Уравнение эллипса и его свойства (8 видео)

Что такое эллипс: определение, основные элементы, уравнение

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы и уравнения (каноническое и параметрическое) одной из основных геометрических фигур – эллипса.

Содержание

Определение эллипса
Элементы эллипса
Уравнение эллипса
Понятие эллипса в математике и его свойства
Эллипс — что это такое, понятие в математике и геометрии
Основные элементы и свойства фигуры
Составление уравнения эллипса
Как посчитать площадь всего эллипса и сегмента
Формула для вычисления периметра и длины дуги
Как построить эллипс по уравнению, примеры
Эллипс, его каноническое уравнение, свойства и параметры
🔥 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Определение эллипса

Эллипс – это замкнутая кривая на плоскости, сумма расстояний от каждой точки которой до ее фокусов (F₁ и F₂) равна постоянному значению.

Примечание: частным случаем эллипса является окружность.

Видео:ЭллипсСкачать

Элементы эллипса

Для рисунка выше:

F₁ и F₂ – фокусы эллипса;
A₁A₂ – большая ось эллипса, проходит через его фокусы;
B₁B₂ – малая ось эллипса, перпендикулярна большей оси и проходит через ее центр;

Примечание: свойства эллипса представлены в отдельной публикации.

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Уравнение эллипса

Каноническое уравнение эллипса

Если центр эллипса (точка O) находится в начале системы координат (декартовой), а большая ось лежит на оси абсцисс, то фигуру можно описать уравнением ниже:

Если центр эллипса находится в точке с координатами (x₀; y₀), уравнение принимает следующий вид:

Параметрическое уравнение эллипса

Видео:Эллипс (часть 1). Каноническое уравнение. Высшая математика.Скачать

Понятие эллипса в математике и его свойства

Видео:§18 Каноническое уравнение эллипсаСкачать

Эллипс — что это такое, понятие в математике и геометрии

Эллипс — фигура, представляющая собой по форме замкнутую кривую линию на плоскости. Она получается путем пересечения плоскости с круговым цилиндром, или же как ортогональное отображение окружности на плоскость в пространстве.

В эллипсе суммарная величина расстояния от любой точки до двух точек F2 и F1 будет равна одному постоянному значению. Эти точки — F1 и F2 — носят названия фокусов эллипса.

F 1 M 1 + F 2 M 1 = F 1 M 2 + F 2 M 2 = A 1 A 2 = c o n s t

∣ F 1 M ∣ + ∣ F 2 M ∣ = 2 × a , причем ∣ F 1 F 2 ∣ 2 × a

Окружность можно называть партикулярным (особым) вариантом эллипса. Эллипс, как и параболу, и гиперболу, можно назвать квадрикой или же коническим сечением.

Рассмотрим связанные с эллипсом понятия:

Отрезок AB, проходящий через фокусы эллипса (его концы должны лежать на эллипсе), носит название большой оси эллипса. Длина этого элемента — большой оси — равняется 2a в уравнении, приведенном выше.
Малая ось эллипса — отрезок CD, который перпендикулярен большой оси, он проходит через центральную точку большой оси. Концы отрезка должны лежать на эллипсе.
Центр эллипса — точка пересечения малой и большой оси данной замкнутой кривой.
Большая полуось — отрезок, проведенный из центра эллипса к вершине большой оси. Обозначается буквой «a».
Малая полуось — отрезок, проведенный из центра эллипса к вершине малой оси. Обозначается буквой «b».
Фокальные радиусы в точке — расстояния r 1 и r 2 до определенной точки от каждого фокуса эллипса.
Фокальное расстояние — расстояние, равное: c = ∣ F 1 F 2 ∣ 2 .
Эксцентриситет — величина, равная: e = c a = 1 — b 2 a 2 .
Диаметр эллипса — свободно проведенная хорда, проходящая через центр построения. Диаметры (обычно пара), обладающие свойством середины хорд, параллельные первому диаметру, и находящиеся на втором диаметре, называются сопряженными диаметрами. Середины хорд, параллельных второму диаметру, находятся на первом диаметре.
Радиусом называют отрезок, соединяющий в данной точке центр эллипса и точку. Длина радиуса вычисляется по формуле: r = a b b 2 cos 2 γ + a 2 sin 2 γ = b 1 — e 2 cos 2 γ . В данной формуле γ — величина угла между большой полуосью и радиусом.
Фокальный параметр ( p = b 2 a ) — половина длины хорды, проходящей через фокус эллипса, является перпендикулярной большой оси.
Коэффициент сжатия, или же эллиптичность — отношение длины большой полуоси к длине малой полуоси. Вычисляется по формуле: k = b a . Величина, равная ( 1 — k ) = a — b a , будет носить название «сжатие эллипса». Следует помнить, что для окружности коэффициент сжатия равен единице, а сжатие равно нулю. Эксцентриситет и коэффициент сжатия связаны отношениями равными: k 2 = 1 — e 2 .
Директриса — прямая, которая существует для каждого фокуса эллипса. При этом соотношение расстояния от свободно расположенной точки эллипса до фокуса этой замкнутой кривой к расстоянию от данной точки до определенной прямой будет равно эксцентриситету эллипса. Полный эллипс находится на той же стороне от такой же прямой, что и его фокус. Уравнения для директрис эллипса в классическом виде пишутся как x = ± p e ( 1 — e 2 ) для каждого фокуса ( ± p e 1 — e 2 , 0 ) . Расстояние от фокуса до директрисы будет вычисляться по соотношению p e

Теорема директрисы: Для того, чтобы определенная точка находилась на границе линии замкнутой кривой, необходимо, чтобы соотношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы было равно e.

Эллиптическая функция — функция в двух направлениях, которая в рамках метода комплексного анализа, задана на комплексной плоскости.

Видео:Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Основные элементы и свойства фигуры

Рассмотрим элементы эллипса. Взгляните на чертеж:

F1 и F2 выступают в роли фокусов эллипса. Осями данной замкнутой кривой будут A1A2 =2a (как большая ось, проходящая сквозь фокусы замкнутой кривой), а B1B2=2b (как малая ось, перпендикулярная второй, большой оси фигуры, проходит через ее центр). Здесь «a» является большой полуосью, «b» является малой полуосью, «O» является центром (то есть точкой пересечения малой оси и большой оси).

Вершинами эллипса будут точки A1, и A2, и B1, и B2. Это точки пересечения большой осью и малой осью эллипса. Диаметр замкнутой кривой — отрезок, соединяющий две точки эллипса, а также проходящий через центр фигуры.

Фокальное расстояние, которое обозначается буквой «c», является половиной длины отрезка, соединяющего фокусы эллипса.

Эксцентриситет замкнутой кривой, который обозначается буквой «e», показывает степень «сплющенности» (то есть отклонения от окружности). Он определяется соотношением фокального расстояние (буква «c») к большой полуоси «a». В случае эллипса эксцентриситет будет таким: 0 1.

Фокальные радиусы в точке — расстояния r 1 и r 2 до определенной точки от каждого фокуса эллипса.

Радиус эллипса — отрезок, соединяющий центр, который обозначается буквой «O» с точкой на самом эллипсе.

r = a b b 2 cos 2 γ + a 2 sin 2 γ = b 1 — e 2 cos 2 γ .

В данной формуле γ — величина угла между большой полуосью и радиусом (A1A2), e — эксцентриситет.

Фокальный параметр — отрезок, перпендикулярный большой полуоси, а также выходящий за фокус эллипса. Вычисляется по формуле: p = b 2 a

Коэффициент сжатия или же эллиптичность, обозначаемая буквой «k», является отношением длины малой полуоси к большой полуоси.

Малая полуось всегда будет меньше, чем большая полуось замкнутой кривой. Получается, что k k = b a

В данном уравнении величина «e» — эксцентриситет.

Сжатие эллипса (то есть 1 — k ) — показатель, который равен разности между эллиптичностью и единицей.

Директриса эллипса — пара прямых, которые перпендикулярны фокальной оси замкнутой прямой, пересекающей расстояние a*e от центра замкнутой прямой. Расстояние до директрисы от фокуса будет равно p*e.

Рассмотрим также основные свойства эллипса:

Угол к эллипсу между касательной и фокальным радиусом r 1 будет равен величине угла между фокальным радиусом r 2 и касательной.
Равенство касательной к замкнутой кривой в точке M : 1 = x x M a 2 + y y M b 2
В случае, если замкнутая прямая пересекается парой параллельных прямых, то отрезок, соединяющий середины отрезков, образованных при пересечении эллипса и прямых, всегда будет пересекать центр замкнутой кривой.

Примечание 2

Данное свойство позволяет построить центр эллипса при помощи циркуля и линейки.

Эволюта замкнутой кривой — астероида, которая растянута по короткой оси.
В случае, если можно вписать эллипс с фокусами F1 и F2 в треугольник ABC, то возможно выполнить данное соотношение:

1 = F 1 A × F 2 C A × A B + F 1 B × F 2 B A B × B C + F 1 C × F 1 C B C × C A

Видео:Оптическое свойство эллипса и его применение в медицинеСкачать

Составление уравнения эллипса

Базовое уравнение замкнутой кривой.

Это уравнение, описывающее эллипс в декартовой системе координат. В случае, если центр замкнутой кривой (обозначается буквой «O») — в начале системы координат, а на абсциссе находится большая ось, то замкнутая кривая будет описываться следующим уравнением:

1 = x 2 a 2 + x 2 b 2

В случае, если центр эллипса смещается в точку с координатами x 0 и y 0 , то уравнение примет следующий вид:

1 = ( x — x 0 ) 2 a 2 + ( y — y 0 ) 2 b 2

Параметрическое уравнение будет выглядеть следующим образом:

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Как посчитать площадь всего эллипса и сегмента

Рассмотрим формулу для вычисления площади всего эллипса:

Рассмотрим формулу для вычисления площади сегмента эллипса. Это формула площади сегмента, который лежит на левой стороны от хорды с координатами (x, y), а также (x, -y).

S = π a b 2 — b a ( x a 2 — x 2 + a 2 × arcsin x a )

Видео:7.2. Эллипс. Свойства эллипсаСкачать

Формула для вычисления периметра и длины дуги

Рассмотрим формулу для вычисления периметра замкнутой кривой.

Важно запомнить, что точную формулу для периметра L найти крайне тяжело. Ниже приведена формула, с помощью которой можно приблизительно рассчитать длину периметра. Максимальной погрешностью данной формулы можно считать примерно 0,63 %.

L ≈ 4 π a b + ( a — b ) 2 a + b

Рассмотрим формулу для вычисления длины дуги замкнутой кривой:

Параметрическое уравнение для вычисления длины дуги замкнутой кривой через большую полуось a, а также малую полуось b:

Формула 8

ℓ = ∫ t 1 t 2 a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t d t .

Параметрическое уравнение для вычисления длины дуги замкнутой кривой с помощью большой полуоси a, а также эксцентриситета, который обозначается буквой e:

Формула 9

ℓ = ∫ t 1 t 2 1 — e 2 cos 2 t d t , e 1 .

Видео:§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

Как построить эллипс по уравнению, примеры

Попробуем построить эллипс по уравнению x 2 16 + y 2 7 = 1

Сначала мы должны привести данное уравнение к привычному виду: x 2 4 2 + y 2 ( 7 ) 2 = 1

Определяем вершины эллипса. Они находятся в точках A1(a; 0), A2 (-a; 0), B1 (0; b), B2 (0; -b). Получаем, что A 1 ( 4 ; 0 ) , A 2 ( — 4 ; 0 ) , B 1 ( 0 ; 7 ) , B 2 ( 0 ; — 7 )

Видео:11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

Эллипс, его каноническое уравнение, свойства и параметры

Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. При совпадении точек F₁ и F₂ эллипс превращается в окружность. Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему

координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F₁F₂, начало координат – с серединой отрезка F₁F₂. Пусть длина этого отрезка равна 2с, тогда в выбранной системе координат F₁(-c, 0), F₂(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и сумма расстояний от нее до F₁ и F₂ равна 2а. Тогда r₁ + r₂ = 2a, но , поэтому Введя обозначение b² = a²-c² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса:

Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а. Директрисой D_i эллипса, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.

Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b(2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

3)Эксцентриситет эллипса e a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )

5) Отношение расстояния r_i от точки эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.