2018-11-09 
Однородный шар скатывается с наклонной плоскости с углом наклона $alpha$. Коэффициент трения покоя шара на плоскости равен $f$. Коэффициент трения качения равен 0. Определить предельный угол $alpha$, при котором шар может скатываться без проскальзывания.
Параллельно плоскости на шар действуют две силы: составляющая силы тяжести $mg sin alpha$ и сила трения $vec$ (рис.). Результирующая этих сил сообщает центру шара линейное ускорение $vec$:
$ma = mg sin alpha — T$,
где $m$ — масса шара. Сила трения приложена к точке соприкосновения шара и плоскости. Эта сила сообщает шару угловое ускорение относительно оси, проходящей через центр, равное $epsilon$:
где $r$ — радиус шара, а $I$ — момент инерции относительно оси, проходящей через центр; $I = 2/5 mr^$. Эти два уравнения выражают второй закон Ньютона для поступательного и вращательного движений. В уравнения входят три неизвестные величины $a, epsilon$ и $T$. Если скатывание происходит без проскальзывания, то $a$ и $epsilon$ связаны соотношением
При движении без проскальзывания в системе, связанной с центром шара, в каждый момент времени линейная скорость шара относительно наклонной плоскости должна быть такой же, как и скорость точек на «периферии» шара. Это означает, что при таком движении линейная и угловая скорости связаны соотношением
Взяв производные по времени от обеих частей последнего равенства, получим приведенную выше зависимость между $a$ и $epsilon$. Используя первые три уравнения, определим $T$:
Подставив в это уравнение значение момента инерции шара $I$, заданное в условии задачи, получим выражение для силы трения шара, движущегося по плоскости без проскальзывания:
$T = frac mg sin alpha$.
Величина силы трения не может превышать максимальную силу трения $T_ = fN$, где $N$ — сила нормального давления. В нашем случае
$N = mg cos alpha$.
Тогда получаем неравенство
$T = frac mg sin alpha leq T_ = fmg cos alpha$.
$tg alpha leq fracf$,
$alpha leq arctg frac f$.
Это означает, что движение шара может происходить без проскальзывания только в том случае, если угол наклона плоскости не превышает $arctg 7/2f$. Здесь важно подчеркнуть, что скатывание без проскальзывания служит проявлением действия силы трения. Встречающееся иногда выражение «шар скатывается без трения и без проскальзывания» является, очевидно, неверным и свидетельствует о непонимании процесса скатывания. Но при скатывании без проскальзывания сила трения не совершает работу. Почему?
- Движение по наклонной плоскости тела: скорость, трение, время
- Основная формула динамики
- Формулы кинематики
- Движение по наклонной плоскости: силы
- Методика решения
- Задача на движение бруска по наклонной плоскости
- Задача со скатывающимся по плоскости цилиндром
- Уравнение движения шара по наклонной плоскости
- 📺 Видео
Видео:Скатывание цилиндров с наклонной плоскостиСкачать
Движение по наклонной плоскости тела: скорость, трение, время
Динамика и кинематика — это два важных раздела физики, которые изучают законы перемещения объектов в пространстве. Первый рассматривает действующие на тело силы, второй же занимается непосредственно характеристиками динамического процесса, не вникая в причины того, что его вызвало. Знание этих разделов физики необходимо применять для успешного решения задач на движение по наклонной плоскости. Рассмотрим этот вопрос в статье.
Видео:Урок 87. Движение по наклонной плоскости (ч.1)Скачать
Основная формула динамики
Конечно же, речь идет о втором законе, который постулировал Исаак Ньютон в XVII веке, изучая механическое движение твердых тел. Запишем его в математической форме:
Действие внешней силы F¯ вызывает появление линейного ускорения a¯ у тела с массой m. Обе векторные величины (F¯ и a¯) направлены в одну и ту же сторону. Сила в формуле является результатом действия на тело всех сил, которые присутствуют в системе.
В случае движения вращения второй закон Ньютона записывается в виде:
Здесь M и I — моменты силы и инерции, соответственно, α — угловое ускорение.
Видео:ДВИЖЕНИЕ ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ | механика 10 классСкачать
Формулы кинематики
Решение задач на движение по наклонной плоскости требует знания не только главной формулы динамики, но и соответствующих выражений кинематики. Они связывают в равенства ускорение, скорость и пройденный путь. Для равноускоренного (равнозамедленного) прямолинейного движения применяются следующие формулы:
Здесь v0 — значение начальной скорости тела, S — пройденный за время t путь вдоль прямолинейной траектории. Знак «+» следует поставить, если скорость тела увеличивается с течением времени. В противном случае (равнозамедленное движение) следует использовать в формулах знак «-«. Это важный момент.
Если движение осуществляется по круговой траектории (вращение вокруг оси), тогда следует использовать такие формулы:
Здесь α и ω — угловые ускорение и скорость, соответственно, θ — угол поворота вращающегося тела за время t.
Линейные и угловые характеристики друг с другом связаны формулами:
Здесь r — радиус вращения.
Видео:Наклонная плоскость. Расстановка сил | 50 уроков физики (6/50)Скачать
Движение по наклонной плоскости: силы
Под этим движением понимают перемещение некоторого объекта вдоль плоской поверхности, которая наклонена под определенным углом к горизонту. Примерами может служить соскальзывание бруска по доске или качение цилиндра по металлическому наклоненному листу.
Для определения характеристик рассматриваемого типа движения необходимо в первую очередь найти все силы, которые действуют на тело (брусок, цилиндр). Они могут быть разными. В общем случае это могут быть следующие силы:
- тяжести;
- реакции опоры;
- трения качения и/или скольжения;
- натяжение нити;
- сила внешней тяги.
Первые три из них присутствуют всегда. Существование последних двух зависит от конкретной системы физических тел.
Чтобы решать задачи на перемещение по плоскости наклонной необходимо знать не только модули сил, но и их направления действия. В случае, если тело по плоскости скатывается, сила трения неизвестна. Однако она определяется из соответствующей системы уравнений движения.
Видео:Скатывание тела (колеса, цилиндра) по наклонной плоскостиСкачать
Методика решения
Решения задач данного типа начинается с определения сил и их направлений действия. Для этого в первую очередь рассматривают силу тяжести. Ее следует разложить на два составляющих вектора. Один из них должен быть направлен вдоль поверхности наклонной плоскости, а второй должен быть ей перпендикулярен. Первая составляющая силы тяжести, в случае движения тела вниз, обеспечивает его линейное ускорение. Это происходит в любом случае. Вторая равна силе реакции опоры. Все эти показатели могут иметь различные параметры.
Сила трения при движении по наклонной плоскости всегда направлена против перемещения тела. Если речь идет о скольжении, то вычисления довольно просты. Для этого следует использовать формулу:
Где N — реакция опоры, µ — коэффициент трения, не имеющий размерности.
Если в системе присутствуют только указанные три силы, тогда их результирующая вдоль наклонной плоскости будет равна:
Здесь φ — это угол наклона плоскости к горизонту.
Зная силу F, можно по закону Ньютона определить линейное ускорение a. Последнее, в свою очередь, используется для определения скорости движения по наклонной плоскости через известный промежуток времени и пройденного телом расстояния. Если вникнуть, то можно понять, что все не так уж и сложно.
В случае, когда тело скатывается по наклонной плоскости без проскальзывания, суммарная сила F будет равна:
Где Fr — сила трения качения. Она неизвестна. Когда тело катится, то сила тяжести не создает момента, поскольку приложена к оси вращения. В свою очередь, Fr создает следующий момент:
Учитывая, что мы имеем два уравнения и две неизвестных (α и a связаны друг с другом), можно легко решить эту систему, а значит, и задачу.
Теперь рассмотрим, как использовать описанную методику при решении конкретных задач.
Видео:Баллистика. Отскок шара от наклонной плоскости! ЕГЭ по физикеСкачать
Задача на движение бруска по наклонной плоскости
Деревянный брусок находится в верхней части наклонной плоскости. Известно, что она имеет длину 1 метр и располагается под углом 45 o . Необходимо вычислить, за какое время брусок опустится по этой плоскости в результате скольжения. Коэффициент трения принять равным 0,4.
Записываем закон Ньютона для данной физической системы и вычисляем значение линейного ускорения:
a = g*(sin(φ) — µ*cos(φ)) ≈ 4,162 м/с 2
Поскольку нам известно расстояние, которое должен пройти брусок, то можно записать следующую формулу для пути при равноускоренном движении без начальной скорости:
Откуда следует выразить время, и подставить известные значения:
Таким образом, время движения по наклонной плоскости бруска составит меньше секунды. Заметим, что полученный результат от массы тела не зависит.
Видео:Урок 101. Скатывание тела с наклонной плоскостиСкачать
Задача со скатывающимся по плоскости цилиндром
Цилиндр радиусом 20 см и массой 1 кг помещен на наклонную под углом 30 o плоскость. Следует вычислить его максимальную линейную скорость, которую он наберет при скатывании с плоскости, если ее длина составляет 1,5 метра.
Запишем соответствующие уравнения:
Момент инерции I цилиндра вычисляется по формуле:
Подставим это значение во вторую формулу, выразим из нее силу трения Fr и заменим полученным выражением ее в первом уравнении, имеем:
m*g*sin(φ) — 1/2*m*a = m*a =>
Мы получили, что линейное ускорение не зависит от радиуса и массы скатывающегося с плоскости тела.
Зная, что длина плоскости составляет 1,5 метра, найдем время движения тела:
Тогда максимальная скорость движения по наклонной плоскости цилиндра будет равна:
Подставляем все известные из условия задачи величины в конечную формулу, получаем ответ: v ≈ 3,132 м/c.
Видео:ЗАДАЧИ НА НАКЛОННУЮ ПЛОСКОСТЬ - не ГРОБ! КАК ТАКИЕ РЕШАТЬ?Скачать
Уравнение движения шара по наклонной плоскости
Персональный блог. Темы: физика, ход солнца, солнечные часы
|
Скатывание шара с наклонной плоскости
