Задание
Составить уравнение множества точек плоскости, равноудалённых от точки F (7; 3) и от прямой x — 2y = 11
Решение
Расстояние от точки А(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0 равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
Она определяется по формуле
d1 = (Ax1 + By1 + C)/(A^2 + B^2)^0.5 = (x1 — 2y1 — 11)/(5^0.5)
Расстояние d2 между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) плоскости определяется по формуле
d2 = ((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2)^0.5
Из условия равноудалённости следует, что d1 = d2
(x1 — 2y1 — 11)/(5^0.5) = ((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2)^0.5
Нужно возвести обе части в квадрат и привести подобные слагаемые
Получается квадратное уравнение, то есть геометрическим местом точек равноудалённых от заданной точи и прямой является парабола.
Видео:найти уравнение геометрического места точекСкачать
Геометрические места точек
Геометрическим местом точек называют множество точек, заданное условием, являющимся и свойством, и признаком.
Другими словами, все точки из рассматриваемого геометрического места точек, и только они, удовлетворяют заданному условию.
Примеры геометрических мест точек (сокращённо ГМТ ) на плоскости представлены в следующей таблице, причём геометрические места точек изображаются в таблице красным цветом .
Видео:ГМТ // ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕКСкачать
Метод геометрических мест точек
Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест. Понятие геометрического места является одним из важнейших в геометрии. Термин «геометрическое место точек» был введен еще древнегреческим ученым и философом Аристотелем (384-222 гг. до новой эры), который представлял себе линию, как некоторое «место», где могут быть размещены точки. Понятие линии как следа движущей точки или совокупность точек, возникли значительно позже.
Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ), обладающих определенным свойством, называется множество всех точек, которые обладают этим свойством.
Сущность метода состоит в следующем. Пусть, решая задачу на построение, нам надо найти точку X , удовлетворяющую двум условиям. ГМТ, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура A, а ГМТ, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура B. Искомая точка X принадлежит A и B, т.е. является их точкой пересечения.
При решении задач этим методом надо знать основные геометрические места точек на плоскости:
1. ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.
2. ГМТ, находящихся на данном расстоянии oт данной точки.
3. ГМТ, удаленных на расстояние d oт данной прямой.
4. ГМТ, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.
5. ГМТ, равноудаленных от сторон угла.
6. ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом.
Некоторые геометрические места точек, часто используемые
Рассмотрим построение основных ГМТ, перечисленных в предыдущем пункте.
1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных
точек, является серединный перпендикуляр к отрезку с концами в этих
2. Геометрическим местом точек, находящихся на данном расстоянии
oт данной точки, является окружность с центром в данной точке и радиусом, равном данному отрезку.
3. Геометрическим местом точек, удаленных на расстояние d oт
данной прямой в выбранной полуплоскости, является прямая
параллельная данной и находящаяся на расстоянии d от нее.
А выбираем произвольно.
4. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных
параллельных прямых, является прямая, находящаяся на одинаковом
расстоянии от данных прямых (ось симметрии этих прямых).
5. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла,
является биссектриса этого угла. (См. построение 4).
6. Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под
данным углом, является дуга окружности, опирающейся на этот отрезок.
I случай:
— данный угол,
АВ – данный отрезок.
Действительно, ∟АМВ, как угол, вписанный в окружность, измеряется
половиной малой дуги АВ, так как центральный угол ∟АОВ = 2α, то
При этом заметим, что центр окружности О и вершина М угла лежат по
одну сторону от данного отрезка
II случай: 
1. О – середина АВ.
Полуокружность 
(Любой угол, опирающийся на диаметр –
прямой).
III случай: 
Действительно, ∟АОВ = 2( 90 0 – (α — 90 0 )) = 2(180 0 — α). Тогда большая дуга
АВ равна 360 0 – 2(180 0 — α) = 2α и угол АМВ, опирающийся на большую дугу АВ, измеряется половиной этой дуги, т.е. равен α.
🎦 Видео
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
Составляем уравнение прямой по точкамСкачать
Уравнение окружности (1)Скачать
ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ КОНЦОВ ОТРЕЗКА. Задачи на ГМТ | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать
Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать
Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
PRO геометрические места точекСкачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать
Давыдкин М.А. "Геометрические места точек, равноудаленных от прямой и цилиндрической поверхности"Скачать
Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать
Построение точки, равноудалённой от концов отрезкаСкачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать
Геометрическое место точек окружность и круг - 7 класс геометрияСкачать
