Уравнение гейзенберга для гармонического осциллятора (6 видео)

Квантовый гармонический осциллятор

Содержание

Конспект лекции (с демонстрациями)
Квантовый гармонический осциллятор
Уравнение гейзенберга для гармонического осциллятора
11.1 Решение волнового уравнения
11.2 Свойства квантового осциллятора
📸 Видео

Конспект лекции (с демонстрациями)

Аннотация: изучение качественной стороны решения уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, выяснение отличий получаемых результатов от выводов классической механики. (Традиционное изложение темы, дополненное демонстрациями на компьютерных моделях.)

Одна из важных задач о движении микрочастиц – это задача о движении гармонического осциллятора — системе, способной совершать гармонические колебания. История квантовой теории реально начинается с Макса Планка, который в 1900 г. получил формулу для правильного описания спектрального распределения теплового излучения. Планк пришел к выводу, что не может обеспечить вывод своей магической формулы для распределения излучения, если только не сделать предположения, которое с философской точки зрения он считал почти неприемлемым. Это предположение заключалось в том, что рассматриваемые им в качестве излучателей гармонические осцилляторы должны обладать энергиями, не распределенными как непрерывные переменные (чего следовало бы ожидать), а принимающими дискретные и регулярным образом расположенные значения. Осцилляторы с частотой υ должны были обладать значениями энергии, которые были бы кратны, т.е. n раз умножены (где n = 0,1, 2,3. ) на нечто, названное им квантом энергии hυ.

Рассмотрим одномерный случай. (Трехмерные задачи сложны в математическом отношении, а практически все принципиальные особенности движения микрочастиц можно выявить и на одномерных задачах.) Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой

Какие примеры движения окружающего мира хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?

Колебания маятника с малой амплитудой.
Другой пример – вертикальные колебания грузика, подвешенного на пружине.

В мире микрочастиц примерами могут быть колебания двухатомной молекулы или колебания атомов в кристаллах. Существенным для всех примеров является ограничение движения некоторой областью значений x. Частица не может покинуть параболическую потенциальную яму, края которой уходят на бесконечность.

Из классической механики известно, что проекция движения частицы на ось x представляет собой синусоидальное колебание около положения равновесия x = 0 с частотой:

Точки a₀ и -a₀, в которых полная энергия частицы E равна потенциальной энергии, являются для частицы точками поворота. Плотность вероятности обнаружения колеблющейся частицы в различных точках оси x описывается формулой

Минимальна вероятность найти частицу около положения равновесия, где она движется с максимальной скоростью. Вблизи точек поворота частица как бы «зависает», и там вероятность обнаружения максимальна.

Оценка минимальной энергии осциллятора

Посмотрим, к каким выводам о характере движения приводит квантовая механика. Начнем с простой оценки минимального значения энергии осциллятора E. Полная энергия осциллятора E складывается из кинетической и потенциальной энергий:

Используя соотношение неопределенности Гейзенберга, в качестве оценки значения импульса p возьмем p

Для малых значений x кинетическая энергия превышает потенциальную, тогда как при больших значениях x имеет место обратное соотношение между ними. Для основного состояния, где энергия минимальна, найдем минимум функции (2). Значение переменной x_min, соответствующее минимуму, равно:

а соответствующее значение энергии E имеет порядок

Заметим, что оценка энергии основного состояния дает ненулевое(!) значение. Уже простые вычисления приводят к нетривиальному результату.

Решения уравнения Шредингера

Нахождение точного решения требует решения уравнения Шредингера с потенциальной энергией (1), которое имеет вид

Трудности решения связаны со слагаемым, содержащим x 2 . Приведем здесь только результаты вычислений. Анализ показывает, что, как и в случае с прямоугольной потенциальной ямой, волновые функции, являющиеся решением этого уравнения, будут непрерывными и конечными не при всех значениях энергии E, а лишь при дискретном наборе значений:

где n принимает значения 0, 1, 2, . . Отметим, что энергетические уровни гармонического осциллятора в отличие от случая прямоугольной потенциальной ямы расположены на одинаковом энергетическом расстоянии друг от друга ΔE = hυ.

Важной особенностью решения является наличие так называемых нулевых колебаний — колебаний с энергией, соответствующих значению квантового числа n = 0. Отличие от нуля минимальной энергии осциллятора характерно для всех квантовых систем и является следствием соотношения неопределенностей (см. оценку выше). В реальных квантовых системах, например, кристаллах, эти колебания сохраняются, как показывает опыт, даже при температурах, близких к абсолютному нулю, когда, казалось бы, все тепловое движение должно прекратиться. Опыты по рассеянию света кристаллами при низких температурах это подтверждают. Велика роль нулевых колебаний и в объяснении природы сил молекулярных взаимодействий (пример ниже) и других молекулярных явлений.

Первые три волновых функции гармонического осциллятора выглядят так:

Здесь введено обозначение x₀ 2 = h/(4π 2 mυ).

Графики этих волновых функций представлены на рисунке ниже.

Пунктиром показаны границы, между которыми совершала бы колебания классическая частица. Значения a₀ отличаются для разных n, так как от n зависит энергия Е (

E 1/2 ). Очевидно, что при малых значениях квантового числа n плотность вероятности нахождения частицы, определяемая квадратом модуля волновой функции ψ₀(x) 2 , кардинальным образом отличается от плотности вероятности обнаружения классического осциллятора: в основном состоянии максимальное значение вероятности приходится на центр, модуль волновой функции для всех квантовых чисел n имеет наибольшие значения между классическими точками поворота и экспоненциально убывающие «хвосты» вне этих точек.

Определим для основного состояния, как велика вероятность P обнаружения частицы вне пределов классической области, т.е. вне области -a₀ Компьютерная модель

Компьютерная модель поможет Вам в исследовании квантового осциллятора. Ее возможности: после того, как Вы зададите порядковый номер атомов Z, из которых состоит молекула (по умолчанию Z=8), компьютер проведет необходимые расчеты и будет готов показать разрешенные значения энергии, соответствующие им волновые функции и распределения плотности вероятности нахождения частицы по координате. Двигайте указатель вдоль оси энергий (мышкой или клавишами со стрелками) и наблюдайте.

как плотность уровней зависит от массы атомов;
как энергия частицы зависит от квантового числа n;
как вероятность обнаружить частицу зависит от x; убедитесь в том, что амплитуда колебаний частицы увеличивается с ростом ее энергии;
как вероятность обнаружения частицы вне классической области зависит от квантового числа n. Для этого на нижнем графике установите крестик в начало области интегрирования, нажмите клавишу «Enter» и передвиньте крестик в конечную точку. Компьютер рассчитает площадь под кривой, равную вероятности обнаружить частицу в выбранном Вами диапазоне координат;

Смешение состояний (принцип суперпозиции)

Реальные объекты (атомы в молекуле, кристалле. ) редко находятся в основном состоянии. За счет, например, теплового возбуждения реальны состояния с квантовым числом n > 0. Одно из важнейших положений квантовой механики — принцип суперпозиции. Он гласит: если квантовая частица может находиться в состояниях, описываемых функциями Ψ₁, Ψ₂, . Ψ_n, то линейная комбинация (суперпозиция) волновых функций Ψ_i

где с_i — произвольные постоянные, также является волновой функцией, описывающей одно из возможных состояний частицы. Коэффициенты с_i изменяются во времени. Принцип неопределенности ΔtΔE>h/2π не позволяет определить зависимость от времени этих коэффициентов для конкретного осциллятора (можно, однако, получить средние значения для большого количества осцилляторов).

Для гармонического осциллятора интересен набор состояний, который минимизирует соотношение неопределенности «координата — импульс», т.е. произведение ΔpΔx=h/2π. Впервые он был построен Шредингером в 1926 г. Волновая функция Ψ(x,t) может быть разложена по волновым функциям стационарных состояний осциллятора

Коэффициенты этого разложения

Вероятность осциллятору находиться в состоянии с квантовым числом n равна

т.е. дается распределением Пуассона. Волновая функция Ψ(x,t) представляет нерасплывающийся волновой пакет. Центр пакета движется по классическому закону, ширина пакета не зависит от времени.

Эти состояния называют когерентными, так как они используются для описания когерентных свойств электромагнитного излучения в квантовой теории поля (R. Glauber, Нобелевская премия 2005 года; текст нобелевской лекции, 269 кб). Можно показать, что свободное электромагнитное поле эквивалентно бесконечному набору независимых гармонических осцилляторов.

Со свойствами когерентных состояния гармонического осциллятора можно познакомиться поближе с помощью компьютерной модели (автор L. Kocbach).

Вычисление средних значений

С помощью волновых функций можно найти среднее значение любой величины (если ее можно в принципе измерить экспериментально). Величина |ψ(x)| 2 dx — вероятность нахождения частицы в интервале dx. В случае многократных наблюдений за частицей |ψ(x)| 2 dx — доля частиц, которые находились в этом интервале, т.е. |ψ(x)| 2 является функцией распределения по координате. С ее помощью найдем, что среднее значение координаты

Аналогичным образом находится среднее значение любой функции координаты, например, для потенциальной энергии имеем

В этих формулах, чтобы вычислить среднее значение, мы умножаем значение функции в точке x на вероятность нахождения частицы около x и суммируем по всем возможным значениям x. В качестве примера найдем эти величины для основного состояния гармонического осциллятора

т.к. под интегралом нечетная функция, и

Среднее значение потенциальной энергии равно половине полной энергии этого состояния.

Правило для вычисления средней кинетической энергии отличается от приведенного, т.к. кинетическая энергия является функцией импульса p, а не координаты x:

Для основного состояния гармонического осциллятора

т.е. мы показали, что для основного состояния гармонического осциллятора средние значения потенциальной энергии и кинетической энергии равны между собой и составляют половину полной энергии осциллятора. Можно показать, что это утверждение будет справедливым и для любого другого состояния квантового гармонического осциллятора. Среднее значение потенциальной энергии увеличивается с ростом n, так как при больших значениях n функция ψ(x) заметно отлична от нуля в тех областях оси х, где потенциал U(x) увеличивается. Обратите на это внимание при экспериментах с компьютерной моделью .

Энергия излучения при переходе из одного состояния в другое равна

Набор равноотстоящих энергетических уровней гармонического осциллятора (3) на первый взгляд означает, что осциллятор может поглощать и испускать излучение с частотой, кратной υ, т.е. kυ , где k — разность квантовых чисел начального и конечного уровней осциллятора. Однако, на самом деле это не так. Точный анализ показывает, что если

где n и m квантовые числа начального и конечного состояний, среднее значение координаты не меняется во времени, и такие переходы запрещены.

Проверим выполнение этого условия для гармонического осциллятора. Пусть n=1, а m=0. Опуская постоянные, для интеграла получим выражение

т.к. под интегралом четная функция. Если положить n=2, m=1,

по той же причине. Переходы между соседними уровнями 0↔1 и 1↔2 являются разрешенными. Рассмотрим теперь переход между состояниями n=0 и m=2. Соответствующий интеграл имеет вид

поскольку функция под интегралом нечетная, а пределы симметричны относительно x=0. Следовательно, переходы 0↔2 запрещены. Особенности испускания и поглощения электромагнитного излучения гармоническим осциллятором таковы, что возможны переходы только между соседними уровнями Δn = ± 1. Это правило отбора для гармонического осциллятора.

Трехмерный гармонический осциллятор

В общем случае потенциальная энергия выражается суммой

Уравнение Шредингера допускает разделение переменных. Если решение искать в виде ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z), получается три дифференциальных уравнения, совпадающих по виду с одномерным. Для изотропного случая (k_x =k_y =k_z = k) значения энергии таковы

где квантовые числа n₁, n₂ и n₃ пробегают значения от 0 до бесконечности. Как и в одномерной задаче, налицо дискретность значений энергии, не равная нулю нулевая энергия. Но в трехмерном случае решение определяется тремя квантовыми числами. И особенность: одно и то же значение энергии могут иметь различные состояния, для которых выполнено условие n₁+n₂+n₃ = const. Такие состояния называют вырожденными.

Взаимодействие двух осцилляторов

Существование нулевой энергии (формула (3) при n = 0) сыграло важную роль для объяснения такого загадочного явления, как межатомное взаимодействие у благородных газов. Так как это взаимодействие проявляется в уравнении состояния Ван-дер-Ваальса для реальных газов

оно названо ван-дер-ваальсовским. Если молекулы (атомы) обладают дипольным моментом, то их притяжение обусловлено взаимодействием диполей (качественно и количественно исследованный факт). Но нейтральные молекулы с симметричным в состоянии покоя распределением заряда могут взаимодействовать только при смещении зарядов, вызывающем появление дипольного момента. Такое смещение возникает при не исчезающих ни при каких условиях нулевых колебаний с энергией hυ/2. Появление дипольного момента у одной молекулы индуцирует дипольный момент в другой. Взаимодействие этих быстро меняющихся моментов и обуславливает притяжение.

В качестве простой модели рассмотрим два линейных осциллятора, расположенных на расстоянии R друг от друга и колеблющихся вдоль соединяющей их прямой. Положительные заряды будем считать неподвижными, x₁ и x₂ — смещение отрицательных частиц (электронов) от положения равновесия.

В отсутствии второго (или при очень большом R) потенциальная энергия каждого осциллятора может быть рассчитана по формуле (1), а частоту колебаний обозначим через υ₀

Энергия взаимодействия двух диполей по закону Кулона равна

Первые два слагаемых описывают отталкивание одноименных зарядов разных диполей, а вторые два — притяжение. Всегда R >> x₁ и R >> x₂. Поэтому разложим дроби в ряды и, удерживая по три члена разложения, получим

Полная энергия двух взаимодействующих осцилляторов равна (здесь p — импульс электрона)

выражение для полной энергии приводится к виду

представляющему сумму энергий двух независимых осцилляторов с несколько отличающимися частотами

Как мы видели, энергия этих осцилляторов имеет квантованные значения (см. (3) выше) и, следовательно, полная энергия нашей системы будет

а для основного состояния (n₁ = 0 и n₂ = 0)

Теперь надо учесть, что вторые слагаемые под корнями много меньше первых (связь электрона со своим ядром гораздо сильнее связи осцилляторов). Корни квадратные разложим в степенные ряды и ограничимся тремя членами в разложении. Это даст

Последнее выражение равно удвоенной энергии изолированного осциллятора минус небольшая энергия. Поскольку добавка отрицательна, полная энергия взаимодействующих осцилляторов меньше энергии изолированных, для разрыва связи нужно энергию затратить! И, заметим, энергия связи очень быстро убывает с расстоянием

Не было бы нулевых колебаний (чисто квантового эффекта), не существовало бы и связи молекул в основном состоянии.

Ангармонический осциллятор

Гармонический осциллятор — идеализация. Реальные зависимости U(x) выглядят как на рисунке справа. Парабола (штриховая кривая) является хорошим приближением только для малых колебаний вблизи положения равновесия. Для колебаний большой амплитуды формула (3) непригодна, интервалы между верхними уровнями энергии и нижними не одинаковы. Для верхних уровней энергии E_n потенциальная яма шире параболы, и поэтому интервалы между этими уровнями меньше интервалов между нижними уровнями.

Подведем итоги:

энергия основного состояния частицы не равна нулю;
энергия частицы квантована, и значение ее растет линейно с n;
вероятность обнаружить частицу меняется от точки к точке;
в трехмерном случае различным состояниям может соответствовать одно и то же значение энергии (вырождение);
нулевые колебания объясняют происхождение сил притяжения между атомами инертных газов;
для ангармонического осциллятора уровни не эквидистантны и правило отбора Δn = ± 1 нарушается;
если значение квантового числа n устремить к бесконечности, решение переходит в классическое.

Если возникли какие-либо вопросы, напишите мне.

Видео:Как понять принцип неопределённости Гейзенберга? [Veritasium]Скачать

Квантовый гармонический осциллятор

Осциллятором называют физическую систему, совершающую колебания. Если колебания описываются синусоидальной функцией, то такой осциллятор называется гармоническим. Примеры классических осцилляторов — математический маятник, груз на пружине и т.д. Движение этих осцилляторов происходит под действием квазиупругой силы , где x — отклонение осциллятора от положения равновесия, k — упругая постоянная. Потенциальная энергия гармонического осциллятора

(1.36)

Понятие осциллятора применяется также к немеханическим колебательным системам. В частности, электрический колебательный контур является электрическим осциллятором.

В квантовой механике понятие силы не используется. Поэтому аналогом классического осциллятора в квантовой физике будет квантовый гармонический осциллятор, состояние которого описывается уравнением Шредингера с потенциальной функцией вида (1.36). Такие квантовые колебания совершают атомы в молекулах, ионы в узлах кристаллической решетки твердого тела (фононы), валентные электроны в твердых телах относительно ионного остова (плазмоны) и др.

Стационарное уравнение Шредингера для одномерного случая (линейный гармонический осциллятор) имеет вид

(1.37)

здесь, как обычно в квантовой механике, Е — полная энергия квантового осциллятора. Уравнение (1.37) имеет решения только при значениях энергии Е_n, равных

(1.38)

Энергетические уровни квантового гармонического осциллятора эквидистантны, т.е. находятся на равных расстояниях друг от друга (рис. 1.5). На этом рисунке через ±x_0n обозначены точки поворота классического осциллятора с такой же энергией E_n, как и у квантового осциллятора.

Рис. 1.5. Схема энергетических уровней квантового гармонического осциллятора

Таким образом, полная энергия квантового гармонического осциллятора может принимать только определенные дискретные значения. Наименьшее возможное значение энергии Существование отличного от нуля минимального значения энергии квантового гармонического осциллятора, так же как и для частицы в потенциальной яме, с неизбежностью вытекает из принципа неопределенностей Гейзенберга. Можно показать, что — это как раз та минимальная энергия, которой должен обладать квантовый гармонический осциллятор, чтобы соотношения неопределенностей были удовлетворены.

Собственные волновые функции квантового гармонического осциллятора могут быть представлены в виде

(1.39)

где — полиномы Чебышева-Эрмита.

Полиномы Чебышева-Эрмита низших степеней имеют вид

Из свойств полиномов Чебышева-Эрмита следует, что все их корни некратные и вещественные. Число корней полинома равно его степени n, в чем легко убедиться, анализируя приведенные выше выражения для полиномов низших степеней. На рис. 1.6 приведены распределения плотности вероятности для основного состояния квантового гармонического осциллятора (n = 0) и для двух возбужденных состояний (n = 1 и 5). Также показаны штриховыми линиями вероятность нахождения частицы в окрестности точки x для классического осциллятора, совершающего гармонические колебания с теми же значениями полной энергии Е. Вертикальные штриховые линии соответствуют точкам поворота классического осциллятора ± x₀₀, ± x₀₁, ± x₀₅, и т.д. Эта вероятность, очевидно, пропорциональна его скорости, т.е. обратной величине квадратного корня из кинетической энергии. Следовательно, для классического осциллятора,

где Е и U — полная и потенциальная энергия соответственно. Отсюда видно, что вблизи точек поворота w_кл(x) стремится к бесконечности. Вблизи положения равновесия скорость осциллятора максимальна и соответственно классическая вероятность минимальна.

При малых n, что соответствует низшим энергетическим состояниям, квантовый и классический осцилляторы существенно ведут себя по разному. Однако, при достаточно больших энергиях функция приближается к классической функции распределения как к некоторой средней величине, относительно которой она совершает быстрые осцилляции.

Отметим еще одну особенность квантовомеханического осциллятора. Как видно из рис. 1.6, вероятность обнаружить микрочастицу, совершающую квантово-механические колебания вне пределов, ограничивающих движение классического осциллятора, не равна нулю. Такое поведение квантовомеханического осциллятора связано с более общим свойством микрочастиц проникать за пределы потенциальных барьеров, недоступных с точки зрения классической физики.

Рис.1.6. Распределение плотности вероятности для трех состояний квантового гармонического осциллятора

Видео:Квантовая механика 47 - Стационарное уравнение Шредингера. Гармонический осциллятор.Скачать

Уравнение гейзенберга для гармонического осциллятора

Линейным гармоническим осциллятором называется система, потенциальная энергия которой квадратично зависит от координаты:

Здесь m — масса частицы, а ω — собственная частота осциллятора. На рис. 11.1 зависимость (1)

изображена графически. Кривая U ( x ) своей крутизной и бесконечно большой высотой напоминает потенциальную яму. Ниже мы увидим, что линейный осциллятор, действительно, проявляет некоторые свойства частицы в бесконечно высокой потенциальной яме. Например, он имеет бесконечное число дискретных уровней. Но в отличие от отвесных стенок ямы, потенциал осциллятора растёт плавно, и, как следствие, появляется некоторая вероятность обнаружить частицу достаточно далеко от начала координат. Плавная форма потенциала позволяет осциллятору при определённых условиях проявить свойства классической (не квантовой) частицы. Для этого достаточно, чтобы длина волны де Бройля была меньше характерных размеров области изменения потенциала. В случае потенциальной ямы, либо потенциального барьера, такая возможность полностью исключена, так как там потенциал меняется скачком в одной точке. Перейдём к количественному решению задачи.

Напишем одномерное уравнение Шредингера с потенциальной энергией (1):

У него нет естественных граничных условий. Дискретные уровни энергии получаются как следствие ограниченности волновой функции.

Преобразуем уравнение (2): вместо координаты x введём безразмерный аргумент

и вместо E — безразмерную энергию осциллятора

Легко убедиться, что обратная величина подкоренного выражения в (3) равна произведению комптоновской длины волны электрона (1.3.1) и длины волны D = l /(2 p ) = c / w , соответствующей собственной частоте осциллятора. С принятыми обозначениями уравнение Шредингера принимает вид:

Здесь штрихами обозначено дифференцирование по координате y .

Квантовые свойства осциллятора имеют многочисленные приложения в атомной физике. Ниже мы рассмотрим два из них: влияние нулевых колебаний электромагнитного вакуума на функцию Планка и связанный с ними лэмбовский сдвиг метастабильного уровня атома водорода.

Видео:Квантовая механика 42 - Уравнение ГейзенбергаСкачать

11.1 Решение волнового уравнения

Уравнение (5) решаем методом разложения в ряд с предварительным выделением множителя, быстро убывающего на больших расстояниях от начала координат. Обозначим посредством ψ _∞ волновую функцию при больших значениях аргумента: y ? ε. Ей соответствует асимптотическая форма уравнения Шредингера

Множитель перед функцией появляется при двукратном дифференцировании экспоненты , а именно:

В области больших значений аргумента можно пренебречь единицей по сравнению с y 2 в множителе . Следовательно, рассматриваемая экспонента может служить асимптотическим приближением точного решения:

Решение уравнения (5) при произвольных значениях аргумента будем искать в виде

Согласно (5), функция f ( y ) удовлетворяет уравнению

Ищем решение в виде ряда:

Дважды продифференцируем искомую функцию

Подставив эти разложения в (1.3), получим бесконечную цепь линейных уравнений для коэффициентов разложения A _ν :

Соберем степени с одинаковыми показателями, для чего индекс первой суммы увеличиваем на два:

Сумма тождественно равна нулю, когда исчезает каждый коэффициент при y ν . Отсюда вытекает рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения (1.4):

Задав A₀ и A₁, мы получим все коэффициенты A _n , соответственно, с чётными и с нечётными номерами. Формальное решение задачи получено.

Теперь покажем, что условию ограниченности волновой функции удовлетворяет только конечная сумма, но не бесконечный ряд. Для этого покажем, что ряд, коэффициенты которого подчиняются условию (1.5), растёт быстрее, чем exp ( y 2 /2 ) . Разложим экспоненту в ряд Тейлора:

Здесь ν принимает только чётные значения. Мы ввели обозначение

при больших значениях ν стремится к 1/ ν . В то же время из (1.5) следует:

Теперь ясно, что функция, описываемая соотношением (1.5), растёт быстрее, чем экспонента (1.6). Следовательно, произведение (1.4) при больших значениях аргумента неограниченно возрастает. Поэтому физический смысл имеет только такое решение (1.3), в котором сумма (1.4) содержит лишь конечное число слагаемых.

Покажем, как требование конечности числа слагаемых приводит к дискретному спектру энергетических уровней осциллятора. Пусть n — номер последнего члена ряда (1.4), не равного нулю:

Из (1.5) вытекает связь между величиной энергетического уровня и его номером:

Итак, мы снова получили дискретные уровни энергии. Каждому уровню с номером n соответствует ровно одна волновая функция:

причём нижний предел равен нулю при чётном n и единице — при нечётном. Уровни энергии, согласно (4) и (1.7), принимают дискретный ряд значений:

Обратим внимание на то, что наименьшее из возможных значений энергии, равное

отлично от нуля. Это состояние соответствует так называемым нулевым колебаниям .

Рекуррентное соотношение (1.5) с учётом (1.7) принимает вид

Оно позволяет восстановить все коэффициенты суммы (1.8а) с точностью до общего множителя; последний может быть найден из условия нормировки волновой функции (1.8). Поскольку ν f _n является чётной при чётных значениях её номера n , и нечётной — при нечётных n . Она пропорциональна известным в математике полиномам Эрмита H _n ( y ). Выпишем для справки нормированную волновую функцию состояния осциллятора с номером n :

Приведём несколько первых полиномов Эрмита:

Исследуем полученное решение.

Видео:Микролекция: Гармонический осцилляторСкачать

11.2 Свойства квантового осциллятора

Линейный осциллятор имеет эквидистантную систему уровней: разность энергий двух соседних уровней постоянна и равна ħω. Именно такой квант энергии излучается или поглощается при переходе между соседними уровнями. На рис.11.2.1 слева приведены графики волновой функции для трёх первых значений n . По горизонтальной оси отложены значения безразмерного аргумента y .

Парабола изображает потенциальную функцию, а горизонтальные прямые — значения энергетических уровней. Для удобства восприятия волновые функции сдвинуты по вертикальной оси.

Волновые функции линейного осциллятора и рассмотренной выше задачи о прямоугольной потенциальной яме имеют некоторые сходные черты. Во–первых , у них одинаково количество узлов. Здесь мы ещё раз встречаемся с проявлением осцилляционной теоремы, упомянутой в девятой главе. Так, волновая функция основного состояния ψ₀ не обращается в нуль ни в одной точке на прямой, а графики функций ψ₁ и ψ₂ пересекают горизонтальную ость, соответственно, один и два раза. Для остальных состояний имеет место тот же самый результат. Действительно, из теории специальных функций известно, что полином Эрмита n –го порядка H _n имеет ровно n корней. Во–вторых , квантовую частицу можно обнаружить и в области, запрещённой для движения в классической механике, что иллюстрирует график на рис.11.2.1 справа.

В состояниях с сильным возбуждением квантовый осциллятор приобретает свойства классической частицы. На рис. 11.2.2 схематически изображён график вероятности в

пределе n » 1 . Пунктиром, как и выше, отмечена потенциальная кривая, а синим цветом — вероятность обнаружения. Функция W( x ) быстро осциллирует , причём её огибающая (она обозначена на рисунке красным цветом) монотонно растёт от центра к периферии. Такой рост имеет аналогию в классической механике, когда вероятность обнаружения частицы на отрезке длиной Δ x обратно пропорциональна её скорости V :

В точках поворота скорость обращается в нуль, поэтому там легче всего найти частицу. В самом деле, рассмотрим движение частицы по закону

Классическую вероятность обнаружения частицы на отрезке от x до x + dx определим как отношение времени прохождения отрезка

к половине периода колебаний:

Вероятность значительно увеличивается вблизи точек поворота x = ± x ₀ . Для достаточно больших значений n в апертуру прибора с конечной разрешающей способностью попадает много горбов, поэтому осцилляции волновой функции в классическом пределе незаметны. Но для основного состояния квантовая теория и классическая механика дают принципиально разные ответы, что иллюстрирует рис.11.2.3. Зелёная линия на нём

обозначает уровень нулевых колебаний E ₀ из (1.10). Классическая вероятность увеличивается по мере приближения к точке x ₀, определяемой условием U ( x ₀) = E ₀, но не может перейти через эту границу. Квантовая теория предсказывает уменьшение вероятности при приближении к границе, причём частица может быть обнаружена в классически недоступной области x > x ₀.

11.3. Нулевые колебания

В самом низком состоянии осциллятор имеет отличную от нуля энергию (1.10), определяемую его собственной частотой. Нулевые колебания осциллятора имеют чисто квантовую природу и находят своё объяснение в соотношении неопределённостей. Полная энергия осциллятора равна сумме кинетической и потенциальной

Если частица локализована внутри области размером x , то, согласно принципу Гайзенберга , её импульс не может быть меньше, чем

Таким образом, первое слагаемое в (3.1) уменьшается по мере увеличения x , а второе — растёт:

Полная энергия как функция x имеет минимум в точке

Полученное значение в два раза отличается от результата точного расчёта. Это не удивительно, так как соотношение неопределёностей даёт оценки лишь по порядку величины. Точное выражение для энергии нулевых колебаний получается из упомянутого в главе неравенства для дисперсий момента и координаты:

,
Формально она выводится следующим образом. Пусть состояние частицы описывается функцией y ( x ), причём средние значения импульса и координаты для простоты вывода предполагаются равными нулю. Напишем очевидное неравенство