Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Последовательное соединение резистора и индуктивности

(цепочка RL )

Ранее была рассмотрена идеальная катушка индуктивности, где мы учитывали только один параметр – индуктивность катушки. Для реальной катушки индуктивности приходится учитывать не только её индуктивность L, но и сопротивление R – провода, которыми она намотана. К реальным катушкам индуктивности относятся, например, обмотки трансформаторов и электродвигателей.

На схеме реальная катушка индуктивности изображается последовательным соединением элементов R и L (рис. 57). На каждом из этих элементов действует напряжение, обозначенное на рис. 57 стрелкой. На сопротивлении действует активное напряжение Ua, а на индуктивности – индуктивное напряжение UL.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Рис. 57. Последовательное соединение элементов R и L

Известно, что при последовательном соединении элементов цепи общее напряжение равно сумме напряжений на этих элементах.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Сумма эта векторная, арифметически суммировать напряжения в цепях переменного тока нельзя. Складывать векторы можно только по рассмотренным выше правилам сложения векторов.

Для понимания работы электрической цепи переменного тока, прежде всего, необходимо построить векторную диаграмму. Для рассматриваемой цепи векторная диаграмма будет иметь вид, показанный на рис. 58.

В последовательных цепях построение диаграмм начинается с вектора тока, так как он одинаков во всех элементах цепи.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Рис. 58. Векторная диаграмма для цепи с последовательным соединением

элементов R и L

Затем проводим вектор напряжения на активном сопротивлении. Он совпадает по фазе с током в цепи.

К концу вектора Ua пристраиваем вектор напряжения UL на индуктивности. Он направлен вверх, поскольку напряжение на индуктивности опережает ток на 90 градусов. Для построения диаграммы в масштабе смотри раздел Графическое изображение синусоидальных величин.

Общее напряжение, приложенное к цепи является суммой этих двух векторов. Суммируя напряжения Ua и UL, проведём вектор суммарного напряжения Uоб из начала вектора Ua к концу вектора UL.

Из диаграммы следует, что ток в цепи отстаёт по фазе от приложенного к цепи напряжения Uоб на угол φ меньше 90 градусов.

Три напряжения на векторной диаграмме образуют треугольник напряжений. В этом прямоугольном треугольнике гипотенузой является напряжение Uоб, а катетами – напряжения Ua и UL.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

(Здесь и далее, в формулах, стрелка Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностизаменяет слово «следовательно») По закону Ома, ток равен напряжению, делённому на сопротивление цепи:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, где

Z– полное сопротивление в цепи, которое учитывает совместное действие активного R и индуктивного XL сопротивлений.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиУравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Цепь содержит активный и реактивный компоненты. В резисторе выделяется активная мощность Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности. В катушке выделяется реактивная мощность Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности. Во всей цепи выделяется полная мощность S, измеряемая в вольт-амперах (ВА).

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(ВА)

Пример 13.Реальная катушка в цепи синусоидального тока.

В сеть с напряжением 50 В и частотой 50 Гц включена реальная катушка с индуктивностью L = 0,0127 Гн. и активным сопротивлением R = 3 Ом. Определить ток, напряжения на элементах цепи, активную, реактивную и полную мощности катушки.

Реальная катушка индуктивности помимо индуктивности L обладает, также, сопротивлением провода R, которым она намотана. На схеме реальная катушка изображается последовательным соединением сопротивления R и индуктивности L.

Индуктивное сопротивление катушки

XL=2πfL = 2 ·3,14 ·50 ·0,0127 = 4Ом.

Полное сопротивление цепи

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Ток определяется напряжением, приложенным к цепи, и её полным сопротивлением

Напряжения на активном и индуктивном сопротивлениях, входящих в цепь, определим по закону Ома:

напряжение на активном сопротивлении: Ua= I·R== 10 ·3 = 30 В;

напряжение на индуктивном сопротивлении: UL=I · XL = 10 ·4 = 40 В.

Активная, реактивная и полная мощности, выделяющиеся в элементах цепи:

Р = Uа ·I = 30 ·10 = 300 Вт;

QL = UL · I= 40·10 = 400 вар:

S = Uоб· I = 50 ·10 = 500 BА.

Видео:Урок 359. Конденсатор и катушка индуктивности в цепи переменного тока.Скачать

Урок 359. Конденсатор и катушка индуктивности в цепи переменного тока.

Электрические цепи синусоидального тока

Содержание:

Видео:Урок 4. Расчет цепей постоянного тока. Законы КирхгофаСкачать

Урок 4. Расчет цепей постоянного тока. Законы Кирхгофа

Электрические цепи синусоидального тока:

В общем случае цепь переменного тока характеризуется тремя параметрами: активным сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С. В технике часто применяются цепи переменного тока, в которых преобладает один или два из этих параметров.

При анализе работы и расчетах цепей исходят из того, что для мгновенных значений переменного тока можно использовать все правила и законы постоянного тока.

Видео:Переходные процессы | Классический метод расчета переходных процессов. Теория и задачаСкачать

Переходные процессы | Классический метод расчета переходных процессов. Теория и задача

Цепь с активным сопротивлением

Активным сопротивлением R обладают элементы, которые нагреваются при прохождении через них тока (проводники, лампы накаливания, нагревательные приборы и т.д.).

Если к активному сопротивлению R (рис. 11.1) приложено синусоидальное напряжение Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

где Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Ток в цепи с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением, так как начальные фазы их равны ( Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности= 0). Векторная диаграмма для цепи с активным сопротивлением изображена на рис. 11.16, временная диаграмма изображена на рис. 11.1в.

Математическое выражение закона Ома для цепи переменного тока с активным сопротивлением имеет вид:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Это вытекает из выражения (11.1), если левую и правую части уравнения разделить на Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности=1,41.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Таким образом, действующее значение синусоидального тока I пропорционально действующему значению синусоидального напряжения U и обратно пропорционально сопротивлению R участка цепи, к которому приложено напряжение U. Такая интерпретация закона Ома справедлива как для мгновенных, так и для действующих и амплитудных значений синусоидального тока.

Активная мощность

Мгновенная мощность в цепи с активным сопротивлением определяется произведением мгновенных значений напряжения ка, т. е. р = ui. Это действие производится над кривыми тока и ряжения в определенном масштабе (рис. 11.1в). В результате учена временная диаграмма мгновенной мощности р. Как видно из временной диаграммы, мощность в цепи с активным сопротивлением изменяется по величине, но не изменяется по направлению (рис. 11.1в). Эта мощность (энергия) необратима. От источника она поступает на потребитель и полностью преобразуется в другие виды мощности (энергии), т.е. потребляется. Такая потребляемая мощность называется активной.

Поэтому и сопротивление R, на котором происходит подобное образование, называется активным сопротивлением, цепи с активным сопротивлением мгновенная мощность характеризует скорость преобразования электрической энергии в другие виды энергии.

Количественно мощность в цепи с активным сопротивлением определяется следующим образом:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Мгновенная мощность в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением представляет собой сумму двух величин -постоянной мощности UI и переменной Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, изменяющейся с двойной частотой.

Средняя за период мощность, равная постоянной составляющей мгновенной мощности UI, является активной мощностью Р. Среднее за период значение переменной составляющей, как и всякой синусоидальной величины, равно нулю, то есть

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Таким образом, величина активной мощности в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением с учетом закона Ома определяется выражением:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

где U- действующее значение напряжения; I— действующее значение тока.

Единицей активной мощности является ватт:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Поверхностный эффект и эффект близости

Сопротивление проводника постоянному току Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиназывают омическим сопротивлением и определяют выражением (2.8) Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиСопротивление проводника переменному току R называют активным.

Оказывается, что сопротивление проводника переменному току больше его омического сопротивления за счет так называемого поверхностного эффекта и эффекта близости, т. е. Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Увеличение активного сопротивления вызвано неодинаковой плотностью тока в различных сечениях проводника (рис. 11.2а).

На рис. 11.2а изображено магнитное поле проводника цилиндрического сечения. Если по проводнику проходит переменный ток, то он создает переменный магнитный поток внутри и вне проводника. Этот поток в различных сечениях проводника индуктирует ЭДС самоиндукции, которая, согласно правилу Ленца. противодействует изменению тока как причине создания ЭДС Очевидно, центр проводника охвачен большим количеством магнитных линий (большее потокосцепление), чем слои, близкие к поверхности. Следовательно, в центре проводника ЭДС (сопротивление) больше, чем на поверхности проводника. Плотность на поверхности больше, чем в центре. Поэтому это явление и называется поверхностным эффектом.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Таким образом, поверхностный эффект уменьшает сечение проводника для переменного тока, а следовательно, увеличивает активное сопротивление R.

Отношение активного сопротивления проводника к его сопротивлению определяет коэффициент поверхностного эффекта Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(кси)

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

График зависимости коэффициента поверхностного эффекта от параметра проводника d, его удельной проводимости Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, магнитной проницаемости материала проводника Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностии частоты переменного тока Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, проходящего по проводнику, показан на рис. 11.26.

При токах большой частоты Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(радиочастотах) ток в центре проводника отсутствует. Поэтому такие проводники делают трубчатыми, т.е. полыми.

На величину активного сопротивления проводника R оказывает влияние и эффект близости.

Если токи в двух параллельных проводах, расположенных близко друг к другу, направлены в одну сторону, то элементы сечения водников, удаленных на большее расстояние друг от друга, цепляются с меньшим магнитным потоком и имеют большую плотность тока (заштриховано на рис. 11.3а), чем элементы сечения проводников, расположенные близко друг к другу.

Если же токи в близко расположенных параллельных проводах направлены в различные стороны, то большая плотность тока на-дается в элементах сечения проводников, расположенных ближе друг к другу (заштриховано на рис. 11.36).

Таким образом, эффект близости в проводниках также влияет активное сопротивление проводников за счет наведения в различных элементах сечений проводников различных ЭДС взаимоиндукции, направление которых определяется правилом Ленца.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Видео:Активное и реактивное сопротивление в цепи переменного тока. 11 класс.Скачать

Активное и реактивное сопротивление в цепи переменного тока. 11 класс.

Цепь с идеальной индуктивностью

Идеальной называют индуктивность L такой катушки, активным сопротивлением R и емкостью С которой можно пренебречь, т.е. R= О и С=0.

Если в цепи идеальной катушки индуктивностью L (рис. 11.4а) проходит синусоидальный ток Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, то этот ток создает в катушке синусоидальный магнитный поток Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, который индуктирует в катушке ЭДС самоиндукции, равную согласно (9.11)

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

так как Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Очевидно, эта ЭДС достигает своего амплитудного значения Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивноститогда, когда Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Тогда Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Таким образом, ЭДС самоиндукции в цепи с идеальной индуктивностью L, как и ток, вызвавший эту ЭДС, изменяется по синусоидальному закону, но отстает от тока по фазе на угол 90° = Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(рис. 11.46, в).

По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений можно записать

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Откуда Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Тогда напряжение, приложенное к цепи с идеальной индуктивностью (см. (11.5)):

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Очевидно, напряжение достигает своего амплитудного значения Um тогда, когда Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Следовательно, Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Таким образом, напряжение, приложенное к цепи с идеальной ин-ивностью, как и ток в этой цепи, изменяется по синусоидально-жону, но опережает ток по фазе на угол 90°= Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(рис. 11.46, в).

Резюмируя все вышесказанное, можно сделать вывод: для существования тока в цепи с идеальной индуктивностью необходимо ожить к цепи напряжение, которое в любой момент времени но по величине, но находится в противофазе с ЭДС, вызванной таким током (рис. 11.46, в).

Временная диаграмма (рис. 11.4в) еще раз иллюстрирует правило Ленца: ЭДС Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностипротиводействует изменению тока.

Если уравнение (11.10) разделить на Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности=1,41, то получается Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности=Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, откуда

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Это уравнение (11.12а) и есть математическое выражение закона Ома для цепи синусоидального тока с идеальной индуктивностью. Очевидно, знаменатель этого уравнения есть не что иное, как сопротивление, которое называют индуктивным сопротивлением XL.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Закон Ома для этой цепи можно записать иначе:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Индуктивное сопротивление XL — это противодействие, которое ЭДС самоиндукции eL оказывает изменению тока.

Реактивная мощность в цепи с индуктивностью

Мгновенная мощность для цепи синусоидального тока с идеальной катушкой равна произведению мгновенных значений напряжения и тока

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

где Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Следовательно, Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Полученное уравнение умножают и делят на 2:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Таким образом, мощность в цепи синусоидального тока с идеальной катушкой индуктивности изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой.

Следовательно, среднее значение этой мощности за период Яс, как и любой синусоидальной величины, т. е. активная потребляемая мощность, в этой цепи равна нулю, Р= 0.

Временная диаграмма (рис. 11,4в) подтверждает этот вывод. На диаграмме видно, что мгновенная мощность (Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности) в рассматриваемой цепи изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой.

То есть в 1-ю и 3-ю четверти периода мощность (энергия) источника накапливается в магнитном поле индуктивности. Максимальное значение накапливаемой в магнитном поле идеальной катушки энергии по (9.12) равно

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Во 2-ю и 4-ю четверти периода эта мощность (энергия) из магнитного поля идеальной катушки возвращается к источнику.

Таким образом, в цепи переменного тока с идеальной катушки мощность не потребляется (Р= 0), а колеблется между источником и магнитным полем индуктивности, загружая источник и провода.

Такая колеблющаяся мощность (энергия), в отличие от активной, потребляемой, называется реактивной.

Обозначается реактивная мощность буквой Q и измеряется в варах, т.е. [Q]=вар (вольт-ампер реактивный).

Величина реактивной мощности в рассматриваемой цепи определяется выражением

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Так как реактивная мощность QL имеет место в цепи с индуктивным сопротивлением, то индуктивное сопротивление считается реактивным сопротивлением X индуктивного характера, т. е. XL.

Видео:Лекция 116. Энергия катушки индуктивностиСкачать

Лекция 116. Энергия катушки индуктивности

Цепь с емкостью

Если конденсатор емкостью С подключить к источнику с постоянным напряжением U (рис. 11.5а), то ток зарядки конденсатора ходит в цепи очень короткое время, пока напряжение на конденсаторе Uc не станет равным напряжению источника U.

Ток в рассматриваемой цепи (рис. 11.5а) практически отсутствует (амперметр А покажет I=0).

Если же конденсатор подключить к источнику с синусоидальным напряжением (рис. 11.56), то ток в цепи конденсатора существует все время, пока цепь замкнута, и амперметр А покажет этот ток. Ток в цепи конденсатора, подключенного к источнику с синусоидальным напряжением, имеет место потому, что напряжена конденсаторе Uc отстает по фазе от напряжения источника и зарядке, и при разрядке конденсатора. Например, пока напряжение на конденсаторе достигает значения 1, напряжение источника достигнет значения 2 (рис. 11.5в), т. е. конденсатор заряжается; пока конденсатор зарядится до напряжения 2, напряжение источника уменьшится до напряжения 3 — конденсатор разряжается на источник и т.д. Однако ток проходит только в цепи конденсатора. Через диэлектрик конденсатора ток не проходит.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Таким образом, если к конденсатору емкостью С приложено синусоидальное напряжение Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, то в цепи конденсатора проходит ток i (рис. 11.6а):

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

где q= Си согласно (6.3).

Очевидно, ток в цепи конденсатора достигает амплитудного значения тогда, когда Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Тогда Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Как видно, ток в цепи конденсатора, как и напряжение, приложенное к его обкладкам, изменяется по синусоидальному закону, однако опережает это напряжение по фазе на угол 90°=Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Следовательно, напряжение отстает по фазе от тока на 90° = Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(рис. 11.66).

Если уравнение (11.17) разделить на Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности= 1,41, то получится равенство Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиили

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Это равенство (11.19а) и является математическим выражением закона Ома для цепи переменного тока с емкостью.

Очевидно, знаменатель этого равенства является сопротивлением конденсатора Хс, которое называется емкостным сопротивлением:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Когда закон Ома для цепи с конденсатором можно записать:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Емкостное сопротивление — это противодействие, которое оказывает напряжение заряженного конденсатора напряжению, приложенному к нему (рис. 11,5а).

Реактивная мощность в цепи с конденсатором

Если в цепи конденсатора емкостью Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности= 0 (рис. 11.6а) проходит ток i, изменяющийся по синусоидальному закону:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Напряжение и, приложенное к этому конденсатору (рис. 11.6), будет равно

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Мгновенная мощность в цепи с конденсатором

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Мощность в цепи с конденсатором, подключенным к источнику с синусоидальным напряжением, изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой (рис. 11.6в).

Следовательно, активная мощность Р в рассматриваемой цепи 1С. 11.6а), равная среднему значению мгновенной мощности за период, имеет нулевое значение, Р= 0.

Это следует и из временной диаграммы (рис. 11.6в). На временной диаграмме видно, что изменение мгновенной мощности р по синусоидальному закону происходит с двойной частотой: 2-ю и 4-ю четверти периода мощность (энергия) источника накапливается в электрическом поле конденсатора.

Максимальное значение энергии, накапливаемой в электрическом поле конденсатора, равно

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

В 1-ю и 3-ю четверти периода эта мощность (энергия) из электрического поля конденсатора возвращается к источнику.

Таким образом, в цепи переменного тока с конденсатором происходит колебание мощности (энергии) между источником и электрическим полем конденсатора. Такая колеблющаяся, но не потребляемая мощность называется реактивной мощностью.

Величина реактивной мощности в цепи конденсатора определяется выражением

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Из временных диаграмм (рис. 11.4в, 11.6в) видно, что реактивная мощность в цепи конденсатора изменяется в противофазе с реактивной мощностью в цепи с идеальной катушкой. Отсюда и знак «минус» в уравнении (11.21) — аналитическом выражении мгновенной мощности в цепи с конденсатором.

Так как реактивная мощность Qc имеет место в цепи с емкостным сопротивлением, то это емкостное сопротивление считается реактивным сопротивлением Х емкостного характера (Хс).

Видео:Катушка индуктивности в цепи переменного токаСкачать

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Расчет линейных электрических цепей синусоидального тока

Расчет электрических цепей синусоидального тока производится преимущественно с помощью векторных диаграмм. В нашей главе рассматривается расчет неразветвленных цепей синусоидального тока, содержащих активное сопротивление R, активность L и емкость С в различных сочетаниях.

Цепь с активным сопротивлением и индуктивностью

Если по цепи с реальной катушкой, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L, проходит синусоидальный ток Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(рис. 12.1а), то этот ток создает падение напряжения на активном сопротивлении проводников катушки и индуктивном сопротивлении катушки Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Следовательно, по второму закону Кирхгофа, для мгновенных значений, приложенное к реальной катушке напряжение можно записать

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Это равенство справедливо для неразветвленной цепи синусоидального тока с последовательно включенными активным сопротивлением R и индуктивным сопротивлением XL (рис. 12.16).

Активное напряжение (рис. 11.16) совпадет по фазе с током и может быть записано Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности. Индуктивное напряжение Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиопережает ток на угол 90° = Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Мгновенное значение напряжения, приложенного к цепи, определяется алгебраической суммой мгновенных значений напряжений Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностисогласно (12.1). А действующее значение этого напряжения U определяется геометрической суммой их действующих значений

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Это равенство лежит в основе построения векторной диаграммы (рис. 12.1 в).

Из векторной диаграммы (рис. 12.1 в) видно, что напряжение U, приложенное к реальной катушке, опережает по фазе ток Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностина угол ф. Мгновенное значение этого напряжения может быть записано:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

где ф — это международное обозначение угла сдвига фаз между током и напряжением для любой цепи переменного тока.

Воспользовавшись теоремой Пифагора для определения гипотенузы прямоугольного треугольника, по векторной диаграмме (рис. 12.1 в) определяется напряжение

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Равенство (12.4) является математическим выражением закона Ома для цепи синусоидального тока с активным R и индуктивным XL сопротивлениями в неразветвленной цепи.

Знаменатель этого равенства является сопротивлением этой цепи, которое называется полным, или кажущимся, сопротивлением цепи синусоидального тока. Обозначается кажущееся (полное) сопротивление любой цепи переменного тока буквой Z:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

где Zk — полное, или кажущееся, сопротивление реальной катушки.

Тогда закон Ома для любой цепи переменного тока в общем виде можно записать

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

где Z — кажущееся сопротивление этой цепи.

Треугольники напряжений, сопротивлений, мощностей

Треугольник, все стороны которого изображены векторами напряжений, называется треугольником напряжений. Пользуясь векторной диаграммой для неразветвленной цепи с активным и индуктивным сопротивлениями (рис. 12.1в), выделяем треугольник напряжений (рис. 12.2а).

Связь между напряжениями в данной цепи можно рассматривать как соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Если все стороны треугольника напряжений разделить на ве-1ину тока в цепи, то получится подобный прямоугольный треугольник, все стороны которого в определенном масштабе изображают сопротивления цепи, т. е. получится треугольник составлений (рис. 12.16). Сопротивления не являются векторными величинами. Из треугольника сопротивлений можно определить:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Обычно тригометрические функции угла ф определяются из треугольника сопротивлений отношением (12.9).

Если все стороны треугольника напряжений умножить на величину тока цепи, то получится подобный прямоугольный треугольник, все стороны которого в определенном масштабе изображают мощности цепи, т.е. получится треугольник мощностей (рис. 12.2в).

Произведение напряжения и тока цепи характеризует полную мощность цепи

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

которая измеряется в вольт-амперах, т.е. Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Однако потребляется в цепи только часть полной мощности — активная мощность

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

где cos ф показывает, какая часть полной мощности Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностипотребляется в цепи, поэтому cos ф называют коэффициентом мощности:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Полная мощность цепи S называется кажущейся. Из того же треугольника мощностей (рис. 12.2в) записать:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Построив треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для любой цепи синусоидального тока, по выражениям (12.7)—(12.14) можно рассчитать параметры этой цепи.

Цепь с активным сопротивлением и емкостью

Если в цепи с последовательно включенными активным сопротивлением R и емкостью С протекает синусоидальный ток Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, то он создает падение напряжения на активном сопротивлении Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностии на емкостном сопротивлении Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности. Векторная диаграмма для этой цепи изображена на рис. 12.36.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Напряжение цепи изменяется, как и ток, по синусоидальному закону и отстает по фазе от тока на угол ф

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Резонанс напряжений в электрической цепиСкачать

Резонанс напряжений в электрической цепи

Лекция №20. Переменный электрический ток

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

2. Действующее значение переменного тока

3. Электрическая цепь с резистором

4. Электрическая цепь с катушкой индуктивности

5. Электрическая цепь с конденсатором

6. Закон Ома для цепи переменного тока

8. Резонанс в электрических цепях. Резонанс напряжений

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Переменный электрический ток

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в цепи с резистором, катушкой индуктивности и конденсатором можно рассматривать как переменный электрический ток. Если подводимые к контуру внешняя ЭДС или напряжение периодически изменяются по гармоническому закону, то переменный ток называют синусоидальным (рис. 20.1):

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

где Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности– мгновенное значение силы тока, то есть значение тока для каждого момента времени; Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности– амплитудное значение силы тока.

При частоте Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(промышленная частота) период электромагнитных колебаний составляет Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Ввиду того, что в течение периода сила переменного тока изменяется, о величине такого тока судят не по мгновенным значениям, а по действующему или эффективному значению Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности. При этом действие переменного тока оценивают по тепловому эффекту, который сравнивают с тепловым эффектом постоянного тока.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Действующее значение переменного тока

Действующим (эффективным) значением переменного тока называют такую величину, которая равна силе постоянного тока, выделяющего в проводнике такое же количество теплоты, что и данный переменный ток за одно и то же время. Действующее значение переменного синусоидального тока связано с его амплитудным значением соотношением

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(20.1)

Для мгновенных значений синусоидальных токов выполняются закон Ома и правила Кирхгофа.

Рассмотрим цепи, содержащие резистор, катушку индуктивности, конденсатор и все три элемента, соединенные последовательно, на зажимах которых приложено переменное напряжение

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

где Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности– амплитудное значение напряжения.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Электрическая цепь с резистором

Сила тока, протекающего через резистор (рис. 20.2), определяется законом Ома

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(20.2)

где Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности– амплитуда силы тока. Очевидно, что при чисто активном (R) характере цепи сдвиг фаз колебаний тока и напряжения равен нулю (рис.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Электрическая цепь с катушкой индуктивности

В катушке без потерь (Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности) будет протекать ток, если напряжение на ее выводах компенсирует ЭДС самоиндукции (рис. 20.4), то есть

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(20.3)

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(20.4)

Постоянная интегрирования А=0, так как ток изменяется по гармоническому закону, то есть не имеет постоянной составляющей. Очевидно, что амплитуда тока в цепи с катушкой

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(20.5)

где Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностииндуктивное сопротивление, зависящее от частоты. При Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(при протекании постоянного тока) Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности.

Таким образом, в цепи с катушкой индуктивности колебания силы тока отстают по фазе на Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиот колебаний напряжения (рис. 20.5).

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Электрическая цепь с конденсатором

Если пренебречь активным сопротивлением соединительных проводов и обкладок конденсатора (рис. 20.6), то напряжение на конденсаторе Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностибудет равно напряжению на зажимах цепи, то есть

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

откуда заряд конденсатора

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Сила тока в цепи конденсатора

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(20.6)

где Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиемкостное сопротивление цепи. Чем меньше частота Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, тем больше Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности. Поэтому в цепи постоянного тока (Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности) Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностии конденсатор не проводит электрический ток.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Таким образом, в цепи с конденсатором колебания силы тока опережают по фазе на Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиколебания напряжения (рис. 20.7).

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Закон Ома для цепи переменного тока

Рассмотрим теперь электрическую цепь из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис. 20.8).

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

По второму правилу Кирхгофа для мгновенных значений напряжение на зажимах цепи равно сумме напряжений на отдельных элементах

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиУравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Построим векторную диаграмму цепи с учетом полученных ранее фазовых соотношений: а) напряжение на резисторе совпадает по фазе с током; б) напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности; в) напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(рис. 20.9).

Из векторной диаграммы найдем модуль действующего значения напряжения

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(20.9)

где Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности– реактивная составляющая напряжения.

Учитывая, что Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, получим:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

где Z – полное сопротивление цепи. Выражение

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(20.10)

называется законом Ома для цепи переменного тока.

Разность Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиназывают реактивным сопротивлением. Из векторной диаграммы следует, что угол сдвига фаз между током и напряжением для рассматриваемой схемы

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(20.11)

Если Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, цепь имеет индуктивный характер, Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности; если Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, цепь имеет емкостный характер, Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности; если Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, то реактивное сопротивление цепи Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностии цепь имеет активный характер даже при наличии в ней L и C.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Мгновенная мощность, развиваемая в цепи переменного тока, равна произведению мгновенных значений силы тока и напряжения:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(

Среднее за период значение мгновенной мощности называют активной мощностью

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(20.13)

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиИз-за наличия сдвига фаз Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностизнаки у тока и напряжения в данный момент времени могут быть разные. Поэтому мгновенная мощность может быть отрицательной в некоторые доли периода переменного тока, что означает возвращение энергии из цепи источнику тока.

На рис.20.10 приведены графики изменения мгновенной мощности при различных углах сдвига фаз между колебаниями напряжения и тока.

При Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностив любой момент времени мощность положительна, она расходуется в цепи на совершение различных видов работы. При Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностив отдельные промежутки времени мощность отрицательна. Это объясняется тем, что при наличии в цепи катушки индуктивности возрастание тока приводит к созданию в ней магнитного поля, которое обладает запасом энергии. При уменьшении силы тока магнитное поле исчезает и запасенная в нем энергия возвращается к источнику тока (генератору). Аналогичный процесс происходит при наличии в цепи конденсатора: в течение той четверти периода, когда происходит зарядка конденсатора, энергия в нем запасается, а когда конденсатор разряжается, он отдает в цепь запасенную энергию.

При Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиположительная мощность равна отрицательной мощности, работа тока за период равна нулю, следовательно, средняя мощность также равна нулю. При этом периодически энергия запасается в магнитном и электрическом полях, а затем снова передается генератору. Последний случай возможен лишь при R=0.

Подставив (20.12) в (20.13) и выполнив преобразования, найдем среднее значение мощности переменного тока:

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, (20.14)

где Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности– косинус угла сдвига фаз, который называется коэффициентом мощности.

Формула (20.14) показывает, что развиваемая в цепи переменного тока мощность зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между напряжением и током.

Коэффициент мощности Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностихарактеризует потери энергии в цепи и, следовательно, является важнейшей технико-экономической характеристикой при проектировании электрооборудования переменного тока. Если нагрузки в цепи имеют большие емкостные и индуктивные сопротивления, то Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностии может быть много меньше единицы. В этих случаях для передачи требуемой активной мощности Р (при заданном напряжении) необходимо увеличивать силу тока, что приводит к выделению в цепи большого количества теплоты. Поэтому приходится либо увеличивать сечение проводов (R

1/S), либо распределять реактивные нагрузки так, чтобы был по возможности ближе к единице.

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности

Резонанс в электрических цепях. Резонанс напряжений

Резонансом в электрической цепи называется режим участка, содержащего индуктивный и емкостный элементы, при котором угол Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностисдвига фаз колебаний напряжения и тока равен нулю. Резонанс характеризуется рядом особенностей, которые обусловили его широкое применение в радиотехнике, электротехнике, измерительной технике и других областях.

Различают несколько видов резонанса: резонанс напряжений (при последовательном соединении элементов), резонанс токов (при параллельном соединении элементов), резонанс в магнитно-связанных цепях и др.

Резонанс напряжений. Из выражения (1) следует, что при последовательном соединении Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивноститок в цепи приобретает максимальное значение при Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, то есть при Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиЭтому условию удовлетворяет частота

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(20.15)

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностиВ этом случае Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности, падения напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе одинаковы по величине и противоположны по фазе (рис. 20.11). Таким образом, при резонансе напряжений

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности,

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивности(20.16)

Уравнение электрического состояния цепи с резистором и катушкой индуктивностигде Q – добротность контура. Так как добротность колебательных контуров больше единицы, то напряжение, как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение U, приложен-ное к цепи. Из выражения (20.16) следует, что доброт-ность контура показывает, во сколько раз при резонансе напряжение на реактивных элементах больше по величине входного напряжения.

Явление резонанса напряжений используется в радиотехнике и электронике для усиления колебаний напряжения какой-либо определенной частоты. В электроэнергетике явление резонанса напряжений необходимо учитывать при выборе изоляции высоковольтного оборудования, так как иначе может произойти ее пробой.

💥 Видео

Почему UL опережает iL на 90°│Сдвиг фаз между UL и iL│Катушка в цепи переменного токаСкачать

Почему UL опережает iL на 90°│Сдвиг фаз между UL и iL│Катушка в цепи переменного тока

Лекция по электротехнике 1.3 - Пассивные элементы в электрической цепиСкачать

Лекция по электротехнике 1.3 - Пассивные элементы в электрической цепи

Урок №2. Основные элементы электрической цепи (часть 1)Скачать

Урок №2. Основные элементы электрической цепи (часть 1)

Основы электротехники. 02. Электрическая цепьСкачать

Основы электротехники. 02. Электрическая цепь

Урок 358. Активное сопротивление в цепи переменного тока. Действующее значение тока и напряженияСкачать

Урок 358. Активное сопротивление в цепи переменного тока. Действующее значение тока и напряжения

Что такое РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ | САМОЕ ПОНЯТНОЕ объяснениеСкачать

Что такое РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ | САМОЕ ПОНЯТНОЕ объяснение

АКТИВНОЕ И РЕАКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ | ОБЪЯСНЯЮ НА ПАЛЬЦАХСкачать

АКТИВНОЕ И РЕАКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ | ОБЪЯСНЯЮ НА ПАЛЬЦАХ

2 2 Элементы схем замещенияСкачать

2 2 Элементы схем замещения

Индуктивность Дифференцирующая цепочка или Шунтирование нагрузки электрической цепиСкачать

Индуктивность Дифференцирующая цепочка или Шунтирование нагрузки электрической цепи

Последовательное соединение RLC элементов в цепи синусоидального токаСкачать

Последовательное соединение RLC элементов в цепи синусоидального тока

3 9 Индуктивно связанные катушки в цепи переменного синусоидального токаСкачать

3 9 Индуктивно связанные катушки в цепи переменного синусоидального тока

Всё про самоиндукцию за 3 часа. Катушка индуктивности в электрических цепях | ЕГЭ 2024 по физикеСкачать

Всё про самоиндукцию за 3 часа. Катушка индуктивности в электрических цепях | ЕГЭ 2024 по физике
Поделиться или сохранить к себе: