порядка
3.4 Апериодическое звено второго порядка
Пример
📸 Видео

Видео:Теория автоматического управления. Лекция 7. Типовые звенья САУСкачать

Инерционное звено 2-го порядка

Такие звенья описываются дифференциальным уравнением вида

Преобразуем по Лапласу это уравнение:

или

Определим передаточную функцию звена

где

T – постоянная времени, с;

x – коэффициент затухания (безразмерная величина);

k – передаточный коэффициент.

В зависимости от величины x классифицируются звенья второго порядка по видам:

1-неустойчивое апериодическое звено;

2-неустойчивое колебательное звено;

5-апериодическое звено II порядка.

1. x>1 – апериодическое звено II-го порядка.

Характеристическое уравнение звена имеет корни действительные и отрицательные данное звено можно представить в виде двух последовательно соединенных звеньев с различными постоянными времени:

тогда при T₁>T₂ переходная функция звена имеет вид

Уравнение инерционного звена второго порядка

2. x=1, оба корня одинаковые и отрицательные.

Передаточная функция преобразуема к двум последовательно соединенным апериодическим звеньям с одинаковыми постоянными времени.

W(p)= ,переходная функция h(t)=1-(1+at)e — a t ,где a=1/T.

3. 0 0, разность числа положительных и отрицательных переходов фазовой характеристики разомкнутой системы через линии ±(2k+1)p (k=0,1,2,…) равнялась m/2, где m — число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции разомкнутой цепи системы.

Примечание: фазовая характеристика ЛЧХ астатических систем дополняется монотонным участком +np/2 при w®0.

Принцип аргумента

В основе частотных методов лежит принцип аргумента.

Проведем анализ свойств многочлена вида:

где l_i — корни уравнения

На комплексной плоскости каждому корню соответствует вполне определенная точка. Геометрически каждый корень l_i можно изобразить в виде вектора, проведенного из начала координат в точку l_i: |l_i| — длина вектора, argl_i — угол между вектором и положительным направлением оси абсцисс. Отобразим D(p) в пространство Фурье, тогда где jw-l_i — элементарный вектор.

Концы элементарных векторов находятся на мнимой оси.

— модуль вектора, а аргумент (фаза)

Направление вращения вектора против часовой стрелки принимают за ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ. Тогда при изменении w от до каждый элементарный вектор (jw-l_i) повернется на угол +p, если l_i лежит в левой полуплоскости.

Пусть D(l)=0 имеет m корней в правой полуплоскости и n-m корней в левой, тогда при возрастании w от до изменение аргумента вектора D(jw) (угол поворота D(jw), равный сумме изменений аргументов элементарных векторов) будет

Изменение аргумента вектора D(jw) при возрастании w от

до

равно разности (n-m) корней уравнения D(l)=0, лежащих в левой части плоскости, и числом m корней уравнения, лежащих в правой части плоскости, умноженной на p.

Экзаменационный билет №14

1. Логарифмические частотные характеристики колебательного звена

Частотная передаточная функция колебательного звена имеет вид

откуда , при ; при .

Логарифмическая амплитудно-частотная функция имеет вид

1. низкочастотная асимптота имеет наклон 0 дБ/дек;

2. высокочастотная асимптота имеет наклон – 40дБ/дек.

3. обе асимптоты пересекаются на сопрягающей частоте.

Видео:10) ТАУ для чайников Части 4.1. и 4.2. Типовые динамические звенья. Усилитель. Апериодическое звено.Скачать

3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления. ч. 3.4 Апериодическое звено 2−го порядка

3.4 Апериодическое звено второго порядка

Апериодическое звено выведем на уже известном примере. Мы разбирали вывод уравнений динамики демпфера в этой лекции. Но повторенье — мать ученья. Сначала будет много жесткой математики, а в конце наглядные модели.

У нас есть модель механического демпфера. Это поршень на пружине, он движется внутри цилиндра, может перемещается вверх-вниз. Его положение – это интересующая нас функция Y(t), сверху на него воздействует возмущающая сила (U(t)), на стенках поршня действует сила вязкого трения. (См. рис. 3.4.1)

Рисунок 3.4.1. Расчетная схема амортизатора.

Выведем передаточную функцию для этого звена. Согласно 2-му закону Ньютона ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на тело:

— масса поршня;

— положение поршня (выходная переменная);

— приложенная сила (входное воздействие);

— сила тяжести;

– сила сопротивления пружины;

– сила вязкого трения (пропорциональная скорости движения поршня).

Считаем, что в нулевой момент времени поршень находится в равновесии. Тогда начальное положение поршня — y₀ в равновесии, где скорость и ускорения равны 0, можно посчитать из уравнения 2.

Перепишем уравнение равновесия в отклонениях от нулевого состояния:

Поскольку мы приняли, что в начальный момент у нас состояние равновесия, а сумма трех сил в состоянии равновесия равна нулю, их можно убрать из уравнения, и в итоге получим:

Приведем данное уравнение к классическому виду:

Уравнение динамики апериодического звена 2−го порядка имеет следующий вид:

Если D Рисунок 3.4.2 Апериодическое звено 2-го порядка (два варианта)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ):

Домножив числитель и знаменатель формулы (3.4.5) на комплексно-сопряженные скобки и , получаем:

Действительная и мнимая части передаточной функции:

Анализируя поведение и при и при , получаем:

Модуль АФЧХ (амплитуда), то есть mod(W(i·ω)) = |W(i·ω)| из формулы 3.4.5:

Подставляя в формулы (3.4.6) или в формулу (3.4.5) различные значения ω можно построить векторы, соответствующие различным значениям ω:

Рисунок 3.4.3 Годограф АФЧХ апериодического звена 2-го порядка

Из формул 3.4.6 очевидно, что на рисунке годографа 3.4.3 :

omega_5>omega_4>omega_3>omega_2>omega_1>0\ 2) 0 >varphi_1>varphi_2>varphi_3>varphi_4>varphi_5>varphi_6″ alt=»1) omega_6>omega_5>omega_4>omega_3>omega_2>omega_1>0\ 2) 0 >varphi_1>varphi_2>varphi_3>varphi_4>varphi_5>varphi_6″ src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/663/02f/0f1/66302f0f16e854680e603612571bc0af.svg» width=»733″ height=»44″/>

Используя формулу 3.4.6 можно показать что при

Из рисунка видно, что .

Формула фазового сдвига:

omega_3 Rightarrow j=1.» alt=» omegaleq omega_3 Rightarrow j = 0;\ omega>omega_3 Rightarrow j=1.» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/ee5/e65/0f3/ee5e650f39001b205a1e75c0ca3f70a8.svg» width=»733″ height=»40″/>

Для фазового сдвига удобно представить апериодическое звено в виде последовательного соединения двух звеньев (см. рис. 3.4.2). Известно, что при последовательном соединении звеньев общий сдвиг фазы равен сумме фазовых сдвигов:

Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ)

Графики А(ω), φ (ω), Lm(ω) имеют вид:

Рисунок 3.4.4 АЧХ и ФЧХ апериодического звена 2-го порядка Рисунок 3.4.5 ЛАХ и ЛФЧХ апериодического звена 2-го порядка

В инженерных расчетах часто график Lm(ω) представляют виде отрезков ломаных, тогда:

при — звено близко к идеальному усилительному звену

при — звено близко к идеальному интегрирующему звену

при 1/T_3″ alt=»omega>1/T_3″ src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/230/304/ad3/230304ad37f36d023cf3233756aa804a.svg»/>- звено близко к дважды интегрирующему звену

В граничном случае или отмеченные на графике Lm(ω) (см. рис. 3.4.5 выше) точки «излома» совпадают:

Рисунок 3.4.6 ЛАХ и ЛФЧХ апериодического звена 2-го порядка в граничном случае

Если звено “переходит” в разряд колебательных звеньев. Поэтому постоянная Т₁ в уравнении динамики (3.4.1) играет роль демпфирующего фактора, увеличение Т₁ (в колебательном звене) приводит к уменьшению или к полному исчезновению колебаний.

Найдем переходную функцию звена — реакцию на воздействие единичное воздействие 1(t).

Для нахождения функции по формуле Хэвисайда (см. раздел 2.8 Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению), запишем корни полюса изображения, т.е. те значения «s» при которых обращается в ноль:

Тогда по формуле Хэвисайда:

Вычисляя пределы получим формулу для переходной функции звена:

Весовая функция получается дифференцированием :

Рисунок 3.4.7 Переходная функция апериодического звена 2-го порядка

Примерами апериодического звена 2-го порядка являются:

1) двигатель постоянного тока при учете инерционности самого якоря (механической) и цепи якоря (электрической);

2) электрический усилитель руля автомобиля с учетом инерционности (механической и электрической) ротора;

3) двойные R − C или R – L цепочки

Рисунок 3.4.9 Пример апериодического звена 2-го порядка

Если звено представлено в переменных состояния в матричной форме таким образом:

то звено будет апериодическим 2-го порядка, если:

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Пример

В качестве примера возьмём модель демпфера, которую мы уже использовали в лекциях. (см. Рисунок 3.4.10) Структурная схема модели описывает уравнения динамики, описанные в начале статьи. Свойства системы заданы в списке общих сигналов проекта (см. рис. 3.4.11). Для получения из демпфера апериодического звена 2-го порядка необходимо увеличить силу трения таким образом, чтобы (как показано выше) коэффициент T₁ был больше, чем 2 х T₂. В этом случае D>0 и из колебательного звена мы получим апериодическое 2-го порядка.

Рисунок 3.4.10 Структурная схема модели демпфера. Рисунок 3.4.11 Параметры модели

Для дальнейшего исследования на схему добавлена модель демпфера в виде звена общего вида, а его свойства заданы в виде формул, выражающих коэффициенты звена через параметры модели. (см. рис. 3.4.12).

Рисунок 3.4.12. Параметры для модели демпфера в виде звена

Выполним моделирование переходного процесса при ступенчатом изменении приложенной силы и сравним переходные процессы в двух вариантах модели демпфера. График переходного процесса (см. рис. 3.4.13) показывает, что переходные процессы в двух моделях полностью идентичны:

Рисунок 3.4.13 Переходные процессы в двух моделях.

График частотных характеристик звена (ЛАХ и ФЧХ) представлен на рисунке 3.4.14 На графике видно две точки излома характеристики ЛАХ в которых наклон последовательно меняется с 0, до 20дБ/дек и с 20дБ/дек до 40 дБ/дек.

Рисунок 3.4.14 Частотные характеристика ЛАХ и ФЧХ

Для демонстрации влияния изменения Т₁ на свойства звена выполним моделирование, в котором структурная схема является эталонной, а в модели звена будем уменьшать коэффициент силы трения (коэффициент T₁).

Источником воздействия будет меандр, с периодом 3 секунды.

Для изменения свойств звена создадим блок на языке программирования. Данный блок, в процессе моделирования, постепенно уменьшает коэффициент Т₁ для модели в виде звена. Этот же блок готовит данные для отображения на 3D графике переходного процесса.

Общая схема модели приведена на рисунке 3.4.15.

Рисунок 3.4.15 Схема демпфера с изменения свойств блока

Меандр задает изменение приложенной силы 0 – 30 Н (входного воздействия) с полупериодом 1.5 сек. График изменения положения приведен на рисунке 3.4.16 Видно, что на первом изменении графики совпадают, но потом по мере накопления отличий в параметрах динамика изменения положения начинает меняться.

Рисунок 3.4.16 Графики положения демпферов.

Первая часть процесса изображена на рисунке 3.4.17 Видно, что снижение силы трения обеспечивает более быстрое изменении положения демпфера.

Рисунок 3.4.17 Начальная часть графика

Конечная часть графика представлена на рисунке 3.4.19. Дальнейшее снижение силы трения приводит к тому, что процесс перехода при ступенчатом изменении воздействия становится колебательным.

Рисунок 3.4.18 Конечная часть моделировани

ЗD поверхность отображает переходный процесс при ступенчатом увеличении воздействия в блоке меандр. По оси Z отражается положение демпфера, по оси Y – время после увеличения входного воздействия в блоки меандр, по оси X – изменений T₁ (уменьшение силы трения).

Рисунок 3.4.19 Поверхность переходного процесса при снижении трения

В заключение, сравним переходные процессы для разных параметров T₁ (разных коэффициентов трения). Поскольку все основные блоки в SimInTech являются векторными, создадим модели 7-ми демпферов из одного звена. Для этого в главном окне программы подготовим 7 векторов значений с разными коэффициентами трения. Скрипт приведен на рисунке 3.4.20.

Рисунок 3.4.20 Скрипт модели для задания параметров 7 демпферов

Четвертый вектор содержит переходное значение T₁. Как было показано выше, переходное значение T₁, при котором апериодическое звено второго порядка превращается в колебательное рассчитывается по формуле T₁ = 2хT_2.

В модели, в свойствах блока указываем эти векторы в столбце «формулы», и теперь блок может рассчитывать одновременно 7 демпферов одним блоком. (см. рис. 3.4.21)

Рисунок 3.4.21 Настройка параметров блока для векторного расчета

Общая схема модели в этом случае будет выглядеть как показано на рисунке 3.4.22 Ступенчатое изменение силы передается в блок «Размножитель», где преобразуется в вектор из 7 воздействий. Данный вектор передается в блок, где и происходит расчёт семи вариантов демпфера.

Рисунок 3.4.22 Схема модели 7-и демпферов

Результат переходного процесса представлен на рисунке 3.4.23. Видно, что 3 демпфера ведут себя как апериодическое звено второго порядка, 3 демпфера явно превратились в колебательные.

Рисунок 3.4.23 Перемещение 7 демпферов при ступенчатом воздействии

Характеристики ЛАХ и ФХЧ представлены на рисунке 3.4.24. Наглядно видно, как постепенно, при снижении коэффициента трения исчезают два излома на графике ЛАХ, и звено превращается в колебательное, о котором будем говорить в следующей части.

Рисунок 3.4.25 Частотные характеристики 7-и демпферов