Уравнение гельмгольца из уравнений максвелла (8 видео)

Уравнения Гельмгольца. Волновой характер электромагнитного поля

Одним из важнейших результатов, полученных Максвеллом, явилось доказательство волновой природы электромагнитного поля. Уже упоминалось о том, что изменение во времени электрического поля приводит к возникновению магнитного поля, неоднородного в пространстве, и наоборот. Физическая картина здесь напоминает процесс обмена энергией между электрическим и магнитным полем в обычном колебательном контуре. Поэтому можно ожидать, что электромагнитный процесс в самом общем случае представляет собой также некоторые колебания. Принципиальная разница здесь заключается в том, что колебания электромагнитного поля должны рассматриваться одновременно во всех точках пространства. В физике колебательное движение непрерывной среды принято называть волновым процессом.

Докажем волновой характер электромагнитного поля математически, сведя уравнения Максвелла к другим уравнениям, которые заведомо описывают волновой процесс.

Рассмотрим электромагнитное поле в некоторой области пространства, где плотность зарядов отсутствует, т.е. . Плотность сторонних электрических токов также предполагается равной нулю.

Выпишем первые два уравнения из общей системы уравнений Максвелла для комплексных амплитуд в виде:

Эти два уравнения могут быть сведены к одному. Для этого применим операцию rot к левой и правой частям второго уравнения, а затем выразим полученную правую часть через второе уравнение:

Здесь − в общем случае комплексное число, являющееся, как будет показано, постоянной распространения электромагнитной волны. В литературе для величины можно встретить также названия фазовая постоянная или волновое число.

Дальнейшее преобразование формулы можно осуществить, если воспользоваться известным тождеством векторного анализа:

Здесь (набла квадрат) − векторный дифференциальный оператор второго порядка, конкретная форма которого полностью определяется той координатной системой, в которой производятся вычисления. Для декартовой системы координат действие оператора сводится к тому, что к каждой из проекций векторного поля применяется оператор Лапласа

Если воспользоваться законом Гаусса, который в соответствии с принятым условием обеспечивает , то уравнение может быть переписано в следующем простом виде:

Пользуясь симметрией уравнений Максвелла, совершенно аналогично получаем также уравнение относительно векторного поля :

Эти два уравнения в математической физике носят название уравнений Гельмгольца. Математически можно показать, что эти уравнения описывают стационарные волновые процессы, т.е., распространение в пространстве волн с некоторой постоянной частотой.

Таким образом, получен фундаментальный вывод теории Максвелла − переменность во времени электрических или магнитных полей приводит к распространению в пространстве электромагнитных волн.

В координатной форме уравнения Гельмгольца записываются следующим образом

Решение такой системы значительно упрощается в тех частных случаях, когда поле не имеет каких-либо составляющих, например, , а также тогда, когда поле постоянно в каких-либо плоскостях, например .

Дата добавления: 2015-10-19 ; просмотров: 1854 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:О чем говорят уравнения Максвелла? Видео 1/2Скачать

6.3.1. Волновое уравнение (уравнение Гельмгольца)

Волновое уравнение получается из уравнения баланса тепловых нейтронов (6.2.1), записанного для критического реактора (то есть dn/dt = 0), путём подстановки в него выражений для скоростей генерации (формула (5.4.14)), поглощения (R_a = ∑_aФ) и утечки тепловых нейтронов (формула (6.2.5)):

или, если разделить это выражение почленно на ненулевую величину ∑_a:

А теперь оставим на минуту это выражение и вернемся к п.5.4.3, где было получено уравнение пространственной части решения уравнения возраста Ферми (см. выражение (5.4.8)):

Подстановка (6.3.3) в (6.3.2) и последующее сокращение на ненулевую постоянную величину k_∞∑_а / φT_o приводят к следующему выражению:

В этом выражении В 2 — постоянная величина (параметр реактора).

Уравнения такого типа среди прочих уравнений математической физики известны как простейшие уравнения волнового типа, поэтому уравнение (6.3.4) называют волновым уравнением критического реактора (или уравнением Гельмгольца).

Его решение для активной зоны конкретных формы и размеров — есть функция Ф(r) распределения плотности потока тепловых нейтронов по координатам её объёма.

Здесь сразу же уместно задуматься над вопросом: чем вообще может определяться распределение плотности потока тепловых нейтронов в объёме активной зоны критического (то есть стационарного) реактора? — Ведь поскольку функция Ф(r) фигурирует в уравнении волнового процесса, значит ли это, что диффузия нейтронов вообще является волновым процессом? Таким, скажем, как процесс колебания гитарной струны, или процесс распространения волн по водной поверхности, или любой физический процесс, формально описываемый тем же волновым уравнением?

Житейский опыт подсказывает, что амплитуда и частота колебаний гитарной струны (параметры волнового процесса) определяются длиной и диаметром струны (то есть её геометрическими характеристиками), упругими свойствами материала струны и степенью ее натяжения (т.е. физическими свойствами колеблющейся среды и условиями организации колебаний).

Аналогично обстоит дело и с распределением Ф(r) в волновом процессе диффузии тепловых нейтронов в активной зоне: оно тоже определяется и геометрией, и физическими свойствами среды активной зоны реактора, и условиями окружения активной зоны. Но так как в уравнении (6.3.4), кроме функции Ф(r), есть лишь один параметр (В 2 ), то именно этот постоянный параметр должен отражать и физические (материальные) свойства среды активной зоны, и её геометрические свойства. На этом основании параметр реактора (В 2 ) называется и геометрическим параметром (и обозначается В_г 2 ), и материальным параметром (В_м 2 ).

В_г 2 и В_м 2 — физически различные характеристики: одна определяется только формой и размерами активной зоны, другая — только составом компонентов активной зоны реактора. Но они равны только в критическом реакторе, поскольку волновое уравнение получено для критического реактора и только для него оно имеет смысл в том простейшем виде, в котором оно было получено.

В некритическом реакторе n≠idem, dn/dt≠0, и поэтому в нестационарном волновом уравнении должно было бы появиться ещё одно слагаемое в правой части, зависящее от времени t.

Возникает закономерный вопрос: о каком волновом процессе может вообще идти речь в критическом реакторе, который является принципиально стационарным, и какое отношение вообще имеет волновое уравнение к стационарному реактору?

А вот какое: волновое уравнение в форме Гельмгольца (то есть с нулевой правой частью) описывает не волну в движении, а является уравнением стоячей волны. Это совсем не означает, что тепловые нейтроны в реакторе неподвижно застыли в различных точках активной зоны реактора, они движутся (да еще как!) в направлении от центра к периферии, по пути к ним добавляются ещё тепловые нейтроны, рождаемые за счёт замедления, часть их поглощается на этом пути, часть диффундирует дальше, но так, что в любом микрообъёме активной зоны в любой момент времени число тепловых нейтронов — в итоге протекания непрерывно идущих процессов генерации, поглощения и утечки — поддерживается постоянным, так же, как неизменным во времени поддерживается и энергетический спектр тепловых нейтронов.

Итак, стационарное волновое уравнение (уравнение Гельмгольца) является дифференциальным уравнением стоячей волны плотности потока тепловых нейтронов в активной зоне реактора. Его решение Ф(r) — функция пространственного распределения величины плотности потока тепловых нейтронов по объёму активной зоны.

Видео:Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.Скачать

Уравнение гельмгольца из уравнений максвелла

Основные уравнения классической электродинамики (система уравнений Максвелла) по праву являются общепризнанными уравнениями и широко применяются в физике, радиофизике и электронике. Однако эти уравнения не были получены из общих физических законов, что не позволяло считать их абсолютно точными, допускало различного рода манипуляции с ними. Тем не менее, эти уравнения точные и выводятся из общих принципов физики и основ векторной алгебры [1, 2].

1. Вывод закона электромагнитной индукции Фарадея

Закон электромагнитной индукции Фарадея можно получить из уравнения для электромагнитных сил, действующих на точечный электрический заряд [1, 2]:

Уравнение гельмгольца из уравнений максвелла

(1)

где e – заряд электрона, E – вектор напряженности электрического поля, r – радиальный вектор, соединяющий ось источника магнитной индукции B с электрически заряженной частицей и лежащий в плоскости, ортогональной оси симметрии магнитного поля.

Рассмотрим случай, когда магнитная часть силы F_ЕМ равна и направлена противоположно ее электрической части:

(2)

Такая ситуация возникает в проводнике с электрическим током высокой частоты, когда сила, действующая на электрон со стороны первичного электрического поля изменяется настолько быстро, что оказывается в противофазе с силой инерции электронов.

Сократим заряд в равенстве (2) и применим к обеим частям этого равенства операцию «ротор»:

(3)

Пусть, например, ось z совпадает с направлением аксиального вектора B, тогда радиус-вектор будет иметь вид: r=xi+yj, где i и j – единичные векторы в направлениях осей координат x и y, соответственно. Радиальный векторr не имеет третьей составляющей вдоль оси z, поэтому второе слагаемое в (3) равно –2(∂B/∂t). Первое же слагаемое в уравнении (3) равно ∂B/∂t. В результате, после преобразования правой части последнего равенства, получаем:

(4)

То есть из электромагнитного силового уравнения (1) в том случае, когда сила, действующая на электрон со стороны магнитного поля, полностью уравновешивается силой со стороны электрического поля, следует закон электромагнитной индукции Фарадея (4), − одно из основных уравнений электродинамики.

Уравнения (2) – (4) не зависят от того, имеется или отсутствует электрон в данной точке пространства. В результате такой независимости электрического и магнитного полей от электрического заряда уравнение (4) отражает пространственно-временные свойства самих изменяющихся полей, представимых в виде единого электромагнитного поля. При этом закон Фарадея (4) не только представляет собой закон электромагнитной индукции, но является и основным законом взаимного преобразования электрического и магнитного полей, − неотъемлемым свойством электромагнитного поля.

2. Вывод уравнения Максвелла

Прежде, чем приступить к выводу уравнения Максвелла, необходимо дополнить векторную алгебру еще одним векторным оператором.

2.1. Определение векторного оператора, выполняющего действие, обратное векторному преобразованию дифференциального векторного оператора «ротор»

Дифференциальный векторный оператор «ротор» выполняет операцию преобразования векторов в пространстве и операцию дифференцирования, то есть является сложным оператором, осуществляющим сразу два вида действий. Это прямо следует из его определения [3]:

где а – вектор, i, j, k – единичные векторы в направлении осей прямоугольной (декартовой) системы координат x, y и z, соответственно. При этом оператор, обратный оператору «ротор», в векторном анализе не определен, хотя каждое из выполняемых им преобразований, в принципе, обратимо.

Геометрическая иллюстрация пространственного преобразования вектора а в вектор rot(a), осуществляемая оператором «ротор», показана на Рис. 1.

Рис. 1. Геометрическое представление вектора а и векторного поля, образованного оператором «ротор».

2.2. Определение 1. Если два взаимосвязанных векторных поля, представленные векторами а и b, имеют производные по пространственным переменным x, y, z (в виде rotaи rotb)и производные по времени, ¶ а/ ¶ t и ¶ b/ ¶ t, причем производная вектора а по времени ортогональна производным по пространственным переменным вектора b, и наоборот, производная по времени вектора b ортогональна производным по пространственным переменным вектораа, то существует векторный оператор, осуществляющий пространственное преобразование векторного поля, не затрагивающее операцию дифференцирования, который условно назовем оператором «rerot», (противоположно закрученный или «реверсивный ротор») такой, что:

и ; (5)

и . (5*)

2.3. Свойства векторного оператора «реверсивный ротор»

2.3.1. Векторный оператор «реверсивный ротор» действует только на производные вектора.

2.3.2. Векторный оператор «реверсивный ротор» располагается перед производной вектора, на которую он действует.

2.3.3. Константы и числовые коэффициенты при производных вектора могут быть вынесены за пределы действия векторных операторов:

;

2.3.4. Векторный оператор «реверсивный ротор» действует на каждое из слагаемых уравнения, содержащего сумму векторных производных:

2.3.5. Результат действия векторного оператора «реверсивный ротор» на ноль есть ноль:

При этом результат действия векторного оператора «реверсивный ротор» на другие константы, в том числе на вектор, согласно пункту 2.3.1, не определен.

2.4. Пример применения оператора «реверсивный ротор»

Применим оператор «реверсивный ротор» к уравнению, содержащему взаимосвязанные векторы a и b:

((*))

, откуда следует:

((**))

Если теперь еще раз применить оператор «реверсивный ротор» к вновь образованному равенству (**), то получим:

или

, или окончательно:

((*))

Последовательное двойное (или любое четное) применение оператора «реверсивный ротор» приводит к исходному равенству. Этим самым векторный оператор «реверсивный ротор» осуществляет не только взаимное преобразование дифференциальных уравнений взаимосвязанных векторных полей, но и устанавливает эквивалентность этих уравнений.

Геометрически это выглядит так. Оператор «ротор» дифференцирует и как бы закручивает прямолинейное векторное поле, делая его вихревым и ортогональным исходному векторному полю. Векторный оператор «реверсивный ротор» выполняет векторное преобразование, которое как бы раскручивает вихревое поле, закрученное оператором «ротор», превращая его в изменяющееся невихревое поле, представленное производной вектора по времени. Поскольку интегрирование не производится, производная вектора по времени соответствует изменению величины вектора. В результате имеем изменение вектора, величина которого изменяется в единственном направлении, ортогональном пространственным переменным оператора «ротор». И наоборот, векторный оператор «реверсивный ротор» закручивает невихревое изменяющееся векторное поле, представленное производной вектора по времени, превращая его в вихревое пространственное векторное поле, ортогональное исходной производной вектора по времени. Так как направление «кручения» оператора «реверсивный ротор» противоположно направлению вращения, осуществляемому оператором «ротор», то знак вновь образованного вихревого поля выбирается противоположным (отрицательным). То есть векторный оператор «реверсивный ротор» выполняет действие, обратное пространственному преобразованию оператора «ротор» на всем «пространстве» производных векторных полей. В то же время векторный оператор «реверсивный ротор» сам не дифференцирует вектор, на производную которого он действует. Этим самым осуществляется тождественное обратимое векторное преобразование.

Если ввести в векторный анализ интегральный векторный оператор, восстанавливающий не производную вектора, а сам вектор из ротора вектора (условно назовем такой оператор обратным ротором, или «rot -1 »), то такой оператор наряду с обратным векторным преобразованием одновременно должен производить операцию интегрирования.

Однако, в силу неоднозначности математической операции интегрирования, полностью обратный «ротору» оператор rot -1 не осуществляет однозначное обратное векторное преобразование.

2.5. Применение векторного оператора «реверсивный ротор» к физическим полям

При применении векторного оператора «реверсивный ротор» к физическим векторным полям необходимо учитывать изменение размерности правой и левой частей уравнения из-за перестановки переменных x, y, z и t при преобразовании. Обозначим размерность координат – метр (L), а времени – секунда (T).

Определение 2. Для физических векторных полей векторный оператор «реверсивный ротор», определяется следующим образом:

;

(6)

и . (6*)

Обозначая размерное отношение L/T, как константу v, имеющую размерность скорости, [м/с], уравнения (6.4) и (6.4*) можно представить в виде:

;

(7)

(7*)

2.6. Применение оператора «реверсивный ротор» к физическим полям

Применим векторный оператор «реверсивный ротор», определенный уравнениями (7), (7*), к уравнению (4), связывающему реальные физические поля E и B в электродинамике:

;

, что преобразуется к виду:

(8)

Электродинамическая постоянная «v» не зависит ни от величины полей, ни от скорости их изменения и, как следует из волнового уравнения, соответствует скорости распространения волны электромагнитного взаимодействия, c » 2.99792458 Ч 10 8 м/c, которая называется также скоростью света в вакууме.

То есть с помощью векторного преобразования «реверсивный ротор» из уравнения (4), представляющего собой закон электромагнитной индукции Фарадея, естественным образом вытекает одно из основных уравнений электродинамики — уравнение Максвелла (8), которое не следует ни из эксперимента, ни из известных физических законов. Уравнения (4) и (8) являются взаимосвязанными, трансформируемыми друг в друга при помощи векторного преобразования, что соответствует их физической эквивалентности. Поэтому справедливость одного из этих уравнений, установленная в виде физического закона (в данном случае — это закон электромагнитной индукции Фарадея (4)) является достаточным условием для утверждения о справедливости второго уравнения (уравнения Максвелла (8)) в качестве эквивалентного физического закона.

2.7. Трансформация векторных полей

Если исходить из определения оператора «ротор», то действие векторного оператора «обратный ротор», казалось бы, можно представить в виде, показанном на Рис. 2, где предполагается некоторая тождественность векторных полей до и после векторного преобразования дифференциальным векторным оператором «ротор».

Проверим это предположение. Применим оператор «реверсивный ротор» к уравнению:

, откуда следует:

Полученное равенство изменяет направление векторов в исходном определении дифференциального векторного оператора «ротор», что недопустимо.

Поэтому .

Применение векторного оператора «реверсивный ротор» к производным одного и того же векторного поля показывает принципиальное различие между векторным полем до применения, и векторным полем после применения оператора «ротор». Это означает необходимость представлять поле вектора а и поле вектора rot(а) как трансформируемые друг в друга, но различные векторные поля.

Исходное векторное поле, представленное вектором а, будем считать первичным (причиной), а поле, образованное векторным преобразованием оператора «ротор», будем считать вторичным полем (следствием действия оператора «ротор») и обозначим его, как поле векторов b.

Рис. 2. Результат отождествления векторных полей до и после векторного преобразования «ротор». Направление полей не соответствует исходному определению оператора «ротор», показанному на Рис. 1, «правый винт» превращается в «левый винт».

Тогда обратное преобразование векторных полей, не затрагивающее операции дифференцирования, во введенных таким образом обозначениях будет иметь вид, показанный на Рис. 3.

Рис. 3. Определение векторного преобразования, обратного операции «ротор», не затрагивающего операции дифференцирования. Разделение векторных полей выполнено по признаку причинно-следственных отношений. Исходное поле представлено вектором а (причина), а поле, образованное операцией «ротор», представлено вектором b (следствие).

В электродинамике в некоторых простейших случаях переход к вращающейся системе отсчета, внутри которой исчезает вращение, приводит к отсутствию сил со стороны магнитного поля, и силовое воздействие может быть представлено только силой со стороны электрического поля. Но из этого никак не следует вывод, что магнитного поля нет или оно всегда может быть заменено электрическим полем. Частный случай векторного поля, взятого в отдельной изолированной системе отсчета, относится только к данной выбранной системе, в которой осуществляется ограниченное по степеням свободы движение электрического заряда.

Поскольку в пространстве существуют и прямолинейные векторные поля, и вращающиеся замкнутые векторные поля, а находиться в двух системах отсчета одновременно невозможно, то в общем случае выбором системы координат нельзя свести одно поле к другому. Источник этих полей один – это электрические заряды. Электрические заряды создают вокруг себя электрическое поле (всесторонне направленное векторное поле), а движение электрических зарядов создает магнитное поле (замкнутое круговое векторное поле). При этом, естественно, прямолинейное движение электрических зарядов создает вокруг них круговое магнитное поле, а круговое движение электрических зарядов (равно как вращение электрически заряженных частиц вокруг собственной оси) создает прямолинейное в пространстве магнитное поле, заключенное в объеме, ограниченном радиусом вращения.

2.8. Скорость распространения электромагнитного взаимодействия

Скорость преобразования векторных полей друг в друга не зависит ни от величины полей, ни от скорости их изменения и, как следует из волнового уравнения, соответствует скорости распространения волны электромагнитного взаимодействия в свободном пространстве (вакууме),c » 2.99792458 Ч 10 8 м/c, и эта величина по праву называется электродинамической постоянной.

Таким образом, изменение электрического и магнитного полей, осуществляемое в трехмерном пространстве, имеет свойство взаимного преобразования векторов, и это свойство в электродинамике осуществляется посредством закона электромагнитной индукции Фарадея. Если считать такое преобразование прямым, то обратное преобразование векторных полей осуществляется при помощи уравнения, полученного Максвеллом интуитивным путем, и которое можно получить при помощи векторного оператора «реверсивный ротор». Взаимное преобразование электрического и магнитного полей, которое осуществляется без источников электрического заряда, представляет собой один из особых видов волнового движения — поперечную электромагнитную волну, которая переносит электромагнитную энергию в свободном пространстве с абсолютной скоростью преобразования полей. Но при этом источником энергии электромагнитной волны всегда являются ускоренно движущиеся электрические заряды.

3. Уравнения источников электромагнитных полей.

Оставшиеся два из четырех основных уравнений системы уравнений Максвелла лишь устанавливают факт наличия в природе электрических зарядов, создающих электрическое поле (теорема Гаусса, которая прямо следует из закона Кулона):

и факт отсутствия в природе магнитных зарядов:

Литература

Сокол-Кутыловский О.Л. Гравитационные и электромагнитные силы. Екатеринбург, 2005.
Сокол-Кутыловский О.Л. Русская физика. Екатеринбург, 2006.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ (под редакцией Г. Гроше и В. Циглера), М., «Наука», 1980.