Видео:Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать
Алгебраические линии и порядок
Определение 10.1. Поверхность называется алгебраической, если в некоторой системе координат она удовлетворяет уравнению fix, у, z) = 0, где fix, у, z) — многочлен.
Определение 10.2. Алгебраическая поверхность называется поверхностью порядка п, если она определяется уравнением степени п.
Теорема 10.1. Если поверхность определяется относительно некоторой системы координат уравнением степени п, то относительно любой другой системы она также определяется уравнением степени п.
Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать
Эллипс
Определение 10.3. Эллипсом называется линия, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
Рассмотрим точки с координатами (с, 0) и (-с, 0), где
(рис. 10.1). Эти точки называются фокусами эллипса.
Вычислим сумму расстояний от фокусов до произвольной точки эллипса М(х, у).
Имеем:
Таким образом, получаем:
Видео:§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать
Математический портал
Видео:Оператор Лапласа в полярных координатахСкачать
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Аналитическая геометрия
- Высшая математика.
- Аналитическая геометрия.
- Уравнение эллипса, гиперболы, параболы в полярной системе координат.
Видео:Построение кривой в полярной системе координатСкачать
Уравнение эллипса, гиперболы, параболы в полярной системе координат.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Пример.
Пусть $Gamma -$ эллипс, ветвь гиперболы или парабола, $F -$ фокус этой кривой, $D -$ соответствующая директриса. Вывести уравнение кривой $Gamma$ в полярной системе координат, полюс которой совпадает с фокусом а полярная ось сонаправлена с осью кривой (см рисунок 1).
Решение.
Общее свойство эллипса, гиперболы и параболы состоит в следующем $$MinGammaLeftrightarrowfrac=const=e,qquadqquad (1)$$ где $e -$ эксцентриситет кривой ( $e 1$ для гиперболы и $e=1$ для параболы)
Обозначим расстояние от фокусы до директрисы через $frac
$( $p-$ параметр кривой, называемый полуфокальным параметром). Тогда из рисунка 1 следует, что $rho(M, F)=r$ и $rho(M, D)=frac
+rcosvarphi.$ Подставляя эти выражения в (1), получаем $$frac<frac
+rcosvarphi>=e,$$ откуда $$r=frac
.qquadqquad (2)$$ Уравнение (2) и есть искомое уравнение в полярной системе координат, общее для эллипса, гиперболы и параболы.
Примеры.
2.321(а).
Для эллипса $frac+frac=1$ написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в левом фокусе.
Решение.
Найдем эксцентриситет параболы и параметр $p:$
Далее, подставляя найденные параметры в полярное уравнение (2), найденное в предыдущей задаче, найдем уравнение данного эллипса:
2.324(а).
Написать каноническое уравнение кривой второго порядка $r=frac.$
Решение.
Приведем заданное уравнение, к уравнению вида $r=frac
:$
Отсюда имеем: $e=frac,$ $p=frac.$ Поскольку $e
Далее, подставляя выражения эксцентриситета и параметра по определению, надем полуоси эллипса:
Таким образом, запишем каноническое уравнение эллипса:
Вывести полярное уравнение гиперболы $frac-frac=1,$ при условии, что полярная ось сонаправлена с осью $Ox,$ а полюс находится в центре гиперболы.
Таким образом, из уравнения (1) находим:
а) в левом фокусе, б) в правом фокусе.
2.324 (б, в) Написать канонические уравнения следующих кривых второго порядка:
Ответ: а) $frac-frac=1,$ б) $y^2=6x.$
05.3. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы
Уравнения эллипса, гиперболы и параболы
В полярной системе координат
Нам уже известно, что в полярной системе координат окружность с центром в начале отсчета задается уравнением:
,
Где r – радиус окружности, а – полярный радиус.
Интуитивно легко угадывается расположение начала отсчета, при котором уравнение окружности имеет более простой вид. Эта проблема усложняется при выводе уравнений эллипса, гиперболы и параболы.
Рассмотрим сначала отличный от окружности эллипс и параболу. Проведем рассуждения для параболы. Пусть начало полярной системы координат находится в полюсе F, а полярная ось перпендикулярна директрисе и ориентирована, как указано на рис. 5.18. Возьмем произвольную точку на данной кривой.
Рис. 5.18. Расположение полярной системы координат при выводе уравнений эллипса и параболы.
Как уже известно, для точек эллипса и параболы и только для них
Где – расстояние от этой точки до фокуса F, а
– расстояние до директрисы, е – эксцентриситет.
Где р – расстояние от фокуса F до директрисы, то
Как параметр р выражается через полуоси эллиптической кривой?
Каким будет уравнение этих кривых, если начало полярной системы координат перенести в точку С, а полярную ось — параллельно самой себе, не меняя ориентации ?
(5.11)
Это есть уравнение эллипса или параболы
в полярной системе координат.
Перейдем к выводу уравнения гиперболы в полярной системе координат.
Пусть F – один из фокусов гиперболы (рис.5.19), а р=AC, – эксцентриситет гиперболы. Располагаем начало отсчета в фокусе F и ориентируем полярную ось, как указано на рис. 5.19.
Рис. 5.19. Расположение полярной системы координат при выводе уравнения гиперболы.
Для правой ветви гиперболы, повторяя предыдущие рассуждения, сразу получим уравнение вида (5.11).
Найдем уравнение левой ветви. Для точек гиперболы будет справедливо соотношение . Пусть
– произвольная точка, лежащая на левой ветви (рис. 5.19). Имеем:
Тогда уравнение левой ветви гиперболы примет вид:
.
Таким образом, полярное уравнение гиперболы имеет вид:
В каких пределах изменяется угол для обеих ветвей?
💡 Видео
Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать
Полярная система координатСкачать
ЭллипсСкачать
§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать
Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать
Линии в полярных координатах и параметрически заданныеСкачать
Полярная система координатСкачать
Двойной интеграл в полярных координатахСкачать
Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать
Видеоурок "Эллипс"Скачать
Полярная система координат.Скачать
Площадь пересечения эллипсов и двойной интеграл в полярной системе координатСкачать
§20 Построение эллипсаСкачать
§2 Различные уравнения окружностиСкачать