Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Видео:Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать

Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.

Алгебраические линии и порядок

Определение 10.1. Поверхность называется алгебраической, если в некоторой системе координат она удовлетворяет уравнению fix, у, z) = 0, где fix, у, z) — многочлен.

Определение 10.2. Алгебраическая поверхность называется поверхностью порядка п, если она определяется уравнением степени п.

Теорема 10.1. Если поверхность определяется относительно некоторой системы координат уравнением степени п, то относительно любой другой системы она также определяется уравнением степени п.

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Эллипс

Определение 10.3. Эллипсом называется линия, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Рассмотрим точки с координатами (с, 0) и (-с, 0), где

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат(рис. 10.1). Эти точки называются фокусами эллипса.

Вычислим сумму расстояний от фокусов до произвольной точки эллипса М(х, у).

Имеем: Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Таким образом, получаем: Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Видео:§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах

Математический портал

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.
  • Вы здесь:
  • HomeУравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат
  • Аналитическая геометрияУравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат
  • Высшая математика.Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат
  • Аналитическая геометрия.Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат
  • Уравнение эллипса, гиперболы, параболы в полярной системе координат.

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координатУравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координатУравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координатУравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координатУравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Видео:Оператор Лапласа в полярных координатахСкачать

Оператор Лапласа в полярных координатах

Уравнение эллипса, гиперболы, параболы в полярной системе координат.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пример.

Пусть $Gamma -$ эллипс, ветвь гиперболы или парабола, $F -$ фокус этой кривой, $D -$ соответствующая директриса. Вывести уравнение кривой $Gamma$ в полярной системе координат, полюс которой совпадает с фокусом а полярная ось сонаправлена с осью кривой (см рисунок 1). Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Решение.

Общее свойство эллипса, гиперболы и параболы состоит в следующем $$MinGammaLeftrightarrowfrac=const=e,qquadqquad (1)$$ где $e -$ эксцентриситет кривой ( $e 1$ для гиперболы и $e=1$ для параболы)

Обозначим расстояние от фокусы до директрисы через $frac

$( $p-$ параметр кривой, называемый полуфокальным параметром). Тогда из рисунка 1 следует, что $rho(M, F)=r$ и $rho(M, D)=frac

+rcosvarphi.$ Подставляя эти выражения в (1), получаем $$frac<frac

+rcosvarphi>=e,$$ откуда $$r=frac

.qquadqquad (2)$$ Уравнение (2) и есть искомое уравнение в полярной системе координат, общее для эллипса, гиперболы и параболы.

Примеры.

2.321(а).

Для эллипса $frac+frac=1$ написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в левом фокусе.

Решение.

Найдем эксцентриситет параболы и параметр $p:$

Далее, подставляя найденные параметры в полярное уравнение (2), найденное в предыдущей задаче, найдем уравнение данного эллипса:

2.324(а).

Написать каноническое уравнение кривой второго порядка $r=frac.$

Решение.

Приведем заданное уравнение, к уравнению вида $r=frac

:$

Отсюда имеем: $e=frac,$ $p=frac.$ Поскольку $e

Далее, подставляя выражения эксцентриситета и параметра по определению, надем полуоси эллипса:

Таким образом, запишем каноническое уравнение эллипса:

Вывести полярное уравнение гиперболы $frac-frac=1,$ при условии, что полярная ось сонаправлена с осью $Ox,$ а полюс находится в центре гиперболы.

Решение.

Так как полюс находится в центре гиперболы, то $OM=r,$ тогда $rho(M, D)=rcosvarphi-frac,$ $rho(M, F)=sqrt .$

Таким образом, из уравнения (1) находим:

Домашнее задание.

2.321(б) Для эллипса $frac+frac=1$ написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в правом фокусе.

2.322. Для правой ветви гиперболы $frac-frac=1$ написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится

а) в левом фокусе, б) в правом фокусе.

2.323. Для параболы $y^2=6x$ написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.

2.324 (б, в) Написать канонические уравнения следующих кривых второго порядка:

Ответ: а) $frac-frac=1,$ б) $y^2=6x.$

2.327. Вывести полярное уравнение параболы $y^2=2px$ при условии, что полярная ось сонаправленна с осью $Ox,$ а полюс находится в вершине параболы.

05.3. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы

Уравнения эллипса, гиперболы и параболы
В полярной системе координат

Нам уже известно, что в полярной системе координат окружность с центром в начале отсчета задается уравнением:

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат,

Где r – радиус окружности, а Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат– полярный радиус.

Интуитивно легко угадывается расположение начала отсчета, при котором уравнение окружности имеет более простой вид. Эта проблема усложняется при выводе уравнений эллипса, гиперболы и параболы.

Рассмотрим сначала отличный от окружности эллипс и параболу. Проведем рассуждения для параболы. Пусть начало полярной системы координат находится в полюсе F, а полярная ось перпендикулярна директрисе и ориентирована, как указано на рис. 5.18. Возьмем произвольную точку Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координатна данной кривой.

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Рис. 5.18. Расположение полярной системы координат при выводе уравнений эллипса и параболы.

Как уже известно, для точек эллипса и параболы и только для них

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Где Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат– расстояние от этой точки до фокуса F, а Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат– расстояние до директрисы, е – эксцентриситет.

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Где р – расстояние от фокуса F до директрисы, то

Как параметр р выражается через полуоси эллиптической кривой?

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Каким будет уравнение этих кривых, если начало полярной системы координат перенести в точку С, а полярную ось — параллельно самой себе, не меняя ориентации ?

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат(5.11)

Это есть уравнение эллипса Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координатили параболы Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координатв полярной системе координат.

Перейдем к выводу уравнения гиперболы в полярной системе координат.

Пусть F – один из фокусов гиперболы (рис.5.19), а р=AC, Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат– эксцентриситет гиперболы. Располагаем начало отсчета в фокусе F и ориентируем полярную ось, как указано на рис. 5.19.

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Рис. 5.19. Расположение полярной системы координат при выводе уравнения гиперболы.

Для правой ветви гиперболы, повторяя предыдущие рассуждения, сразу получим уравнение вида (5.11).

Найдем уравнение левой ветви. Для точек гиперболы будет справедливо соотношение Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат. Пусть Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат– произвольная точка, лежащая на левой ветви (рис. 5.19). Имеем:

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Тогда уравнение левой ветви гиперболы примет вид:

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координат.

Таким образом, полярное уравнение гиперболы имеет вид:

В каких пределах изменяется угол Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в начале координатдля обеих ветвей?

📽️ Видео

Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Построение графика функции в полярных координатахСкачать

Построение графика функции в полярных координатах

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

§28 Эксцентриситет эллипса

Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

ЭллипсСкачать

Эллипс

Линии в полярных координатах и параметрически заданныеСкачать

Линии в полярных координатах и параметрически заданные

Двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Двойной интеграл в полярных координатах

Видеоурок "Эллипс"Скачать

Видеоурок "Эллипс"

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Полярная система координат.Скачать

Полярная система координат.

Площадь пересечения эллипсов и двойной интеграл в полярной системе координатСкачать

Площадь пересечения эллипсов и двойной интеграл в полярной системе координат

§20 Построение эллипсаСкачать

§20 Построение эллипса

§2 Различные уравнения окружностиСкачать

§2 Различные уравнения окружности
Поделиться или сохранить к себе: