Уравнение движения частицы в проекциях на направления касательной и нормали к траектории

Видео:Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ

Видео:Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

Импульс

Координаты и скорость — это кинематические характеристики частицы. Они не отражают свойства частицы как реального физического объекта. Импульс — динамическая характеристика. По определению импульс равен

где v — скорость частицы; т — некоторое свойство частицы, называемое массой.

Масса — это первичное понятие, не сводимое к другим. Смысл этой величины и способ ее измерения прояснится далее.

При малых скоростях знаменатель в формуле (2.33) близок к единице, и в этом случае

Формула (2.34) является определением импульса в так называемой классической, или нерелятивистской (от слова relativity — относительность), механике.

Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

Уравнения движения (законы Ньютона)

В основе динамики лежит ряд утверждений, принимаемых в качестве аксиом.

• 1. Свободная частица в инерциальной системе отсчета движется с постоянной скоростью (первый закон Ньютона). Под свободной частицей понимается частица, никак не взаимодействующая с другими телами.
• 2. При наличии взаимодействия имеет место уравнение

где р — импульс частицы, определяемый формулой (2.33) или (в классической механике) (2.34) (второй закон Ньютона).

Величина, стоящая в правой части уравнения (2.35), характеризующая взаимодействие частицы с остальным миром, называется силой. Фактически здесь утверждается, что во всех случаях удастся

подобрать такую векторную функцию F, что движение частицы будет подчиняться уравнению вида (2.35). Задачей физики является нахождение сил для различных взаимодействий.

Уравнение (2.35) означает, что за малое время ДГ изменение импульса частицы будет равно

При малых скоростях — = — (mv) = т—, и уравнение (2.35) при- dr dr dr

При этих же условиях уравнение (2.36) примет вид

Силы, действующие на макроскопическое тело, могут быть измерены динамометром (устройством типа пружинных весов), и уравнение (2.38) в этом случае дает способ определения массы тела, так как изменение скорости тела за данное время может быть измерено.

Из этого же уравнения усматривается смысл массы: масса определяет отклик тела на данную силу. Чем больше масса, тем слабее отклик, тем меньше изменение скорости тела. Житейское понятие массы связано с весом тела, т. е. с силой притяжения тела к Земле (с силой гравитационного взаимодействия тела с планетой Земля), которая по некоторым (глубоким) причинам, не связанным с обсуждаемым вопросом, оказывается пропорциональна массе. Правильное ощущение массы, не связанное с весом, имеют космонавты, так как в космическом корабле вес не проявляется, и, как мы уже обсуждали, именно космический корабль является хорошей инерциальной системой.

3. Два тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению (третий закон Ньютона).

Это утверждение верно в классической механике, но если тела взаимодействуют на большом расстоянии или движутся с большими скоростям, ситуация не столь проста. Обсуждение возникающих здесь проблем увело бы нас далеко в сторону, и в дальнейшем будем считать это утверждение справедливым.

Задача 2.6. Пуля пробивает стену. Оценить силу, действующую на стену. Масса пули 10 г, скорость пули на входе 300 м/с, на выходе 100 м/с, толщина стены 5 см.

Решение. При прохождении пули сквозь стену импульс пули изменяется, откуда следует, что на пулю действует сила. Обратимся к равенству (2.38). Пусть пуля движется вдоль оси х, стена — в плоскости yOz:. Имеем:

где Л/ — время действия силы (время взаимодействия пули со стеной). Для оценки времени взаимодействия предположим, что скорость пули в стене убывает линейно со временем (ускорение постоянно). Тогда

где Дх — толщина стены, и для силы получим Подставляя числа, найдем

Это сила, действующая на пулю со стороны стены. На стену по третьему закону Ньютона будет действовать сила -F.

Задача 2.7. Ситуация та же, что и в предыдущей задаче, но пуля выходит из стены под небольшим углом а к нормали к стене.

Решение. Пусть траектория пули лежит в плоскости хОу. Для изменения импульса получим

Для силы, действующей на пулю, будем иметь

Как видим, появилась составляющая силы, параллельная стене.

Из уравнения (2.35) можно сразу получить некоторые важные следствия. Подчеркнем прежде всего, что это векторное уравнение. Из него можно получить бесчисленное множество скалярных уравнений следующим образом.

Пусть единичный вектор Я задает некоторое неизменное направление. Скалярное произведение любого вектора на вектор Я даст число, которое есть проекция этого вектора на направление, задаваемое вектором Я: an — acosa = а_п, где a — угол между векторами Я, Я. Умножим уравнение (2.35) скалярно на вектор Я. Получим

Скалярное произведение дифференцируется по обычному правилу дифференцирования произведения:

Учитывая это правило, а также то, что Я — постоянный вектор, из (2.39) получим

Это скалярное уравнение для проекции импульса на направление я. Из него, в частности, следует, что если проекция силы на некоторое направление все время равна нулю, проекция импульса на это направление не изменяется. (Пример: горизонтальная составляющая скорости брошенного камня не изменяется.)

Уравнений вида (2.41) можно получить сколько угодно, выбирая различные векторы я, но не все они будут давать что-то новое. Достаточно написать такие уравнения для трех различных векторов. Все остальные уравнения будут следствиями этих трех. Выбор этой тройки векторов произволен и диктуется соображениями удобства.

Уравнение (2.35) можно проектировать и на меняющееся направление. Один из полезных способов следующий.

Пусть т — единичный касательный вектор к траектории движущейся частицы, а я — вектор нормали (см. п. 1.2.4). Очевидно, что р • т = р. Умножим уравнение (2.35) скалярно на вектор т. Получим

Левую часть этого уравнения преобразуем с помощью тождества (2.41):

Вектор dx/dt направлен по нормали к траектории, и поэтому второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю. Уравнение (2.42) примет вид

где F_x — проекция силы на касательную к траектории (тангенциальная сила). Уравнение (2.43) определяет изменение модуля импульса под действием силы. Если тангенциальная составляющая силы отсутствует, величина импульса не изменяется со временем.

Формула (2.43) означает, что изменение модуля импульса за малое время Ы будет равно

Значение импульса к моменту t найдется как сумма малых изменений за время от нуля до t:

Здесь p(0) — начальное значение импульса. Если тангенциальная сила действует достаточно долго, конечное значение модуля импульса может быть сколь угодно велико, но скорость частицы не может быть сколь угодно велика. Из формулы (2.33) следует, что

Умножим уравнение (2.35) на единичный вектор нормали к траектории п:

Левую часть этого уравнения преобразуем по формуле (2.40):

Первое слагаемое в правой части (2.48) равно нулю, так как векторы р и п ортогональны и их скалярное произведение все время равно нулю. Если траектория частицы лежит в плоскости, можно показать, что — = -т—, где R — радиус кривизны траектории.

Подставляя это выражение в равенство (2.48) и возвращаясь к уравнению (2.47), получим

Нормальная составляющая силы определяет кривизну траектории.

Задача 2.8. В условиях задачи 1.13 определить силу, действующую на автомобиль.

Решение. Скорость автомобиля много меньше скорости света, р = mv, формула (2.49) дает F = mv 2 /R = та_п. Если водитель не нажимает на тормоз, скорость постоянна и тангенциальная сила равна нулю, так что F= F_n. Если масса автомобиля т = 1000 кг, получим F= 4-10 4 Н. Откуда берется эта сила? Это сила сцепления колес с дорогой. Если сила сцепления окажется меньше, радиус кривизны будет больше, автомобиль не впишется в поворот и вылетит на обочину (при данных условиях это так и будет).

Замечание. Может возникнуть вопрос, уместно ли применять обсуждаемые уравнения движения к автомобилю, учитывая, что они формулировались для частицы, т. е. для точечного объекта. Хотя автомобиль ни в каком смысле не точечный объект, приведенное решение законно. Это станет ясным в дальнейшем, когда мы обсудим динамику твердого тела.

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Касательное и нормальное ускорения точки

Касательное ускорение характеризует изменение в данное мгновение вектора скорости по величине, а нормальное — по направлению

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Проекция ускорения на касательную и на нормаль

Если движение точки задано в векторной или в координатной форме, то часто встречается необходимость определить проекции ускорения на касательную и главную нормаль к траектории точки в том ‘ месте, где в данное мгновение находится точка (рис. 91, а).

При естественной форме определения движения точки сначала определяют проекции ускорения на касательную и на нормаль, а затем уже по этим проекциям находят величину и направление полного ускорения точки.

Проекцию ускорения точки на касательную к ее траектории называют касательным ускорением, или тангенциальным ускорением (от латинского слова tangens—касающийся), и обозначают a_N.

Проекцию ускорения на нормаль называют нормальным ускорением и обозначают a_r.
Часто касательное и нормальное ускорения рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускорения, т. е. как векторные величины. В таком случае над а_r и a_N ставят стрелку, указывающую на их векторный характер.

Разложение ускорения по касательной и нормали имеет физический смысл: касательная составляющая ускорения направлена по касательной (как и скорость), а потому не может повлиять на направление скорости, но влияет на ее величину; составляющая ускорения по нормали направлена перпендикулярно к скорости, а потому не может повлиять на величину скорости, но влияет на ее направление.

Касательное ускорение равно первой производной от величины скорости по времени:

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Касательное ускорение

Пусть точка M движется по траектории, расположенной в плоскости хОу.
Проведем касательную и нормаль к кривой в точке M (рис. 91, б), нанесем на чертеж вектор ускорения точки M и его составляющие и по координатным осям. Чтобы определить касательное ускорение, надо спроецировать на касательную вектор полного ускорения или найти алгебраическую сумму проекций на касательную составляющих и полного ускорения по осям координат. Воспользовавшись вторым из этих способов, спроецируем и на касательную:

Составляющие ускорения и направлены по координатным осям, а направление касательной совпадает с направлением скорости, поэтому косинусы углов а и β равны направляющим косинусам скорости:

(62′)

(62»)

Подставляя значения направляющих косинусов, получаем

По формуле (68) удобно вычислять касательное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58′) и (58″).

Можно дать еще другой изящный вывод формулы (68) тангенциального ускорения, для чего спроецировать на касательную вектор полного ускорения, не раскладывая его предварительно по осям декартовых координат. В самом деле, тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на касательную (рис. 91, а):

a_r = a cos δ,
но угол δ, как внутренний угол треугольника, равен внешнему α_а без другого внутреннего α_υ, поэтому:

Подставляя сюда вместо направляющих косинусов их выражения (67) n (62′), получим

Напомним, что в числителе этой формулы проекции имеют свой знак, а знаменатель определяется по (64), т. е. существенно положителен.

Задача №1

Движение точки задано в декартовых координатах уравнениями:

x=21,2 sin 2 t, y=21,2 cos 2 t

Определить касательное ускорение точки (см. задачу № 36, стр. 132).

Решение. Дифференцируя уравнения движения, найдем υ_x = 21,2 sin 2t, υ_y = -21,2 sin 2t. Определим теперь полную скорость:

Дифференцируя уравнения движения вторично, найдем

Касательное ускорение определим по формуле (68):

Ответ. Касательное ускорение равно 60 cos 2t.

Задача №2

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям x=r cos πt, y=r sin πt. Найти касательное ускорение точки М.

Решение. Проекции скорости и ускорения на оси координат, а также и полная скорость точки M были уже нами получены при решении задачи № 44 (см. стр. 142). Для определения касательного ускорения точки M нам остается только подставить эти величины в формулу (68):

Ответ. Касательное ускорение равняется нулю.

Для случая задания движения в естественной форме преобразуем формулу (68) следующим образом:

и, сокращая на υ, найдем касательное ускорение

(69)

Принимая во внимание (53), можно придать этой формуле несколько иной вид:

(69′)

Итак, касательное ускорение—это проекция ускорения точки на касательную к траектории, равная первой производной от величины скорости по времени. Чтобы получить касательное ускорение в векторном выражении, нужно его умножить на единичный вектор касательной:

(69»)

Как уже было сказано, касательное ускорение не может изменить направления скорости, оно характеризует быстроту изменения величины скорости, т. е. соответствует изменению вектора скорости вдоль его направления.

Если с течением времени величина скорости увеличивается, то касательное ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость. Такое движение называют ускоренным.

Если же величина скорости уменьшается, то касательное ускорение направлено в сторону, противоположную скорости. Такое движение называют замедленным.

Каждое из этих движений называют переменным движением.

Если величина скорости точки постоянна, то производная , а потому равно нулю и касательное ускорение. Движение точки с постоянной по величине скоростью по любой траектории называют равномерным. Следовательно, при равномерном движении точки касательное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если касательное ускорение постоянно равняется нулю, то, следовательно, величина скорости постоянна и движение равномерно; если же касательное ускорение точки равняется нулю не в течение всего рассматриваемого промежутка времени, а только в какое-то мгновение, то движение точки не является равномерным, и равенство означает, что в это мгновение величина скорости достигла экстремального (максимального или минимального) значения.

При равномерном движении точки по любой траектории

(70)

Формулы (70) справедливы только для равномерного движения точки и неприменимы при других движениях.

Видео:Как составить уравнение касательной и нормали к графику функцииСкачать

Равнопеременное движение точки

Из переменных движений точки в задачах наиболее часто встречается равнопеременное движение — такое движение, при котором касательное ускорение остается постоянным.

При равнопеременном движении точки по любой траектории
(71)

Формулы (71) справедливы только для равнопеременного движения и неприменимы при других движениях. Они даны здесь без вывода и известны из элементарной физики. Вывод этих формул приведен в решении задачи № 48.

Задача №3

Точка А начала двигаться с начальной скоростью υ₀= 1 м/сек и с ускорением a_T =2 м/сек 2 . Через одну секунду следом за точкой А по той же траектории с такой же начальной скоростью и с таким же касательным ускорением стала двигаться точка В. Определить расстояние (по траектории) между точками А и В через t сек после выхода первой точки. Построить графики движения точек.

Решение. Определим сначала уравнение движения точек. Нам дано, что

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Постоянную C₁ определим из начальных данных:

Написав υ по (53), разделяя переменные и интегрируя, найдем

Подставляя вместо υ₀ и а_T заданные величины, найдем расстояние (в м), пройденное точкой А за время t:

В то же мгновение t расстояние, пройденное точкой В, будет меньше, так как точка В будет находиться в пути лишь t—1 сек. Для точки В

Расстояние между A и B найдем как разность пройденных ими путей:

Это расстояние растет пропорционально времени, хотя точка В во времени не отстает от точки А и каждую точку траектории проходит через 1 сек после того, как через нее прошла точка А.

Графики движения точек А и В изображаются одинаковыми параболами (рис. 92), но парабола, представляющая движение точки В, смещена по оси времени относительно параболы, представляющей движение точки А, на 1 сек вправо. Чтобы определить расстояние (в м) между А и В в какое-либо мгновение, надо восставить перпендикуляр к оси времени в точке, соответствующей этому мгновению, и измерить расстояние по вертикали между параболами. Чтобы определить интервал времени (в сек) между прохождениями точками А и В какой-либо точки К траектории, надо восставить перпендикуляр к оси расстояний в точке, соответствующей расстоянию точки К от начала отсчета, и измерить расстояние по горизонтали между параболами. Графики наглядно показывают, что точка В отстает от точки А по расстоянию, так как А В непрерывно увеличивается, но не отстает по времени, и точка В проходит каждый отрезок траектории за такое же время, как и точка А.

Рис. 92

Нормальное ускорение равно отношению квадрата скорости точки к радиусу кривизны траектории:

Видео:Уравнения касательной и нормали к кривойСкачать

Нормальное ускорение

Чтобы получить формулы нормального ускорения, мы опять воспользуемся тем, что проекция вектора на ось равна сумме проекций его составляющих на ту же ось, и определим a_N как алгебраическую сумму проекций составляющих ax и ay на нормаль к траектории точки. Выберем за положительное направление нормали то, которое получается от поворота положительного направления касательной на прямой угол против хода часов (см. рис. 91) в сторону вогнутости кривой.
Как видно из чертежа (см. рис. 91, б)

Подставляем значения (62) направляющих косинусов:

(72)

По этой формуле удобно вычислять нормальное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58′) и (58″).

Эту же формулу (72) можно получить, спроецировав полное ускорение а на нормаль M_n (рис. 91, а):

Подставляя эти значения и сокращая на а, получим:

Задача №4

Движение точки задано уравнениями X= 21,2 sin 2 t, у= 212 cos 2 t. Определить нормальное ускорение точки.

Решение. Дифференцируя эти же уравнения движения при решении задачи № 36 (см. стр. 132), мы уже определили нужные нам величины: υ_x, υ_y, υ, a_x, а_у. Подставляя их в формулу (72), найдем

Ответ. Нормальное ускорение равно нулю.

Задача №5

Точка M движется согласно уравнениям x= r cos πt, y= r sin πt. Найти нормальное ускорение точки М.
Решение. Дифференцируя при решении задачи № 44 (см. стр. 142) эти уравнения движения, мы уже нашли проекции скорости и проекции ускорения. Полную скорость определим по ее проекциям согласно (64):

Подставляя все эти величины в формулу (72), найдем

Ответ. Нормальное ускорение равно rπ 2 .

Чтобы преобразовать формулу (72) для случая, когда движение точки задано в естественной форме, припомним из курса высшей математики выражение кривизны плоской кривой, представленной в параметрической форме уравнениями (58′) и (58″),

Если параметр t означает время, то эту геометрическую формулу можно переписать в обозначениях кинематики:
(73)

Сравнивая равенства (72) и (73), находим

(74)

Мы получили положительное значение проекции, следовательно, нормальное ускорение направлено от точки M в положительном направлении оси M_n (см. рис. 91), т. е. в ту сторону от касательной, по которую лежит траектория точки.

Чтобы получить нормальное ускорение в векторном выражении, надо (74) умножить на единичный вектор нормали:

(74 / )

Как уже было сказано, нормальное ускорение не влияет на величину скорости, потому что оно направлено перпендикулярно к скорости. Оно влияет на направление скорости.

Итак, нормальное ускорение—это проекция ускорения точки на нормаль к траектории, направленная в сторону вогнутости, равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории.
Если движение точки прямолинейное, то радиус кривизны траектории (прямой линии) равен бесконечности, а нормальное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если в каждое мгновение данного промежутка времени нормальное ускорение движущейся точки равняется нулю, то точка движется по прямой; если же нормальное ускорение точки не постоянно равно нулю, а только в какое-либо мгновение, то движение точки не а потому

является прямолинейным и равенство означает, что в это мгновение положение точки совпадает с точкой перегиба траектории или же направление скорости меняется на обратное. На чертеже (рис. 93) изображено нормальное ускорение точки в различных местах траектории при равномерном движении.

Рис. 93

Величина ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов касательного и нормального ускорений:

Видео:Уравнение движенияСкачать

Ускорение при естественном способе задания движения

Если движение точки задано в естественной форме, то проекции ускорения на нормаль и на касательную можно определить по формулам (69) и (74) и по проекциям определить величину полного ускорения точки (см. рис. 91):

(75)

(75 / )

Перед радикалом стоит знак « + », потому что величина ускорения существенно положительна.

Вектор полного ускорения направлен по диагонали прямоугольника, построенного на векторах касательного и нормального ускорений. Можно точно установить направление ускорения по тангенсу угла, составляемого им с нормалью к траектории:

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории, а нормальное к центру кривизны траектории, поэтому вектор полного ускорения лежит с той стороны от касательной, с которой расположена траектория точки.

При криволинейном ускоренном движений точки полное ускорение составляет со скоростью острый угол, а при замедленном—тупой.

Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, и проекция ускорения на бинормаль равна нулю:

Разложение ускорения при движении точки по кривой двоякой кривизны. Если кривая не лежит в одной плоскости, то ее называют пространственной кривой, или кривой двоякой кривизны. В каждой точке к кривой можно провести только одну касательную и бесчисленное множество нормалей, расположенных в плоскости, перпендикулярной к касательной и называемой нормальной плоскостью (рис. 94).

рис. 94

Пусть в мгновение t точка занимает на кривой двоякой кривизны положение М. В это мгновение скорость точки направлена по касательной к кривой в точке М. Через эту касательную и через близкую точку M₁ (не показанную на чертеже)., в которую движущаяся точка придет в мгновение t + Δt, проведем плоскость и будем стремить Δt к нулю. Тогда точка M₁ будет стремиться к точке М. При этом плоскость будет поворачиваться около касательной, проведенной в точке М и стремиться к некоторому определенному положению, в котором она называется соприкасающейся плоскостью. Следовательно, в соприкасающейся плоскости находится вектор скорости движущейся точки в то мгновение, когда эта точка совпадает с точкой М, а также когда она занимает положение, предельно близкое к точке M. А так как ускорение характеризует изменение скорости в данное мгновение, то вектор ускорения тоже находится в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку M перпендикулярно к соприкасающейся и к нормальной плоскостям, называют спрямляющей плоскостью.

Нормаль, лежащую в спрямляющей плоскости, называют бинормалью, а нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости,—главной нормалью (главную нормаль плоской кривой обычно называют просто нормалью).

Касательная Mτ главная нормаль M_n и бинормаль M_b пересекаются в точке M под прямыми углами. Эти три взаимно перпендикулярные прямые в механике часто принимают в качестве координатных осей и называют естественными осями, или осями натурального триэдра. По мере движения точки по траектории естественные оси движутся вместе с ней, поворачиваются относительно основных (неподвижных) осей xOyz.

Положительные направления на естественных осях примем такими, чтобы трехгранный угол τMnb можно было привести в совпадение с углом xОyz. Касательная Mτ играет роль оси Ох, главная нормаль Mn— оси Oy и бинормаль Mb— оси Oz.

Так как вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости τМn, а бинормаль Mb перпендикулярна к соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю (α_b = 0), и при проецировании ускорения на три естественные оси мы имеем только две проекции: касательное ускорение и нормальное ускорение.

Таким образом, мы установили, что формулы (69), (69′) и (69″) касательного ускорения, формулы (74) и (74′) нормального ускорения, а также формулы (75) и (75′) полного ускорения, выведенные нами в предположении, что точка движется по плоской траектории, остаются справедливыми для любого движения точки.

Именно потому, что проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю, в формуле (75) величина полного ускорения определяется по двум проекциям, а не по трем, как это имеет место в формуле (66). Приравнивая выражение (66) модуля полного ускорения точки через проекции на неподвижные оси координат его же выражению (75) через проекции на естественные оси, получим для движения точки по любой траектории соотношение

(76)

(76 / )

Эти равенства часто бывают полезны при решении задач.

Задача №6

Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями:

Решение. Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат:

Подставляя найденные величины в (68), найдем касательное ускорение

Подставляя те же величины в формулу (72), найдем нормальное ускорение

Нормальное ускорение всегда направлено во внутрь траектории, отрицательный знак получился потому, что в этой задаче естественные оси взяты по левой системе, (ось М,— вправо, ось M_n — вниз), а неподвижные — по правой.

Ответ. где υ — скорость точки.

Задача №7

Найти скорость, полное, касательное и нормальное ускорения точки, описывающей фигуру Лиссажу, по уравнениям движения точки, заданным в координатной форме:

х= 3 sin 2t, у = 4 sin 2t.

Решение. Найдем сначала проекции скорости:

υ_χ = 6 cos 2t, υ_y = 8 cos 2t.

Затем определим величину полной скорости точки:

Для определения касательного и нормального ускорений определим проекции ускорения на декартовы оси координат, затем найдем полное ускорение и разложим его на касательное и нормальное. Имеем

Найдем сначала касательное ускорение, для чего продифференцируем по времени полную скорость или воспользуемся формулой (68):

Мы видим, что полное ускорение по величине равно касательному ускорению, т. е. что нормальное ускорение равно нулю. Это возможно только в случае, если траектория — прямая линия. Для проверки можно определить кривизну траектории или найти уравнение траектории. По первому способу имеем

По второму способу найдем (прямая).

Ответ. υ=10 cos 2t; α = 20 sin 2t; а_т= —20sin 2t; α_N = 0.

Задача №8

Точка обода колеса, катящегося без скольжения и без буксования по прямолинейному рельсу, движется согласно уравнениям x=r (ct-sin сt), y=r(l — cos ct). Найти нормальное ускорение точки.
Решение. Для решения задачи можно наметить следующий путь: найти проекции скорости, величину полной скорости, проекции ускорения и полное ускорение; затем, продифференцировав по времени величину полной скорости, найти касательное ускорение и, вычитая его геометрически из полного, найти нормальное.

Дифференцируя уравнения движения, найдем

Далее получаем

Дифференцируя проекции скорости, найдем

a_x = rc 2 sin ct, a_y = rc 2 cos ct

Дифференцируя υ, найдем касательное ускорение:

Вектор aτ перпендикулярен вектору и в сумме с ним равняется вектору полного ускорения, поэтому

Задачи такого типа быстрее и короче решать с применением формулы (72). По этой формуле непосредственно получаем:

Ответ:

Задача №9

Тяжелое тело, размерами которого можно пренебречь, брошено с большой высоты с горизонтальной скоростью υ₀ и движется согласно уравнениям x-υ₀t, . Найти траекторию, скорость, касательное и нормальное ускорения в любом положении, выразив их через скорость тела в этом положении.

Решение. Определяя из первого уравнения t и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Траектория—парабола (рис. 95). Дифференцируя уравнения движения по времени, найдем проекции скорости и по ним полную скорость:

В начальное мгновение (t = 0), скорость точки υ = υ_o, а затем с течением времени величина скорости непрерывно возрастает. Из полученного равенства определим время t, в течение которого тело приобретает скорость у:

Вторично дифференцируя уравнения движения точки, найдем проекции ускорения на оси координат и полное ускорение:

В данном случае тело движется с постоянным по модулю и направлению ускорением, параллельным оси Оу.
Обращаем внимание на то, что, хотя здесь a = const, движение точки не является равнопеременным, так как условием равнопеременного движения является не условие a = const, а условие a_т= const. В данном же случае, как мы сейчас увидим, а_т непостоянно.

Дифференцируя величину полной скорости по времени или непосредственно по (68), получим касательное ускорение

Подставляя вместо t найденное нами значение, выразим касательное ускорение a_т через скорость υ:

Отсюда следует, что в начальное мгновение, когда υ = υ₀, a_т=0. Затем с увеличением υ величина а_т растет и в пределе стремится к полному ускорению g.
Для нахождения нормального ускорения обратимся к (72). Имеем

В начальное мгновение (при t = 0 и υ=v₀) a_N=g, а затем с увеличением υ а_N убывает, стремясь в пределе к нулю.
Ответ. Парабола

Задача №10

Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения ее движения имеют вид: x = 2t, y = t 2 (t— в cек; х, у— в м).
Решение. Из формулы кривизны (73) имеем

Для получения проекций скорости и ускорения в начальное мгновение продифференцируем уравнения движения и подставим t = 0:

Полную скорость в начальное мгновение определяем по ее проекциям:

Подставляя эти величины в формулу (73), получим ответ.
Ответ. р = 2 м

Задача №11

Через 20 сек после начала движения автомобиль, двигаясь иа закруглении радиуса 400 м, приобрел скорость 108 км/ч. Считая, что величина скорости автомобиля пропорциональна квадрату времени, определить полное ускорение автомобиля в конце 20-й секунды н пройденное за это время расстояние.
Решение. За единицы принимаем метр и секунду. Траектория задана—дорога с закруглением радиуса 400 м, и для решения задачи необходимо определить Уравнение движения автомобиля по траектории. (Применять формулы (71) здесь нельзя, так как при равиоперемениом движении величина скорости пропорциональна времени, а в данной задаче она пропорциональна квадрату времени.)
В условии дано

υ=bt 2 .

Найдем коэффициент пропорциональности

Выражая скорость по (53) и разделяя переменные, получим

откуда, интегрируя, получаем

Постоянную C определим из начальных данных: в начальное мгновение (t = 0) автомобиль не прошел еще никакого расстояния, а потому C = 0. Дважды дифференцируя по времени полученное уравнение, найдем касательное ускорение

или в конце 20-й секунды

Скорость в конце 20-й секунды была 30 м/сек, и по (74)

Полное ускорение в конце 20-й секунды было

Чтобы определить расстояние, пройденное автомобилем за 20 сек, положим в уравнении движения t = 20 сек:

Ответ. а = 3,75 м/сек 2 , s = 200 м.

• Основные законы динамики
• Колебания материальной точки
• Количество движения
• Момент количества движения
• Приведение системы сил к данной точке
• Система сил на плоскости
• Естественный и векторный способы определения движения точки
• Координатный способ определения движения точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.Скачать

Сформулировать уравнения движения частицы массы m

• Реферат.Справочник
• Контрольные работы по физике
• Сформулировать уравнения движения частицы массы m

Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам, а также промокод на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.

Условие

Сформулировать уравнения движения частицы массы m: а) в проекциях на оси x, y, z декартовой системы координат; б) в проекциях на направления касательной и нормали к траектории. Консервативна ли сила F=axex-byey+czez? В случае положительного ответа найти потенциальную энергию U (x, y, z). Дано: F=axex-byey+czez? Найти: U (x, y, z) = ?

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.Скачать

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

md2xdt2=Fxmd2ydt2=Fymdvzdt=Fzб) Fτ=mdvτdtFn=mv2ρFb=0 Сила F является консервативной (потенциальной), U=ax22+by22+cz22+C

Решение

Для материальной точки (частицы) с постоянной массой m второй закон Ньютона в векторной форме имеет вид mω=F, (1)
где ω – ускорение материальной точки,
F – равнодействующая сил, приложенных к ней.
а) В проекциях на оси декартовой прямоугольной системы координат в пространстве уравнение (1) равносильно, например, такой системе уравнений: mωx=Fxmωy=Fymωz=Fz.
При этом ωx=dvxdt=d2xdt2, ωy=dvydt=d2ydt2, ωz=dvzdt=d2zdt2 =>: md2xdt2=Fxmd2ydt2=Fymdvzdt=Fz
б) В проекциях на оси естественного координатного триэдра (касательная, главная нормаль, бинормаль к траектории в текущем положении материальной точки) уравнение (1) равносильно такой системе уравнений:
mωτ=Fτmωn=Fnmωb=Fb .
При этом ωτ=dvτdt, ωn=v2ρ, ωb=0, где — радиус кривизны траектории.
Fτ=mdvτdtFn=mv2ρFb=0
Рассмотрим силу F=axex-byey+czez
Обозначим P = ax, Q = by, R = cz

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

и получи доступ ко всей экосистеме Автор24

.
При этом ωτ=dvτdt, ωn=v2ρ, ωb=0, где — радиус кривизны траектории.
Fτ=mdvτdtFn=mv2ρFb=0
Рассмотрим силу F=axex-byey+czez
Обозначим P = ax, Q = by, R = cz

Оплатите контрольную работу или закажите уникальную работу на похожую тему

🎬 Видео

Касательная и нормаль к кривойСкачать

Способы описания движения. Траектория. Путь. ПеремещениеСкачать

Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать

УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХСкачать

Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать

Кинематика точки Задание К1Скачать

Уравнение касательнойСкачать

УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИСкачать

Физика - уравнения равноускоренного движенияСкачать