Уравнение геометрического места точек решение

Видео:Написать уравнение геометрического места точек перегиба графиков решений уравненийСкачать

Написать уравнение геометрического места точек перегиба графиков решений уравнений

Уравнение геометрического места точек решение

Найти уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек A и B есть величина постоянная, равная a 2 . Длину AB считать равной 2a.

Проведем вывод уравнения в прямоугольных координатах. Направим ось Ox по прямой, соединяющей A и B, как обычно, вправо, начало координат поместим в середине отрезка AB, ось Oy направим вверх по перпендикуляру к оси Ox. Длина отрезка AB по условию равна 2a (AB = 2a); тогда точки A и B будут иметь координаты: A(-a, 0); B(a, 0). Пусть точка M принадлежит кривой. Ее координаты обозначим через x и y (см. рисунок).

Уравнение геометрического места точек решение

Из условия задачи AM * BM = a 2 . По формуле расстояния между двумя точками

Уравнение геометрического места точек решениеУравнение геометрического места точек решениеУравнение геометрического места точек решениеУравнение геометрического места точек решение

Уравнение геометрического места точек решениеУравнение геометрического места точек решениеУравнение геометрического места точек решение

Возведем обе части этого уравнения в квадрат:

Видео:найти уравнение геометрического места точекСкачать

найти уравнение геометрического места точек

Уравнение геометрического места точек решение

Уравнение геометрического места точек решение

Уравнение геометрического места точек решение

Уравнение геометрического места точек решение

Видео:ГМТ // ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕКСкачать

ГМТ // ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК

Глава 10. Вывод уравнений заранее данных линий

В задачах предыдущего параграфа линия определялась при помощи данного уравнения. Здесь мы будем иметь задачи противоположного характера; в каждой из них линия определяется чисто геометрически, а уравнение ее требуется найти.

ПРИМЕР 1. В декартовой прямоугольной системе координат вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до двух данных точек Уравнение геометрического места точек решение(-а; 0) и Уравнение геометрического места точек решение(а; 0) есть величина постоянная, равная Уравнение геометрического места точек решение.

РЕШЕНИЕ. Обозначим буквой М произвольную точку линии, буквами х и у обозначим координаты этой точки. Так как точка М может занимать на линии любое положение то х и у являются переменными величинами; их называют текущими координатами.

Запишем геометрическое свойство линии символически:

Уравнение геометрического места точек решение(1).

В этом отношении при движении точки М могут меняться длины Уравнение геометрического места точек решениеи Уравнение геометрического места точек решение. Выразим их через текущие координаты точки М:

Уравнение геометрического места точек решение, Уравнение геометрического места точек решение(2)

Подставив полученные выражения в равенство (1), найдем уравнение, связывающее координаты х, у точки М:

Уравнение геометрического места точек решение

Это и есть уравнение данной линии.

Действительно, для каждой точки М, лежающей на этой инии, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты точки М будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки М, не лежащей на линии, не будет выполняться условие (1) и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравнению (2).

Таким образом, задача решена. Однако уравнение (2) можно упростить; раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение данной линии в виде:

Уравнение геометрического места точек решение

Теперь легко понять, что данная линия есть окружность с центром в начале координат и радиусом, равным а.

ПРИМЕР 2. В полярной системе координат вывести уравнение окружности, которая имеет центр С( Уравнение геометрического места точек решение; Уравнение геометрического места точек решение) и радиус r (см. рис.).

Уравнение геометрического места точек решение

РЕШЕНИЕ. Олозначим буквой М произвольную точку окружности, буквами Уравнение геометрического места точек решениеи Уравнение геометрического места точек решение— ее полярные координаты. Так как точка М может занимать на окружности любое положение, то Уравнение геометрического места точек решениеи Уравнение геометрического места точек решениеявляются переменными величинами. Как и в случае декартовой системы, их называют текущими координатами.

Все точки окружности отстоят от центра на расстоянии r ; запишем это условие символически:

Уравнение геометрического места точек решение(1).

Выразим СМ через текущие координаты точки М (воспользуемся теоремой косинусов):

Уравнение геометрического места точек решение

Подставив полученное выражение в равенство (1), найдем уравнение, связывающее координаты Уравнение геометрического места точек решение, Уравнение геометрического места точек решениеточки М:

Уравнение геометрического места точек решение(2)

Это и есть уравнение данной окружности.

Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной окружности, выполняется условие (1) и , следовательно, координаты точки М будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки М, не лежащей на данной окружности, не будет выполняться условие (1) и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравнению (2).

Таким образом, задача решена. Можно лишь несколько упростить полученное уравнение и представить его в виде, свободным от радикала:

Уравнение геометрического места точек решение.

Видео:Геометрическое место точек окружность и круг - 7 класс геометрияСкачать

Геометрическое место точек окружность и круг - 7 класс геометрия

Составить уравнение геометрического места точек одинаково удаленных

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему нахождения геометрического места точек (ГМТ) по определенным условиям: удаленности от начала координат или произвольных точек, удаленности от кривых и прямых и т.п.

Видео:PRO геометрические места точекСкачать

PRO геометрические места точек

Геометрическое место точек: решения онлайн

Задача 1. Написать уравнение геометрического места точек, удаленных от прямой $х + 2у – 5 = 0$ на расстояние $sqrt $.

Задача 2. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от начала координат и от точки $(5;0)$ относятся как $2:1$.

Задача 3. Составить уравнение множества точек, для каждой из которых выполняется следующее условие: квадрат расстояния до точки $A(2,0)$ на 16 больше квадрата расстояния до оси ординат.

Задача 4. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки $A(0,1)$ вдвое меньше расстояния от прямой $y=4$.

Задача 5. Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до точек $A(-3,0)$ и $B(0,3)$ равна 26. Построить эту линию.

Задача 6. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки $A(2;0)$ и до данной прямой $x=4,5$ равно числу $2/3$. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой лежит в начале координат и которая проходит через точку F(2;-4); ox– ось симметрии.

Ответ: Уравнение геометрического места точек решение.

Задача 67.

Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2;0) и от прямой Уравнение геометрического места точек решение.

Ответ: Уравнение геометрического места точек решение.

Задача 68.

Составить каноническое уравнение параболы, если ее фокус находится в точке пересечения прямой Уравнение геометрического места точек решениес осью 0х.

Ответ: Уравнение геометрического места точек решение.

Задача 69.

На параболе Уравнение геометрического места точек решениенайти точку, фокальный радиус которой равен 4.

Ответ: Уравнение геометрического места точек решение, Уравнение геометрического места точек решение.

Задача 70.

Написать уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения параболы Уравнение геометрического места точек решениес осями координат.

Ответ: Уравнение геометрического места точек решение.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома – страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8921 – Уравнение геометрического места точек решение| 7229 – Уравнение геометрического места точек решениеили читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(0,2) и от прямой y=4. Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить её

задан 23 Дек ’13 19:51

Надо приравнять квадраты расстояний от точки то точки, то есть $%x^2+(y-2)^2$%, и от точки до прямой, то есть $%(y-4)^2$%. После упрощений получится уравнение параболы. Остальное просто.

Здравствуйте

Математика – это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

🔥 Видео

Уравнение плоскости. 11 класс.Скачать

Уравнение плоскости. 11 класс.

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1

Метод геометрических мест точек в задачах на построение - 7 класс геометрияСкачать

Метод геометрических мест точек в задачах на построение - 7 класс геометрия

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Уравнение прямой.Скачать

Уравнение прямой.

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ ТРЕХ ДАННЫХ ТОЧЕК. Задачи. Метод ГМТ. ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ ТРЕХ ДАННЫХ ТОЧЕК. Задачи. Метод ГМТ. ГЕОМЕТРИЯ 7 класс
Поделиться или сохранить к себе: