- Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи
- Понятие о кривых второго порядка
- Эллипс, заданный каноническим уравнением
- Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение
- Продолжаем решать задачи на эллипс вместе
- Каноническое уравнение эллипса по двум точкам
- Примеры задач
- Эллипс — определение и вычисление с примерами решения
- Эллипс в высшей математике
- Уравнение эллипсоида
- 🎥 Видео
Видео:§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать
Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи
Видео:ЭллипсСкачать
Понятие о кривых второго порядка
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.
Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:
,
где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.
При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.
Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать
Эллипс, заданный каноническим уравнением
Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.
Фокусы обозначены как 
и 
на рисунке ниже.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
,
где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.
Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.
Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.
Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид 
. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .
Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением 
, эллипсом.
Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:
Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.
Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:
.
Точки 
и 
, обозначенные зелёным на большей оси, где
,
называются фокусами.
называется эксцентриситетом эллипса.
Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.
Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.
Решение. Делаем несложные умозаключения:
— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,
— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.
Подставляем и вычисляем:
Результат — каноническое уравнение эллипса:
.
Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет 
.
Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:
.
Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:
Составляем каноническое уравнение эллипса:
Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением 
.
Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:
.
Получаем фокусы эллипса:
Видео:165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать
Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34
2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)
3) эксцентриситет 
, а один из фокусов находится в точке (6; 0)
Видео:Фокусы эллипсаСкачать
Продолжаем решать задачи на эллипс вместе
Если 
— произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и 
— расстояния до этой точки от фокусов 
, то формулы для расстояний — следующие:
.
Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
,
называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).
Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса
,
где 
и 
— расстояния этой точки до директрис 
и 
.
Пример 7. Дан эллипс 
. Составить уравнение его директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. 
. Все данные для этого есть. Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис эллипса:
Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки 
, а директрисами являются прямые 
.
Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:
.
Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:
Уравнение эллипса готово:
Пример 9. Проверить, находится ли точка 
на эллипсе 
. Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.
Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:
.
Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.
Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:
Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.
,
так как из исходного уравнения эллипса 
.
Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.
Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать
Каноническое уравнение эллипса по двум точкам
| Две точки с координатами |
| Первая координата |
| Вторая координата |
| Каноническое уравнение эллипса |
| Большая полуось эллипса |
| Малая полуось эллипса |
| Эксцентриситет эллипса |
| Фокусное/фокальное расстояние |
| Коэффициент сжатия |
| Координаты первого фокуса F1(x1:y1) |
| Координаты второго фокуса F2(x2:y2) |
| Фокальный параметр |
| Перифокусное расстояние |
| Апофокусное расстояние |
Уравнение эллипса в каноническом виде имеет вот такой вид.
Так как тут всего две переменных, то логично предположить, что по двум заданным точкам мы всегда сможем построить формулу эллипса.
Для расчета поставленной задачи воспользуемся материалом расчет кривой второго порядка на плоскости, который и позволит легко и быстро получить результат.
Кроме этого, на этой странице мы получим следующую информацию.
Фокальный параметр — половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса
Значение полуосей — большая полуось и малая полуось ( Естественно это в том случае, когда эллипс вытянут вдоль оси абсцисс)
Эксцентриситет — коэффициент, показывающий насколько его фигура отличается от окружности
Фокальное расстояние
Коэффициент сжатия — отношение длин малой и большой полуосей
Видео:§18 Каноническое уравнение эллипсаСкачать
Примеры задач
Cоставить каноническое уравнение эллипса по двум точкам
Ввводим данные в калькулятор, не забывая что квадратный корень у нас обозначается sqrt
и получаем результат
| Каноническое уравнение эллипса | ||||||
| Большая полуось эллипса | ||||||
| Малая полуось эллипса | ||||||
| Эксцентриситет эллипса | ||||||
| Фокусное/фокальное расстояние | ||||||
| Коэффициент сжатия | ||||||
| Координаты первого фокуса F1(x1:y1) | ||||||
| Координаты второго фокуса F2(x2:y2) | ||||||
| Фокальный параметр | ||||||
| Перифокусное расстояние | ||||||
| Апофокусное расстояние | ||||||
И еще один пример Даны две точки с координатами (3:2) и (4:-9) построить каноническое уравнение эллипса. Если мы введем данные в калькулятор получим
|
Согласно определению эллипса имеем 
Из треугольников 
и 
по теореме Пифагора найдем
Раскроем разность квадратов 
Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение 
Вновь возведем обе части равенства в квадрат 
Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим 
Соберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим 
Введем обозначение для разности, стоящей в скобках 
Уравнение принимает вид 
Разделив все члены уравнения на 
получаем каноническое уравнение эллипса: 
Если 
то эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенства — вдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки 
следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:
т.е. точками пересечения эллипса с осью абсцисс будут точки 
т.е. точками пересечения эллипса с осью ординат будут точки 
(Рис. 30).
то параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.
Кроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси 
и эллипс вырождается в окружность. Если 
и эллипс вырождается в отрезок 
Зная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса 
Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид: 
а третья вершина — в центре окружности
Следовательно, большая полуось эллипса 
а малая полуось 
Так как 
то эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса 
Итак, 
Окружность: 
Выделим полные квадраты по переменным 
Следовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).
Согласно школьной формуле площадь треугольника 
равна 
Высота 
а основание 
Следовательно, площадь треугольника 
равна:
и 
—заданные положительные числа. Решая его относительно 
, получим:
по абсолютной величине меньше 
, подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению 
соответствуют два значения 
, равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси 
. Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси 
. Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.
, при 
. Кроме того, заметим, что если 
увеличивается, то разность 
уменьшается; стало быть, точка 
будет перемещаться от точки 
вправо вниз и попадет в точку 
. Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.
является длиной отрезка 
, число 
—длиной отрезка 
. Числа 
и 
называются полуосями эллипса. Число 
эксцентриситетом.
(рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось 
примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось 
будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости 
возьмем окружность радиуса 
с центром в начале координат, ее уравнение 
.
лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению 
.
на плоскость 
буквой 
, а координаты ее—через 
и 
. Опустим перпендикуляры из 
и 
, это будут отрезки 
и 
. Треугольник 
прямоугольный, в нем 
, 
,
, следовательно, 
. Абсциссы точек 
. Подставим в уравнение 
значение 
, тогда cos
и 
.
с коэффициентами деформации, равными 
(х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем
Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в 
раз, если 
, и увеличиваются в 
раз, если 
и т. д.
Уравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.
называются полуосями эллипсоида; удвоенные величины 
называются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).
