Уравнение фазовой траектории для точки свободно падающей в однородном поле тяготения (4 видео)

Уравнение фазовой траектории для точки свободно падающей в однородном поле тяготения

Главным звеном в цепи космических дисциплин является теория движения космических обьектов .В этом докладе рассматривается одна из её составных частей — теория свободного полёта в полях тяготения .

Важнейшей из природных сил ,действующих на космический аппарат ,является сила всемирного тяготения .Силы тяготения (или силы притяжения ) подчиняются ньютоновскому закону всемирного тяготения .Этот закон говорит: всякие две материальные точки притягиваются друг к другу с силами ,прямо пропорциональными квадрату расстояния между ними ,или ,в математической форме :

Здесь F -величина обеих сил притяжения , m1,m2 — массы притягивающихся материальных точек, r- расстояние между ними ,f- коэфициент пропорциональности,называемой постоянной тяготения (гравитационная постоянная) .Если измерять массу в килограммах, силу ньютонах ,а расстояние в метрах ,то ,как показывают точные измерения ,постоянная тяготения равна 6,672*10^(-11) м^3/(кг*с^2)

На различных этапах космического полёта различное значение может иметь воздействие среды, в которой происходит движение . Силы ,действующие со стороны атмосферы на космический аппарат ,называются аэродинамическими .В межпланетном пространстве важную роль может играть давление солнечного излучения ,которое совершенно незаметно в повседневной жизни.Если масса космического аппарата невелика ,а поверхность ,на которую давят солнечные лучи,значительна,то действием этого фактора можно пренебречь .

Задача N тел и метод численного интегрирования

Пассивное движение космического аппарата в мировом пр-ве проиходит в основном под действием сил притяжений небесных тел — Земли,Луны,Солнца ,планет. Положение этих тел непрерывно изменяется ,причем их движение ,как и движение космического аппарата ,происходит под дейсвием сил всемирного тяготения. Таким образом ,мы сталкиваемся с необходимостью решения задачи о движении большого числа небесных тел (в том числе искуственного небесного тела — космического аппарата) под дейсвием сил взаимного притяжения.Такая задача носит название «задача N тел».

Решение этой задачи в общем случае встречает громадные трудности ,даже задача трех тел решена лишь для нескольких частных случаев. Но в космодинамике задача N тел имеет особый характер . Космический аппарат не оказывает практически никакого влияния на движение небесных тел.Такой случай известен в небесной механике как ограниченная задача N тел .При её решении движение Солнца,Земли ,Луны и планет является заданным ,так как оно прекрасно изученно астрономами и предсказывается ими на много лет вперед.

Расстояния от космического аппарата до Солнца ,Земли ,Луы и планетыв любой момент известны ,массы всех этих тел также известны ,а значит,известны по величине и направлению и ускорения, сообщаемые небесными телами космичекому аппарату. В самом деле ,если масса небесного тела M ,а масса космического аппарата m , то гравитационное ускорение a ,сообщаемое аппарату ,

равно силе притяжения

Таким образом ,гравитационное ускорение зависит только от расстояния между притягиващимися телами и от массы притягивающего тела,но не зависит от массы притягиваемого тела .

Итак по формуле (2) мы можемвычислить гравитационное ускорение , сообщаемое космическому аппарату каждым небесным телом в отдельности ,а значит , можем вычислить и суммарное ускорение. Зная величину и направление начальной скорости космического аппарата,можно ,учитывая вычисленное ускорение рассчитать положение и скорость аппарата через небольшой промежуток времени ,например через секунду. Для нового момента нужно будет заново вычислить ускорение и затем рассчитать следующее положение аппарата и его скорость и т.д. Таким путем можно проследить все движение космического аппарата . Единственная неточность этого метода заключается в том что приходиться в течение каждого небольшого промежутка времени (шага расчета) считать ускорение при вычислениях неизменным ,в то время как оно переменно .Но точность расчета можно как угодно повысить ,уменьшив шаг .

Описанная процедура называется численным интегрированием .

При невесомости притяжение Земли (или другого небесного тела ) не будут вмешиваться в перемещения предметов относительно корабля .Отсутствуют какие-либо внешние поверхностные силы, действующие на корабль.Наличие же внешних поверхностных сил (сила сопр. среды, силы реакции опоры или подвеса)- обязательное условие сущ. состояния весомости .

Итак , тело, свободно и поступательно движущ. под влиянием одних сил тяготения, всегда нах. в состояниии невесомости.Примеры : корабль в мировом пр-ве , падающий лифт ,человек совершающий прыжок .

Теперь ,когда мы выяснили природу невесомости,уместно будет внести нек. поправки . Мы всегда имели ввиду, что гравитационное ускорение отд. деталей почти (но не в точности ) одинаково , т.к. расстояние отд. деталей от притягивающего тела (напр. Земли) примерно одинаковы .Фактически все эти неточности ничтожны . Перепад гравитационных ускорений (градиент гравитации ) в области пространства , занятой косм. кораблем, ничтожен. Например на высоте 230 км над пов. Земли ,земное гравит. ускорение уменьшается на 2,77*10^(-6) м/c^2 на каждый метр высоты .Когда космичекий корабль длиной 5 м располаг. вдоль линии , напр . на центр Земли его нижний конец получает ускорение на 0,00015 % больше ,чем верхний .

Таким образом ,нарушения невесомости ,вызваные наличием градинта гравитации (т.е. по существу неоднородностью поля тяготения), приводят не к «частичной невесомости» , а к совершенно осбому состоянию . В состоянии свободного полёта в поле тяготения тела несколько (весьма и весьма слабо) растянуты в радиальном направлении .

Центральное поле тяготения

Когда космический аппарат находиться в мировом пространсиве вдали от планет , достаточно учитывать притяжение одного лишь Солнца , потому что гравитациооные ускорения ,сообщаемые планетами (вследствии больших расстояний и относительно малости их масс) , ничтожно малы по сравнению с ускорением ,сообщаемым Солнцем .

Допустим теперь ,что мы изучаем движение космического обьекта вблизи Земли . Ускорение ,сообщаемое этому обьекту Солнцем ,довольно заметно : оно примерно равно ускорению ,сообщаемому Солнцем Земле (около 0,6 см/с^2 ); естественно было бы его учитывать ,если нас интересует движение обькта оносительно Солнца . Но если нас интересует движение космического обьекта относительно Земли ,то притяжение Солнца оказывется срвнительно салосущественным . Оно не будет вмешиваться в это движение аналогично тому ,как притяжение Земли не вмешивается в относительное движение предметов на борту корабля-спутника .То же касается и притяжения Луны, не говоря о притяжениях планет .

Будем считать небесное тело однородным материальным шаром , состоящим из из вложенных друг в друга однородных сферических слоев. Итак , небесное тело притягивает так ,будто бы его масса сосредоточена в его центре . Такое поле тяготения наз. центральным. Будем изучать движение в центральном поле тяготения космического аппарата ,получившего в начальный момент ,когда он находился на расстоянии r°от небесного тела скорость v° .Для дальнейшего воспользуемся законом сохранения мех. энергии , который справедлив для рассматриваемого случая , так как поле тяготения является потенциальным, наличием же негравитационных сил мы прнебрегаем . Кинетическая энергия космического аппарта равна (mV^2)/2 ,где m — масса апарата ,а v — его скорость . Потенциальная энергия в центральном поле тяготения выражается формулой

где М- масса притягиващего небесного тела ,а r — расстояние от него до космического аппарата, потенцальная энергия ,будучи отрицательной , увеличивается с удалением от Земли , обращаясь в нуль на бесконечности .Тогда закон сохранения полной механической энергии запишется в следующем виде :

Здесь в левой части равенства стоит сумма кинетической и потоенциальной энергий в начальный момент , а в правой — в любой другой момент .Сократив на m и преобразовав, мы напишем интеграл энергии — важную формулу , выражающую скорость v космического аппарата на любом расстоянии r от центра притяжения:

где K=f*M — величина ,характеризующая поле тяготения конкретного небесного тела (гравитационный параметр) .Для Земли K=3,986005*10^5 км^3/c^2 для Солнца K=1,32712438*10^11 км^3/c^2 .

Траектории в цетральном поле тяготения

Путь , описываемый космическим аппаратом в пространстве наз. траекторией .

1. Прямолинейные траектории . Если гачальная скорость равна нулю, то тело начинает падение к центу по прямой линии. Движение по прямой линии бдет и в том случае ,если начальная скорость направлена точно к центру (по радиусу)

2. Эллиптические траектории.

Если начальная скорость на-

правлена не радиаьно,то тра-

ектория ужн не может быть

прямолинейной ,так как иск-

ривляется притяжением Земли .

При этом она лежит целиком

в плоскости , проведенной через

начальное направление ско-

рости и центр Земли .Если начальная скорость не првышает некоторой величины , то траектория предсталяет собой эллипс, причем центр притяжения находится в одном из его фокусов . Если эллиптическая орбита не пересекает поверхности притягивающего небесного тела, космический аппарат является его искусственным спутником.Расстояние между вершинами эллипса называется большой осью. Половина большой оси принимается за среднее расстояние спутника от небесного тела и обозначается буквой a. Скорость v и расстояние r спутника от центра притяжения в любой момент времени (в частности, в начальный) связаны со средним расстоянием а зависимостью .

Период обращения P искусственного спутника вычисляется по формуле

где — определенное число для каждого небесного тела .

Отношение расстояния между фокусами к длине большой оси называется эксцентоиситетом эллипса .

Из формулы (4) видно ,что чем больше начальная скорость,тем больше большая ось орбиты и тем больше ,в соответствии с формулой (5),период обращения .

Ближайшая и наиболее удаленная от центра притяжения точки эллипса называются соответственно перицентром и апоцентром , а прямая линия ,их соединяющая ,линией апсид .

Для конкретных притягивающих центров эти точки носят специальные названия .Так ,если притягивающим телом является Земля ,то перицентр и и апоцентр наз. соответственно перигеем и апогеем ; если Солнце — перигелием и афелием ; если Луна- периселением и апоселением . Скорость в перигее (vп) максимальна ,а апогее (v а) — минимальна ,причем эти две скорости связаны соотношением

где rп rа — расстояния в перигее и апогее. Скорости в перигее и апогее перпендикулярны к направлениям на центр Земли. Для всех остальных точек эллипса верно соотношение

Здесь в левых частях стоят произведения расстояний r на трансверальные составляющие скорости vcosa , т.е. на проекции скорости на перпендикуляр к радиальному направлению .

Если умножить левые и правые части равенства (6),(7) или (7а) на массу m космического аппарата , то легко убедиться ,что эти равенства выражают закон сохранения момента количества движения (призведение количества движения mv на величину перпендикуляра, опущенного из точки на линию ,указывающую направление скорости ).Рассмотрим важные случаи ,когда начальные скорости трансверсальны .

При этом ,очевидно, начальная т-ка N0 должна быть перигеем или апогеем .Первое будет в том случае , когда начальная скорость достаточно велика ,чтобы спутник начал удаляться на пути к апогею (1 орбита) .Второе будет в том случае ,когда скорость меньше той же величины (орбита 2) ,при этом возможно падение на Землю (если периней окажется под земной поверхностью или ниже плотных слоев атмосферы ). «Пограничным» является случай , когда начальная скорость такова ,что спутник не поднимается и не опускается ,т.е. описывает круговую орбиту 3 с постоянной круговой скоростью . Радиус круговой орбиты r равен большой полуоси а . Из формулы (4)

Из последней формулы, зная K для Земли ,легко найти круговую скорость для любого расстояния r от её центра или для любой высоты h над земной поверхностью (h=r-r°, где r°=6371 км — средний радиус Земли )

В частности у поверхности Земли круговая скорость равна 7,910км/c — первой косической скорости.

Если записать формулу (4) для начального момента ,а именно :

то нетрудно заметить ,что с увеличением начальной скорости v0 большая полуось увеливается .Из формулы видно ,что по мере того , как v0^2 приближается к постоянной величине 2K/r0 ,большая полуось а стремится к бесконечности .

3.Параболические траектории . Эллиптическая орбита ,у которой «апогей находится в бесконечности» , не является уже эллипсом . Двигаясь по такой траектории ,космический аппарат бесконечно далеко уходит от центра притяжения ,описывая разомкнутую линию — параболу. По мере удаления аппарата его скорость приближается к нулю.Пиняв в формуле (3) скорость в бесконечности равной нулю (r=¥, v=0) , мы найдем такую величину начальной скорости v0 , которая обеспечивает возможность рассматриваемого движения .

Вычисленная по формуле (10) величина называется параболической скоростью. Получив такую скорость ,космический аппарат движется по параболе и уже не возвращается к центру тяготения .Когда скорость (10) сообщается в вертикальном направлении, траекторией является прямая линия, но и в этом случае скорость называют параболической .Между скоростью освобождения и круговой скоростью в любой точке существует простая зависимость

Значение скорости освобождения у поверхности Земли носит название второй космической скорости и составляет 11,186 км/c. На высоте h=200 км скорость освобождения сост. 11,015 км/c .

Воспользовавшись формулой (10) ,мы можем теперь записать основную формулу (3) для скорости в центральном поле тяготения так :

4.Гиперболические траектории.Если космический аппарат получит скорость v0 , превышающую параболическую ,то он также «достигнет бесконечности» ,но при этом будет двигаться уже по линии иного рода — гиперболе.При этом скорость апппарата в бесконечности (v¥) уже не будет равна нулю. Физически это означает ,что по мере удаления аппарата его скорость будет непрерывно падать ,но не сможет стать меньше величины v¥ ,которую можно найти ,приняв в формуле (12) r=¥ .Получим

Величину v¥ назывют по-разному : остаточная скорость, гиперболический избыток скорости и т.д.

Гиперболическая траектория вдали от центра притяжения становится почти неотличимой от двух прямых линий ,называемых асимптотами гиперболы .На большом расстоянии от центра притяжения гтперболическую траекторию приближенно можно считать прямолинейной.Для гиперболических и параболических орбит справдливы как и для эллиптичеких орбит ,формулы (7) и (7а).

В заключение заметим,что пассивное движение в центральном поле тяготения часто называют кеплеровским движением, а эллиптичекие, параболические и гиперболичекие траектории обьединяются общим названием кеплеровских орбит.Всегда важно помнить ,что любая кеплерова орбита расположена в плоскости , проходящей через центр притяжения.Положение этой плоскости в пространстве не изменяется.

Теги: Свободный полет в полях тяготения Реферат Антикризисный менеджмент

Видео:4. Исследование фазовых траекторий.Скачать

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Найти фазовую траекторию частицы массы т₉ совершающей гармонические колебания по закону .v = c/cos(co/ + ₀).

Решение. Частица имеет одну степень свободы и её фазовое пространство является двумерным. Фазовая траектория представляет собой

график зависимости р(ф. Из условия задачи

и для нахождения фазовой траектории достаточно исключить время из этих равенств. Для этого проще всего воспользоваться основным тригонометрическим тождеством. Имеем

Складывая эти равенства, получим уравнение фазовой траектории

Нетрудно видеть, что фазовая траектория представляет собой эллипс (рис. 7).

2. Найти фазовую траекторию частицы массы т₉ совершающей затухающие колебания но закону x = ae

Видео:Теория автоматического регулирования. Лекция 5. Модели параметров состоянийСкачать

Уравнения тяготения

Как бы ни была хороша физическая идея, она превращается в теорию только тогда, когда из нее возникают уравнения.

Даже сейчас нас восхищает акт рождения общей теории относительности. Все, что было сказано выше, не дает на самом деле ключа для написания уравнения. С самого начала было ясно, что такое уравнение должно превращаться в предельном случае в уравнение Ньютона для потенциала. Было ясно, что оно должно связывать геометрические свойства поля с распределением вещества. Хотелось бы также, чтобы оно не противоречило уравнениям сохранения энергии и импульса. К сожалению, и математики еще недостаточно понимали геометрию Римана, чтобы сказать, какие пространства могут быть полезны физикам. Это сейчас к услугам физиков есть полная классификация разных пространств; в начале же века об этом еще ничего не знали. Было известно, что геометрию определяют 10 величин — 10 компонент метрического тензора. Если эти величины известны, все остальные можно вычислить. В частности, и можно определить, как выглядят линии, но которым должна двигаться материальная точка. Такие линии называются геодезическими. В обычном пространстве геодезические — это обычные прямые. Естественно считать, что в пространстве искривленном, т. е. в пространстве, в котором справедлива неевклидова геометрия, роль прямых выполняют геодезические линии. В частности, на сфере геодезические — это большие круги.

Дальше остается только постулировать, что свободная материальная точка движется по геодезической — и механика построена. Но как определить уравнение, из которого можно найти 10 нужных величин?

Уравнение это должно определять не только геометрию мира в данный момент, но и описывать изменение геометрии со временем.

Уравнения должны также описывать, как изменяется ход часов в разных точках пространства. В специальной теории относительности все обстояло проще. Длина измеряется так же, как и в классической механике, время — обычными часами. Теория занимается тем, как изменяются длины и интервалы времени при переходе в движущуюся систему координат.

В поле тяготения все осложняется. Подобно тому как на двумерной сфере нельзя построить прямоугольной, декартовой системы координат, такой системы нельзя построить и во всем пространстве, если есть поля тяготения. Поэтому уравнения должны быть написаны в произвольной четырехмерной системе.

Точка в такой системе координат будет описываться четырьмя числами: тремя пространственными координатами и временем. Прямой будет называться не траектория частицы, а график ее движения (множество точек описывающих положение точки в разные моменты времени). Это значит, что геометрия должна быть четырехмерной.

Для сегодняшнего читателя четырехмерная неевклидова геометрия, наверное, не кажется парадоксальной. Когда Лобачевский впервые представил свою работу на суд математиков, то один из них написал в 1834 г. в журнале «Сын отечества»: «Многие из первоклассных наших математиков читали ее и ничего не поняли. После чего уже не считаю нужным упоминать что и я, продумав над сею книгою несколько времени, ничего не придумал, т. е. не понял почти ни одной мысли»…»

Вряд ли сейчас так скажет даже школьник. Четырех мерный характер геометрии можно понять таким образов. Что бы увидеть трехмерный мир, надо все точки этого мира увидеть одновременно. Но никакая информация не может быть передана мгновенно. Далекие точки мы неизбежно увидим в более ранний момент их существования, т. е. такими, какими они были давно. Глядя на небо, мы видим далекие галактики более молодыми, чем близкие. Картина мира, которая разворачивается перед нашими глазами, это не мир в какой-то избранный момент времени, а мир, в котором все объекты, лежащие на расстоянии R от наблюдателя, моложе наблюдателя на R/c. Говорят, что мы видим сечение мира световым конусом (каждая образующая этого конуса — график пути светового луча как функция времени).

В специальной теории относительности вместо длины появляется интервал ΔS. Для двух близких мировых точек квадрат интервала между ними определяется (ΔS) 2 = c 2 (Δt) 2 — (Δl) 2 , где — Δt разность их времен, а Δl — обычное трехмерное расстояние. Эта величина не зависит от характера движения наблюдателя. Так, для света она всегда и для всех наблюдателей равна нулю; это значит, что (Δl) 2 всегда равно c 2 (Δt) 2 , т. е. что скорость света всегда равна c.

Такое выражение для интервала предполагает, что все направления в пространстве равноправны, т. е. что равноправны три компоненты (Δl)_x , (Δl)_у и (Δl)_z, и что скорость света всегда равна c. Оба эти предположения оказываются нарушенными в поле тяжести. Вблизи Солнца, например, из-за его поля тяжести все длины вдоль радиуса вытягиваются по мере приближения к Солнцу, а все длины поперек этого направления сжимаются. Время же вблизи Солнца идет медленнее, а скорость света уменьшается. Такие утверждения проверены опытами на Солнце и на Земле. Путь луча от звезды искривляется, когда свет проходит вблизи края Солнца, как будто бы он попал в оптически плотную среду с показателем преломления n, большим единицы. Планеты двигаются не совсем по закону Ньютона, как будто бы в законе всемирного тяготения появилась маленькая добавка, обратно пропорциональная кубу расстояния, несколько вытягивающая орбиты планет. Часы на самолете, облетающем Землю, убыстряют свой ход на большой высоте из-за уменьшения поля тяжести.

Эффекты теории относительности давно перестали быть экзотическими, и ее формулами пользуются в разных областях физики и астрономии с полной надежностью.

Ясно, что если интервал имеет вид (ΔS) 2 = c 2 (Δt) 2 — (Δl) 2 , то в пространстве нет полей тяготения. Если же поле тяготения есть, интервал уже не может быть задан универсальным, а описывается 10 коэффициентами, которые могут быть в общем случае функциями координат и времени.

Эйнштейну удалось найти как раз 10 уравнений, которые определяют эти коэффициенты, если задано распределение масс, создающих поле. Впервые уравнения были решены для поля точечной массы. Это была задача о движении планет, так называемая задача Шварцшильда.

Задача Шварцшильда оказалась очень емкой. С ее решения началось развитие общей теории относительности. В этом решении оказались скрыты не только малые поправки к движению планет, но и совершенно новые явления, о существовании которых в классической физике никто не мог даже и предположить.