Уравнение гипотенузы по двум катетам (3 видео)

Расчет гипотенузы треугольника

Гипотенуза треугольника — это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежащая против его прямого угла.

Формула расчета гипотенузы:

c = √(a 2 + b 2 ), где

a — катет;
b — катет;
c — гипотенуза.

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета гипотенузы прямоугольного треугольника, если известны его катеты. С помощью этой программы вы в один клик сможете рассчитать гипотенузу треугольника.

Содержание

Теорема Пифагора
Основные понятия
Теорема Пифагора: доказательство
Обратная теорема Пифагора: доказательство
Решение задач
Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?
Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?
Гипотенуза
Как найти гипотенузу?
Как найти гипотенузу, зная катеты?
Как найти катет в прямоугольном треугольнике
Как найти гипотенузу, зная катет и угол?
Если есть противолежащий катет — теорема синусов
Если есть прилежащий катет — по косинусу
Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника
🌟 Видео

Видео:Катеты и гипотенузаСкачать

Теорема Пифагора

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

a = √c 2 − b 2
b = √c 2 − a 2
c = √a 2 + b 2

Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:

если c 2 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.

Записывайтесь на курсы обучения математике для школьников с 1 по 11 классы!

Видео:Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .

Пошаговое доказательство:

Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.

Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
Сложим полученные равенства:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

a 2 + b 2 = c * AB

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

Проведём отрезок A₁B₁.
Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
Таким образом получится:

Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
A₁B₁ = AB по доказанному результату.

Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Видео:7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

Пусть катеты a = 6 и b = 8.

По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 .

Подставим значения a и b в формулу:
c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10.

Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?

Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Гипотенуза

Гипотенуза — сторона в прямоугольном треугольнике, находящаяся напротив прямого угла. Две других стороны — катеты. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катетов.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (формула: c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты). Очень часто для вычисления гипотенузы используется именно эта теорема.

Видео:№483. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам a и b:Скачать

Как найти гипотенузу?

Как найти гипотенузу, зная катеты?

Если известны оба катета (две другие стороны прямоугольного треугольника), можно применить Теорему Пифагора.

Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты).

Один катет равен 3 см, другой — 4 см. Таким образом, а = 3, b = 4, подставляем в формулу:

c² = 3² + 4² c² = 9 + 16 c² = 25 c = √25 c = 5.

Ответ: длина гипотенузы 5 см (или x = 5).

Как найти катет в прямоугольном треугольнике

По той же формуле можно найти и длину одного неизвестного катета, нужно только немного её изменить:

Начальная формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты), и найти катет можно по этой:

Например: Один катет равен 3 см, а гипотенуза — 5 см. Нужно узнать длину второго катета.

Применяем формулу b = √c² — a² ⇔

b = √5² — 3² ⇔ b = √25 — 9 ⇔ b = √16 ⇔ b = 4.

Как найти гипотенузу, зная катет и угол?

Если есть противолежащий катет — теорема синусов

Если в условии задачи дан угол и противолежащий катет, то ищем гипотенузу по Теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Примечание: гипотенуза есть только в прямоугольном треугольнике, однако теорему синусов можно применять к любым треугольникам (не только к прямоугольным).

Известна одна сторона треугольника 𝐴𝐶 = √2 и ∠β = 45º.

∠α = 90º (т.к. мы ищем гипотенузу, то второй угол в треугольнике прямой, значит имеет 90º).

Так как во всех треугольниках сумма всех углов равна 180º, то можем узнать оставшийся ∠c.

Значит: ∠c = 180º — (90º + 45º) = 45º.

Подставляем в формулу (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) известные:

BC/sin90º = AC/sin45º = AB/sin45º

В таблице вы найдёте значения для синуса:

sin 45º	√2/2
sin 60º	√3/2
sin 90º	1

В условии задачи нам дано: 𝐴𝐶 = √2, значит:

BC/sin90º = √2/sin45º = AB/sin45º

Подставляем значения синуса из таблицы:

BC/1 = √2/(√2/2) = AB/(√2/2) (забудем на время про катет AB) ⇔

BC = √2/(√2/2) ⇔ BC = 2 (гипотенуза равна 2)

Если хотите вычислить катет, уже зная другой катет и гипотенузу:

Ответ: гипотенуза BC равна 2 см, а катет AB √2 см.

Если есть прилежащий катет — по косинусу

Если в условии задачи дан угол и прилежащий катет, то ищем гипотенузу по косинусу (в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла (cos) — это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе(c), таким образом cos a = b/c, из этого получается c = b / cos α).

Т.е. гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α.

Известна одна сторона треугольника AB = 1 и ∠β = 45º. Нужно вычислить гипотенузу (BC).

Помним, что гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α. Т.е.: BC = AB / cosβ ⇔ BC = 1/ cos 45º.

Смотрим в таблице, чему равен cos 45º.

Ответ: гипотенуза BC равна √2 см.

Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике есть гипотенуза только в том случае, если он одновременно и прямоугольный, т.к. гипотенуза есть только в прямоугольных треугольниках (и его основание будет гипотенузой).

Чтобы найти такую гипотенузу, нужно любой из двух одинаковых катетов возвести в квадрат, умножить на 2 и посчитать квадратный корень: b = √2a² (где b — гипотенуза, а — катет). Это следствие из теоремы Пифагора.