Уравнение движения маятника второй закон ньютона (6 видео)

Уравнение движения маятника второй закон ньютона

§2 Пружинный маятник.

Упругие и квазиупругие силы .

Уравнение колеблющейся пружины

Рассмотрим тело массы m , закрепленное на пружине с коэффициентом жесткости k (массой пружины пренебрегаем). Растянем пружину на х. Тогда по закону Гука на тело будет действовать сила упругости F _упр :

1) величина силы пропорциональна величине отклонения системы от положения равновесия

2) направление сила противоположно направлении смещения, т.е. сила всегда направлена к положению равновесия (при х > 0, F _упр F _упр > 0)

3) В положении равновесия х = 0 и F _упр = 0.

Систему, состоящую из материальной точки массы m и абсолютно упругой пружины с коэффициентом жесткости k , в которой возможны свободные колебания, называют пружинным маятником.

Запишем второй закон Ньютона для рис. б

Если сила не является по своей природе упругой, но подчиняется закону F = — k х , то она называется квазиупругой силой.

Получим уравнение пружинного маятника. Учтем в записи второго закона Ньютона, что

— дифференциальное уравнение точки, совершающей колебательное движение (дифференциальное уравнение пружинного маятника).

Решение дифференциального уравнения:

— уравнение колеблющейся точки (уравнение колеблющейся пружины).

— собственная частота колебаний.

§3 Математический и физический маятники.

Периоды колебаний математического и физического маятников

Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, и совершавшая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Материальная точка — тело, масса которого сосредоточена в центре масс и размерами которого в условиях данной задачи, можно пренебречь.

Математический маятник при колебаниях совершает движение по дуге окружности радиуса . Его движение подчиняется законам вращательного движения.

Основное уравнение вращательного цветения запишется в виде

(1)

М – момент сил, I – момент инерции, ε – угловое ускорение.

Равнодействующая сил и равна .

Из треугольника АВС

таким образом, колебания математического маятника происходят под действием квазиупругой силы — силы тяжести.

Тогда (1) запишется в виде

(2)

Знак минус учитывает, что векторы и имеют противоположные направления (угол поворота можно рассматривать, как псевдовектор углового смещения , направление вектора определяется по правилу правого винта, из-за знака минус направлен в противоположную сторону).

Сократив в (2) на m и получим

При малых углах колебаний α = 5 ÷6° , , получим

получим дифференциальное уравнение колебаний математического маятника

— уравнение математического маятника.

из которого видно, что угол α изменяется по закону косинуса. α₀ — амплитуда, ω₀ — циклическая частота, φ₀ — начальная фаза.

— период колебаний математического маятника

Физический маятник — твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела, называемой осью качания маятника.

Основное уравнение – вращательного движения для физического маятника запишется в виде

При малых углах колебаний и уравнение движения имеет вид

— дифференциальное уравнение физического маятника.

— период колебаний физического маятника

следовательно, математический маятник с длиной

Видео:1.4. Законы Ньютона как уравнение движения | Динамика | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Уравнение движения маятника второй закон ньютона

«Физика — 11 класс»

Колебания тела можно описать, используя законы Ньютона.

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости.

Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела на ускорение его равно равнодействующей всех сил, приложенных к телу:

Запишем уравнение движения для шарика, движущегося прямолинейно вдоль горизонтали под действием силы упругости F_упр пружины.
Направим ось ОХ вправо. Пусть начало отсчета координат соответствует положению равновесия шарика.

В проекции на ось ОХ уравнение движения можно записать так:

где а_х и F_{x упр} — проекции ускорения и силы упругости пружины на эту ось.

Согласно закону Гука проекция F_{x ynp} прямо пропорциональна смещению шарика из положения равновесия.
Смещение же равно координате х шарика, причем проекция силы и координата имеют противоположные знаки. Следовательно,

F_{x yпp} = -kх

Разделив левую и правую части уравнения на массу, получим уравнение, описывающее колебания тела под действием силы упругости:

Проекция ускорения тела прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

Так как масса и жесткость пружины — постоянные величины, то их отношение также постоянная величина.

Уравнение движения математического маятника

При колебаниях маятника на нерастяжимой нити он все время движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити l.
Положение маятника в любой момент времени определяется одной величиной — углом альфа (α) отклонения нити от вертикали.
Пусть угол α>0, если маятник отклонен вправо от положения равновесия,
и α 0) составляющая силы тяжести F_t направлена влево и ее проекция отрицательна: F_t 0.

Проекция ускорения маятника на касательную к его траектории а_t характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника.

Поступая налогично выводу форулы для маятника, колеблющегося под действием силы упругости,
получим уравнение движения для математического маятника (нитяного маятника):

Проекция ускорения тела прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

где
l — длина нити маятника,
g — ускорение свободного падения,
х — смещение маятника.

Вывод:

Движение маятника на пружине и колебания маятника на нити происходят одинаковым образом, хотя силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу.
Ускорение прямо пропорционально координате (смещению от положения равновесия).
Колебания в этих двух случаях совершаются под действием сил, равнодействующая которых прямо пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому смещению.

Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Механические колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Видео:Классические уравнения | математический маятник | вывод через второй закон НьютонаСкачать

Математического маятника

Измерение ускорения свободного падения с помощью

Ускорением свободного падения называют ускорение тела, обусловленное действием только силы тяжести . Оно показывает ускорение, приобретаемое телом единичной массы, под действием силы тяжести:

. (1)

Сила тяжести приложена к данному телу и равна геометрической сумме силы тяготения , действующей между телом и Землей, и центробежной силы инерции . Центробежная сила инерции обусловлена неинерциальностью системы отсчета, связанной с Землей вследствие ее суточного вращения. Смотри подробнее [1, § 6.3]. Отметим, что если в формуле (1) учесть действие только силы тяготения, то данное выражение будет определять вектор напряженности поля тяготения Земли. В силу малости центробежной силы инерции, действующей на тело в системе отсчета, связанной с Землей, в сравнении с силой тяготения числовые значения ускорения свободного падения и напряженности поля тяготения Земли будут иметь близкие значения.

Одним из простых и одновременно достаточно точных методов определения ускорения свободного падения тел g является метод, основанный на использовании математического маятника. Реально математический маятник представляет собой систему, состоящую из маленького шарика, который можно принять за материальную точку массой m, и тонкой невесомой нерастяжимой нити длиной l, подвешенной к неподвижной точке О, рис. 1. При колебании шарика на нерастяжимой нити шарик все время движется по дуге окружности, радиус которой равен l.

В качестве координаты, определяющей положение мятника, совершающего колебания в одной плоскости, можно взять угол между вертикальной линией, проходящей через точку подвеса и нитью маятника. Обозначим этот угол буквой φ. Причем, условимся углы, отсчитываемые вправо от положения равновесия считать положительными, влево – отрицательными.

Для обоснования сущности данного метода воспользуемся вторым законом Ньютона. На маятник массой m действуют две силы: сила тяжести и сила упругости нити . Тогда уравнение движения маятника (второй закон Ньютона) будет иметь вид:

(2)

Для установления характеристик маятника (определения зависимости силы натяжения от угла φ, зависимости угла φ от времени) следует спроецировать вектора, входящие в уравнение (1), на две оси. Одну, направленную вдоль нити подвеса, задаваемую единичным вектором , вторую по касательной к траектории, задаваемую единичным вектором , рис. 1. На этом рисунке отмечено мгновенное положение маятника при движении вправо. При смене направления движения маятника влево направление выбранных осей не изменяется в отличие от направления вектора скорости .

Для нашей цели достаточно спроектировать вектора на направление . Определяя из рисунка 1 проекции сил и ускорения на ось , получим скалярное уравнение:

(3)

Знак «–» в уравнении (3) справа обусловлен тем, что проекция силы тяжести на касательное направление отрицательна ( ), а угол φ для данного положения маятника по определению положителен. При движении маятника влево от положения равновесия угол φ по определению отрицателен, а проекция силы тяжести на ось положительна. Это означает, что знаки проекции силы тяжести на ось и угла φ всегда противоположны.

Ограничиваясь малыми углами отклонения маятника, можно sinφ заменить значением угла φ, выраженным в радианах. Так для φ = 10 о = 0,1745 рад получаем: sin(0,1745) ≈ 0,1736. Из этого примера видно, что разница между значением угла φ в радианах и значением синуса этого угла в радианах для угла в 10 о не превышает 0,5%. При меньших значениях угла φ это различие будет еще меньшим, а предложенная замена будет более точной. Поэтому рекомендуется в экспериментах задавать отклонения угла маятника не более 10 о . При этом условии уравнение (3) примет вид:

(4)

Из школьного курса физики известна связь между линейной и угловой скоростями движения м.т. по окружности:

. (5)

С другой стороны угловая скорость равна первой производной угла поворота φ по времени:

. (6)

По определению касательного ускорения имеем:

. (7)

В формуле (7) мы учли определения (5) и (6). Тогда с учетом определений (7) уравнение (4) примет вид:

или . (8)

Легко проверить, что размерность множителя в формуле (8) имеет вид: , что соответствует размерности квадрата циклической частоты ω_о. Поэтому обозначим данный множитель как ω_о 2 . Тогда уравнение (8) примет окончательно вид:

. (9)

Решением данного уравнения будет гармоническая функция вида:

, (10)

где φ_о – амплитуда колебаний, α – начальная фаза колебаний. Справедливость этого решения можно проверить его подстановкой в уравнение (9). Если решение (10) верно, то оно превращает уравнение (9) в тождество. Проверку этого решения рекомендуется выполнить студентам самостоятельно.

Циклическая частота колебаний математического маятника, как следует из вывода уравнения (9), определяется выражением: . Тогда для периода колебаний математического маятника, исходя из его определения, как времени одного колебания, получим выражение:

(11)

Возведем обе части уравнения (11) в квадрат, получим:

. (12)

Уравнение (12) подобно уравнению прямой вида: , если в качестве углового коэффициента k взять

, (13)

а в качестве переменных x и y соответственно l и T 2 .

Строя график зависимости квадрата периода Т 2 отдлины маятника l мы должны получить линейную зависимость. Определяя тангенс угла наклона этого графика к оси абсцисс (оси l), и используя формулу (13), можем рассчитать ускорения свободного падения:

(14)