Существуют и другие кривые, которые называют “замечательными”. Они носят, как правило, “звучные” имена, например, “астроида”, “локон Аньези”, “окружность Аполлония”, “трактриса” и др.
На рис. 1 и рис.2 показаны красивые кривые — эпициклоида и гипоциклоида.
Изображения на Рис. 1 и Рис.2 имеют “геометрический” смысл, — это линия, которую «чертит» точка, закрепленная в плоскости некоторого круга радиуса r (производящий круг), когда круг катится без скольжения по неподвижной окружности радиуса R (направляющая).
На Рис. 3 показана часть АМ эпициклоиды, по которой перемещается точка М производящего круга.
Когда окружности касаются внешним образом, линия называется “эпициклоидой” (от греческих слов 
на, над, при и 
— круг , окружность), когда касание внутреннее — “гипоциклоидой” (от gipo — на, над, при и ).
Параметрические уравнения эпициклоиды:
Параметрические уравнения гипоциклоиды:
Параметрическими такие уравнения называются потому, что определяют значения координат х и у каждой точки кривой в зависимости от некоторого параметра, в нашем случае от параметра t — угла наклона отрезка, соединяющего эту точку с началом координат (Рис.3).
Гиппарх составил первый в Европе звездный каталог , включивший точные значения координат около тысячи звёзд.
Начало систематического изучения эпициклоид и гипоциклоид было положено в 1525 г. знаменитым немецким художником Альбрехтом Дюрером
(1471–1528). Он широко применял геометрические методы в изобразительном искусстве. Однако математикам исследования Дюрера остались неизвестными.
Видео:HypocycloidСкачать
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
ЛЕМНИСКАТЫ
Уравнение в полярных координатах:
r 2 = a 2 cos2θ
Уравнение в прямоугольных координатах:
(x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 — y 2 )
Угол между AB’ или A’B и осью x = 45 o
Площадь одной петли = a 2 /2
ЦИКЛОИДА
Уравнения в параметрической форме:
Площадь одной дуги = 3πa 2
Длина дуги одной арки = 8a
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом а, которая катится вдоль оси х.
ГИПОЦИКЛОИДЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ОСТРИЯМИ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3
Уравнения в параметрической форме:
Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /8
Длина дуги целой кривой = 6a
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a/4, которая катится внутри окружности радиусом a.
КАРДИОИДА
Уравнение: r = a(1 + cosθ)
Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /2
Длина дуги кривой = 8a
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a, которая катится снаружи окружности радиусом a. Эта кривая также является частным случаем улитки Паскаля.
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
Уравнение:
y = a(e x/a + e -x/a )/2 = acosh(x/a)
Это кривая, по которой бы повисла цепь, подвешенная вертикально от точки А к В.
ТРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos3θ
Уравнение r = acos3θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 30 o или π/6 радиан.
В общем, r = acosnθ или r = asinnθ имеет n лепестков если n является нечетным.
ЧЕТЫРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos2θ
Уравнение r = asin2θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 45 o или π/4 радиан.
В общем r = acosnθ или r = asinnθ имеет 2n лепестков если n — четное.
ЭПИЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а. Кардиоида является частным случаем эпициклоиды.
ОБЩАЯ ГИПОЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а.
Если b = a/4, кривая является гипоциклоидой с четырьмя остриями.
ТРОХОИДА
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая точкой Р на дистанции b от центра окружности с радиусом а, когда она катится по оси x.
Если b a, кривая имеет форму, показанную на рис. 11-11 и называется троходой.
Если b = a, кривая есть циклоидой.
ТРАКТРИСА
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая конечной точкой Р натянутой струны длиной PQ, когда другой конец Q перемещается вдоль оси х.
ВЕРЗЬЕРА (ВЕРЗИЕРА) АНЬЕЗИ (ИНОГДА ЛОКОН АНЬЕЗИ)
Уравнение в прямоугольных координатах: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2 )
Параметрические уравнения:
В. На рисунке переменная линия OA пересекающая y = 2a и круг с радиусом a с центром (0,a) в A и B соотвественно. Любая точка P на «локоне» определяется построением линий, параллельных к осям x и y, и через B и A соответственно и определяющие точку пересечения P.
ДЕКАРТОВ ЛИСТ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 3 + y 3 = 3axy
Параметрические уравнения:
Площадь петли 3a 2 /2
Уравнение асимптоты: x + y + a = 0.
ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ
Параметрические уравнения:
Эта кривая, описанная конечной точкой P струны, когда она разматывается с круга с радиусом a.
ЭВОЛЬВЕНТА ЭЛЛИПСА
Уравнение в прямоугольных координатах:
(ax) 2/3 + (by) 2/3 = (a 2 — b 2 ) 2/3
Параметрические уравнения:
Эта кривая является огибающей нормалью к эллипсу x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.
ОВАЛЫ КАССИНИ
Полярное уравнение: r 4 + a 4 — 2a 2 r 2 cos2θ = b 4 .
Это кривая, описываемая такой точкой P, что произведение ее расстояния от двух фиксированных точек [ расстояние 2a в сторону] есть постоянной b 2 .
Кривая, как на фигурах внизу, когда b a соответственно.
Если b = a, кривая есть лемниската
УЛИТКА ПАСКАЛЯ
Полярное уравнение: r = b + acosθ
Пусть OQ будет линией, соединяющей центр O с любой точкой Q на окружности диаметром a проходящей через O. Тогда кривая есть фокусом всех точек P, таких, что PQ = b.
Кривая, показанная на рисунках внизу когда b > a или b 2 = x 3 /(2a — x)
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая такой точкой P, что расстояние OP = расстоянию RS. Используется в задаче удвоения куба, т.e. нахождения стороны куба, который имеет удвоенный объем заданного куба
СПИРАЛЬ АРХИМЕДА
Полярное уравнение: r = aθ
Видео:Parametric curve: hypocycloid (Python, vgl, moviepy)Скачать
Упражнения
1. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = sin 4 φ .
2. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = cos φ .
3. Для параболы x 2 = 4 ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F (0, a ) параболы. Переходя от декартовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением
.
4. Докажите, что уравнение
задает эллипс, если 0 
> 1.
5. Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = — φ . Чему равно расстояние между соседними витками этой спирали?
6. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?
7. Нарисуйте гиперболическую спираль , задаваемую уравнением r = 
.
8. Нарисуйте спираль Галилея , которая задается уравнением r = a 
2 ( a > 0). Она вошла в историю математики в XVII веке в связи с задачей нахождения формы кривой, по которой двигается свободно падающая в области экватора точка, не обладающая начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.
9. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = | 
|.
10. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = 
.
11. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = 
.
12. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.
1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.
2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.
3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.
4. Бронштейн И. Эллипс. Гипербола. Парабола / Такая разная геометрия. Составитель А.А. Егоров. – М.: Бюро Квантум, 2001. — / Приложение к журналу «Квант» № 2/2001.
5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.
6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. — / Популярные лекции по математике, выпуск 4.
7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.
8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. Курс по выбору. 9 класс. – М.: Мнемозина, 2007.
9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.
10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. – М.: Дрофа, 2003.
🎬 Видео
Кардиоида и нефроида, в общем - эпициклоида. Вывод параметрического уравнения.Скачать
Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать
построение циклоидыСкачать
Как построить кривую, заданную параметрическиСкачать
hypocycloid k=5Скачать
Как проиллюстрировать параметрическое отображение гипоциклоиды с помощью GeoGebra classic6.Скачать
Уравнение окружности (1)Скачать
Математика | Параметр. Система уравнений с параметромСкачать
Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Уравнение с параметром | Математика TutorOnlineСкачать
Line segments animation forming a four cusp hypocycloid (astroid), code for the animation #shortsСкачать
9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать
Качение шара внутри цилиндра. Гипоциклоида. Маткад.Скачать
10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать
§2 Различные уравнения окружностиСкачать
Гипоциклоида #2Скачать
Hypotrochoid animation smaller circle rolling within a larger circle, code for the animation #shortsСкачать
Каноническое уравнение окружностиСкачать
