Уравнение движения в вязкой среде

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

• конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
• давления окружающих элементов жидкости
• просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

Видео:ЧК_МИФ_1_2_3_3_(L4)__ Падение в вязкой среде (общий метод решения неоднородных диф.уравнений)Скачать

Движение тел в вязкой среде. Закон Стокса.

Вязкость проявляется не только при движении жидкости или газ; по сосудам, но и при движении тел в жидкости или газе. При небольшие скоростях тел, в соответствии с уравнением Ньютона, сила сопротивления движущемуся телу пропорциональна вязкости жидкости, скорости движения тела и зависит от размеров тела. Так как невозможно указать общую формулу для силы сопротивления, то ограничимся рассмотрением частного случая.

Наиболее простой формой тела является шар. Для него зависимость силы сопротивления от перечисленных выше факторов выражается законом Стокса:

F_c = 6π η r υ (8.23)

где r — радиус шара; υ — скорость его движения. Этот закон получен в предположении, что стенки сосуда не влияют на движение тела. Закон Стокса справедлив лишь при малых числах Рейнольдса (см. § 8.6).

При падении шара в вязкой среде (рис. 8.12) на него действуют три силы: а) сила тяжести Р= ; выталкивающая (архимедова) сила , где m — масса вытесненной шаром жидкости, ρ_ж — ее плотность; в) F_тр— сила

сопротивления, вычисляемая по формуле (8.21).

Пусть шар, свободно падая в воздухе, попадает в жидкость. Жидкость тормозит движение шара и его скорость уменьшается. Так как сила сопротивления прямо пропорциональна cкорости, то и она будет уменьшаться до тех пор, пока движение не станет равномерным. В этом случае (рис. 8.12)

(8.24)

в скалярной форме

при подстановке соответствующих выражений для сил

(8.25)

υ₀ — скорость равномерного движения (падения) шара. Из (8.25) получаем

(8.26)

Отсюда запишем формулу, которую используют для нахождения вязкости:

(8.27)

§ 8.6 Ламинарное и турбулентное течения. Число Рейнольдса

Наблюдения показывают, что в жидкости возможны две формы движения: ламинарное движение и турбулентное.

Рассмотренное ранее течение жидкости является слоистым, или ламинарным.

Ламинарное течение — течение жидкости, при котором слои скользят друг относительно друга, не перемешиваясь (рис. а). Для него справедливы уравнения Бернулли и Пуазейля. Увеличение скорости течения вязкой жидкости (газа) вследствие неоднородности давления по поперечному сечению трубы создает завихрение, и движение становится вихревым или турбулентным.

Турбулентное течение — течение, сопровождающееся образованием вихрей и перемешиванием слоёв.

При турбулентном течении жидкости или газа скорость частиц в каждом месте непрерывно и хаотически изменяется, движение является нестационарным.

С увеличением скорости потока ламинарное течение может перейти в турбулентное, а скорость, при которой происходит этот переход, называется критической.

Характер течения жидкости в трубе зависит от свойств жидкости, скорости её течения, размеров трубы и определяется так называемым числом Рейнольдса:

(8.28)

ρ_ж — плотность жидкости (газа); υ— средняя по сечению трубыскорость жидкости (газа); d — диаметр трубы.

При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное течение; при (Rе > Rе_кр), (Rе_кр критическое значение) ламинарное течение переходит в турбулентное. Например, для гладких цилиндрических труб Rе_кр ≈ 2300.

Примеры решения задач

Пример . Полый шар плавает на границе двух несмешивающихся жидкостей (см. рисунок) так, что соотношение частей шара во второй и первой жидкости равно . Плотности жидкостей и тела соответственно равны ρ₁=0,8г/см 3 , ρ₂=1г/см 3 и ρ=2,7 г/см 3 . Определите объём шара V, если размер его внутренней полости V₀=20см 3 .

Дано: ; V₀=20см 3 =2∙10 -5 м 3 ; ρ₁=0,8г/см 3 =8∙10 2 кг/м 3 ; ρ₂=1 г/см 3 =1∙10 3 кг/м 3 ; ρ=2,7 г/см 3 =2,7∙10 3 кг/м 3 .

Решение. Поскольку шар находится в равновесии, сила тяжести Р, действующая на тело, уравновешивается силой Архимеда F_А:

(ρ – плотность материала шара; V- его объём; V₀— объём внутренней полости шара; g — ускорение свободного падения; m₁ и m₂ – соответственно масса жидкостей в объёмах V₁ и V₂), можно записать

Из выражения (1), учитывая, что V₂= n V₁ (условие задачи) найдём

Искомый объём шара

Пример . В сообщающиеся трубки с водой площадью сечения S=0,5см 2 долили в левую масло объёмом V₂=40мл, в правую керосин объёмом V₂=30мл. Определите разность Δh установившихся уровней воды в трубках, если плотность воды

ρ =1г/см 3 , плотность масла ρ₁=0,9 г/см 3 , плотность керосина ρ₂=0,8 г/см 3 .

Дано: S=0,5 см 2 =0,5∙10 -4 м 2 ; V₁=40мл=4∙10 -5 м 3 ; V₂=30мл=3∙10 -5 м 3 ; ρ=1г/см 3 = 1∙10 3 кг/м 3 ; ρ₁=0,9 г/см 3 = 0,9∙10 3 кг/м 3 ; ρ₂=0,8 г/см 3 = 0,8∙10 3 кг/м 3 .

Решение. Предположим, что уровень воды в левом сосуде понизится (см. рисунок). Для уровня поверхности воды в левом сосуде давление равно давлению столба масла

, (1)

где h₁— высота столба масла; V₁— объём масла; S- площадь сечения трубки. Для правого сосуда давление на той же горизонтали будет равно сумме давлений столба керосина и избыточного столба воды высотой Δh

, (2)

где h₂— высота столба керосина.

Поскольку давление на одной горизонтали одинаково, приравняв выражения (1) и (2), найдём

,

Откуда искомая разность уровней

Пример 8.1.Открытый цилиндрический сосуд, стоящи на ножках высотой h₁=1,33м, заполнен водой до отметки h=3,8м (см. рисунок) . Пренебрегая вязкостью воды, определите площадь сечения S цилиндра, если через отверстие диаметром d₁=2.5 см у его основания струя, вытекающая из отверстия, падает на пол на расстоянии ℓ=4.5м от цилиндра.

Решение. Согласно уравнению неразрывности,

где υ – скорость понижения воды в баке; υ₁— скорость вытекания струи; S₁— площадь отверстия. Тогда

.

Согласно уравнению Бернулли для сечений S и S₁,

,

где р и р₁ – статические давления жидкости соответственно для поверхности воды и отверстия; — плотность воды. Учитывая, что р₁=р (бак открыт), из выражения (2) . Подставив эту формулу в (1), найдём

(3)

Согласно кинематическим уравнениям и ℓ=υ₁t (t — время падения струи воды на Землю), найдём

. (4)

Подставив (4) в (3) и учитывая, что , получаем искомую площадь сечения

Пример 8.1.Водомер представляет собой горизонтальную трубу переменного сечения, в которую впаяны две вертикальные манометрические трубки одинакового сечения. По трубе протекает вода. Пренебрегая вязкостью воды, определите её массовый расход, если разность уровней в манометрических трубках Δh=8 см, а сечения трубы у оснований манометрических трубок соответственно равны S₁= 6см 2 и S₂=12см 2 . Плотность воды ρ=1 г/см 3 .

Дано:Δh=8 см=0,08м; S₁= 6см 2 =6∙10 -4 м 2 ; S₂=12см 2 =12∙10 -4 м 2 ;

ρ=1 г/см 3 =1∙10 3 кг/м 3 .

Решение. Массовый расход воды- это масса воды, протекающая через сечение за единицу времени,

(1)

где ρ – плотность воды; υ₂— скорость течения воды в месте сечения S₂. При стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости выполняется уравнение неразрывности

и уравнение Бернулли для горизонтальной трубы (h₁=h₂)

(3)

где р₁ и р₂ – статические давления в сечениях манометрических трубок; υ₁ и υ ₂ — скорость течения воды в местах сечений S₁ и S₂. Учитывая, что

и решая систему уравнений (2), (3), получаем

Подставив это выражение в (1), найдём искомый массовый расход воды:

Пример 8.1.Для определения объёма перекачки газа используется прибор, основанный на принципе действия трубки Пито (см. рисунок). При перекачке азота по трубе за время t =1мин проходит объём газа V=59,3м 3 . Определите диаметр трубы, если разность уровней воды в коленах трубки Пито Δh =1см. Плотность азота ρ =1,25 кг/м 3 , плотность воды ρ₁=1 г/см 3 .

Дано:t =1мин=60с; V=59,3м 3 ; Δh =1см =1∙10 -2 м; ρ =1,25 кг/м 3 ;

Решение. Согласно уравнению Бернулли, разность давлений газа, оказываемых на колена трубки (см.рисунок),

(1)

где ρ – плотность газа; υ- скорость течения газа.

С другой стороны, разность давлений в коленах определяется разностью уровней жидкости в коленах трубки

Приравняв выражения (1) и (2),

,

Найдём скорость движения тела

(3)

Объём газа V, перекачиваемого за время t

где S- площадь сечения трубы.

Подставляя в эту формулу выражение (3) и , найдём

Откуда искомый диаметр трубы

Пример 8.1.Пренебрегая вязкостью воды, определите объём V воды в цилиндрическом баке диаметром d=1м, если через отверстие диаметром d₁=2см на дне бака вся вода вытекла за время t=30мин..

Решение. Если за время dt уровень воды в баке понижается на dh, то уменьшение объёма воды за это же время

где S – площадь основания бака, а знак «-» указывает на то, что высота слоя воды уменьшается. С другой стороны уменьшение объёма воды за время dt

где S – площадь отверстия; υ — скорость истечения воды из отверстия, определяемая согласно формуле Торричелли (применима при S₁ 3 .

Пример 8.1.В области соприкосновения двух параллельно текущих слоёв воды их скорость изменяется, как показано на рисунке. Определите силу внутреннего трения F, если площадь S соприкосновения слоев равна 3м 2 . Динамическая вязкость воды η=10 -3 Па∙с.

Решение. Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости

, (1)

где η – динамическая вязкость жидкости; — градиент скорости; S — площадь соприкосновения слоёв.

Согласно заданному графику,

.

Подставляя значения физических величин в формулу (1), искомая сила внутреннего трения F=6∙10 -3 Н.

Пример 8.1.Шарик радиусом r=2мм падает в глицерине с постоянной скоростью υ=8,5 мм/с. Определите число Рейнольдса Re и плотность ρ₁ материала шарика, если критическое число Рейнольдса Re_кр =0,5.Плотность глицерина ρ=1,26г/см 3 , динамическая вязкость глицерина η=1,48 Па∙с.

Дано:r=2мм =2∙10 -3 м; υ=8,5мм/с=8,5∙10 -3 м/с; Re_кр =0,5; η=1,48 Па∙с; ρ=1,26г/см 3 =1,26∙10 3 кг/м 3 ).

Решение. Характер течения жидкости зависит от числа Рейнольдса, определяемого формулой

,

где ρ– плотность жидкости; υ — скорость жидкости; d — диаметр шарика; η — динамическая вязкость жидкости. Учитывая данные задачи, получаем Re=0,029. Поскольку Re 3 .

Видео:Вязкость. Ламинарное и турбулентное течения жидкостей. 10 класс.Скачать

ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ»

Цель работы:на примере движения тела шарообразной формы изучить основные закономерности движения в вязкой среде.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики, т.1. Механика и молекулярная физи­ка.

2. Стрелков С.П. Механика.

3. Александров Н.В., Яшкин А.Я. Курс общей физики. Механика.

4. Архангельский М.М. Курс физики. Механика.

Вопросы для допуска к работы

а) знать следующие теоретические вопросы:

1. Понятие пограничного слоя. Чем определяется толщина пограничного слоя? Ламинарное и турбулентное движение.

2. Силы, действующие на тело при его движении в вязкой среде. Определяющие формулы сил, которые действуют на тело.

3. Уравнение движения тела. Характер движения тела на отдельных уча­стках.

4. Число Рейнольдса: его физический смысл и определяющая формула.

б) иметь в протоколе следующие расчетные формулы:

1. Формулу для расчета скорости движения шарика при условии равномерного движения.

2. Формулу, по которой можно оценить число Рейнольдса, зная геометри­ческие размеры, массу шарика и характеристики среды.

3. Формулы для расчета объема тел и площади «миделя».

4. Формулы для оценки погрешности.

Р.S. В расчетные формулы должны входить только те величины, которые могут быть измерены в процессе выполнения работы.

Краткая теория вопроса

На тело, движущееся в вязкой среде, действует сила сопротивления, величина которой зависит от размеров и формы тела, скорости его движения относительно среды и свойств самой среды. Как показал Л. Прандтль, процессы, обуславливающие появление силы сопротивления, в значительной мере определяются явлениями, происходя­щими в пограничном слое и характером вихрей. Вычисление силы сопротивления яв­ляется исключительно сложной задачей и можно лишь оценить порядок этой силы.

В общем случае полная сила сопротивления движению тела в вязкой среде складывается из двух компонент: сопротивления трения и сопротивления давления. Первое слагаемое определяется силами внутреннего трения, возникающим за счет градиента скорости в пограничном слое, второе — разностью давлений на передней и задней кром­ках обтекаемого тела и связано с турбулентным (вихревым) движением жидкости.

Стокс установил, что при небольших скоростях и размерах тел модуль силы сопротивления трения определяется формулой:

где h — динамическая вязкость среды, V — скорость движения тела, L — характерный размер тела и k — коэффициент пропорциональности, который зависит от формы тела. Для шара k = 6p. Исходя из формулы (1) выражение для определения модуля силы сопро­тивления трения имеет вид:

Модуль силы сопротивления давления определяется формулой:

(3)

где r — плотность среды, V — скорость движения тела, C_x — характеристический коэффициент обтекаемости тела, зависящий от формы тела, S_mid — площадь «миделя», под кото­рой понимают наибольшую площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к потоку.

Для оценки вклада той или иной силы в величину полной силы сопротивления движению в вязкой среде введено число Рейнольдса Re, которое определяется как отношение силы сопротивления давления к силе трения. Так при Re£0,5 (ламинарное движение) учитывают только силу сопротивления трения. При 0,5 1, т.е. турбулентных (вихревых) течений, учитывают только

силу сопротивления давления.

Найдем уравнения, описывающие движение тела в вязкой среде, т.е. решим основную задачу динамики. Рассмотрим это решение на примере падения шарика в вязкой среде (см. рис.). Динамическое уравнение движения может быть записано в виде:

В проекции на вертикальную ось Y это же уравнение записыва­ется так:

Из трех сил лишь одна является переменной — это сила сопротивления, величина кото­рой быстро изменяется с увеличением скорости. Естественно, что с течением времени ускорение, с которым движется тело, будет уменьшаться, и наступит такой момент, когда оно станет равным нулю. Начиная с этого момента тело будет двигаться равно­мерно с постоян ной скоростью V_уст, величину которой можно найти из уравнения дви­жения при условии, что а=0.

Рис. 1

В зависимости от того, какая сила сопротивления преоб­ладает значение V_уст будет различным.

Законы движения, описывающие движение тела, можно найти, решая дифферен­циальное уравнение вида:

(6)

где

Список заданий

Задание 1: Экспериментально определить скорость установившегося движения шарика в глицерине и число Рейнольдса. Необходимые для расчета данные взять из справочной литературы или определить экспериментально.

Задание 2: Используя результаты работы записать зависимость V(t), Y(t), a(t).

Вопросы для зачета

1. Понятие пограничного слоя. Чем определяется толщина пограничного слоя?

2. Какое движение называют ламинарным, турбулентным?

3. Какие силы действуют на тело, движущееся в вязкой среде?

4. Каковы причины появления сил сопротивления давления и сопротивления трения?

5. Каков физический смысл и размерность коэффициента вязкости

6. Физический смысл числа Рейнольдса.

7. Напишите уравнение движения тела. Каков характер движения тела на отдельных участках?

8. Качественные графики зависимости скорости и ускорения тела, па­дающего в вязкой среде, от времени.

🎬 Видео

Движение тел в жидкостях и газах. Лобовое сопротивление и подъемная сила. Формула Стокса. 10 класс.Скачать

Определение коэффициента вязкости жидкости. Проверка закона СтоксаСкачать

Определение коэффициента вязкости жидкости методом СтоксаСкачать

Урок 137. Движение тела в жидкости и газе.Скачать

Вязкость и течение Пуазёйля (видео 14) | Жидкости | ФизикаСкачать

МодТ - 02 Движение тела в вязкой средеСкачать

Течение вязкой жидкости Формула Стокса Эффект МагнусаСкачать

ЧК_МИФ___ ПАДЕНИЕ ТЕЛА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕСкачать

Режимы течения жидкости, ламинарный и турбулентный режимыСкачать

Механика - Движение вязкой жидкости. Эффект МагнусаСкачать

Физика. 10 класс. Течение вязкой жидкости. Формула Стокса. Обтекание тел. Лабораторная работа № 5Скачать

Движение вязкой жидкости. Уравнения динамики сплошной среды. Звуковая волна. Лекция 15Скачать

Предельная скорость движения тела в вязкой средеСкачать

Подъемная сила. Течение вязкой жидкости. Формула Стокса. Физика 10 классСкачать

15. Движение вязкой жидкостиСкачать

ЧК_МИФ_1_2_3_2__(L3)__ ПАДЕНИЕ ТЕЛА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕСкачать

Закон БернуллиСкачать

Вязкость средыСкачать