Численные методы решения гиперболических дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными разработаны достаточно подробно и успешно используются для математического моделирования на ЭВМ в различных областях науки и техники.
Рассмотрим здесь коротко метод характеристик, основанный на переходе от уравнений частных производных к численному решению обыкновенных дифференциальных уравнений типа (1.8,1.10,1.11).
Наиболее характерным является случай скалярного уравнения в частных производных первого порядка (1.2) при его записи в характеристической форме:
Пусть кривая АВ, несущая начальные данные, разбита на малые отрезки (рис. 1.1). Численное интегрирование (1) заключается в построении характеристических кривых АЛ Л , ВВ’В».,012. кг.д. и значений и вдоль них. Например, при использовании метода Эйлера на заданной кривой А*В> при t =/° + т имеем vx = у0 + г/о + О (г 2 ), х = х0 + Лот + 0(т 2 ).
Методом Эйлера с пересчетом можно добиться второго порядка аппроксимации и более высокого, если использовать метод Рунге—Кутта.
Отметим два важных момента численного решения (1). Во-первых, кривые А’в А»В> > . . . . или шаги г можно задавать произвольно, исходя
лишь из требований точности, во-вторых, имеется возможность построения обобщенного решения для разрывных начальных данных на АВ, по крайней мере для области с непересекающимися характеристиками.
Изложенный метод характеристик применим и для уравнений общего вида (1.9) при I >1, если собственные числа матрицы Л равны, т.е. наклоны X/ всех характеристик одинаковы. Таковы, например, уравнения полосы для нелинейных уравнений в частных производных первого порядка [6], но при этом возрастают требования к гладкости начальных данных.
Задача Коши для квазилинейной системы (1.9) при I > 2 приводит к необходимости приближенного решения следующей элементарной задачи: в близких точках А и В известны и (Л), и(Я) и соответственно Х/(Л), X/ (В), надо найти и (Я) в точке Я (рис. 1.2). Пусть положение точки Я неизвестно. Тогда алгоритм нахождения координат точки Я — г н =< хн> состоит из следующих этапов:
— по усредненным в точке /1 и5 сг^, т в параметрам вычисляем наклоны характеристик X/ = tg 2 ) (h =
— заменяя в условиях совместности (1.10) производные через разностные отношения dn/dtf = (и(Я)-и(/)У(Г/7-//) + 0(h) (/ = 1. /), как
в методе Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений, определяя и(/) для промежуточных 1 2 ).
Для / = 2 в (1.9) (этот момент важен для последующего изложения) можно добиться второго порядка точности, если повторить первые два этапа (произвести пересчет ч(Я)) с использованием аппроксимации производных через центральные разности в точках tiH = (тн + г*)/2 (/ = 1, 2), т.е. получить rHi и (Я) с погрешностью 0(Л 3 )’.При этом, очевидно, отпадает необходимость интерполяции по точкам А и В.
Пусть теперь на кривой АВ в близко расположенных L узлах известны начальные данные и (рис. 1.3). Решая элементарные задачи для каждой пары узлов на АВ, получим L—1 узлов на А’В L — 2 узлов на А»В» и т.д., пока не получим точку Я, ограничивающую область влияния
АВ. Построенные таким образом узлы образуют характеристическую сетку внутри в общем случае криволинейного треугольника АВН.
Относительно изложенной выше классической схемы метода характеристик следует сделать ряд замечаний.
- 1. Случай / =2 в (1.9) выделяется не только возможностью построения схемы расчета второго порядка, но и более слабыми требованиями к гладкости начальных данных. Например, для соответствующих линейных уравнений легко построить обобщенные, разрывные решения.
- 2. Случай I >2 включает этап интерполяции, что подразумевает непрерывность самих функций и их производных первого порядка.
- 3. Характеристическая сетка, выстраиваемая в процессе счета, наряду с несомненными достоинствами, связанными с правильным определением области влияния и корректной формулировкой начальных и граничных условий, не всегда удобна в практике. Кроме того, для квазилинейных уравнений возможны области сильного сгущения и разрежения узлов и соответственно сильная потеря точности вычислений.
Видео:2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.Скачать
Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка
Федеральное агентство по образованию
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, экономики и информатики
Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………
1.1. Необходимый теоретический материал………………………..
1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к
каноническому виду уравнений гиперболического типа) .
1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к
каноническому виду уравнений параболического типа)
1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к
каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..
1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….
Упрощение группы младших производных
для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
2.1. Необходимый теоретический материал …………………..
2.2. Пример выполнения задачи 4
2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..
В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов.
Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.
§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.
Задача. Определить тип уравнения
(1)
и привести его к каноническому виду.
1.1. Необходимый теоретический материал.
I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения 
:
· если 
в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;
· если 
в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;
· если 
в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.
Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.
Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение 
является уравнением эллиптического типа в точках 
; параболического типа в точках 
; и гиперболического типа в точках 
.
II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:
1. Определить коэффициенты 
;
2. Вычислить выражение ;
3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения );
4. Записать уравнение характеристик:
; (2)
5. Решить уравнение (2). Для этого:
а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:
; (3)
б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)):
· 
(4)
в случае уравнения гиперболического типа;
· 
, (5)
в случае уравнения параболического типа;
· 
, (6)
в случае уравнения эллиптического типа.
6. Ввести новые (характеристические) переменные 
и 
:
· в случае уравнения гиперболического типа в качестве и берут общие интегралы (4) уравнений (3), т. е.
· в случае уравнения параболического типа в качестве берут общий интеграл (5) уравнения (3), т. е. 
, в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию 
, не выражающуюся через 
, т. е. 
;
· в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3):
7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции:
,
,
, (7)
,
.
8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов:
· в случае уравнения гиперболического типа:
;
· в случае уравнения параболического типа:
;
· в случае уравнения эллиптического типа:
.
1.2. Пример выполнения задачи 1.
Определить тип уравнения
и привести его к каноническому виду.
1. Определим коэффициенты :
2. Вычислим выражение :
.
3. 
уравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY.
4. Запишем уравнение характеристик:
. (9)
5. Решим уравнение (9). Для этого:
а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: 
;
;
(10)
б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения (9)):
6. Введём характеристические переменные:
7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Используя формулы (7), получим:
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих производных.
8. Собирая подобные слагаемые, получим:
Или после деления на -100 (коэффициент при 
):
Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид
где 
1.3. Пример выполнения задачи 2.
Определить тип уравнения
и привести его к каноническому виду.
1. Определим коэффициенты . В нашем примере они постоянны:
2. Вычислим выражение :
.
3. 
уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.
4. Запишем уравнение характеристик:
. (12)
5. Решим уравнение (12). Для этого:
а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:
;
(13)
б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):
6. Введём характеристические переменные: одну из переменных 
вводим как и ранее
а в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через , пусть
;
7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Используя формулы (7), получим:
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих производных.
8. Собирая подобные слагаемые, получим:
Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.
После деления на 25 (коэффициент при 
):
Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид
где 
1.4. Пример выполнения задачи 3.
Определить тип уравнения
(14)
и привести его к каноническому виду.
1. Определим коэффициенты :
2. Вычислим выражение :
.
3. 
уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.
4. Запишем уравнение характеристик:
. (15)
5. Решим уравнение (15). Для этого:
а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: 
; (16)
б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)
(17)
6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):
7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Используя формулы (7), получим:
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.
8. Собирая подобные слагаемые, получим:
Или после деления на 4 (коэффициент при 
и 
):
Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид
где 
1.5. Задачи для самостоятельного решения.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
§2. Упрощение группы младших производных
для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
2. 1. Необходимый теоретический материал
В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид
(1)
Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов
· в случае уравнения гиперболического типа:
; (11)
· в случае уравнения параболического типа:
; (12)
· в случае уравнения эллиптического типа:
. (13)
Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции
, (14)
где 
— новая неизвестная функция, 
— параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры так, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид
;
;
.
Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам
(15)
Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического типа, т. е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение, используя формулы (15).
Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим
. (16)
В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при 
и 
Откуда 
Подставив эти значения параметров в уравнение (16) и разделив его на 
, придем к уравнению
,
где 
.
2.2. Пример выполнения задачи 4
к каноническому виду и упростить группу младших производных.
9. Определим коэффициенты :
10. Вычислим выражение :
.
11. 
уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.
12. Запишем уравнение характеристик:
. (18)
5. Решим уравнение (18). Для этого:
а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: 
;
; (19)
б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения (17)):
6. Введём характеристические переменные:
13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Используя формулы (7), получим:
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующих производных.
14. Собирая подобные слагаемые, получим:
(20)
Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)
упростим группу младших производных.
Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).
Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20). Собирая подобные слагаемые, получим
. (21)
В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при и
Откуда 
Подставив эти значения параметров в уравнение (21) и разделив его на , придем к уравнению
.
Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид
,
где 
.
2.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младших производных.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Видео:Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать
Типовые дифференциальные уравнения,описывающие поля
Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Дифференциальные уравнения 2-го порядка с двумя независимыми переменными
Многие задачи математической физики приводят к дифференциальным уравнениям с частными производными. Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения 2-го порядка с несколькими независимыми переменными. Рассмотрим сначала дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
Уравнением с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными X, у называется соотношение между
неизвестной функцией А(х, у) и ее частными производными до 2-го
Аналогично записывается уравнение и для большего числа независимых переменных.
Уравнение (1.20) называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид
Если коэффициенты a j j, # 12 , # 22 зависят не только от X и у ,
а являются, подобно F функциями х, у, А,-,-, то такое урав-
нение называется квазилинейным.
Уравнение называется линейным, если оно линейно как относи-
тельно старших производных -,-,-, так и относительно
функции Л и ее первых производных —,_:
где Я ц, Я12, #22’ ? f — функции только X и у . Если коэффициенты уравнения (1.22) не зависят от X и у , то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Уравнение называется однородным, если f(x, у) = О . С помощью преобразования переменных 
допускающего обратное преобразование, можно получить новое уравнение, эквивалентное исходному. Естественно поставить вопрос: как выбрать % и Т! , чтобы уравнение в этих переменных имело наиболее простую форму?
Дадим ответ на поставленный вопрос для уравнений, линейных относительно старших производных вида (1.20), с двумя независимыми переменными X и у :
т.е. уравнение остается линейным.
Отметим, что если преобразование переменных линейно, то
F = Ft , так как вторые производные от ^ и Т| в формулах (1.23)
равны нулю и F не получает дополнительных слагаемых от преобразования вторых производных.
Выберем переменные И Т] так, чтобы коэффициент был
равен нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными 1-го порядка
Пусть Z — Ф (х,у) — какое-нибудь частное решение этого
уравнения. Если положить ? = Ф (х,у), то коэффициент Cl j j будет
равен нулю. Таким образом, упомянутая выше задача.о выборе новых независимых переменных связана с решением уравнения (1.25). Докажем следующие леммы.
1. Если Z = ф (х,у) является частным решением уравнения
с представляет собой общий интеграл обыкновенного лиЛгЬепенттиапьного упавнения
2. Если ф(-^? З 7 ) _ с представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения
то функция Z = ф(х, jy) удовлетворяет уравнению (1.26).
Докажем первую лемму. Поскольку функция Z = ф fay) удовлетворяет уравнению (1.26), то равенство
где (р =-, ф = ——,является тождеством, так как оно удовле-
творяется для всех X, у в той области, где задано решение. Соотношение у)
с является общим интегралом уравнения (1.26),
если функция у, определенная из неявного соотношения ф(х, у’) = С
, удовлетворяет уравнению (1.26). Пусть у — f (х, С) есть эта функция; тогда
где скобки и значок у = f<x, С) указывают, что в правой части равенства (1.28) переменная у не является независимой переменной, а
имеет значение, равное /(*> С). Отсюда следует, что у = / (х, С) удовлетворяет уравнению (1.26), так как
поскольку выражение в квадратных скобках равно нулю при всех значениях X, у, а не только при у = А*,с).
Уравнение (1.26) распадается на два уравнения:
из которого следует инвариантность типа уравнения при преобразовании переменных, так как функциональный определитель (якобиан) D преобразования переменных отличен от нуля. В различных точках области определения уравнение может принадлежать различным типам.
Рассмотрим область G, во всех точках которой уравнение имеет один и тот же тип. Через каждую точку области G проходят две характеристики, причем для уравнений гиперболического типа характеристики действительны и различны, для уравнений эллиптического типа — комплексны и различны, а для уравнений параболического типа обе характеристики действительны и совпадают между собой.
Разберем каждый из этих случаев в отдельности.
1. Для уравнения гиперболического типа #12 — &n&22 ^ О и правые части уравнений (1.29) и (1.30) действительны и различны. Общие интегралы их — ^ц^22 а 11 а 22 » имеют место следующие канонические формы уравнения (1.21):
💥 Видео
3.2 Решение уравнений гиперболического типа методом характеристикСкачать
ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать
Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать
18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать
Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс.Скачать
Приведение линейного уравнения в частных производных c постоянными коэфф--ми к каноническому виду.Скачать
Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиСкачать
15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать
14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать
Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать
Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
2. Линейные уравнения с переменными коэффициентамиСкачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать
