Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Видео:§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

§28 Эксцентриситет эллипса

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетна рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетперпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Точки Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, обозначенные зелёным на большей оси, где

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет,

называются фокусами.

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Результат — каноническое уравнение эллипса:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Получаем фокусы эллипса:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Видео:Видеоурок "Эллипс"Скачать

Видеоурок "Эллипс"

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет— произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет— расстояния до этой точки от фокусов Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, то формулы для расстояний — следующие:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет,

где Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет— расстояния этой точки до директрис Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Пример 7. Дан эллипс Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет. Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет. Все данные для этого есть. Вычисляем:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, а директрисами являются прямые Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Уравнение эллипса готово:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Пример 9. Проверить, находится ли точка Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетна эллипсе Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет. Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет,

так как из исходного уравнения эллипса Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс

Эллипс — определение и вычисление с примерами решения

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетСогласно определению эллипса имеем Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетИз треугольников Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетпо теореме Пифагора найдем

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетРаскроем разность квадратов Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетПодставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетВновь возведем обе части равенства в квадрат Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетРаскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетСоберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетВведем обозначение для разности, стоящей в скобках Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетУравнение принимает вид Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетРазделив все члены уравнения на Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетполучаем каноническое уравнение эллипса: Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетЕсли Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетто эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенствавдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетследовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

  • Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетт.е. точками пересечения эллипса с осью абсцисс будут точки Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет
  • Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетт.е. точками пересечения эллипса с осью ординат будут точки Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет(Рис. 30).

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетУравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Определение: Если Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетто параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетКроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Если Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети эллипс вырождается в окружность. Если Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети эллипс вырождается в отрезок Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетЗная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетСледовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид: Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса Уравнение эллипса через точку и эксцентриситета третья вершина — в центре окружности

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс: Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетСледовательно, большая полуось эллипса Уравнение эллипса через точку и эксцентриситета малая полуось Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетТак как Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетто эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетИтак, Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетОкружность: Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетВыделим полные квадраты по переменным Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетСледовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Построим в декартовой системе координат треугольник Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетСогласно школьной формуле площадь треугольника Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетравна Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетВысота Уравнение эллипса через точку и эксцентриситета основание Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетСледовательно, площадь треугольника Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетравна:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

Эллипс в высшей математике

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

где Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет—заданные положительные числа. Решая его относительно Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, получим:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетпо абсолютной величине меньше Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, удовлетворяющему неравенству Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетсоответствуют два значения Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет. Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет. Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, при Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет. Кроме того, заметим, что если Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетувеличивается, то разность Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетуменьшается; стало быть, точка Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетбудет перемещаться от точки Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетвправо вниз и попадет в точку Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет. Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Полученная линия называется эллипсом. Число Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетявляется длиной отрезка Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, число Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет—длиной отрезка Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет. Числа Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетназываются полуосями эллипса. Число Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетэксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет(рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетпримем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетбудет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетвозьмем окружность радиуса Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетс центром в начале координат, ее уравнение Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Пусть точка Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетлежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Обозначим проекцию точки Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетна плоскость Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетбуквой Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, а координаты ее—через Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет. Опустим перпендикуляры из Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетна ось Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, это будут отрезки Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет. Треугольник Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетпрямоугольный, в нем Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет,Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, следовательно, Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет. Абсциссы точек Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетравны, т. е. Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет. Подставим в уравнение Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетзначение Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, тогда cos

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

а это есть уравнение эллипса с полуосями Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет.

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Написать каноническое уравнение гиперболы.  Дан эксцентриситет

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетс коэффициентами деформации, равными Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет(х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетИными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетраз, если Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет, и увеличиваются в Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетраз, если Уравнение эллипса через точку и эксцентриситети т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситет

где Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетУравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетназываются полуосями эллипсоида; удвоенные величины Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетназываются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Гипербола
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Шар в геометрии
  • Правильные многогранники в геометрии
  • Многогранники
  • Окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков АлександрСкачать

Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков Александр

Эллипс

Видео:Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядка

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac<x^><a^>+frac<y^><b^>=1label
$$
при условии (a geq b > 0).

Из уравнения eqref следует, что для всех точек эллипса (|x| leq a) и (|y| leq b). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами (2a) и (2b).

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты ((a, 0)), ((-a, 0)), ((0, b)) и ((0, -b)), называются вершинами эллипса. Числа (a) и (b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетРис. 8.1. Эллипс

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты ((x, y)) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты ((-x, y)), ((x, -y)) и ((-x, -y)) точек (M_), (M_) и (M_) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса (a) с центром в центре эллипса: (x^+y^=a^). При каждом (x) таком, что (|x| Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетРис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении (b/a).

Видео:§18 Каноническое уравнение эллипсаСкачать

§18 Каноническое уравнение эллипса

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Фокусами называются точки (F_) и (F_) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат (рис. 8.3).

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетРис. 8.3. Фокусы эллипса.

Для окружности (c=0), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.

Отметим, что (varepsilon Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки (M(x, y)), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы (x):
$$
r_=|F_M|=a-varepsilon x, r_=|F_M|=a+varepsilon x.label
$$

Очевидно, что (r_^=(x-c)^+y^). Подставим сюда выражение для (y^), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_^=x^-2cx+c^+b^-frac<b^x^><a^>.nonumber
$$

Учитывая равенство eqref, это можно преобразовать к виду
$$
r_^=a^-2cx+frac<c^x^><a^>=(a-varepsilon x)^.nonumber
$$
Так как (x leq a) и (varepsilon Утверждение 3.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса (2a).

Необходимость. Если мы сложим равенства eqref почленно, то увидим, что
$$
r_+r_=2a.label
$$
Достаточность. Пусть для точки (M(x, y)) выполнено условие eqref, то есть
$$
sqrt<(x-c)^+y^>=2a-sqrt<(x+c)^+y^>.nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^=asqrt<(x+c)^+y^>.label
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение eqref. Мы придем к (b^x^+a^y^=a^b^), равносильному уравнению эллипса eqref.

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетРис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса (varepsilon).

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть (M_(x_, y_)) — точка на эллипсе и (y_ neq 0). Через (M_) проходит график некоторой функции (y=f(x)), который целиком лежит на эллипсе. (Для (y_ > 0) это график (f_(x)=bsqrt<1-x^/a^>), для (y_ Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке (M_(x_, y_)) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Уравнение эллипса через точку и эксцентриситетРис. 8.5.

🎬 Видео

Определить тип кривой (эллипс)Скачать

Определить тип кривой (эллипс)

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Урок 16: Эксцентриситет и директрисы (теория)Скачать

Урок 16: Эксцентриситет и директрисы (теория)

Кривые второго порядкаСкачать

Кривые второго порядка

11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

11 класс, 52 урок, Эллипс

4K Построение эллипса по точкам, ellipse constructionСкачать

4K Построение эллипса по точкам, ellipse construction

§29 Эксцентриситет гиперболыСкачать

§29 Эксцентриситет гиперболы

Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.Скачать

Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж
Поделиться или сохранить к себе: