Уравнение для потенциала скорости несжимаемой жидкости

Естественно, что при решении задач гидромеханики возникает необходимость найти функцию потенциала скорости φ(x¸y¸z), если это принципиально возможно. Для этого необходимо иметь уравнение, решив которое, возможно найти потенциал скорости. Для получения этого уравнения вспомним, что согласно уравнению неразрывности в каждой точке потока несжимаемой жидкости выполняется

(9.8)

Подставляя в (9.8) выражения для U_x, U_y, U_z из (9.7), получим (в декартовых координатах)

(9.9)

Это уравнение называется уравнением Лапласа. Таким образом, функция φ(x¸y¸z) удовлетворяет уравнению Лапласа. В случае двумерного (в плоскости XOY) течения несжимаемой жидкости уравнение (9.9) принимает вид

(9.10)

Уравнение (9.9) представляет собой линейное однородное уравнение в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами; этому уравнению должен удовлетворять потенциал скорости любого потенциального течения. Чтобы найти потенциал φ(x¸y¸z) для конкретного потока, необходимо задать границы течения и условия на них. Одним из физически очевидных условий на границе тела (или на границе потока) является непроницаемость этих границ для жидкости, т.е. нормальная составляющая скорости на границе равна нулю. Составляющая скорости по нормали равна

а само условие на границе имеет вид

Именно видом границы и определяется функция φ(x¸y¸z). Решив уравнение Лапласа с заданными граничными условиями и определив функцию φ(x¸y¸z), проекции скорости U_x, U_y, U_z находят простым дифференцированием.

При решении задач, связанных с потенциальными течениями, может быть применён следующий алгоритм:

1. Задаётся граница (на плоскости – кривые или ломаные линии) области течения.

2. Определяются условия на границе для функции потенциала скорости φ(x¸y¸z).

3. Находится решение уравнения Лапласа для потенциала скорости φ(x¸y¸z), удовлетворяющее всем условиям на заданной границе.

В дальнейшем, зная U_x, U_y,U_z , возможно определить величину и направление вектора скорости в любой точке потока.

Задача 9.3.Можно ли рассматривать функцию в качестве потенциала скорости некоторого плоского течения несжимаемой жидкости (a-постоянная, имеющая размерность )?

Задача 9.4. Вектор скорости плоского потока задан в общем виде так

где a – постоянная, имеющая размерность . Возможно ли такое течение? Является ли оно потенциальным? Если ответы положительны, найти потенциал скорости φ(x¸y).

Решение. Если составляющие скорости заданного течения

удовлетворяют уравнению неразрывности, которое должно выполняться в каждой точке, то существование такого течения принципиально возможно. Уравнение неразрывности для плоского течения имеет вид

В данном случае частные производные равны

и уравнение неразрывности принимает вид , т.е. ответ на первый вопрос положительный и течение с заданным вектором скорости существует. Для проверки, является ли течение потенциальным, необходимо найти величины ω_x, ω_y, ω_z , вычислив определитель (9.3). Подставляя в (9.5) составляющие скорости из условия задачи, получим

т.е. заданное течение потенциальное и имеет смысл искать функцию потенциала скорости φ(x¸y). По определению из (9.7)

Из этих равенств потенциал φ(x¸y) определяется интегрированием

где A(y), B(x) – произвольные функции; С₁, С₂ – произвольные постоянные.

Подставляя значения φ(x¸y) в уравнение Лапласа (9.10), окончательно имеем

(A(y)=B(x)=0).

Пример 9.1. Рассмотрим простейший пример потенциального потока — плоский поток жидкости течёт равномерно и прямолинейно вдоль оси X со скоростью U₀, рис. 9.1.

Очевидно, что проекции скорости следующие

В данном случае движение потенциальное, так как Уравнение Лапласа удовлетворяется. Из выражений для проекций скорости следует, что потенциал φ(x¸y) зависит только от x, поэтому .

Линии равного потенциала (эквипотенциальные линии) можно найти из выражения или .Эти линии показаны отрезками , , на рис. 9.2.

Видео:Закон БернуллиСкачать

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА. Учебное пособие с указаниями к решению задач

Лидия Ермолинская 4 лет назад Просмотров:

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РЫБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П.А. СОЛОВЬЕВА» КАФЕДРА ОБЩЕЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ О.А. Евдокимов, С.В. Веретенников МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА Учебное пособие с указаниями к решению задач ЧАСТЬ ГИДРОГАЗОДИНАМИКА Под общей редакцией д.т.н., профессора Ш.А. Пиралишвили Рыбинск 07 г.

2 УДК 53, 533 В учебном пособии рассмотрены основные теоретические и практические вопросы механики жидкости и газа. Первую части пособия составляют задачи динамики сжимаемых сред, а именно кинематика, одномерные течения, различные воздействия на поток газа, скачки уплотнения, теория пограничного слоя, расчет диффузора сопла и эжектора, теория струйных течений. В каждом разделе представлены краткие теоретические сведения, поясняющие рисунки и выводы основных уравнений и законов, приведены примеры решения задач, а также задачи для самостоятельного решения. В пособии сведены задачи, составленные авторами, и задачи из известных литературных источников. В приложении приведены некоторые справочные материалы к решению практических задач: таблицы основных газодинамических функций, диаграммы расчета скачков уплотнения, параметры стандартной атмосферы и др. Пособие предназначено для студентов технических специальностей и аспирантов. Оно также будет полезно специалистам, работающим на соответствующих предприятиях авиационного и энергетического двигателестроения. РЕЦЕНЗЕНТЫ: кафедра промышленной теплоэнергетики ФГБОУ ВО «Липецкий государственный технический университет»; Эксперт конструкторского отдела турбин ПАО «НПО «Сатурн», канд. техн. наук С.М. Пиотух.

3 3 СОДЕРЖАНИЕ. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Основные понятия кинематики сплошной среды Способы задания положения и движения частиц сплошной среды Локальная и конвективная составляющие ускорения. Полное ускорение Вихрь, вихревая линия, вихревая трубка Потенциал поля. Циркуляция скорости Примеры решения задач Задачи для самостоятельного решения ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Уравнение неразрывности Уравнение движения Уравнение энергии Уравнение Бернулли для адиабатного движения газа Числа Маха и λ Реактивная тяга Газодинамические функции одномерного изоэнтропного потока Примеры решения задач Задачи для самостоятельного решения ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА С ВОЗДЕЙСТВИЯМИ РАЗЛИЧНОГО РОДА Одномерное течение идеального газа с воздействиями различного рода Сопло Лаваля Расходное сопло Механическое сопло Тепловое сопло Движение газа при наличии трения Примеры решения задач Задачи для самостоятельного решения СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ Прямой скачок уплотнения Ударная адиабата Гюгонио Изменение параметров газа в прямом скачке уплотнения Косой скачок уплотнения. 5

4 Диаграмма расчета скачков уплотнения Примеры решения задач Задачи для самостоятельного решения ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Основные понятия и уравнения пограничного слоя Отрыв пограничного слоя Условные толщины пограничного слоя Расчет ламинарного и турбулентного пограничных слоев Примеры решения задач Задачи для самостоятельного решения РАСЧЕТ СОПЛА, ДИФФУЗОРА, ЭЖЕКТОРА Расчет сопротивления диффузора и сопла Расчет струйного эжектора Вихревые эжекторы Примеры решения задач Задачи для самостоятельного решения СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ Основные понятия теории струйных течений Методика расчета осесимметричной затопленной струи Примеры решения задач Задачи для самостоятельного решения РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ РГР. Расчет сверхзвукового сопла Лаваля РГР. Расчет осесимметричной затопленной струи КУРСОВАЯ РАБОТА ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. 6 ПРИЛОЖЕНИЕ А. ПРИЛОЖЕНИЕ Б ПРИЛОЖЕНИЕ В ПРИЛОЖЕНИЕ Г СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ. 37

5 5 ВВЕДЕНИЕ Все материальные тела, независимо от их агрегатного состояния: твердого (кристаллического или аморфного), жидкого или газообразного, обладают внутренней молекулярной (атомной) структурой с характерным внутренним тепловым, микроскопическим движением молекул, являющимся причиной наблюдаемых на практике макроскопических процессов. В отличие от кинетической теории вещества механика жидкости и газа занимается только этой макроскопической моделью, представляющей жидкости и газы как некоторую сплошную текучую среду с непрерывным (строго говоря, кусочно-непрерывным) распределением физических величин, определяющих ее движение и состояние. Предметом механики жидкости и газа служит модель сплошной деформируемой среды, обладающей, в отличие от упругого тела, неограниченной деформируемостью текучестью. Это свойство выражается прямой зависимостью в такой среде касательных напряжений от скорости деформации сдвига. Равенство нулю скорости деформации сдвига, например, при покое среды, означает и отсутствие в ней касательных напряжений, но пропорциональность этих двух величин имеет место только в частном случае так называемых ньютоновских жидкостей. Существуют жидкости с аномальной текучестью, у которых одновременное равенство нулю скоростей сдвига и касательных напряжений может не осуществляться. Этими и другими неньютоновскими жидкостями занимается общая наука о текучести сред реология. Модели сплошной среды приписываются феноменологические свойства: плотность, силовая напряженность, деформируемость, вязкость, тепло- и электропроводность, намагничиваемость и др., сущность которых на молекулярном уровне не рассматривается; эти вопросы предмет специальных разделов физики. Применительно к среде в целом и к отдельным ее частям постулируется возможность применения общих законов механики: сохранения массы, импульса, момента импульса, механической и общей термодинамической энергии. Из них выводятся основные дифференциальные уравнения механики жидкости и газа и следующие из них общие интегралы или теоремы, к которым добавляются феноменологические законы: уравнение состояния, закон Ньютона для вязкости, закон Фурье для теплопроводности, Фика для диффузии и другие.

6 6 В первой части учебного пособия рассмотрены закономерности механики сжимаемых сплошных сред. Его целью является совершенствование навыков расчета газовых течений в элементах энергетической техники, авиационных и ракетно-космических двигателях. Материал пособия составляют 7 основных разделов:. Кинематика сплошной среды;. Основные уравнения одномерного течения газа; 3. Одномерное течение идеального газа с воздействиями различного рода; 4. Скачки уплотнения; 5. Теория пограничного слоя; 6. Расчет сопла, диффузора, эжектора; 7. Струйные течения. В 8 и 9-м разделах приведены варианты расчетно-графических и курсовых работ по дисциплине, выполняемых студентами в процессе обучения. При решении задач и выполнении расчетно-графических и курсовых работ необходимо руководствоваться следующими требованиями: ) условие задачи либо формулировка задания должны быть полностью записаны в пояснительной записке; ) Оформление задач для самостоятельного решения должно обязательно содержать краткое условие, решение и ответ и, при необходимости, пояснено выводами ссылками на литературу и рисунками; 3) Пояснительная записка к расчетно-графической или курсовой работе должна обязательно содержать расчетную схему, методику расчета и решение, необходимые графические зависимости и поясняющие рисунки, основные выводы по работе, список используемых литературных источников. В Приложениях к пособию приведены некоторые справочные материалы, которые будут полезны обучающимся: таблицы основных газодинамических функций для k =,4 и k =,3 и их графическая взаимосвязь; диаграммы расчета скачков уплотнения; параметры стандартной атмосферы при различных значениях высоты.

7 7. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ.. Основные понятия кинематики сплошной среды Параметры течения сплошной среды в общем случае являются функциями координат и времени u, v, w, p, ρ, T = f(x, y, z, t). Линией тока называется кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной (рисунок., а). Дифференциальное уравнение линии тока имеет вид dx dy dz. (.) u v w Уравнение траектории, описывающей совокупность последовательных положений элементарной частицы сплошной среды в последовательные моменты времени, записывается как dx dy dz dt. (.) u v w Очевидно, что для стационарного движения траектория и линия тока совпадают. Совокупность линий тока образующих замкнутую поверхность называют трубкой тока (рисунок., б). Жидкость, движущуюся внутри трубки тока, называют элементарной струйкой. а) б) Рисунок. Линия тока (а) и трубка тока (б) Полная скорость течения потока сплошной среды определяется выражением V u v w (.3) или в векторном виде dr V, (.4) dt где r радиус-вектор, характеризующий положение частицы сплошной среды, r f ( x, y, z ). Ускорение частиц жидкости и газа определяется путем дифференцирования скорости движения по времени

8 8 или где dv a (.5) dt du dv dw ax, ay, az, (.6) dt dt dt a, a, a проекции вектора ускорения на оси декартовой системы координат. x y z.. Способы задания положения и движения частиц сплошной среды В кинематике существуют два способа задания положения и движения сплошной среды. Способ Лагранжа предусматривает задание текущих значений координат частиц среды (x, y, z), как функций времени. Необходимость индивидуализации этих частиц требует задания значений координат каждой из них в начальный момент времени (a, b, c). Таким образом, кинематическое уравнение движения в рамках рассматриваемого способа можно записать в виде x f ( a, b, c, t) y f ( a, b, c, t) (.7) z f ( a, b, c, t) или r f ( a, b, c, t). (.8) Способ Эйлера требует задания не отдельных частиц жидкости или газа, а непосредственно поля вектора скорости с проекциями u f ( x, y, z, t) v f ( x, y, z, t) (.9) w f ( x, y, z, t) или V f ( x, y, z, t). (.0) Важно понимать, что при Лагранжевом задании координаты x, y, z относятся к движущимся частицам среды, а в случае использования способа Эйлера к точкам пространства, в которых в конкретный момент времени находятся те или иные движущиеся частицы.

9 9.3. Локальная и конвективная составляющие ускорения. Полное ускорение Применяя два рассмотренных способа задания к определению ускорения частицы жидкости или газа, можно записать, что для способа Лагранжа d a r( a, b, c, t), (.) dt а для способа Эйлера d a V ( r, t). (.) dt Видно, что для вычисления величины ускорения необходимо учитывать два фактора, обуславливающие изменение поля скорости с течением времени: локальное (местное) изменение скорости во времени, возникающее вследствие нестационарности поля; конвективное изменение скорости, возникающее за счет перемещения частиц в неоднородном поле. Локальная составляющая ускорения определяется индивидуальной производной скорости по времени V aлок. (.3) t Конвективная составляющая ускорения определяется отношением приращения вектора скорости частицы, обусловленного лишь ее перемещением (конвекцией) в соседнюю точку пространства в «замороженном» поле скорости (t = const), к соответствующему интервалу времени V S aконв ( V ) V. (.4) S t Тогда полное ускорение частицы жидкости в поле скорости будет складываться dv V a aлок aконв ( V ) V (.5) dt t или

10 0 a a a x y z du dt dv dt dw dt u u u u u v w t x y z v v v v u v w t x y z w w w w u v w t x y z. (.6) Из приведенных зависимостей видно, что локальное ускорение равно нулю, если поле скорости стационарно, конвективное ускорение равно нулю, если поле скорости однородно..4. Вихрь, вихревая линия, вихревая трубка В общем случае каждой точке поля скорости движущейся среды сопоставляются два вектора: V вектор скорости поступательного движения; вектор скорости вращательного движения. В кинематике жидкости и газа рассматриваемые векторы связаны между собой соотношением i j k ω rot V ( V ) x y z (.7) u v w w v w u v u ( ) i ( ) j ( ) k. y z x z x y Каждому из отмеченных векторов соответствуют свои векторные линии: вектору скорости, как было сказано выше, линии тока; вектору скорости вращательного движения вихревые линии. Если в пространстве, заполненном жидкостью или газом, выделить замкнутый контур, через каждую точку которого провести вихревую линию, ограниченная ими область среды будет называться вихревой трубкой..5. Потенциал поля. Циркуляция скорости В случае если rotv 0, а, следовательно, и ω 0, то поле скорости является безвихревым. Такой поток называется потенциальным. В потенциальном поле существует скалярная функция φ, связанная с вектором скорости зависимостью

11 V gradφ. (.8) Эта функция называется потенциалом поля. Зная потенциал скорости для плоского (двухмерного) течения, можно определить проекции вектора скорости из следующих соотношений φ u, x (.9) φ v. y (.0) Уравнение неразрывности для потенциального движения несжимаемой жидкости обращается в уравнение Лапласа φ φ φ φ= 0. x y z (.) Циркуляцией скорости по некоторому контуру C называется криволинейный интеграл вида или = VdS (.) C = udx vdy wdz (.3) C В потенциальном поле скорости циркуляция вдоль некоторой дуги AB равна =φ φ, (.4) то есть она равна разности значений потенциалов скорости в конечных точках кривой. Поэтому циркуляция по замкнутому контуру равна нулю, если внутри контура нет особых точек, например, источник или стоков интенсивностью..6. Примеры решения задач x y Задача. Поле скорости газа задано проекциями u, v, w 0. t t Найдите уравнение линии тока, а также траектории частицы, которая проходит в момент времени t = 0 через точку пространства с координатами x =, y = 4. Решение. Запишем уравнение траектории с учетом заданных в условии проекций вектора скорости A B

12 dx ( t) dy ( t) dt. x y Рассмотрим приведенное выражение в виде системы из двух уравнений, каждое из которых решим по отдельности. а) Разделим переменные и продифференцируем уравнение dx ( t ) dt, dx dt, x x t ln x ln( t) C, где C константа интегрирования, ее можно определить из начальных условий задачи, приведенных в условии: при t = 0 x =, тогда ln ln C, C ln. Подставляя найденное значение константы интегрирования C в полученное после интегрирования выражение, получим ln x ln[( t)], x ( t). б) Аналогично решаем второе уравнение траектории для координаты y. dy ( t ) dt, dy dt, y y t ln y ln( t ) C, ln 4 ln C, C ln, ln y ln[( t )], y ( t). Сопоставляя результаты решений для уравнений а) и б) найдем уравнение траектории частицы в координатной плоскости x, y y y x, x. Очевидно, что при заданных значениях проекций вектора скорости частица движется по траектории параболы. Для решения второй части задачи запишем уравнение линии тока с учетом заданных проекций вектора скорости u и v

13 3 dx ( t) dy ( t), x y dx dy. x y Решая записанное уравнение получим ln x ln y lnc3, x C3 y, x y C x Ответ: уравнение траектории y x ; уравнение линии тока y. C 3 Задача. Поле скорости газа задано проекциями x y 3z u, v, w. Определите ускорение частицы, находящейся в t t t момент времени t = с в точке пространства с координатами x =, y = 9, z = 3. Решение. Поскольку поле скорости задано в виде проекций u, v, w, наиболее простым способом определения величины ускорения является нахождение проекций вектора a и применение выражения a a a a. 3. x y z Известно, что ускорение частицы сплошной среды в кинематике определяется двумя составляющими локальной и конвективной. Применительно к проекциям вектора ускорения и с учетом заданных проекций вектора скорости можно записать a x du u u u u ax u v w dt t x y z dv v v v v ay u v w, dt t x y z dw w w w w az u v w dt t x y z x x y 3z 0 0 0, ( t) ( t) t t

14 4 y x 4y 3z y ay 0 0 ( t) t ( t) t ( t), 3z x y 9z 6z az 0 0 ( t) t t ( t) ( t). Подставляя полученные выражения проекций вектора ускорения в уравнение для модуля вектора a, с учетом заданных числовых значений времени и координат, получим y 6z a ( t) ( t) 9 9 Ответ: a коорд/с. коорд/с. Задача 3. Может ли поле скорости жидкости обладать потенциалом φ 4 x y? Решение. Потенциал скорости плоского потока несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа φ φ φ= 0. x y Проверим выполнение этого уравнения для заданного потенциала φ φ 8, x y 8, φ= Ответ: поле скорости несжимаемой жидкости может иметь заданный потенциал..7. Задачи для самостоятельного решения.. Поле скорости газа задано проекциями u at by, v bx at, w 0. Найдите уравнение линии тока. Поле скорости газа задано проекциями u y ( x y ), v x ( x y ), w 0. Найдите уравнение линии тока..3. Потенциал скорости плоского течения идеальной несжимаемой жидкости задан функцией φ ax by. Определите компоненты скорости u и v и уравнение линии тока.

15 5.4. Потенциал скорости плоского течения идеальной несжимаемой жидкости задан функцией φ x ( x y ). Найти функцию тока этого течения ψ x, y..5. Движение несжимаемой жидкости задано проекциями скоростей v 3y, w z. Установить вид выражения для проекции скорости на ось x, если в начале координат u..6. Может ли поле скоростей несжимаемой жидкости обладать x потенциалом φ? Если движение потенциальное, найдите x y выражения проекций скорости и постройте соответствующие линии тока..7. Покажите, что если поле задано проекциями скоростей u x t, v y t, то линии тока представляют семейство гипербол. Получите уравнение траектории, проходящей в момент t 0 через точку с координатами x, y. Постройте линию тока и траекторию..8. Будет ли поле скорости, заданное проекциями Ax Ay u, v, w 0 x y x y, где A некоторая константа, удовлетворять условию неразрывности несжимаемой жидкости?.9. Составляющая скорости плоского потока несжимаемой жидкости задана уравнением u x x 4 y. Найдите составляющую скорости v, удовлетворяющую уравнению неразрывности..0. Найдите уравнение линии тока для поля скорости, заданного проекциями u a, v b, w c, где a, b, c некоторые константы. Найдите уравнение линии тока и определите характер движения потока, если поле скорости задано проекциями Q x Q y Q z u,, 4 v w n 4 n 4 n x y z x y z, где x y z объемные расход Q и показатель степени n постоянные величины. Найдите уравнение линии тока и определите характер движения потока, заданного проекциями скорости u x x y, y v, w 0 x y, где циркуляция const.

16 6.3. Найдите уравнение линии тока, определите характер движения и величину скорости потока, поле скорости которого задано проекциями Q x, Q y u v x y, w x y 0, где объемный расход Q const..4. Источник и сток равной интенсивности 3 Q 0 м /с на м расположены на оси x (источник в точке x, а сток в точке x ). Определите скорость в начале координат, а также в точках x 0,5, y 0 и x 0,5, y Для условия задачи.4 найдите координаты точки на оси x, где скорость потока равна нулю и где скорость максимальна..6. Для условия задачи.4 найдите координату вдоль оси y, где скорость потока максимальна и характер изменения скорости вдоль оси y (при x 0)..7. Получите выражение для проекций локальных ускорений жидкой x ln sint, y sin t, z 0. частицы, если уравнения движения имеют вид.8. Определите ускорение жидкой частицы, если поле задано u b cos bt v b sin bt, w 0. проекциями скорости,.9. Определите ускорение жидкой частицы в точке пространства с координатами x 3, y, z, если поле скорости задано проекциями u x v y w z.0. Проверьте возможность существования движения несжимаемой 3 жидкости для поля, заданного проекциями скорости u 6( x y), v y z, 3. w x y 4z. Определите скорость вращения жидкой частицы в точке пространства с координатами x 3, y, z 0, если поле скорости задано проекциями u xy, v 4 yz, w xz.. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА.. Уравнение неразрывности Закон сохранения массы обычно называют уравнением неразрывности, которое в дифференциальной форме имеет вид dρ ρ div( V ) 0 dt. (.)

17 7 Для различных типов течений уравнение неразрывности принимает следующие формы: для установившегося (стационарного) движения сжимаемой жидкости div(ρ V ) 0 (.) или d (ρ u) d(ρ v) d(ρ w) 0; (.3) dx dy dz для несжимаемой жидкости (ρ = const) div( V ) 0 (.4) или du dv dw 0. (.5) dx dy dz Для решения многих практических задач уравнение неразрывности необходимо записывать в такой форме, которая устанавливает связь между скоростью жидкости и площадью поперечного сечения элементарной струйки. В этом случае поток конечных размеров рассматривается как совокупность бесконечно большого числа элементарных струек. Тогда уравнение неразрывности для потока сжимаемой жидкости G ρvf const. (.6) Это уравнение показывает, что массовый расход жидкости G вдоль потока неизменен. Для несжимаемой жидкости уравнение (.6) принимает более простой вид QV VF const, (.7) где Q V объемный расход жидкости. Уравнение движения Уравнение движения выводится с помощью закона сохранения импульса, примененного к некоторому объему сплошной движущейся среды. Для конечного объема жидкости с поверхностью S уравнение движения имеет вид dv ρ ρf divp, (.8) dt где P тензор напряжений, F вектор массовых сил, действующих на единицу массы выделенного объема жидкости.

18 8 В проекциях на оси координат уравнение (.8) можно переписать du p p xx yx p zx ρ ρfx dt x y z d pxy p yy p zy ρ ρfy. (.9) dt x y z dw p p xz yz p zz ρ ρfz dt x y z Уравнения системы (.9), выражающие закон сохранения импульса, называются дифференциальными уравнениями движения в напряжениях или уравнениями Эйлера. В случае движения реальной (вязкой) сплошной среды, ее динамика наиболее часто описывается уравнениями Навье-Стокса dv F gradp ν V. (.0) dt ρ.3. Уравнение энергии Третье основное уравнение механики жидкости и газа представляет запись закона сохранения энергии. При движении жидкости поверхностные и массовые силы совершают работу, кроме этого, к ней может быть подведена теплота. Вследствие этого изменяются как кинетическая, так и внутренняя энергия жидкости. В дифференциальной форме уравнение энергии может быть записано в виде p V dq d dl dlтр du d gdz ρ, (.) где q тепло, подводимое к единице массы газа, l производимая газом удельная техническая работа, l тр удельная работа сил трения, gdz изменение удельной потенциальной энергии..4. Уравнение Бернулли для адиабатного движения газа В газовой динамике часто пользуются упрощенной формой уравнения энергии, соответствующей режиму, когда отсутствует техническая работа

19 9 ( dl 0), нет гидравлических потерь ( dlтр 0) и запас потенциальной энергии не изменяется ( dz 0 ). В этом случае механическая форма уравнения энергии (уравнение Бернулли) имеет вид p V d d 0 ρ (.) или dp V const. (.3) ρ В случае несжимаемой жидкости V p ρ const, (.4) ρv где р статическое давление; динамическое давление. Сумма статического и динамического давления дает полное давление р или давление торможения потока. Запишем уравнение Бернулли при обратимом адиабатном изменении состояния для баротропного течения газа, т.е. когда p const C. (.5) ρ k После дифференцирования уравнения (.5) получаем k dp Ckρ d или dp k Ckρ dρ. ρ Интегрируя это выражение, найдем dp k k C ρ. ρ k Подставив значение константы C из выражения (.5), получим dp k p. ρ k ρ С учетом этого выражения уравнение (.3) примет вид k p V const. (.6) k ρ ρ

20 0 Воспользуемся уравнением состояния идеального газа в виде p ρrt, (.7) тогда уравнение Бернулли можно записать в виде или k V RT k p V RT const (.8) const, (.9) ρ k откуда, разделив все слагаемые уравнения на g, получим p V RT const. ρg g k g RT В записанном уравнении слагаемое часто называют тепловым k g напором. Таким образом, при адиабатном движении идеального газа сумма p пьезометрического ρ g, скоростного V g и теплового RT напоров есть k g величина постоянная вдоль каждой элементарной струйки. Запишем уравнения (.6) и (.9) для двух различных сечений трубки тока k p V k p V k ρ k ρ ; p V RT p V RT ρ k ρ k. Если воспользоваться выражением для энтальпии потока i c T и учесть, что теплоемкость с р определяется выражением kr c p, k тогда интеграл Бернулли (.8) можно представить в виде V V cpt cpt cpt const (.0) p или V V i i i const. (.)

21 В полученные соотношения входит полная энтальпия или энтальпия торможения потока i c T, величина которой для изоэнтропного течения p остается постоянной. Полная температура T это такая температура, которую имел бы газовый поток, если бы вся его кинетическая энергия перешла во внутреннюю. Такое возможно только при полном торможении потока V 0, поэтому T также называют температурой торможения. Аналогично можно ввести понятия полных давления и плотности потока p и ρ, которые соответствуют газу в заторможенном состоянии. Необходимо отметить, что для параметров торможения газового потока также выполняется уравнение состояния p ρ RT. (.).5. Числа Маха и λ Важной характеристикой в теории течения сжимаемой среды является скорость звука. Скоростью звука называют скорость распространения слабых возмущений в упругой среде. Формула для определения скорости звука имеет вид dp a. dρ При распространении звука без отвода или подвода тепла, т.е. при адиабатном процессе, получим k ρ k dp d C p a kcρ k. dρ dρ ρ Учитывая уравнение состояния (.5) получаем, что адиабатная скорость звука равна то a krt. (.3) Если рассматривать изотермический процесс, при котором p C, ρ dp p a C. dρ ρ

22 В действительных газодинамических процессах имеет место адиабатная скорость звука, так как тепло, выделяемое при сжатии газа звуковой волной, не успевает перейти в соседние слои газа. Используя выражение для скорости звука (.3), уравнение (.8) можно переписать в виде a V a V const k k. (.4) Отношение скорости потока к местной скорости звука является важной характеристикой в теории течения сжимаемой жидкости и носит название числа Маха: V M. (.5) a Если M, то поток называют дозвуковым, если M, то сверхзвуковым, а при M звуковым. Сечение, в котором скорость потока равна местной скорости звука называется критическим и все параметры потока в этом случае также являются критическими. В газовой динамике наряду с числом Маха используют безразмерную (приведенную) скорость λ, которую также часто называют скоростным коэффициентом. Число λ равно отношению скорости потока в данной точке к величине критической скорости, общей для всего изоэнтропного потока, то есть V λ. (.6) a Критической скоростью называется такая скорость течения газа, которая равна местной скорости звука. Она связано с температурой торможения следующим соотношением кр k aкр RT. (.7) k Между числами M и λ существует однозначная связь в виде к М λ. (.8) к М

23 3.6. Реактивная тяга Полет реактивного аппарата осуществляется под действием реактивной силы, или, как ее часто называют, тяги, которую сообщает ему струя выходящих газов. На расчетном режиме работы реактивного двигателя давление в выхлопной струе равно давлению окружающего воздуха. В этом случае тяга равна изменению импульса газа, прошедшего через двигатель: PG V V GV, (.9) в а н т а где Р реактивная тяга, G в секундный расход воздуха, втекающий в контур, G т расход топлива, который подается в двигатель, V н скорость полета, V а средняя скорость истечения. В воздушно-реактивных двигателях второе слагаемое правой части достаточно мало и им пренебрегают, тогда PG V V. (.30) в а н Тяга жидкостного реактивного двигателя, в котором не используется атмосферный воздух, определяется для расчетного режима по формуле P G G V, (.3) т о a где G о массовый расход окислителя (кислорода)..7. Газодинамические функции одномерного изоэнтропного потока Рассмотрим основные из применяющихся в настоящее время газодинамических функций: T k τλ λ, (.3) T k p k πλ λ p k ρ k ελ λ ρ k k k k, (.33), (.34)

24 4 q k k Fкр k k λ λ λ F k, (.35) k k, (.36) k q λ λ yλ π λ λ k z λ λ. (.37) λ Расчет газовых потоков при помощи таблиц газодинамических функций получил широкое распространение и является в настоящее время общепринятым. При таком расчете более четко выявляются основные качественные закономерности течения и связи между параметрами газового потока..8. Примеры решения задач Задача. Несжимаемая жидкость плотностью ρ течет по горизонтальной трубе переменной площади поперечного сечения. Разность давлений р р жидкости между сечениями площадями F и F измеряется с помощью дифференциального манометра. Найти массовый расход жидкости (трением пренебречь, течение считать одномерным). Решение. Запишем уравнение Бернулли для двух указанных сечений V V p ρ p ρ. Уравнение расхода можно записать в виде ρvf ρv F, тогда, с учетом несжимаемости жидкости (ρ V F V. F const ), получим Подставляем последнее выражение в уравнение Бернулли V F p p V, F V F ρ F F тогда массовый расход жидкости равен p p,

25 Проверяем размерность 5 G ρv F F F ρ F F p p 3 / / / 4 3 кг кг/м Па кг Н кг кг м кг =м м =м = =. с м м м м с с Ответ: G F F ρ p p F F. Задача. В открытый бак большого размера налита вода, уровень которой поддерживается постоянным. На глубине h = 4 м, измеряемой от уровня воды, к баку присоединена горизонтальная труба длиной L = 8 м (с задвижкой на конце). В некоторый момент времени задвижка мгновенно открывается, и вода через трубу вытекает в атмосферу. Определите закон изменения скорости воды в трубе со временем. Найдите предельное значение скорости и время, в течение которого скорость в трубе достигнет 99% предельного значения. Течение считать одномерным, трением пренебречь. Решение. Запишем уравнение движения для контрольных сечений на входе в трубу и на выходе из нее ρ dv dt p L p а, V где p pa ρgh ρ статическое давление на входе в трубу, p a статическое давление на выходе из трубы. Подставляя второе выражение в первое, получим дифференциальное уравнение, описывающее изменение скорости в трубе со временем dv V gh. dt L L Проинтегрировав это уравнение при начальных условиях t 0 и V 0, находим gh V gh tg t. L Примечание: при интегрировании уравнения использовать формулу dx x arcctg C. x a a a.

26 6 При t получаем предельное значение скорости V V gh Время, по истечении которого отношение скоростей V V 0, 99, найдется из условия gh gh tg t 0,99 t,65 t 0,77 с. L L gh Ответ: V gh tgt ; V L gh ; t 0,77 с. Задача 3. Идеальная сжимаемая жидкость течет по трубе переменного сечения. Определить число Маха в точке, если в соседней точке площадь поперечного сечения трубы больше на 5%, а скорость потока больше на 8%. Течение считать одномерным изоэнтропным. Решение. Продифференцируем уравнение неразрывности (.6) df dv dρ ρvdf ρfdv V Fdρ 0 0 F V ρ. Запишем уравнение Бернулли для изоэнтропного потока в дифференциальной форме dp dρ VdV 0 ; 0 ρ ρ dp dv V dρ V. Учитывая, что скорость звука определяется выражением a dp, а dρ V число Маха M, последнее выражение можно привести к виду a d ρ ρ 0 ρ M dv d M dv V ρ V. Исключим из уравнения неразрывности плотность df dv dv df dv M 0 ( M ). F V V F V Переходя от дифференциалов к конечным приращениям, можно записать Проведем расчет F V F F M M F V V V ( ).

27 7 0,05 M,75. 0,08 Ответ: М =,75. Задача 4. Воздух течет по трубе, площадь поперечного сечения которой меняется по длине. В некотором сечении площадью F число Маха M 0,6. В другом сечении площадью F число Маха M 0,85. Определите отношение площадей F F. Считать, что течение одномерное изоэнтропийное. Определить также отношение скорости V V и температуры T T потока в этих сечениях. Решение. Решим задачу с помощью газодинамической функции приведенного расхода F кр q. F По таблицам газодинамических функций находим при M 0,6 значение q 0,845 ; при M 0,85 значение q 0,9797. Тогда получаем отношение площадей F F q 0, 845 0, q 0, 9797 Для определения отношения скорости и температуры используем газодинамические функции V T λ и τ. a T кр По таблицам газодинамических функций находим при M 0,6 и при M 0,85 значения λ 0,4030; τ 0,938; λ 0,7686; τ 0,8737. Тогда отношение скорости V λ 0, 7686,907 V λ 0, 4030 ; отношение температуры T τ 0,8737 0, 9366 T τ 0, 938. F Ответ: 0,8589 F ; V,907 V ; T 0, 9366 T.

28 8.9. Задачи для самостоятельного решения.. Вода вытекает из открытого бака большого объема в атмосферу через короткое сопло. Уровень воды в баке (над соплом) h = 3м поддерживается постоянным. Найти массовый расход воды через сопло, если площадь его выходного сечения F = 0 см. Вода вытекает из большого закрытого бака в атмосферу (давление р а = 0 5 Па) через сопло с выходной площадью F = 0 см. Высота воды в баке над соплом h = м. Над уровнем воды находится воздух, давление которого р = Па. Определить скорость истечения воды из сопла..3. Скорость воздуха V = 600 м/с, а температура Т = 450 К. Найти число Маха и безразмерную скорость..4. Теплоемкости воздуха при постоянном давлении и объеме равны C p = 04,4 Дж/(кг К) и C v = 737,4 Дж/(кг К), соответственно. Найдите скорость звука, если температура воздуха T = 500 К..5. Воздух движется со скоростью V = 00 м/с со статическими параметрами p = 0,5 0 5 Па и T = 300 К. Определите параметры изоэнтропного торможения p, T, ρ, скорость звука и критическую скорость..6. Заданы скорость V = 00 м/с, статические давление p =,5 0 5 Па и температура T = 573 К потока продуктов сгорания (k =,3). Определите давление, температуру и энтальпию торможения..7. Температура воздуха в баке большого объема Т = 500 К Температура воздуха в струе, вытекающей из бака, Т = 400 К. Определить скорость потока V в струе. Является ли она дозвуковой или сверхзвуковой?.8. Температура воздуха в баке Т = 500 К. Воздух вытекает из бака через сопло со скоростью в 3 раза меньшей теоретически возможной максимальной скорости истечения. Определить температуру Т воздуха в струе..9. Идеальная сжимаемая жидкость течет по трубе переменного сечения. Определить число Маха в точке, если в соседней точке скорость потока больше на 5%, а плотность жидкости меньше на 3,5%. Течение считать одномерным изоэнтропным..0. Найти динамическое давление потока воздуха, если число Маха М =, а статическое давление р = Па. Параметры изоэнтропного торможения воздуха перед суживающимся соплом р = Па, T = 600 К. Площадь выходного

29 9 сечения сопла F = м. Определите критический расход воздуха через сопло. При испытании компрессора в выходном его сечении, площадь которого F = 0, м, измерены статическое давление р = 4, 0 5 Па и температура торможения воздуха Т = 480 К. Определить полное давление воздуха, если его расход G = 50 кг/с..3. Как изменится расход газа через суживающееся сопло, если температура торможения перед ним увеличится на 5%, а давление торможения останется неизменным?.4. Воздух вытекает из большого бака через суживающееся сопло. Относительное давление за соплом равно π p p 0,8. Во сколько раз нужно повысить давление в баке p, чтобы расход увеличился в,3 раза, а температура воздуха в баке и давление за соплом оставались неизменными? Течение считать одномерным изоэнтропным..5. Как изменится массовый расход газа через суживающееся сопло, если давление торможения перед ним и статическое давление за ним увеличатся в два раза при той же температуре торможения..6. Давление изоэнтропного торможения перед суживающимся соплом p = 0 5 Па и давление за ним р = 0,6 0 5 Па. Во сколько раз изменится расход воздуха через сопло, если давление торможения перед ним возрастет до p =,5 0 5 Па, а давление за ним до р = 0 5 Па. Температура торможения поддерживается постоянной..7. Параметры торможения воздуха перед суживающимся соплом p = 0,8 МПа, T = 50 К. Определите критический расход если минимальное сечение сопла имеет диаметр d = 0,05 м..8. На входе в трубопровод с диаметром 00 мм поток воздуха имеет скорость 60 м/с, температуру 30 К и давление 0,45 МПа. Считая, что движение происходит без потерь, определить скорость потока в сечении, где площадь трубопровода в раза меньше, чем на входе, а также расход воздуха через трубопровод..9. Одномерный изоэнтропный поток течет по трубе переменного сечения. В двух сечениях известны значения λ = 0,9 и λ =,3. Найдите соотношения скорости, давления, температуры, плотности и площадей рассматриваемых сечений..0. Струя метана на срезе сопла форсунки имеет относительную скорость λ = и температуру T = 300 К. Рассчитайте значения скорости

30 30 звука, критической скорости и максимально возможной теоретической скорости истечения. Углекислый газ при температуре T = 88 К и давлении р =, Па течет по каналу диаметром d = 50 мм в ресивер неограниченной емкости с числом Маха M = 0,7. Определите расход углекислого газа и давление торможения потока. Отношение теплоемкостей считать равным C p /C v =,3. В трубу с движущимся газообразным водородом введена термопара, один спай которой измеряет температуру потока, а другой температуру стенки. Вторичный преобразователь зафиксировал разность температуры ΔT = 6 К. Считая, что температура стенки близка к температуре торможения, определите скорость движения водорода в трубе..3. Через коническое сопло с выходным диаметром 5 мм из неограниченной емкости с постоянным давлением p = 0 МПа и температурой T = 300 К вытекает гелий во внешнюю среду с нормальным атмосферным давлением. Определите скорость истечения, расход, температуру и давление на выходе из сопла. Принять k =,66, R = 080 Дж/(кг К)..4. Воздух вытекает через суживающееся сопло площадью 0,00 м. Параметры торможения p = Па, T = 480 К. Давление за соплом p = Па. Определите расход воздуха..5. На высоте H = 7 км число Маха полета самолета равно M = 0,8. Какой перепад давления покажет U-образный ртутный манометр, соединенный с насадком динамического напора, если внешние условия соответствуют стандартной атмосфере..6. Самолет летит на высоте H = 3000 м. Манометром зафиксировано избыточное давление Δp = 8900 Па. Считая внешние условия стандартными, определите скорость полета самолета и число Маха..7. На высоте H = 5 км скорость горизонтально летящего самолета равна 500 км/ч. Рассчитайте число Маха полета и температуру торможения..8. Определите скорость полета самолета и температуру торможения, если известно, что он летит на высоте H = 7000 м при λ =..9. Самолет с воздушно-реактивным двигателем летит со скоростью 900 км/ч, при этом через двигатель проходит G в = 0 кг/с воздуха, который выбрасывается через реактивное сопло на расчетном режиме со скоростью 700 м/с относительно полета самолета. Определите реактивную тягу, пренебрегая долей тяги, создаваемой расходом топлива.

31 3.30. Самолет с воздушно-реактивным двигателем летит со скоростью 960 км/ч, при этом через двигатель проходит G в = 0 кг/с воздуха, который выбрасывается через реактивное сопло на расчетном режиме со скоростью 70 м/с относительно полета самолета. Определите реактивную тягу, если суммарный коэффициент избытка воздуха равен α =, топливо авиационный керосин. 3. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА С ВОЗДЕЙСТВИЯМИ РАЗЛИЧНОГО РОДА 3.. Одномерное течение идеального газа с воздействиями различного рода. В технических устройствах на поток могут действовать силы трения, подвод теплоты, массы, импульса и т.п. Указанные воздействия вызывают изменения числа Маха, как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом потоке газа. Рассмотрим в общем виде влияние этих воздействий на скорость движения газа. Для простоты будем считать газ идеальным. Расход газа равен G ρ V F. Отсюда после дифференцирования и деления на G имеем: dg df dρ dv. (3.) G F ρ V Дифференцируя уравнение состояния для идеального газа ( p ρrt ), получаем dp R ρdt Tdρ или dp dρ R dt T ρ ρ. (3.) Сопоставление выражений (3.) и (3.) дает dp RdT RT dg df dv ρ G F V. (3.3) С другой стороны, из уравнения Бернулли в дифференциальной форме имеем: dp VdV dl dlтр, (3.4) ρ где l удельная техническая работа, l тр удельная работа трения.

32 3 Сопоставляя (3.3) и (3.4), а также освобождаясь от членов, содержащих плотность и давление, получим a dg df a dv RdT V dl dlтр 0. k G F k V (3.5) Здесь используется выражение для скорости звука ( a krt ). Слагаемое RdT можно исключить с помощью дифференциального уравнения энергии где V k dqнар di d dl RdT VdV dl, (3.6) k dq удельное количество теплоты, подводимое к газу извне, нар k di C pdt R dt удельная энтальпия. Подставляя (3.6) в (3.5), k приходим к соотношению, связывающему изменение скорости газового потока с внешними воздействиями (геометрическим, расходным, механическим, тепловым и трением): dv df dg k k M dl dq нар dl тр. (3.7) V F G a a a Это соотношение было установлено Л.А. Вулисом и получило название условия обращения воздействия. Особенность этого соотношения состоит в том, что знак его левой части изменяется на противоположный при переходе значения скорости через критическое. Рассмотрим раздельно каждое из четырех воздействий. При этом получим в дополнение к известному соплу Лаваля (геометрическое воздействие) еще три указанных Л.А. Вулисом способа перехода через скорость звука, т.е. расходное, механическое и тепловое сопла. 3.. Сопло Лаваля Геометрическое сопло (сопло Лаваля) представляет собой канал, в котором только за счет придания ему соответствующей формы можно осуществить переход от дозвуковой скорости к сверхзвуковой. В этом случае имеет место только геометрическое воздействие на поток ( df 0 ), а остальные воздействия отсутствуют, т.е. не меняется расход газа ( dg 0 ), нет обмена теплом и работой с внешней средой ( dqнар 0, dl 0 ) и нет трения ( dlтр 0 ). Тогда соотношение (3.7) примет вид

33 M 33 dv df V F. (3.8) Рисунок 3. Схема геометрического сопла Ускорение потока в дозвуковой части сопла Лаваля ( M ) получается путем сужения канала ( df 0 ), но, начиная с критического сечения ( M ), для получения сверхзвукового потока и дальнейшего его ускорения изменяют знак воздействия, то есть расширяют канал ( df 0 ). Течение идеального газа в геометрическом сопле при отсутствии трения является изоэнтропным. В критическом сечении сопла воздействие проходит через минимум ( df 0 ) Расходное сопло Расходное сопло дает возможность осуществить переход через скорость звука за счет изменения расхода газа в трубе постоянного сечения ( df 0 ) при отсутствии обмена с внешней средой работы ( dl 0 ) и тепла ( dqнар 0 ) и без трения ( dlтр 0 ). В этом случае соотношение (3.7) принимает следующую форму M dv dg V G. (3.9) Рисунок 3. Схема течения в расходном сопле

34 34 Ускорение движения ( dv 0 ) достигается в этом случае за счет подвода дополнительной массы газа в дозвуковой части канала и отвода газа в сверхзвуковой его части. В критическом сечении ( M ) расход газа и, следовательно, плотность тока проходят через максимум. Расходное сопло в принципе аналогично геометрическому. Если разбить поток в расходном сопле на отдельные струйки постоянного расхода, то каждая из них представляет собой геометрическое сопло с наиболее узким сечением в области кризиса ( M ); однако сужение элементарных струек в нем осуществляется не путем сужения общего канала, а за счет подвода и отвода дополнительных количеств газа Механическое сопло Механическое сопло: переход через скорость звука осуществляется за счет технической работы ( dl 0 ) при отсутствии других воздействий ( df 0, dg 0, dqнар 0, dlтр 0 ). В этом случае соотношение (3.7) примет вид M dv dl V a, (3.0) из чего следует, что если газовый поток совершает работу ( dl 0), например, на колесе турбины, то в дозвуковом режиме ( M ) он ускоряется ( dv 0 ), а в сверхзвуковом ( M ) замедляется ( dv 0 ). При подводе работы к газу ( dl 0), т.е. на лопатках компрессора, в дозвуковом течении наблюдается замедление, а в сверхзвуковом ускорение. Рисунок 3.3 Схема механического сопла Таким образом, сверхзвуковое механическое сопло должно состоять из последовательно включенных турбины (в области M ) и компрессора (в области M ), между которыми располагается критическое сечение ( M ).

35 35 Особенностью механического сопла является то, что параметры торможения проходят в его критическом сечении через минимум Тепловое сопло Тепловое сопло, пока еще не осуществленное, дает принципиальную возможность перехода газового потока через скорость звука за счет теплового воздействия ( dqнар 0 ) при отсутствии других воздействий ( df 0, dg 0, dl 0, dlтр 0 ). Соотношение (3.7) применительно к тепловому соплу имеет вид: M dv k dq нар. (3.) V a Рисунок 3.4 Схема теплового сопла Ускорение газа ( dv 0 ) в дозвуковом потоке ( M ) связано с подводом тепла ( dqнар 0 ), а в сверхзвуковом с его отводом ( dqнар 0 ). В критическом сечении теплового сопла, где количество подведенного к газу тепла проходит через максимум ( dqнар 0 ), следует изменить знак воздействия. Следует также отметить, что в тепловом сопле в связи с подводом тепла изменяется энтропия газа. При движении газа в тепловом сопле на основании действия законов сохранения массы и импульса, параметры изменяются следующим образом dv k M dq нар, (3.) V a p λ τλ λ z λ τλ, (3.3) p λ τ λ λ z λ τ λ

36 T T σ 36 τλ τλ z z z λ, (3.4) z λ p λ λ ε λ, (3.5) p λ λ ε λ T T z λ z λ. (3.6) 3.6. Движение газа при наличии трения Уравнение Вулиса для течения вязкого газа в безразмерном виде можно записать, как λ ln ξ λ λ k x λ k d, (3.7) где ξ коэффициент потерь, x длина трубы, на которой устанавливается скорость λ, d диаметр цилиндрической трубы. В критическом случае, когда поток на выходе из трубы имеет скорость λ =, уравнение (3.7) можно переписать ln λ ξ λ k x кр k d. (3.8) Потери полного давления в результате трения можно рассчитать с использованием уравнения неразрывности и равенства T const λ σ p q тр p q λ. (3.9) Отсюда соотношения статических давления и плотности будут p λ τ λ, (3.0) p λ τ λ ρ ρ 3.7. Примеры решения задач λ. (3.) λ Задача. В сечении дозвуковой части идеального сопла Лаваля известны статическое давление потока р = Па, температура торможения T = 400 К, приведенная скорость λ = 0,6. Определить

37 37 приведенную скорость λ и статическое давление газа в сечении, где температура Т = 73 К. Решение. Поскольку температура торможения и полное давление газа в рассматриваемом идеальном сопле не меняются, то T T и p p. Используем газодинамическую функцию τ(λ): 73 τλ T T 0, 685 T T 400. По таблицам газодинамических функций определяем (при k =,4) λ =,38. Таким образом, искомое сечение находится в сверхзвуковой части сопла. Выразим полное давление через давление в потоке и функцию π(λ): p p πλ ; π λ, p p т.к. p p, то p p π λ π λ π λ π λ p p. Для λ = 0,6 и λ =,38 в таблицах находим значение функций π(λ): π(λ )= 0,8053; π(λ ) = 0,68, тогда 5 0, 68 5 p 60 5,3 0 Па. 0, Ответ: λ =,38; p 5,3 0 Па. Задача. Газ, движущийся в цилиндрической трубе, подогревается от 400 К на входе в трубу до 800 К на выходе из нее. Приведенная скорость потока на входе в трубу λ = 0,4. Определить, пренебрегая трением, приведенную скорость потока после подогрева, а также изменение полного и статического давлений в потоке. Решение. Запишем уравнение импульса для данного случая: GV pf GV pf. Поскольку полный импульс потока можно определить по выражению k I GV pf Gaкр z λ, k тогда уравнение импульса можно переписать в виде: a z λ a z λ. кр кр Учитывая, что критическая скорость звука определяется выражением

38 38 получим a кр k RT k a T z z z. aкр T кр λ λ λ По таблицам определяем при λ =0,4 z(λ )=,9, тогда 400 z λ,9, Поскольку z λ λ, то либо путем решения квадратного уравнения λ λ,05, либо по таблицам, определяем два возможных значения λ приведенной скорости на выходе:. ‘ λ 0,8 и λ, 5. Поскольку, воздействуя на дозвуковой поток лишь подогревом, его невозможно перевести в сверхзвуковой, выбираем значение λ = 0,8. Определим изменение полного и статического давлений. Используем уравнение неразрывности, записанное в виде: pfy λ K, где λ q λ G y. T πλ Учитывая, что G const, F const и K const, получаем: Поскольку πλ p y λ T 0, ,648. p y λ T, p p q λ λ T q λ p p T p p q T q p p T λ λ λ p q λ T 0, ,875. p q λ T 0, p Ответ: λ =0,8; 0,648 p ; p 0,875 p. Задача 3. Воздух течет по трубе с постоянной площадью поперечного сечения со скоростью V = 00 м/с. Температура воздуха Т = 80 К. Какое максимальное количество теплоты можно подвести к единице массы текущего воздуха? Теплоемкость воздуха в рассматриваемом диапазоне температур С р = 00 Дж/(кг К)= const. Трением пренебречь. »

39 39 Решение. Определим максимальное количество теплоты из условия, что скорость на выходе из трубы равна критической, тогда λ =. Выражение для q max : qmax Cp T T, причем температуры торможения потока на входе и на выходе из трубы связаны соотношением []: а при λ = получаем T T T λ λ, λ λ λ λ λ T T T T T T. T 4λ 4λ 4λ Определим приведенную скорость потока на входе V V λ. aкр k RT k Температура торможения на входе V T 80 84,9 К, тогда λ 0,338 C p 00, ,9,4 3 max cpt 0084,9 55, 0 λ 0,338 Дж q. 4λ 4 0,338 кг 3 Дж Ответ: qmax 55, 0. кг Задача 4. Какую теплоту q надо подвести к единице массы воздуха, текущего по трубе с постоянной площадью поперечного сечения со скоростью V = 80 м/с, чтобы температура его повысилась с Т = 300 К до Т = 600 К. Теплоемкости воздуха C р = 00 Дж/(кг К), C v = 733 Дж/(кг К) в данном диапазоне изменения температуры принять постоянными. Решение. Подводимое количество тепла определим из уравнения энергии: q C p T T, где T V, T C p торможения потока до подвода теплоты и после. Отношение температуры T V температуры T C p

40 40 T M km. T M km Показатель адиабаты определяется, как Cp 00 k,39. C 733 v Находим число Маха V V 80 M 0,3. a krt, Определяем T 80 T ,К. 00 Определим М из соотношения температуры T M km, T M km 600 M,39 0, 3, 300 0, 3,39 M 4,67 M, 4,96 M 4,67M, 4 0,39 M M,38M 0, 7 0. Решив квадратное уравнение, получим два значения М : 0,36 и. Вариант М = отбрасываем, т.к. при подводе теплоты к дозвуковому течению в трубе постоянного сечения скорость не может превысить скорость звука. Далее находим скорость потока после подогрева V M a M krt 0,36, , 5 м/с, тогда 76,5 T ,3 К. 00 Найдем количество подведенного тепла Ответ: 3 Дж q 0065,3 303, 38,3 0. кг 3 Дж q 38,3 0. кг

41 4 Задача 5. Воздух движется по трубе переменного сечения (рисунок 3.5). Течение одномерное изоэнтропное. Отношение минимальных площадей поперечных сечений трубы F /F =. Определите минимальное и максимальное отношения скоростей потока в этих сечениях, если скорость в сечении F меньше скорости звука. Рисунок 3.5 К условию задачи 5 Решение. Используем уравнение неразрывности для определения отношения скоростей: V ρ F G ρv F ρv F const V ρ F. Так как, F 42 Задачи для самостоятельного решения 3.. Воздух течет из бака через короткое суживающееся сопло, соединенное с теплоизолированной трубкой диаметром d = 50 мм и длиной l = 0 м. Найти максимально возможную безразмерную дозвуковую скорость на входе в трубу λ max. Течение одномерное, коэффициент трения ξ = 0, Воздух течет по трубе с постоянной площадью поперечного сечения со скоростью V = 00 м/с. Температура воздуха Т = 80 К. Найти температуру торможения T в потоке воздуха после подвода к нему 3 количества теплоты q 55, 0 Дж/кг. Теплоемкость воздуха C р = 00 Дж/(кг К) = const. Трением пренебречь К потоку воздуха, который движется по трубе с постоянной площадью поперечного сечения, на некотором участке подводится количество теплоты q = Дж/кг. Параметры потока в сечении перед участком подвода теплоты: скорость V = 60 м/с, температура Т = 300 К, давление р =,5 0 5 Па. Найти параметры потока V, Т, р после подвода теплоты. Теплоемкость воздуха C р = 007 Дж/(кг К). Влиянием трения пренебречь Какое количество теплоты надо отвести от единицы массы воздуха, текущего по трубе с постоянной площадью поперечного сечения, чтобы статическое давление повысилось на %. Скорость потока V = 0 м/с, температура Т = 400 К, теплоемкость воздуха C р = 00 Дж/(кг К) = const. Определить температуру воздуха после отвода теплоты Воздух движется в круглой прямой трубе диаметром 50 мм. Вследствие теплообмена с внешней средой течение в трубе изотермическое при температуре Т = 300 К. Скорость и давление воздуха во входном сечении V = 30 м/с, р = 0 5 Па. Найти скорость и давление в сечении, расположенном на расстоянии l = 00 м. Течение считать одномерным. Найти количество теплоты, полученное единицей массы воздуха на этом участке Определить зависимость между площадью какого-либо сечения идеального сопла Лаваля и приведенной скоростью потока в этом сечении, то есть найти закон изменения площади в сопле Лаваля Расширяющееся сопло Лаваля предназначено для разгона потока до сверхзвуковой скорости. Какая скорость V воздуха в выходном сечении

43 43 сопла будет получена в расчетном режиме работы, если отношение площадей выходного сечения и минимального сечения F /F min =. Определить температуру воздуха на выходе из сопла. Температура торможения Т = 700 К, показатель адиабаты k =,4. Течение изоэнтропное Поток водяного пара движется по трубе постоянного сечения. Через внешние стенки трубы, начиная с некоторого сечения к нему подводится тепло q = 500 кдж/кг. Параметры потока в этом сечении V = 00 м/с, T = 390 К, p = 0 5 Па. Определите параметры после подвода тепла V, T, p. Теплоемкость пара считать постоянной C p = 07 кдж/(кг К), влиянием трения пренебречь Поток воздуха движется по трубе постоянного сечения. Через внешние стенки трубы, начиная с некоторого сечения к нему подводится тепло q = 350 кдж/кг. Параметры потока в этом сечении V = 80 м/с, T = 300 К, p =,8 0 5 Па. Определите отношение температуры торможения, давления торможения в потоке после подвода тепла и до него. Теплоемкость воздуха считать постоянной C p = 005 кдж/(кг К), влиянием трения пренебречь Определите количество тепла q, которое необходимо подвести к единице массы воздуха, движущегося со скоростью M = 0,3 в трубе постоянного сечения, чтобы разогнать его до М = 0,45. Температура торможения воздуха до подвода тепла 30 К. Теплоемкость воздуха считать постоянной C p = 005 кдж/(кг К), влиянием трения пренебречь. 3.. Из цилиндрического теплообменника воздух вытекает со скоростью звука, имея при этом параметры p = 0 5 Па, Определите приведенную скорость λ и температуру торможения входе в теплообменник, если известно, что давление T = 00 К. p =,5 0 5 T на Па. Показатель адиабаты принять равным k =,4 для холодного и горячего потоков. 3.. На вход в цилиндрическую камеру сгорания площадью 0,0 м подается воздух с расходом G = 8,3 кг/с, температурой торможения T = 400 К и давлением торможения p = МПа. Определите количество тепла, которое необходимо подвести к воздуху, чтобы увеличить скорость его движения до λ = 0,95. Какими при этом будут значения T и p? 3.3. Воздух с постоянной теплоемкостью C p = 005 Дж/(кг К) движется в цилиндрической трубе без трения со сверхзвуковой скоростью λ =, имея при этом T = 500 К и p = МПа. Определите характер и

44 44 величину теплового потока, который затормозил бы поток до λ =,. Какими при этом будут значения T и p? 3.4. В начальном участке канала переменного сечения известны параметры воздушного потока V = 50 м/с, p = 0 5 Па, T = 300 К. В некотором сечении ниже по потоку известно давление p = 0,7 0 5 Па. Определите скорость потока V, число Маха М, статическую температуру T в этом сечении, если процесс изменения параметров между сечениями в одном случае изотермический, а в другой адиабатный Воздух течет из бака через сопло Лаваля и затем через присоединенную к нему теплоизолированную трубу диаметром d = 50 мм и длиной l = м. Найти минимальную сверхзвуковую приведенную скорость на входе в трубу λ min, при которой в трубе возможно течение без скачков. Течение одномерное, коэффициент трения в трубе ξ = 0, Воздуха течет по трубе диаметром d = 0 мм. В некотором сечении известны температура T = 300 К и скорость потока V = 0 м/с. Какое максимальное количество теплоты q max можно подвести к единице массы текущего воздуха, если после подвода тепла поток движется по теплоизолированной трубе длиной l = 0 м, а коэффициент трения в трубе ξ = 0,05? На относительно коротком участке подвода тепла влиянием трения пренебречь. Течение одномерное По длинной теплоизолированной цилиндрической трубе движется газ с трением. На входе в трубу приведенная скорость λ = 0,. Определите отношения ρ /ρ, T /T и p /p, обеспечивающие течение в трубе с λ = на выходе. Показатель адиабаты k =, Заводская воздушная магистраль диаметром d = 00 мм имеет на входе λ = 0, и p = 0,5 МПа. Определите максимально допустимую длину магистрали при полном расходе воздуха, если коэффициент сопротивления трубы ξ = 0,08, а давление среды, в которую подается воздух p = 0, МПа По магистральному газопроводу с диаметром 0,7 м перекачивается природный газ (k =,57, R = 89 Дж/(кг К)). Определите, какова будет скорость на пятом километре газопровода, если скорость на входе в трубопровод V = 0 м/с, коэффициент трения ξ = 0,04. Течение происходит при постоянной температуре T = 300 К Для условий предыдущей задачи определите, при какой скорости на входе в трубопровод поток разгонится до скорости звука в конце трубопровода длиной 5 км.

45 Воздух из ресивера неограниченной емкости с давлением p = 0 7 Па и температурой T = 300 К через сопло Лаваля вытекает в цилиндрический канал с λ =,. На прямом участке постоянной площади поперечного сечения поток разгоняется за счет отбора воздуха из канала до λ =. Определите отношение расходов G /G, а также давление p и температуру T. 4. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 4.. Прямой скачок уплотнения Любое повышение давления, вызываемое в какой-либо точке газа, распространяется в нем во все стороны с большой скоростью в виде волн давления. Фронт сильной волны очень узок, порядка длины свободного пробега молекул, и параметры газа при прохождении через него изменяются скачком. Возникновение ударной волны сжатия можно проследить при перемещении поршня в трубе постоянного сечения (рисунок 4.). Рисунок 4. Схема распространения ударной волны За бесконечно малый промежуток времени фронт волны переместился на расстояние dx. Тогда в области — за время dτ произошло повышение давления от величины p (давление невозмущенного газа) до величины p (давление за фронтом волны сжатия). Следовательно, в области — произойдет повышение плотности газа на величину = -. Это может произойти только в том случае, если некоторое количество газа dm = ( — ) F dx перетечет из объема трубы -3 в объем -. Таким образом, при распространении сильной волны сжатия газ позади фронта волны должен находиться в движении, следуя в том же направлении, что и волна. Из уравнения неразрывности можно определить скорость газового потока за фронтом волны V п :

46 46 V dm F V d; п dx dx ; V ; п d d V п V, в в (4.) где V в скорость волны; dm масса газа, пересекающая за время dτ фронт волны; dx расстояние, на которое за время dτ перемещается фронт волны, F площадь поперечного сечения канала, в котором образовалась волна; ρ и ρ плотности газа перед и за фронтом волны. Получим уравнение соотношения между скоростями, для этого воспользуемся уравнением импульсов Сопоставляя (4.) и (4.), получим dx ( p p ) F F ( Vп 0) ; d dx p p Vв. d V (4.) V в п p p. (4.3) В случае слабой волны, когда повышение давления и плотности незначительно (ρ ρ, p p ) V dp d (4.4) в a. Слабая волна является ни чем иным как акустической волной, то есть распространяется со скоростью звука. Из сравнения выражений (4.3) и (4.4) видно, что скорость распространения сильной волны сжатия всегда выше скорости звука. Подставим выражение (4.3) в (4.) и определим скорость распространения потока за фронтом волны сжатия V п p p ( p p ) ( ). В связи с тем, что скорость распространения ударных волн всегда больше скорости звука, незатухающие ударные волны образуются перед телом только в тех случаях, когда движение происходит со сверхзвуковой скоростью. Если фронт волны составляет прямой угол с направлением

47 47 распространения потока, то такая волна называется прямой ударной волной или прямым скачком уплотнения. Связь между скоростью газа до и после прямого скачка выражается соотношением p p V V. (4.5) Если система энергетически изолирована, то полная энтальпия потока остается постоянной Тогда V V i Cp T Cp T Cp T const; V p p k T T ; R Cp; C T T k T p p p R R Cp. V p V k p T R ( T R R) ( ), k (4.6) p V k p T R ( ). k (4.7) Вычтем выражение (4.6) из (4.7) p k p p ( ) ( V V ). k Учитывая выражение (4.5), получим p p p k. k (4.8) Учитывая, что a k k p, получим кр R T k k p p aкр. (4.9) Сопоставим равенства (4.5) и (4.9), тогда получим V V кр V a кр V a a кр ; ;

48 48. (4.0) Полученное выражение (4.0) называется основным кинематическим соотношением прямого скачка уплотнения. Пользуясь известными формулами перехода от приведенной скорости к числу Маха, его можно представить в виде k M M. (4.) k k M Таким образом, в прямом скачке уплотнения, сверхзвуковая скорость газа до скачка всегда переходит в дозвуковую после скачка, то есть если, то. Чем больше значение скорости перед скачком, тем меньше она после скачка, чем больше скорость, тем сильнее скачок. 4.. Ударная адиабата Гюгонио Связь между давлением и плотностью в скачке уплотнения выражается основным динамическим соотношением. p p p p k. (4.) Отношение прироста давления к приросту плотности в прямом скачке уплотнения пропорционально отношению среднего давления к средней плотности. В случае бесконечно малого скачка (ρ ρ, p p ) выражение (4.) сводится к виду dp k d p, следовательно, звуковой волне соответствует идеальный адиабатный процесс. Рассмотрим процесс изменения состояния газа в скачке уплотнения, для чего перепишем выражение (4.) в виде p p k. p p p p p p k ; p p p p

49 49 0; p p p p p p k ( k ) k k ; p p p k p k k p k p ; p k p k k p k p k k k (4.3) p k. p k k k k Система уравнений (4.3) называется ударной адиабатой Гюгонио (рисунок 4.). Она отличается от классической изоэнтропной адиабаты Пуассона, откуда следует вывод, что прохождение газа через скачок уплотнения не является изоэнтропным процессом, а сопровождается необратимым переходом механической энергии в тепловую. Таким образом, энтропия газа при прохождении скачка уплотнения возрастает на величину S k R p p R p S k k p ln ln ln 0. k k Рисунок 4. Ударная и классическая адиабаты

50 Изменение параметров газа в прямом скачке уплотнения Определим изменение давления, плотности и температуры в скачке уплотнения. или p p p V V V V p p p p V k V V V. k k M p V p p k p k k k p p k M. p k V V ; ; или M k M T T i i V V V V k M. 4 T i i a V k 4 T T k ; T k k k. или T T k M k M T k M Коэффициент сохранения полного давления в прямом скачке уплотнения определяется соотношением.

51 5 k k k k M k k M k k p p p k. p p p k 4.4. Косой скачок уплотнения Характерной особенностью прямого скачка уплотнения является то, что поток, пересекая фронт, не меняет своего направления, а сам фронт перпендикулярен направлению потока. При сверхзвуковом обтекании клиновидного тела перед ним образуются косые скачки уплотнения, сходящиеся на его носике, угол между направлением потока и фронтом скачка при этом α 52 5 V T T T Vt n n ; C p C p Cp T t n T. Cp V V (4.4) Здесь T n температура частичного торможения, которая получается не при полном торможении потока, а лишь при гашении нормальных к фронту скачка компонент скорости. Следовательно, в косом скачке уплотнения температура частичного торможения не изменяется. Косой скачок уплотнения описывается точно такими же соотношениями, что и прямой скачок, с той лишь разницей, что вместо полной скорости фигурирует нормальная к фронту скачка составляющая, а вместо температуры торможения температура частичного торможения. Таким образом p p k RT n a крn, k (4.5) где кр n a условная критическая скорость, соответствующая температуре частичного торможения. Основное кинематическое выражение для косого скачка уплотнения записывается в виде V V a ; n n крn n n. (4.6) Связь между условной и критической скоростью имеет вид k k k R Vt k aкр RT RTn aкр n Vt. k k k k R k k 4.5. Диаграмма расчета скачков уплотнения Взаимосвязь между характерными безразмерными скоростями и углами в косом скачке уплотнения можно описать зависимостью k M sin M sin. (4.7) k k M sin

53 53 Согласно выражению (4.7), одному значению числа Маха M при двух различных значениях угла α соответствуют два различных значения числа Маха M, для сильного и слабого скачка, причем сильный скачок переводит сверхзвуковой поток в дозвуковой, а слабый скачок почти всегда оставляет поток сверхзвуковым. Исключение составляет небольшая область диаграммы (рисунок 4.4), граничащая с ω max и соответствующая закрашенному участку. Кривая, ограничивающая закрашенную область снизу соответствует числу Маха M =, выше нее находится область значений M >, ниже M 54 54 В основу диаграммы положено семейство кривых α = f(λ, ω). Кривые, показанные на диаграмме сплошными куполообразными линиями, представляют двузначную связь α и λ. Пользование диаграммой заключается в следующем: по требуемому значению ω, находящемуся по вертикальной шкале выделяют ту кривую семейства α = f(λ, ω), которая отвечает выбранному значению ω. После этого, задаваясь скоростью λ, находят два соответствующих ему значения α. Через каждую из этих двух точек пересечения выбранной кривой с вертикалью λ = const проходят по две кривые: одна из них, выводящая на горизонтальную шкалу чисел λ, а вторая на вертикальную и характеризующая отношение p /p (силу скачка). Большему значению α соответствует большая мощность скачка, меньшему значению, соответственно, меньшая Примеры решения задач Задача. Скорость воздуха после прямого скачка V = 80 м/с, Т =350 K. Найти температуру воздуха в потоке до скачка T. Решение. Поскольку по условию известна температура торможения Т, определим критическую скорость воздуха a кр a кр k,4 R T м/с. k,4 Зная a кр, найдем приведенную скорость λ за скачком V 80 0,8. a 34 кр Используя основное кинематическое соотношение для прямого скачка уплотнения, определим,. Тогда скорость воздуха перед скачком V aкр, м/с. Зная λ, найдем температуру воздуха в потоке до скачка Т с помощью газодинамической функции τ(λ ) = 0,75 T T ( ) 350 0, 75 6,5 K. Ответ: Температура воздуха в потоке до скачка Т = 6,5 К.

55 55 Задача. Известна скорость воздуха после адиабатного косого скачка уплотнения V = 00 м/с. Угол между направлением потока после скачка и его фронтом β = 50, температура торможения Т = 300 К. Определите скорость потока V и приведенную скорость до скачка λ. Решение. Определим критическую скорость звука и приведенную скорость после скачка a кр k,4 R T м/с, k,4 V 00 aкр 37 0,63. Согласно основному кинематическому соотношению n n. V a V a V. a n n кр n n кр n V кр n n В записанное выражение входят условная критическая скорость a кр n, статическая температура T нормальная составляющая скорости после скачка V n. Определим их V 00 T T , К, C 005 p a кр n. V n V sin 53, м/с, k V n,4 53, aкр n R T 87 80, 3,6 м/с. k C p, Тогда нормальная составляющая скорости до скачка будет равна aкр n 3,6 Vn 637,7 м/с. V 53, n Тангенциальная составляющая и полная скорость потока до скачка уплотнения будут равны Vt V cos 8,6 м/с; V V V n t 637, 7 8, 6 650,5 м/с;

56 56 Тангенциальная составляющая и полная скорость потока до скачка уплотнения будут равны V 650,5,05. a 37 Ответ: V = 650,5 м/с; λ =,05. кр 4.7. Задачи для самостоятельного решения 4.. Известны скорость V = 800 м/с, давление p = 0 5 Па и температура воздуха T = 300 К перед прямым скачком уплотнения. Найти эти же параметры за скачком. 4.. Перед поршнем, движущимся в цилиндрической трубе с постоянной скоростью V п = 400 м/с, возникла ударная волна. Правый конец трубы открыт в атмосферу. Найти V в скорость волны относительно стенок трубы и V скорость волны относительно поршня Сравнить увеличение плотности: ) при ударном и ) изоэнтропном сжатии воздуха, если в том и в другом случаях давление возрастает в 0 раз. Объяснить разницу При переходе воздуха через скачок уплотнения давление торможения уменьшилось в 5, раза, статическое давление увеличилось в 5 раз, температура увеличилась в 3,46 раза. Как изменится плотность потока и плотность торможения потока на скачке? 4.5. Интерферограмма показывает рост плотности воздуха на скачке уплотнения в 3,8 раза. Найти коэффициент восстановления давления торможения на скачке В струе воздуха со скоростью V = 700 м/с, истекающей из баллона, где температура Т = 88 К, возник плоский скачок уплотнения, фронт которого наклонен под углом α = 50 к направлению скорости воздуха до скачка. Найти V величину скорости потока после скачка и ω угол отклонения потока в скачке Поток воздуха, имеющий скорость V = 530 м/с и M =, обтекает внутренний тупой угол, поворачиваясь при этом на 0. Определить V скорость потока после скачка Скорость потока воздуха перед прямым скачком уплотнения в 3 раза больше, чем после него. Определите отношение температуры до и после скачка.

57 Скорость потока газа с показателем адиабаты k =,3 до прямого скачка уплотнения в,5 раза больше скорости после скачка. Найти отношение чисел Маха до и после скачка Степень повышения давления воздуха в скачке уплотнения p /p = 5. Определите соотношения T /T и ρ /ρ. Определите эти же соотношения при адиабатном сжатии воздуха. 4.. Модель самолета с прямоточным ВРД совершает полет на высоте H = км с числом Маха M =. На входе в двигатель реализуется прямой скачок уплотнения. Определите параметры потока после скачка p, T, V, 4.. Определите, при каком числе Маха набегающего потока давление торможения за прямым скачком уплотнения составит одну десятую от давления торможения набегающего потока Сверхзвуковой поток воздуха со скоростью λ =,5 набегает на симметрично расположенный клин с углом при вершине ω = 4º. Найдите угол наклона фронта образующегося косого скачка уплотнения к набегающему потоку и скорость λ после скачка Поток воздуха набегает на вогнутый угол со скоростью λ =,55 и поворачивает на ω = º. Найдите статическое давление за скачком уплотнения, если перед ним p = 0 5 Па. Определите также давление изоэнтропного торможения до скачка и за ним Сверхзвуковой поток воздуха M = 3 проходит сначала косой скачок уплотнения, а затем прямой. Найдите оптимальное распределение степеней повышения давления в скачках, чтобы отношение p 3 p. p было наибольшим. Определите степени повышения давления в косом p /p и прямом p 3 /p скачках, угол отклонения потока ω и угол направления фронта косого скачка α В каких пределах может находиться степень повышения давления воздуха p /p в косом скачке уплотнения, если скорость перед ним соответствует M = В каких пределах может находиться степень сжатия воздуха ρ /ρ в косом скачке уплотнения, если скорость перед ним соответствует M = Сравните прирост плотности и температуры в ударной волне и при идеальном адиабатном процессе, если степень повышения давления равна p /p = 5. Расчеты провести для воздуха и для продуктов сгорания с показателем адиабаты k =, На какой максимальный угол может повернуть поток в косом скачке, если скорость воздуха до скачка λ =,6?

58 На фотографии, полученной с помощью оптической установки, измерен угол наклона фронта скачка к набегающему потоку α = 35 и угол поворота потока в скачке ω = 8,5. Найдите приведенные скорости до λ и после скачка λ. 4.. Какая минимальная приведенная скорость λ min может быть за косым скачком уплотнения, если перед ним λ =,8? Показатель адиабаты k =, Известно, что во входном сечении диффузора, обтекаемого потоком воздуха с числом Маха M = и статическим давлением p = Па, образуется прямой скачок уплотнения. Определите число Маха M 3, давление p 3 и потерю полного давления в сечении, площадь которого в 3,5 раза превышает площадь входного сечения Разность давлений и отношение плотностей равны p p =, Па, ρ /ρ = 0, а плотность ρ =,6 кг/м 3. Определите разность энтальпий i i для условий за скачком уплотнения и перед ним С какой скоростью V в распространяется по трубе прямой скачок уплотнения, образующийся при движении поршня со скоростью V п = 50 м/с в газе с температурой T = 300 К? Показатель адиабаты газа k =,3, газовая постоянная R = 90 Дж/(кг К). 5. ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 5.. Основные понятия и уравнения пограничного слоя При больших числах Рейнольдса Re влияние вязкости сосредотачивается в области потока, непосредственно прилегающей к поверхности твердого тела. Эта область имеет малую по сравнению с длиной тела протяженность в направлении нормали к поверхности и называется пограничным слоем. В пограничном слое скорости меняются от нуля на поверхности тела до скорости потока на внешней границе. Так как толщина слоя δ невелика, то градиенты скорости в этой области достигают больших значений и, следовательно, поток здесь может обладать большой завихренностью. Формирование ламинарного пограничного слоя на примере обтекания плоской пластины показано на рисунке 5..

59 59 Рисунок 5. Ламинарный пограничный слой на плоской пластине Сопротивление обтекаемых тел существенно зависит от режима течения в пограничном слое. Движение жидкости в пограничном слое может быть ламинарным или турбулентным. Расчет ламинарного пограничного слоя основывается на дифференциальных уравнениях энергии и движения вязкой жидкости (Навье-Стокса). Используя физические особенности движения в слое, уравнение движения вязкой жидкости можно существенно упростить. Впервые это было сделано Л. Прандтлем в виде u u p u u v ν x y ρ x y p 0. (5.) y u v 0 x y Система (5.) должна быть решена при следующих граничных условиях: y 0, V 0; y, V u( x). Последнее условие означает, что скорость в пограничном слое переходит асимптотически к скорости внешнего потока. В действительности этот переход, как уже отмечалось, происходит при значении y, соизмеримом с поперечным масштабом δ. p Полученное условие 0 означает, что распределение давления на y внешней границе слоя и на поверхности обтекаемого тела совпадает.

60 60 Отсюда следует, что во всех точках поперечного сечения слоя давления одинаковы, т. е. давление внешнего потока передается через пограничный слой к поверхности тела без изменения. 5.. Отрыв пограничного слоя p Условие 0 позволило объяснить явление отрыва пограничного y слоя. Рассмотрим обтекание некоторой криволинейной поверхности AB, предполагая, что давление внешнего потока вдоль этой поверхности вначале уменьшается, достигает минимального значения в точке M и затем увеличивается (рисунок 5.). Участок внешнего потока, в котором градиент p давления отрицателен ( 0), называется конфузорным участком. Область x течения за точкой M, характеризуемая положительным градиентом давления p ( 0), называется диффузорным участком. На конфузорном участке x внешний поток ускоряется, на диффузорном тормозится. Учитывая, что в p пограничном слое 0, заключаем, что аналогичное распределение y давления имеет место и вдоль поверхности AB на любом расстоянии y 61 6 В пределах пограничного слоя скорости перед точкой M увеличиваются, а за нею уменьшаются. Частицы жидкости вблизи стенки обладают малой кинетической энергией, причем в диффузорной области вдоль поверхности AB запас кинетической энергии частиц уменьшается. В результате этого в некотором сечении S частицы у стенки не могут преодолеть тормозящего влияния внешнего потока и останавливаются. Эпюра скорости принимает характерную остроконечную форму, что удовлетворяет условию V y Далее за точкой S под воздействием перепада давления, направленного против течения, начинается возвратное течение частиц у стенки. Встречаясь с основным потоком, возвратно движущиеся частицы оттесняются от стенки, что и приводит к отрыву пограничного слоя и к резкому увеличению его толщины. За точкой отрыва S эпюра скорости имеет также весьма характерную петлеобразную форму, причем непосредственно у стенки V y y0 0. Изложенное показывает, что отрыв пограничного слоя при обтекании плавной стенки возможен лишь в диффузорной области потока. y Условные толщины пограничного слоя Понятие толщины пограничного слоя не имеет точного количественного смысла. Скорость в пограничном слое с ростом y асимптотически приближается к значению скорости внешнего потока V. Величина δ зависит от того, где выбрана точка, условно показывающая границу слоя. Поэтому в расчетах пограничного слоя вводятся другие интегральные толщины, зависящие от δ: толщина вытеснения δ, толщина потери импульса δ и толщина потери энергии δ. При отсутствии трения за единицу времени через поперечное сечение потока высотой dy и шириной, равной единице, протечет масса ρ V dy. В пограничном слое за тоже время через сечение dy протечет масса ρv dy. Разность этих количеств составит

62 6 δ ρv ρv ρv ρ V ( ) dy ρ V ( ) dy ρ V ( ) dy. ρ V ρ V ρ V 0 0 δ Разделив найденный излишек массы на ρ δ ρv δ ( ) 0 V, получим dy. (5.) ρ V Величина δ показывает смещение линии тока в направлении внешней нормали к контуру обтекаемого тела. Вместе с тем δ характеризует уменьшение расхода жидкости через сечение слоя, нормальное к стенке, обусловленное «вытеснением» жидкости пограничным слоем, поэтому и носит название толщины вытеснения. Толщина потери импульса δ равна такой толщине слоя жидкости, движущейся со скоростью V вне пограничного слоя, импульс которого равен импульсу сил трения в пограничном слое. Этот импульс, потерянный в пограничном слое, равен δ δ ρ ρ V V V V dy VV dy V 0 0 Разделим это выражением на ρ V, тогда. δ ρv δ ( ) V dy. (5.3) ρ V V 0 Толщина потери энергии представляет собой толщину движущейся вне слоя жидкости, обладающей кинетической энергией, потерянной в пограничном слое. δ ρ δ ( ) ρ V V 0 V V dy. (5.4) Часто важным является иметь одинаковую структуру формул, определяющих интегральные толщины. Поэтому толщину вытеснения также рассчитывают по зависимости δ ρ V δ ( ) dy. ρ V 0

63 Расчет ламинарного и турбулентного пограничных слоев В расчетах ламинарного и турбулентного пограничных слоев имеется ряд существенных различий. Для их учета в таблице 5. приведены основные расчетные формулы для простейшего случая обтекания плоской стенки безградиентным потоком несжимаемой жидкости. Сопоставление показывает: ) профиль скоростей в турбулентном слое более полный, чем в ламинарном; ) толщина турбулентного слоя растет вдоль стенки значительно быстрее, чем ламинарного, так как в первом случае S 6 7 увеличивается пропорционально x, а во втором пропорционально x ; 3) сравнение местных коэффициентов сопротивления трения показывает, что при одинаковых значениях сопротивление трения в турбулентном пограничном слое значительно выше, чем в ламинарном. Таблица 5. Основные характеристики пограничного слоя Основные Режим течения в пограничном слое характеристики ламинарный турбулентный пограничного слоя Закон распределения скоростей по сечению слоя Толщина слоя Толщина вытеснения Толщина потери импульса Напряжение трения Местный коэффициент трения Коэффициент V 3 4 y y y V δ δ δ νx δ 5,83 5,83x Re x V x δ,7 x Re 0,3δ x δ 0, 664x Re 0,75δ τ 0,33ρV Re x c f 0,664Re x ‘ c f,38re x V y V δ ν δ 0, V 7 0,x Re x 7 x 7 7 x 6 7 δ 0, 0x Re 0, 095δ 7 x δ 0, 05x Re 0, 07δ 7 τ 0,03ρV Re x 7 c f 0,063Re x ‘ 7 c f 0,0307 Re x

64 64 сопротивления трения 5.5. Примеры решения задач Задача. Скорость несжимаемой жидкости в турбулентном пограничном слое изменяется по степенному закону V V y δ 7. На некотором расстоянии x толщина пограничного слоя равна,5 мм. Рассчитайте толщину потери импульса на этом же расстоянии. Решение. Согласно определению величины толщины потери импульса, она выражается соотношением δ ρv δ ( ) V dy. ρ V V 0 Из условия задачи известно, что рабочая жидкость является несжимаемой, следовательно ρ ρ0. Подставим в выражение для δ закон изменения скорости в пограничном слое и проинтегрируем полученное dy dy dy δ δ δ δ δ δ δ y y y y δ 8 δ 9 δ y 7 y δ δ= δ δ δ 7 7 δ 0 0 Рассчитаем по выведенной зависимости толщину потери импульса, учитывая заданное в условии значение толщины пограничного слоя 3 3 δ 0.097,5 0 0, 4 0 м. Ответ: толщина потери импульса равна 3 δ 0,4 0 м Задачи для самостоятельного решения 5.. Рассчитать толщину вытеснения турбулентного пограничного слоя, пользуясь степенным законом для профиля скорости (закон /7) в месте, где толщина пограничного слоя равна 0 мм, плотность считать постоянной. 5.. Толщина вытеснения в турбулентном пограничном слое равна мм. Найти толщину потери импульса и толщину пограничного слоя, если

65 65 профиль скорости подчиняется степенному закону /7, плотность считать постоянной Плоская пластина с двух сторон обтекается потоком несжимаемой жидкости со скоростью V = 0 м/с. Плотность жидкости = 0 3 кг/м 3. На выходной кромке пластины известны толщина пограничного слоя =,8 мм и закон распределения скорости поперек следа V V y δ 8. Найти силу трения, действующую на единицу ширины пластины Для заданных в предыдущей задаче закона распределения скорости, толщины пограничного слоя и скорости невозмущенного потока воздуха рассчитать толщину вытеснения, толщину потери импульса и толщину потери энергии. Плотность воздуха в пограничном слое считать приближенно равной плотности основного потока Определить скорость воздуха в ламинарном пограничном слое на пластине в безградиентном потоке на расстоянии x = 5 см от передней кромки пластины на высоте, равной толщине вытеснения. Скорость потока вне пограничного слоя равна V = 5 м/с. Вязкость воздуха принять равной = м /с Воздушный поток движется вдоль гладкой пластины со скоростью V = 5 м/с, давление потока при этом 0 5 Па, температура 88 К. Какой длины должна быть пластина, чтобы в конце нее пограничный слой был толщиной 3 мм? Каким при этом будет режим течения в пограничном слое? 5.7. Считая, что переход течения в пограничном слое от ламинарного режима к турбулентному совершается при Re кр = 3, 0 5, определить, какая должна быть длина пластины, чтобы в конце нее было критическое число Рейнольдса, и какова при этом будет толщина пограничного слоя. Пластина обдувается потоком воздуха со скоростью 0 км/ч при стандартных условиях Т = 88 К, p =,0 0 5 Па Поток воздуха при нормальных условиях (Т = 88 К, p =,0 0 5 Па) движется вдоль плоской стенки со скоростью V = 30 м/с. Определите толщину пограничного слоя и величину угловой скорости в пограничном слое (при у = 0 и у = δ) на расстоянии x = 50 мм от начала стенки. Как изменится толщина пограничного слоя при х = 00 мм? Критическое число Рейнольдса принять Re кр = Гладкая пластина обдувается потоком воздуха при нулевом угле атаки с числом М = 0,8 кинематическая вязкость воздуха ν = 3, м /с, плотность ρ = 0,365 кг/м 3, температура T = 6 К. Определить, на какой

66 66 длине x будет ламинарный пограничный слой, какова будет толщина пограничного слоя на этой длине, значение местного коэффициента трения c f. За критическое число Рейнольдса принять Re кр = Сравнить результаты расчета с учетом сжимаемости и без учета сжимаемости Гладкая пластина с размерами 3 м обдувается потоком воздуха вдоль длинной стороны при нулевом угле атаки с числом М = 0,8 при нормальных условиях (Т = 88 К, p =,0 0 5 Па). Найти силу сопротивления одной стороны пластины. Расчет провести с учетом сопротивления ламинарного участка пограничного слоя. За критическое число Рейнольдса принять Re кр = Панель плоского сверхзвукового воздухозаборника с длиной 0,8 м составляет угол с вектором скорости набегающего потока ω = 0. В конце панели имеется щель для слива пограничного слоя. Определить высоту щели, считая, что весь пограничный слой сливается. Полет происходит на высоте км с числом Маха М =,5. Течение в воздухозаборнике происходит без теплообмена. 5.. Тонкая гладкая пластина с длиной 3 м и шириной м обдувается потоком воздуха вдоль длинной стороны с нулевым углом атаки со скоростью V = 00 м/с. Определить силу трения на двух сторонах пластины, если известно, что динамическая вязкость воздуха μ =, Па с, температура потока T = 300 К, давление потока p = 0 5 Па. Определить также толщину пограничного слоя в конце пластины. За критическое число Рейнольдса принять Re кр = 3, Плоская аэродинамическая труба, работающая при параметрах воздуха Т = 88 К, p =,0 0 5 Па, имеет соотношение площадей критического сечения и рабочей части F кр /F р.ч. = 0,595, при размерах самой рабочей части 0, 0, м. Расстояние от критического сечения до рабочей части вдоль образующей сопла,8 м. Определить, на какое число М рассчитана труба в идеальном случае и какое число М можно ожидать в действительности, если принять, что в критическом сечении толщина пограничного слоя пренебрежимо мала, а в дальнейшем пограничный слои увеличивается как на пластине при числе М 0 = М ид Как изменится решение предыдущей задачи, если учесть пограничный слой в критическом сечении при длине дозвуковой части сопла 0,4 м?

67 67 6. РАСЧЕТ СОПЛА, ДИФФУЗОРА, ЭЖЕКТОРА 6.. Расчет сопротивления диффузора и сопла Потери полного давления в профилированном сопле сводятся главным образом к потерям на трение. В идеальном случае при отсутствии потерь скорость истечения из сопла связана с отношением статического давления в выходном сечении равенством где p к полному давлению в сопле a k k p известным pa k λ а ид, (6.) pc k λ приведенная скорость истечения газа из сопла при отсутствии а ид потерь. При наличии потерь реальная скорость истечения меньше идеальной: λ φ λ, (6.) a с а ид где φ с коэффициент скорости сопла; его значение равно обычно составляет φ с = 0,97..0,99. Вводя в рассмотрение коэффициент сохранения полного давления, pа учитывающий потери полного давления в сопле σс, получим p pa pa k λ a, (6.3) pa σс pa k откуда устанавливается зависимость коэффициента сохранения полного давления от коэффициента скорости: k λа ид σ k c k. (6.4) λа ид φ с k Для вычисления расхода газа через сопло с учетом потерь в формулу расхода добавляют множитель μ 68 68 k k k где K k R множитель, зависящий от свойств газа; p, T значения давления и температуры торможения перед соплом. Коэффициент расхода можно представить как произведение двух коэффициентов μ σ f, из которых первый учитывает потери полного кр давления в сужающейся части сопла (до критического сечения F кр ) σ p / p, а второй неравномерность поля плотности потока в кр кр критическом сечении. Потери в дозвуковой части сопла всегда относительно невелики (σ кр = 0,980..0,998). При истечении из суживающегося сопла коэффициент f отражает дополнительное сужение струи за пределами среза сопла за счет ее поджатия f F кр / Fкр, где F кр площадь «поджатого» сечения струи в критическом сечении. В тех случаях, когда поле полного давления во входном сечении сопла равномерно, а очертания сопла настолько плавны, что в нем нет вихревых структур и скачков уплотнения, сопротивление сопла сводится к сопротивлению трения в пограничном слое. Коэффициент скорости, учитывающий влияние пограничного слоя, определяется выражением φc δ, (6.6) δ где δ относительная толщина потери импульса, δ толщина R потери импульса, R радиус заданного сопла. Величина δ показывает, на какое расстояние нужно сместить контур сопла (в сторону его оси), чтобы равномерный поток в выделенном таким образом условном сопле при той же скорости, что и в ядре течения истинного сопла, имел такой же секундный импульс, как и в истинном сопле. Полный коэффициент скорости сопла φ с можно представить в виде произведения трех коэффициентов, учитывающих потери на трение φ f, потери от неравномерности потока и наличия местных скачков уплотнения в горле сопла φ р и потери вследствие отклонения потока в выходном сечении от осевого направления φ α : φc φf φp φα. (6.7) Величина φ f рассчитывается с помощью методов теории пограничного слоя сжимаемого газа.

69 69 Величина φ р в конических соплах зависит главным образом от относительного радиуса кривизны стенки сопла в области горла: φ 0, 03 R кр p k,6, (6.8) r где k показатель адиабаты, R кр радиус критического сечения сопла (горла), r радиус кривизны стенки сопла в области горла. Коэффициент φ α для равномерного конического потока на срезе сопла определяется по среднему значению проекции скорости на ось сопла cosα φα, (6.9) где α полуугол раствора сопла. В случае течения в диффузоре наличие потерь приводит к тому, что полное давление в выходном сечении диффузора p всегда ниже, чем в начале p : p p. Статическое давление вдоль диффузора, наоборот, увеличивается за счет уменьшения скорости. Величину гидравлических потерь в диффузоре удобно выражать в долях скоростного напора в широком его сечении: V pдиф p p ξдиф ρ, (6.0) где ξ диф коэффициент гидравлического сопротивления диффузора. Обычно pдиф потери в диффузоре относительно невелики, поэтому плотность p заторможенного газа в диффузоре можно считать практически постоянной: ρ ρ ρ. Тогда формулу (3.0) можно привести к безразмерному виду: где p k V ξ диф p p ; (6.) k ρ kp k a a кр. ρ После соответствующих преобразований получим p k V σдиф ξ диф. (6.) p k а кр

70 70 Поскольку отношение V / акр λ приведенная скорость на выходе из диффузора, получаем следующее выражение для расчета коэффициента сохранения полного давления в диффузоре: k σдиф ξдифλ. (6.3) k Сопротивление диффузора складывается из потерь на трение и на вихреобразование. Вихревые потери вызываются отрывом пограничного слоя от стенок диффузора и играют главную роль. Многочисленные эксперименты приводят к заключению, что вихревые потери в диффузоре можно оценивать, как смягченное сопротивление удара (в сравнении с внезапным расширением канала) p ψ р, (6.4) где потери на удар определяются диф уд V V руд ρ. (6.5) Здесь ψ коэффициент смягчения удара (ψ 71 7 надо затратить, чтобы поднять в идеальном компрессоре полное давление в конце диффузора до величины полного давления в начале диффузора, а знаменатель выражает кинетическую энергию струи газа во входном отверстии диффузора. В случае диффузора, имеющего обычную дозвуковую расширяющуюся форму, при сверхзвуковой скорости потока на входе перед входом в него образуется скачок уплотнения с криволинейным фронтом. Если для случая дозвуковой скорости полета потери полного давления при торможении рабочей струи определялись только внутренним сопротивлением диффузора σ диф, то для случая сверхзвуковой скорости эти потери включают также волновое сопротивление σ п, то есть определяются произведением коэффициентов сохранения полного давления в прямом скачке и в диффузоре σ σдиф σп. В случае наиболее простой схемы сверхзвукового диффузора торможение потока осуществляется посредством двух скачков: косого и прямого. В косом скачке происходит уменьшение сверхзвуковой скорости, а в прямом скачке пониженная сверхзвуковая скорость переводится в дозвуковую. Изменение статического и полного давлений в прямом скачке, расположенном за косым скачком: p p k λ k, σ k λ k где λ приведенная скорость перед скачком. k λ p п λ k p k k λ 6.. Расчет струйного эжектора Эжектором называется аппарат, в котором полное давление газового потока увеличивается под действием струи другого, более высоконапорного потока. Передача энергии от одного потока к другому происходит путем их турбулентного смешения. k,

72 7 Рисунок 6. Принципиальная схема струйного эжектора: сопло эжектирующего (активного) газа; сопло эжектируемого (пассивного) газа; 3 камера смешения; 4 диффузор. Рабочий процесс эжектора сводится к следующему. Высоконапорный эжектирующий газ, имеющий полное давление p, вытекает из сопла в смесительную камеру. При стационарном режиме работы эжектора во входном сечении смесительной камеры устанавливается статическое давление р, которое всегда ниже полного давления низконапорного эжектируемого газа p. Под действием разности давлений низконапорный газ устремляется в камеру. Относительный расход этого газа, называемый коэффициентом эжекции n G / G, зависит от площадей сопел, от плотности газов и их начальных давлений, от режима работы эжектора. Основным геометрическим параметром эжектора с цилиндрической смесительной камерой является отношение площадей выходных сечений сопел для эжектирующего и эжектируемого газов: F F α, (6.8) F F F 3 где F, F, F 3 площади сечений сопла эжектирующего газа, сопла эжектируемого газа и смесительной камеры, соответственно. На практике зачастую вместо отмеченного геометрического параметра α используется величина относительной площади сопла активного потока F α Fс. (6.9) F α Другим характерным геометрическим параметром эжектора является степень расширения диффузора: F4 f, (6.0) F характеризующая отношение площади сечения на выходе из диффузора к 3 3

73 73 площади на входе в него. Еще один геометрический параметр эжектора относительная длина камеры смешения l3 / d 3. Ее величина, как правило, определяется из рекомендаций и для струйных газовых эжекторов варьируется в диапазоне 8 l3 / d3. Основной задачей расчета эжектора является определение параметров смеси газов на выходе из смесительной камеры по параметрам газов до смешения. Течение газа в любом участке смесительной камеры описывается тремя уравнениями сохранения: энергии, массы и импульса. Закон сохранения массы записывается в виде: G3 G3 G G или n G, (6.) где n G / G коэффициент эжекции. На основании закона сохранения энергии имеем V 3 V V G3 cp3t3 G cpt G cpt Q, (6.) где Q общее количество тепла, подводимое единицу времени к газу в смесительной камере путем теплопередачи через стенки или выделяющееся вследствие химических реакций в потоке. Переходя к параметрам торможения, получаем 3 p3 3 p p G c T G c T G c T Q. (6.3) Если пренебречь различием в теплоемкостях смешивающихся газов и смеси, то, разделив обе части уравнения (6.) на G c T и подставив в него 3 n p p соотношение (6.) получим T T Q n. (6.4) T T c T G Введем обозначения T θ T ; Q c T G p θ. При расчете эжекторов обычно принимают θ’ = 0, тогда выражение (6.4) примет вид T3 nθ T n. (6.5) Таким образом можно определить температуру торможения смеси газов.

74 Запишем уравнение сохранения импульса для эжектора в виде: G V GV G V p F p F p F, или G3V 3 p3f3 GV pf GV pf. (6.6) Это уравнение можно преобразовать с помощью газодинамических функций согласно [] к виду k GV pf Ga z λ. получим k Пренебрегая различием в величинах кр k k λ λ λ 3 кр3 3 кр кр для газов и смеси из (6.6) G a z G a z G a z. (6.7) Разделим обе части этого уравнения наg a кр : G a G a 3 кр3 z λ кр 3 z λ z λ. G a G a Поскольку n G / G, а (6.5) получим кр кр a a T θ, тогда используя (6.) и кр кр T n nθ θzλ z λ n θz λ. (6.8) 3 Это уравнение называют основным уравнением эжекции. Из него z λ3 λ3 и приведенную λ можно определить приведенный импульс скорость смеси. Для нахождения полного давления смеси выражение λ 3 p 3 несложно получить p T F q λ n. (6.9) p T F q Учитывая (6.5) и то, что при цилиндрической камере смешения F3 F3 F F или, получим F α F c p n nθ θ q λ q λ p q q α n nθ θ Fc λ λ. (6.30)

75 75 Соотношение, связывающее коэффициент эжекции n с геометрическим параметром эжектора α и параметрами газов на входе в камеру имеет вид qλ n, (6.3) π α θ q λ где π р. р 6.3. Вихревые эжекторы Если организовать подачу высоконапорного (эжектирующего) потока внутрь эжектора из магистрали через закручивающий сопловой ввод, то возникновение интенсивно закрученного вихревого потока и центробежные силы, действующие на элементы газа в нем, приведут к образованию радиального градиента статического давления. Возникающее при этом в центральной области закрученного потока пониженное давление используют в аппаратах, называемых вихревыми эжекторами. Первый вихревой эжектор (ДКМ) создан группой исследователей во главе с М. Г. Дубинским [5, 6]. Сжатый (эжектирующий) газ через сопловой ввод (рисунок 6.) поступает в вихревую камеру 6, где образуется вращающийся поток с приосевой областью пониженного давления. В эту область через трубку подсасывается эжектируемый газ. Образующаяся в камере смесь через камеру смешения (втулку) 3 поступает в диффузор 4 и улитку 5, где тормозится с повышением давления. Выходящий из улитки поток газа подается в технологический трубопровод или сбрасывается в атмосферу (при вакуумировании замкнутых объемов). Рисунок 6. Вихревой эжектор ДКМ:

76 76 сопло эжектирующего (активного) потока; сопло эжектирующего (активного) потока; 3 смесительная камера (втулка); 4 улиточный диффузор; 5 щелевой диффузор; 6 вихревая камера; 7 регулирующий клапан Вакуумирование замкнутых объемов больших размеров зачастую осуществляется с помощью сопел пассивного потока с малым диаметром 0, d, поэтому после установления равновесия втекающие и вытекающие через сопло массы газа становятся пренебрежимо малыми и давление в объеме соответствует давлению на оси эжектора. Использование сопел большего диаметра значительно сокращает время вакуумирования, но увеличивает поток прямых и обратных масс газа, поэтому давление в вакуумируемом объеме будет больше давления на оси эжектора. Исследования по вакуумированию замкнутых объемов показали, что наименьшее остаточное давление 000 Па (рисунок 6.3, кривая ) достигнуто с помощью двух эжекторов ДКМ за минуты [5]. При вакуумировании объема 0,5 м 3 двумя эжекторами ДКМ в течение 7 минут достигнуто остаточное давление 500 Па (рисунок 6.3, кривая ). Тем не менее такие высокие эффекты разряжения требуются не всегда, так, например, при исследовании работы вихревого эжектора М.М. Бесединым и И.В. Левичевым под руководством Ш.А. Пиралишвили, минимальное давление разряжения составляло около 4 кпа, что не помешало эффективно использовать его для транспортирования сыпучих веществ (рисунок 6.3, кривая 3) [6]. Исследования Н. Д. Колышева для вихревого эжектора с камерой смешения диаметром d кс = 0,03 м и длиной l кс = l,5d кс, снабженной щелевым диффузором, показали, что наибольшие значения коэффициента эжекции достигаются при относительном диаметре отверстия трубки ввода эжектируемого газа d = 0,9d кс (рисунок 6.4, кривая ) и оптимальной длине l =. 5d кс. Исследовано также влияние ширины щели диффузора. В условиях эксперимента ее оптимальное значение = 0,3..0,4d кс. Как видно из представленных на рисунке 6.4 зависимостей повышение давления сжатого воздуха интенсифицирует вихрь, увеличивая его вакуумирующие способности, а, следовательно, и коэффициент эжекции. С другой стороны, рост давления приводит к повышению расхода сжатого воздуха, что снижает коэффициент эжекции. Таким образом, существует оптимальная величина давления, соответствующая максимальному значению коэффициента эжекции. Опыты показывают, что эта величина лежит в области 0, МПа, что соответствует

77 77 режиму критического истечения воздуха из сопла. Так же после появления критической скорости на срезе сопла начинает заметно уменьшаться радиус разделения свободного и вынужденного вихрей, что приводит к сокращению активной внутренней поверхности свободного вихря, на которой и происходит захват элементов втекающего через отверстие диафрагмы вакуумируемого газа. Рисунок 6.3 Зависимость остаточного давления от времени откачки при вакуумном объеме: 0,04 м 3 ; 0,5 м 3 ; 3 8 м 3 Рисунок 6.4 Зависимость коэффициента эжекции от давления эжектирующего газа: данные А.П. Меркулова, данные Н. Д. Колышева; 3 данные В.Т. Волова Исследования вихревых аппаратов, проводимые под руководством В. И. Метенина, привели к созданию противоточного вихревого эжектора (рисунок 6.5). При истечении эжектирующего газа из соплового аппарата в конической камере смешения 3 образуется вихревой поток, имеющий в приосевой зоне область пониженного давления, причем минимальное статическое давление устанавливается в сечениях, близких к широкому торцу камеры. В область разрежения через сопловой насадок вводится зжектируемый газ. Смесь газов из камеры смешения поступает в осевой 4, а затем и в щелевой 5 диффузоры, где кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию давления. По способности к вакуумированию противоточные эжекторы близки к эжекторам М. Г. Дубинского. К недостаткам таких эжекторов следует отнести малый коэффициент эжекции при прокачке газа. Противоточные эжекторы можно использовать для вакуумирования замкнутых объемов, когда отсасываемый газ используют в технологических схемах. В остальных случаях предпочтительнее применение прямоточных эжекторов.

78 78 Рисунок 6.5 Противоточный вихревой эжектор В.И. Метенина: сопло эжектирующего (активного) потока; сопло эжектируемого (пассивного) потока; 3 камера смешения; 4 осевой диффузор; 5 щелевой диффузор Расчет геометрических параметров вихревого эжектора, как правило, выполняется на основании обобщенных экспериментальных данных, которые сведены в таблицу 6. Таблица 6. Оптимальные геометрические параметры вихревых эжекторов [5] Прямоточный и Параметр Прямоточный вихревой эжектор в задачах смешения противоточный вихревые эжекторы в задачах вакуумирования 3 Относительная площадь F соплового ввода Fс F Относительный диаметр сопла пассивного потока d d d Относительная длина сопла пассивного потока l l d кс кс кс F с 0,7 π 0,4, где π p p с атм F 0. 0,5 d 0,7..0,9 d 0, l,75. 5 для прямоточного l,75. 5 для противоточного l 0,5..0,75

79 Соотношение диаметров вихревой камеры и камеры смешения dвк dвк d кс dвк Относительная длина lвк вихревой камеры lвк lвк.. d Относительная длина l камеры смешения lкс d Относительный радиус сопряжения диффузора Rдиф Rдиф d кс Относительный радиус входного сечения rдиф диффузора rдиф d кс кс кс кс Цилиндрический участок l кс, конический участок (угол 3..3,5 на одну сторону) l кс.. lкс lкс lкс Rдиф 0, 4 Rдиф 0. 0,5 для противоточного rдиф 0, 4..0, Примеры решения задач Задача. Определите приведенную скорость λ и статическое давление воздуха р на выходе из диффузора, если известно, что на входе в 5 диффузор полное давление р 3 0 Па, приведенная скорость λ = 0,85, отношение площадей выходного и входного сечений F /F =,5 и коэффициент сохранения полного давления σ р / р 0,94. диф Решение. Запишем уравнение неразрывности в виде р F q λ р F qλ T. T Пренебрегая теплообменом через стенки диффузора, имеем следовательно, T T и,

80 q 80 F. λ q λ σдиф F По таблицам газодинамических функций для λ = 0,85 находим q λ 0,979, тогда qλ 0,979 0, 43, 0,94,5 чему соответствует λ = 0,7 и π(λ ) = 0,958. p Поскольку π λ, то p p π λ σ p πλ p 5 0,9430 0,958,7 0 5 Па. 5 Ответ: λ = 0,7; p,7 0 Па. Задача. Необходимо рассчитать эжектор с параметрами газа на выходе из реактивного сопла двигателя 5 р 0 Па, T 900 К. 5 Параметры воздуха в боксе р,03 0 Па, T 300 К, статическое давление в выхлопной шахте p 4 =, Па, температура в шахте не должна превышать T 4 = 600 К. Решение. Определим потребный коэффициент эжекции. Из формулы (6.4) получаем или T T T n T 3 n G T T n. G T T Определяем безразмерные параметры р 0 π,94 ; 5 5 р,03 0 T 300 θ 0,333. T 900 Так как предполагается, что отношение давлений в сопле двигателя выше критического значения, а сопло выполнено нерасширяющимся, то примем, что эжектор работает на режиме критического истечения, то есть λ =. Найдем предельное значение λ, при котором в сечении запирания скорость эжектируемого воздуха достигнет скорости звука λ =. Для этого подставим в уравнение для критического режима работы эжектора

81 8 и n θ n π z θ q q λ λ qλ λ zλ zλ (6.3) (6.33) значения n θ 0,577, π,94, λ =. Задавая значения λ 82 8 уравнения λ3,06 представить в виде λ откуда следует 3 3 z λ3 λ3 4 z λ 3 z λ 3 4 z λ 0,854, qλ 0,974 ; Полное давление газа после смешения n n q q 3 π λ 0,635. θ 5 λ, p3 p,405 0 Па. λ3,38 0,974 α Статическое давление смеси в выходном сечении камеры p p π λ,405 0, ,895 0 Па на выбранном режиме ниже заданного давления в выхлопной шахте р 4 =, Па. Поэтому на выходе из камеры необходимо установить диффузор. Примем σ диф = 0,98, тогда 5 p4 p4 σдиф p3,377 0 Па ; π λ4 0, 764; p λ4 0,667 ; q λ 0,868; 4 f q 3 λ 0,974 λ σ 0,868 0,98 4 3,4. q 4 диф Таким образом, один из возможных вариантов эжектора, обеспечивающий заданные значения коэффициента эжекции и статического давления потока на выходе, определяется геометрическими параметрами F F4 α 0, 73; f,4. F F Ответ: α 0,73 ; f, Задачи для самостоятельного решения 6.. Вычислите коэффициент потерь для диффузора с соотношением поперечных сечений F /F = 3 при угле раствора α = 8º. 6.. Определите значения коэффициентов потерь конического диффузора и параметров газовой среды (k =,4) для входного и выходного сечений, если известно, что массовый расход газа равен G =, кг/с, давление торможения на входе р = 0,438 МПа, температура торможения 3

83 83 на входе T = 385 К, диаметры входного и выходного сечений d = 0,47 м, d = 0,08 м Оцените значение силы, с которой газовая среда действует на стенки проточной части конического диффузора для условий предыдущей задачи Воздух из окружающей среды через всасывающий карман с площадью F к = 9,4 м направляется в котельный дутьевой вентилятор. За нагнетателем установлен пирамидальный диффузор с участком внезапного расширения, причем длина диффузора равна его ширине во входном сечении. Площадь выходного сечения улитки вентилятора F 0 =,5,68 = 4,336 м. За улиткой установлен однолинзовый компенсатор температурных расширений. Площадь выходного сечений пирамидального диффузора F = 4,5 = 9 м. Площадь сечения прямоугольного канала за внезапным расширением F = 4,38,9 =,7 м. Расход воздуха G = 6, кг/с. Полное давление за вентилятором р в = 0745 Па. Определите суммарные потери давления для рассматриваемой схемы установки при температуре наружного воздуха 5 C Оцените возможность отрыва пограничного слоя при движении газовой среды (k =,4) в коническом диффузоре со степенью расширения F /F = 4,5, диаметром входного сечения d = 0, м и относительной длиной l/d = 4. При давлении торможения р = 0, МПа и температуре торможения T = 300 К приведенная скорость газа на входе в диффузор λ = 0, Выполните оценку коэффициента потерь на участке внезапного расширения цилиндрического канала со степенью расширения F /F = 4 с учетом коэффициентов неравномерности кинетической энергии (Кориолиса) α и импульса (Буссинеска) β, во входном и выходном сечениях равных α =,08, α =,, β =,03, β =, Эжектирующий газ имеет полное давление р = 0 5 Па, а эжектируемый р = 0 5 Па. Температуры торможения газов равны. Требуется определить геометрические параметры эжектора, обеспечивающего на выходе из диффузора дозвуковой поток смеси газов с возможно большим полным давлением при работе с коэффициентом эжекции n = 0,. Диффузор эжектора обычного дозвукового типа Воздушный эжектор состоит из сопла, через которое вытекает

84 84 активная струя, камеры подвода отсасываемого воздуха, смесительной камеры 3, в конце которой поток выровнен, и диффузора 4. Давление торможения перед соплом р = 0 5 Па, диаметр сопла d = 5мм. Температура T = 300 K. Найти массовый расход G через сопло, массовый расход G подсасываемого воздуха. Коэффициент эжекции n = G /G = 0,3. Трением пренебречь Рассчитайте прямоточный вихревой эжектор для эжектирования низконапорного потока, если задано, что расход эжектируемого воздуха G = 0,5 кг/с, давление и температура эжектирующего воздуха p = 0,3 МПа и T = 88 К, давление и температура окружающей среды p 4 = 0, МПа и Т 4 = 93 К. Диаметр камеры смешения d 3 = 30 мм, относительная площадь соплового ввода Fс 0, Рассчитайте прямоточный вихревой эжектор для вакуумирования замкнутой камеры. Объем вакуумируемой камеры равен 0,5 м 3, абсолютное давление после вакуумирования p = 0,0 МПа, время вакуумирования не более τ 0 с, температура сжатого воздуха T = 88 К. Давление и температура окружающей среды p 4 = 0, МПа и Т 4 = 93 К. 7. СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 7.. Основные понятия теории струйных течений Струйные течения используются в инженерной практике. Часто встречаются так называемые затопленные струи, когда вещество струи и вещество, заполняющее окружающее пространство, находятся в одинаковом фазовом состоянии, например, струя воздуха распространяется в неподвижном окружающем ее воздухе или в газе иного состава. В случае, когда вещество струи и вещество окружающего пространства находятся в разных фазовых состояниях, естественной границей струи является граница раздела фаз. Здесь пригодным оказывается определение понятия струи, которое дается в теории струй идеальной жидкости: струи — это такие течения, которые частично ограничены твердыми стенками, а частично, так называемыми, свободными поверхностями тока, на которых давление постоянно. Подразумевается, что струя истекает в покоящуюся среду. Данное определение, как правило, непригодно для затопленных струй. В последнем случае, более подходящим и общим, является следующее

85 85 определение: струей называется поток вещества, перемещающийся по инерции в почти постоянном направлении на расстояние многих своих поперечных размеров. Еще в XIX веке для расчета струй начали применять теорию потенциальных течений идеальной (невязкой) жидкости. Этот подход сохранил свое значение и успешно используется, когда граница струи является границей раздела фаз. Схема такого течения показана на рис. 7.а). Влево от точки В расположена твердая стенка, отделяющая движущую жидкость от покоящейся, вправо от точки В начинается граница струи (линия тока ψ = const), являющаяся поверхностью раздела фаз, свободной поверхностью тока и одновременно поверхностью тангенциального разрыва скоростей. В покоящейся жидкости давление p = p а постоянно, соответственно на свободной линии тока оно тоже постоянно. а) б) Рисунок 7. Схемы струйных течений: а) Схема течения струи идеальной жидкости; б) Схема течения струи вязкой жидкости Из постоянства интеграла Бернулли в потенциальном потоке следует постоянство скорости на свободной поверхности тока. В реальном струйном течении граница струи имеет более сложную структуру. Реальные жидкости и газы обладают вязкостью, поэтому по обе стороны раздела фаз образуются вязкие струйные пограничные слои, в пределах, толщины которых происходит сравнительно плавное изменение скорости сред окружающего пространства и струи. Схема такого течения представлена на рисунке 7., б. На границе раздела фаз скорости по обе стороны от границы одинаковы вследствие условия прилипания. В непосредственной близости от кромки B толщины пограничных слоев δ и δ невелики по сравнению с поперечным размером струи, и модель потенциального течения будет приемлемой. На большом удалении от кромки B толщины пограничных слоев становятся соизмеримы с

86 86 поперечным размером струи и в этом случае необходимо учитывать вязкие свойства среды. Рисунок 7. Схема струи с разделением на участки: потенциальное ядро струи; пограничный слой потенциального ядра; 3 переходный участок; 4 основной участок Наиболее простой случай струйного пограничного слоя имеет место при истечении жидкости с равномерным начальным полем скорости V 0 = const в среду, движущуюся с постоянной скоростью V н = const, так как при этом в начальном сечении струи толщина пограничного слоя равна нулю. Утолщение струйного пограничного слоя, состоящего из увлеченных частиц окружающей среды и заторможенных частиц самой струи, приводит с одной стороны к увеличению поперечного сечения, а с другой стороны к постепенному уменьшению потенциального ядра струи — области, лежащей между внутренними границами пограничного слоя. Схема струи с разделением на участки, предложенная Г. Н. Абрамовичем, изображена на рисунке 7.. Она остается одинаковой при ламинарном и турбулентном режимах течения. Согласно схеме струи (рисунок 7.), начальный участок струи состоит из ядра струи — с постоянным значением продольной скорости V 0 и пограничным слоем, в котором продольная составляющая скорости меняется от значения V 0 в ядре струи до значения V н на внешней границе

87 87 струи. Вниз по потоку пограничные слои утолщаются и в некотором сечении смыкаются. Здесь заканчивается начальный участок струи. За начальным участком следует небольшой протяженности переходный участок 3, на котором происходит сравнительно быстрая перестройка потока и приобретение им свойств характерных для основного участка струи 4, который распространяется от границы переходного участка до бесконечности. Как показывают многочисленные опыты, одним из основных свойств такой струи является постоянство статического давления во всей области течения (в некоторых случаях, например, при взаимодействии струи с каким-либо препятствием условие постоянства давления может нарушиться), вследствие чего скорость в потенциальном ядре струи остается постоянной. Размывание струи за пределами начального участка выражается не только в ее утолщении, но также и в изменении скорости вдоль ее оси. На некотором расстоянии от конца начального участка струйное течение приобретает такой же вид, как если бы течение жидкости происходило из источника бесконечно малой толщины (в осесимметричном случае источником служит точка, в плоскопараллельном случае прямая линия, перпендикулярная плоскости растекания струи); этот участок струи называется основным. Между основным и начальным участком струи заключен переходный участок. Часто пользуются упрощенной схемой струи и полагают длину переходного участка равной нулю; в этом случае сечение, в котором сопрягаются основной и начальный участки, называют переходным сечением струи. Если в расчетах переходный участок учитывают, то переходное сечение считают совпадающим с началом основного участка. Наиболее изученным видом турбулентной струи является затопленная струя, распространяющая в покоящейся среде. В дальнейшем будем рассматривать этот вид струи. 7.. Методика расчета осесимметричной затопленной струи Методика расчета основана на решении уравнений движения, теплообмена, и диффузии примеси с помощью теории пути смешения Прандтля, основывающейся на предположении об одинаковости механизмов турбулентного переноса количества движения, тепла и примеси.

88 88 На рисунке 7.3 схематически изображена свободная струя, разделенная на начальный и основной участки. Поместим начало координат в полюс струи. Рисунок 7.3 Расчетная схема свободной затопленной струи Расчет струи выполняется по следующим зависимостям. ) Осевая скорость для основного участка струи круглого сечения: Vm 0,96 0,96, (7.) V ax as 0 0,9 R R 0 0 где a эмпирическая константа, характеризующая структуру струи. По экспериментальным данным для осесимметричной струи а 0,07. ) В переходном сечении струи, от которого начинается основной участок, осевая скорость равна скорости истечения. Vm V, (7.) 0 откуда найдем абсциссу (безразмерное расстояние от полюса) переходного сечения струи: ax0 0,96 R. (7.3) 0 3) Для вычисления геометрических параметров начального участка струи используют формулу (7.3), а безразмерная ордината границы основного участка φ гр = 3,4. Отсюда находят глубину полюса ah0 0,94 R, (7.4) длину начального участка 0

89 89 as 0,67 0 R, (7.5) 0 коэффициент структуры потока в начальном участке a,6a, (7.6) ординату внутренней границы поперечного слоя ‘ φ 0,93, (7.7) и ординату внешней границы начального участка струи ‘ φ,05. (7.8) 4) Закон падения температуры вдоль оси основного участка турбулентной струи круглого сечения записывается в виде Tm 0. (7.9) T S 0 4, R 5) Профили концентрации примесей в струе: χ m 0,7. (7.0) χ as 0 0,9 R где χ избыточная концентрация точки струи; χ 0 избыточная концентрация в начальном сечении струи; χ m избыточная концентрация на оси соответствующего поперечного сечения струи Примеры решения задач Задача. Струя газа вытекает из сопла диаметром d 0 = 40 мм со скоростью V 0 = 30 м/с. Определить скорость на оси струи в сечении, отстоящем на расстоянии x = 0,5 м от среза сопла. Решение. Определим, к какому участку относится заданное сечение струи. Для этого вычислим длину начального участка 3 R0 00 xп 0,96 0,96 0, 74 м. a 0,07 Поскольку x п 90 90 Ответ: Vmax 4,м/с. Задача. Определить толщину пограничного слоя струи, вытекающей из сопла диаметром d 0 = 60 мм, в сечении, отстоящем на расстоянии x = 50 мм от среза сопла. Решение. Определим положение переходного сечения струи 3 R0 300 xп 0,96 0,96 0, 4 м. a 0,07 Расстояние от полюса струи до начального сечения R0 0,03 h0 0,9 0,9 0,4 м. a 0,07 Расстояние от начального сечения до переходного x п xп h0 0, 4 0,4 0, 88 м. Радиус струи на расстоянии х от среза сопла ax 0,07 0,5 Rx R0 х ctgα 3, 4 R0 3, 4 0,03 0, 066 м R 0 0,03. Ординату R я (радиус ядра постоянных скоростей в сечении х) найдем из соотношения R0 Rя x х х, откуда R п я 0 х п п п х х 0,88 0,5 R 0,03 0,044 м. 0,88 Толщина пограничного слоя Rпс Rx Rя 0,066 0,044 0,056 м. Ответ: Rпс 0,056 м. Задача 3. Струи газа вдуваются из сопел в поток воздуха, движущийся со скоростью V в = 30 м/с под углом α = 90º к направлению потока. Определите расстояние, на котором смыкаются оси струй, если диаметры сопел d =0 мм и d =30 мм, а скорости струй V г = 60 м/с, V г = 50 м/с. Плотность газа ρ г =,6 кг/м 3, плотность воздуха ρ в =,3 кг/м 3. Решение. Определим глубины проникновения струй в воздушный поток: 0,3 V ρ 0,3 60,6 h d 0,0 0,084 м ρ 0, 07 30,3, г г a Vв в

91 9 h 0,3 V ρ 0,3 50,6 d 0,03 0,05 м ρ 0, 07 30,3. г г a Vв в Расстояние, на котором смыкаются оси струй, S h h 0,084 0,05 0,89 м. Ответ: S 0,89 м Задачи для самостоятельного решения 7.. Определить расстояние от среза сопла до переходного сечения, если массовый расход круглой струи G = 0,0635 кг/с, плотность газа ρ г =,3 кг/м 3, а скорость истечения равна 50 м/с. 7.. Построить поле скорости струи на расстоянии х = 0,8 м от среза сопла, если массовый расход G = 0,3 кг/с, плотность газа ρ г =,9 кг/м 3, диаметр сопла d 0 = 70 мм Центробежный вентилятор нагнетает воздух в камеру печи с массовым расходом G = кг/с. Определить расход струи на расстоянии х = 0,5 м от среза сопла. Диаметр сопла d 0 = 00 мм Определить, на каком расстоянии от среза сопла происходит удвоение расхода струи, если диаметр сопла d 0 = 70 мм Определить отношение скоростей струи V max /V 0 в сечении, где происходит удвоение расхода струи. Диаметр сопла d 0 = 00 мм При какой скорости истечения струи из сопла диаметром d 0 = 00 мм средняя скорость струи на расстоянии х = 0,8 м от среза сопла будет равна V = 30 м/с В каком отношении должны находиться абсциссы сечений основного участка струи, в которых средняя скорость по расходу равна средней скорости по площади. Диаметр сопла d 0 = 00 мм Струя газа вытекает из сопла диаметром d 0 = 50 мм со скоростью V г = 90 м/с и вдувается в поток воздуха, движущийся со скоростью V в = 0 м/с под углом α = 90º. Построить траекторию оси струи, если плотность воздуха ρ в =,9 кг/м 3, а плотность газа ρ г =,45 кг/м 3.

92 9 8. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ 8.. РГР. Расчет сверхзвукового сопла Лаваля Задание Необходимо рассчитать основные параметры и размеры сопла Лаваля с конической сверхзвуковой частью круглого (либо прямоугольного) поперечного сечения, пренебрегая трением и теплообменом с окружающей средой. При расчетах считать известными расход воздуха через сопло G, статические давление и температуру на входе р, Т, статическое давление среды, в которую происходит истечение р, скорость на входе в сопло V, угол конусности сверхзвуковой части сопла φ (на одну сторону). Дозвуковую часть спрофилировать по формуле Витошинского. Выполнить эскизную прорисовку рассчитанного сопла Лаваля. Расчетная схема сопла Лаваля представлена на рисунке 8.. Варианты заданий приведены в таблице 8. вар. G, кг/с Рисунок 8. Расчетная схема сопла Лаваля Таблица 8. Варианты заданий к расчетно-графической работе р, МПа Т, К р, МПа V, м/с φ, Форма сопла в критическом сечении 3,8 3,5 98 0, круглое , 50 3,5 круглое ,8 00 4,5 квадратное , 50 4 прямоугольное (:) 5 4,3 3,9 30 0,5 85 3,5 круглое

93 ,7 80 3,5 прямоугольное (3:) 7 5 4,7 98 0, 70 4 квадратное 8 3,7 4, , прямоугольное (3:) , 50 3 круглое 0 4,6 4, 35 0, круглое 5,5 5, , квадратное 4,7 4,3 30 0, прямоугольное (5:) 3 5, ,7 70 3,5 квадратное 4 4, , прямоугольное (5:3) 5 5 5, 85 0, квадратное 6 3,9 5,5 95 0, 75 4 круглое 7 4,4 4,6 30 0, 90 3 прямоугольное (4:) 8 5, ,7 75 3,5 круглое 9 4, 5, 65 0, круглое 0 4,7 4,9 90 0, 60 4 квадратное Указания к выполнению При расчёте необходимо использовать следующие газодинамические функции: p k πλ λ p k ρ k ελ λ. ρ k ) По условию задачи трение и теплообмен не учитываются, поэтому параметры торможения в сечениях и равны между собой, т.е. T T, p p. ) Температуры торможения по известным Т и V : T и k k k, T определяем из уравнения энергии

94 94 T T T. k λ k 3) Давление торможения газодинамических функций p p p π λ p определим с использованием k k k λ. k 4) Критическая скорость звука определяется по зависимости k aкр RT. k 5) Размеры входного сечения определяются из уравнения расхода G V F, откуда площадь равна F ρ G ρ V Для частного случая осесимметричного круглого сопла Лаваля диаметр будет равен 4F d. π 6) Приведенный расход определяется по известному выражению через безразмерную скорость λ q Fкр k k k k F k λ λ λ или по таблицам газодинамических функций. 7) Размеры сопла в наименьшем (критическом) сечении определяются по зависимости F q λ F. кр В критическом сечении безразмерная скорость λкр и число Маха Mкр, откуда скорость газового потока в критическом сечении V кр a. Используя газодинамические функции, находим температуру газа в критическом сечении кр. p

95 95 k Tкр T λкр k, давление газа в критическом сечении k p p λ k плотность газа в критическом сечении кр кр k ρкр ρ λкр. k Диаметр критического сечения для случая круглого сопла равен 4F кр dкр. π 8) По функции π(λ ) определяем безразмерную скорость λ и скорость потока на выходе V k k k p. k p Температура воздуха на выходе из сопла k T T k. Найдём плотность газа в выходном сечении, используя газодинамическую функцию ε(λ) k. k Определим скорость газового потока в выходном сечении V a. кр 9) Площадь выходного сечения сопла F можно найти из уравнения неразрывности потока G F V либо с использованием газодинамической функции q(λ ) k k k k, F q F кр.

96 Диаметр выходного сечения для случая круглого сопла равен 96 d 4F. 0) Длина сверхзвуковой части сопла l определяется с учетом F кр, F и угла φ. Для осесимметричного круглого сопла Лаваля длина расширяющейся (сверхзвуковой) части будет равна d dкр l tg. ) Длина дозвуковой части сопла l, исходя из практики, составляет l 0. 0, l. ) Профилирование дозвуковой части сопла с переходом от F к осуществляется по формуле Витошинского rкр r, x ‘ rкр 3 l 3 r x ‘ l ‘ l где l приведенная длина сопла; x переменная координата вдоль 3 оси сопла, причем x = 0 во входном сечении; r и r кр радиусы входного и критического сечений сопла Лаваля, соответственно. В случае, если формулу Витошинского необходимо применить для плоского сопла Лаваля (прямоугольного сечения), величины r и r кр заменяются на значения полувысот сопла в этих сечениях, h / и h кр /, соответственно. Ширина c при этом остается постоянной по всей длине сопла, т.е. b = b кр = b. 8.. РГР. Расчет осесимметричной затопленной струи Задание Выполните расчет осесимметричной затопленной воздушной струи, если заданы начальные параметры: радиус сопла, из которого истекает струя R 0, начальная скорость истечения V 0, разность температуры между ядром струи и окружающей средой ΔT 0. Постройте зависимости изменения F кр

97 97 скорости, температуры, расхода, потенциальной и кинетической энергии, радиуса ядра постоянной массы, энтальпии вдоль оси струи. Варианты заданий приведены в таблице 8. Таблица 8. Варианты заданий к расчетно-графической работе варианта Радиус сопла R 0, м Начальная скорость истечения V 0, м/с Разность температуры ΔT 0, К 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Указания к выполнению Для выполнения расчета необходимо пользоваться расчетной схемой, приведенной на рисунке 7.3. ) Определяется полюс струи, который лежит глубже начального сечения струи на расстоянии от него, равном h0 0,94, R a 0

98 98 где h 0 глубина полюса, a экспериментальный коэффициент, равный a = 0,07. Отсюда определяется величина h 0. ) Тангенс угла расширения внешней границы определяется, как tg a 3,4a. 3) Далее определяется местоположение переходного сечения струи S0 0,67, откуда R a 0 0,67R0 S0. a 4)Радиус переходного сечения является постоянной величиной и не зависит от структуры струи. Для его определения используют соотношение Rп x0, откуда R h 0 0 R x гр R 0 0 п. h0 5) Соединяя центр переходного сечения с кромкой сопла, можно получить границу ядра постоянных скоростей V = V 0. Тангенс угла сужения границы ядра постоянных скоростей равен tg,5a. 6) Угол расширения пограничного слоя начального участка струи β состоит из суммы углов и ‘ ‘ β=α+α 7) Ширина пограничного слоя в произвольном сечении начального участка определяется зависимостью bп.с. a S 4,9, откуда R R ‘ 0 0 bп.с. 4,9 a S. Таким образом, ширина пограничного слоя зависит от расстояния до сопла S. Задаваясь рядом значений S и определяя для каждого из них b п.с., можно построить зависимость изменения ширины пограничного слоя вдоль оси струи. 8) Радиус струи на заданном расстоянии S от сопла определяется равенством Rгр S h0 a S 3,4, откуда R h R 0 0 0

99 99 R 3, 4a S R. гр 0 Аналогично п. 7, задаваясь рядом значений S, можно построить зависимость изменения полного радиуса струи R гр вдоль ее оси. 9) Осевая скорость на различных участках струи определяется следующим образом. От кромок сопла до переходного сечения струи, то есть по длине начального участка, осевая скорость равна скорости истечения V m = V 0. Длина начального участка определяется выражением a S 0,67, откуда R 0 0, 67R S 0. a Безразмерная осевая скорость для основного участка струи круглого сечения определяется выражением Vm 0,96 0,96, откуда V a x a S 0 0,9 R R 0 0 V m 0,96V 0. a S 0,9 R Очевидно, что значение скорости V m будет уменьшаться по мере увеличения длины S. Задаваясь рядом значений S, можно построить зависимость изменения осевой скорости для основного участка вдоль струи. 0) Закон уменьшения температуры вдоль оси основного участка турбулентной струи круглого сечения имеет вид Tm 0,7 0, 7, откуда T a x a S 0 0,9 R R T ,7 T. a S 0,9 R m 0 В ядре постоянных скоростей начального участка следует полагать температуру постоянной и равной температуре истечения ΔT 0. Однако на оси струи основного участка температура будет понижаться с увеличением длины S. Задаваясь рядом значений S и определяя для каждого из них 0

100 00 избыточную температуру на оси струи основного участка, можно построить T f S. зависимость m Из приведенных выше зависимостей нетрудно заметить, что в начале основного участка струи осевая температура ΔT m ниже температуры истечения ΔT 0. Это свидетельствует о том, что переходное сечение для профилей температуры расположено несколько ближе к началу струи, чем переходное сечение для профилей скорости. Полученное противоречие, не имеющее большого практического значения, можно устранить введением особого переходного участка струи, который расположится между начальным и основным участками. ) Секундное количество воздуха, протекающее сквозь поперечное сечение основного участка струи, равно Q R гр V RdR. 0 Расход воздуха в долях от его величины в начальном сечении выражается зависимостью Q as ah 3,4 0 Vm V q d Q 0 0 R0 R0 V. 0 V0 В представленном выражении отношение Vm 0,96 V, а интеграл a S 0 0,9 R 0 0 3,4 V d,38 V 0 Тогда с учетом этого после преобразований формула безразмерной величины расхода воздуха на основном участке осесимметричной струи примет вид as q,8 0, 9. R0 Расход воздуха на начальном участке струи может быть представлен в виде суммы расходов ядра постоянных скоростей и пограничного слоя: Q Q Q πr V π VRdR, я п.с. 0 R R

101 0 где R радиус ядра постоянных скоростей, R = R гр радиус внешней границы пограничного слоя. Если выразить расход Q в долях от начального расхода Q 0, то можно получить,05,05 Q as as V as V q,5 3, d 5, d Q0 R0 R 0 V 0,93 0 R. 0 V 0,93 0 Вычисление интегралов по таблицам [0] приводит к следующим значениям,05 V d,7 ; V 0,93 0,05 V d 0,8. V 0,93 Заменяя интегралы их численными значениями, можно получить формулу для безразмерного значения расхода воздуха на начальном участке осесимметричной струи as as q 0,76,3. R0 R0 Рассчитывая значения безразмерного расхода на начальном и основном участках струи при различных значениях S, можно построить зависимость изменения расхода вдоль оси. ) Безразмерный запас энергии на основном участке осесимметричной струи измеряется величиной Rгр 3 3 3,4 3 E V RdR 0 Vm as V e 0, 9 φdφ 3 E0 V0 R0 V R. 0 V 0 m Согласно [0] значение интеграла 3,4 V φdφ 0,33 V. 0 m Отношение скоростей V m /V 0 определяется выражением Vm 0,96. V as 0 0,9 R 0 3 Учитывая два вышеприведенных равенства, можно преобразовать выражение для определения безразмерного запаса энергии на основном участке осесимметричной струи к виду 0

102 0 e 0,59. as 0,9 R 0 Безразмерный запас энергии на начальном участке определяется выражением,05 3,05 3 E as as V as V e,5 3, dφ 5, φdφ E0 R0 R0 V 0,93 0 R0 V 0,93 0 Определенные интегралы вычисляем по таблицам [0] 3.,05,05 V dφ 0,6 V ; V φdφ 0,308 0,93 0 V. 0,93 0 Заменяя интегралы их численными значениями, и преобразуя полученное выражение, формула безразмерного запаса энергии на начальном участке осесимметричной струи примет вид as as e,03 0,68. R0 R0 Рассчитывая значения безразмерного запаса энергии на начальном и основном участках струи при различных значениях S, можно построить e, e f S. зависимость 3) Значение безразмерной средней арифметической скорости в поперечном сечении струи равно отношению расхода к площади сечения Vср q. V V m R m гр R V0 0 На основном участке струи безразмерная величина средней скорости оказывается константой, что объясняется подобием скоростных профилей в различных сечениях основного участка струи as as,8 0, 9 0, 9 V ср R0 R0 0,96. Vm as 3, 4 0, 9 0,96 R0 Помимо полученной выше безразмерной средней скорости большое значение имеет безразмерная среднеквадратичная скорость, которая представляет собой отношение импульса, протекающего в единицу времени 3

103 03 сквозь поперечное сечение струи, к массовому расходу жидкости в том же поперечном сечении. Вследствие постоянства импульса струи его величина равна ρv0 πr 0, тогда как массовый расход составляет qρv0πr 0. Отсюда можно получить выражение для среднеквадратичной скорости V0 Vср q. В безразмерном виде это уравнение выглядит следующим образом Vср. V V m m q V Таким образом, безразмерная средняя квадратичная скорость на основном участке струи круглого сечения составляет: Vср 0,476 V. m На начальном участке струи величина безразмерной средней арифметической скорости равна as as 0, 76,3 V q R R V R as as 6,8,56 R R R ср гр а безразмерная средняя квадратичная скорость выражается следующим образом V ср. V0 q as as 0,76,3 R0 R0 Рассчитывая значения средней арифметической и средней квадратичной безразмерных скоростей на начальном и основном участках осесимметричной струи при различных значениях S, можно построить зависимости их изменения вдоль оси струи. 4) Используя теорему о равенстве безразмерных значений средней температуры и средней квадратичной скорости в произвольном сечении произвольного участка струи T ср T V V ср 0 0,

104 04 или, подставляя известные значения скоростей, можно получить Tср 0,476 Tср ; 0,66. T as 0 0,9 Tm R 0 Полученные выражения характеризуют безразмерное значение средней температуры в поперечном сечении основного участка струи. Тот же закон получается и для средних концентраций примесей в поперечном сечении основного участка струи ср 0,476 ср ; 0,66. as 0 0,9 0 R где ср 0 средняя избыточная концентрация примесей в поперечном сечении струи; m и 0 значения избыточных концентраций на оси данного сечения и в начальном сечении, соответственно. 5) Границы ядра первоначальной массы струи могут быть определены из условия постоянства расхода в ядре q a =. Безразмерный расход на основном участке ядра постоянной массы равен Введем обозначение интеграла q a as V,9 0, 9 φ dφ R V φ a 0 0 m. B Учитывая, что q a =, откуда B φ a φ a 0 V V m φ dφ. V 0,5 φ dφ. V as 0 m 0,9 R Последнее выражение дает возможность вычисления безразмерного радиуса ядра постоянной массы в области основного участка круглой струи R a as 0,9 φa. R0 R0 Ra Вычисление отношения происходит по следующему принципу: R а) По заданному значению as R определяют величину В ;

105 05 б) Из рисунка 8. по зависимости B f φa соответствующие значения φ f B. a Ra в) По приведенной выше формуле находят R. 0 отыскивают Рисунок 8. Зависимости B f φ [0] a Таким образом рассчитываются значения R a для основного участка струи. Если считать, что в пределах начального участка граница ядра постоянной массы прямолинейна, то можно вывести формулу безразмерного радиуса ядра постоянной массы для начального участка струи R a as 0,3. R R 0 0 Подставляя численные значения R 0 и a, вычисляя R a при различных значениях длины S строят зависимость изменения ядра постоянной массы вдоль оси струи. 6) Безразмерная энергия ядра постоянной массы в основном участке струи определяется зависимостью e a,78 as 0,9 R Введем обозначение интеграла B 0 3 φ φ 3 a V φ dφ. V 0 m a V φ dφ V. 0 m 3

106 06 Его значения вычислены по таблицам [0] и приведены на рисунке 8.. Безразмерная кинетическая энергия ядра постоянной массы на начальном участке струи находится по зависимости 0, 3 0, 3 as as V as V e a,5 3, dφ 5, φdφ R R V R V , ,93 0 Численные значения интегралов определяют по таблице [0] 3 0, 0, V dφ 0,58 V ; V φdφ 0,30 0,93 0 V. 0,93 0 Подставляя вместо интегралов их численные значения, можно получить следующую формулу для расчета безразмерной энергии ядра постоянной массы на начальном участке as as e a,4 0,6. R0 R0 Расчет e a и e a для различных значениях длины S позволяет построить зависимости a a e, e f S. 7) Безразмерная средняя квадратичная скорость в ядре основного участка круглой струи выражается равенством φ a V φdφ V V B ср 0 m φa Vm B a V φdφ V 0 m Значения интегралов В и В определяются из таблиц [0] или из рисунка 8.. Безразмерную среднюю квадратичную скорость ядра на начальном участке можно найти из выражения 0, 0, V ср as as V as V,5 3, dφ 5, φdφ V R R V R V , , Значения содержащихся в этом выражении интегралов можно найти по таблицам [0] 0, 0,93 V dφ 0,70 V ; 0 0, 0,93 V φdφ 0,349 V. 0

107 07 Отсюда выражение для определения безразмерной средней квадратичной скорости в ядре первоначальной массы начального участка струи после преобразований примет вид V ср as as 0,76 0,47. V0 R a 0 R0 Рассчитывая значения средней квадратичной скорости в ядре начального и основного участков струи при различных значениях S, можно построить зависимости изменения отмеченных параметров вдоль струи. 8) Энтальпия в ядре первоначальной массы струи в пределах основного участка, выраженная в долях от энтальпии в начальном сечении, может быть найдена следующим образом: φ a πrv TdR φa i a 0 as Tm Vm V T 0, 9 φ φ d i0 πr0v0 T0 R0 T0 V. 0 V 0 m Tm Учитывая, что T T m V V m ; V V m 0,96 as 0,9 R 0 T T ; m 0 0,7, as 0,9 R тогда безразмерная величина энтальпии первоначальной массы в основном участке осесимметричной струи равна φ a i a V,35 φ dφ i 0 V. 0 m Значения интеграла, являющегося множителем в последнем выражении, вычисляются по таблице [0]. Рассчитывая значения энтальпии в ядре первоначальной массы струи на начальном и основном участках при различных значениях S, можно построить зависимость изменения энтальпии вдоль оси струи КУРСОВАЯ РАБОТА Курсовая работа по механике жидкости и газа заключается в расчете и проектировании эжекторного устройства по одному из заданий, приведенных ниже.

108 08 Задание. Необходимо рассчитать струйный эжектор с параметрами газа на выходе из реактивного сопла двигателя р, T. Параметры воздуха в боксе р =, Па, T =300 К. Статическое давление в выхлопной шахте p 4 =, Па, температура в шахте не должна превышать T 4. Схема установки показана на рисунке 9.. Варианты заданий приведены в таблице 9.. Рисунок 9. Схема стенда для испытания турбореактивных двигателей: — входная шахта, — двигатель на балансирном станке, 3 — эжектор, 4 — выхлопная шахта. варианта Варианты заданий к курсовой работе (задание ) Полное Полная Полная давление температура температура Таблица 9. Расход эжектирующего газа G, г/с эжектирующего эжектирующего в шахте T 4, газа р, Па газа T, К К, , , , , , , ,

109 09 Задание. Эжектирующий газ имеет полное давление эжектируемый р, а р. Температуры торможения газов равны. Требуется определить геометрические параметры струйного эжектора, обеспечивающего на выходе из диффузора дозвуковой поток смеси газов с возможно большим полным давлением при работе с коэффициентом эжекции n. Диффузор эжектора обычного дозвукового типа. Варианты заданий приведены в таблице 9.. Таблица 9. Варианты заданий к курсовой работе (задание ) варианта Полное давление эжектирующего газа р, Па Полное давление эжектируемого газа р, Па Коэффициент эжекции n Расход эжектирующего газа G, г/с , , , , , , 0 5 0, , , , 0 5 0, , , , , , 0 5 0, , ,5 80 Указания к выполнению заданий и ) Расчет режимных параметров эжектора выполняется в соответствии с разделами 6., 6.4 настоящего пособия. Эжектор следует рассчитывать для работы на критическом режиме λ =, позволяющем получить максимальный коэффициент эжекции. Схема эжектора приведена на рисунке 6.. ) По зависимостям (6.), (6.5), (6.3) рассчитываются коэффициент эжекции n, безразмерные параметры θ, π. 3) Величина приведенной скорости эжектируемого потока λ определяется с использованием уравнений (6.3) и (6.33). Задаваясь рядом ‘ значений λ, из каждого уравнения определяется соответствующее значение λ.

110 0 Совместное решение системы уравнений (6.3) и (6.33) необходимо искать графическим методом, т.е. по пересечению графиков функции λ = f ( λ ‘ ) (рисунок 9.). Для этого следует составить таблицы для функций согласно таблице 9.3. Таблица 9.3 Расчет газодинамических функций для струйного эжектора ‘ ‘ λ λ q q λ ‘ λ q λ, 0,9880,009,3 0,8969,069,5 0,7307,7,7 0,587,9,9 0,300,43, 0,98,58,3 0,075,73 z z λ z λ Рисунок 9. Примерный вид зависимостей λ = f ( λ ) ‘ 4) На основании найденного значения приведенной скорости эжектируемого потока λ решается основное уравнение эжекции (6.8) и определяются величины z(λ 3 ), λ 3, π(λ 3 ) и q(λ 3 ). 5) По зависимости (6.30) рассчитывается значение полного давления смеси p 3 на выходе из камеры смешения. С использованием газодинамической функции π(λ 3 ) определяется статическое давление смеси p 3. 6) В соответствии с указанными выше зависимостями строится график зависимости полного давления на выходе из камеры смешения p 3 от

111 коэффициента эжекции n. Примерный вид зависимости приведен на рисунке 9.3. Рисунок 9.3 Примерный вид зависимости n = f ( p 3 ) 7) На основании величины статического давления на выходе из камеры смешения определяется необходимость установки диффузора. Поскольку в диффузоре происходит преобразование кинетической энергии потока в потенциальную энергию давления, то его установка необходима в случае p 3 112 f q λ λ σ 3. q 4 диф 9) Расчет геометрических параметров эжектора сводится к следующему. Площадь критического сечения сопла эжектирующего газа определяется с использованием уравнением расхода G V F, (9.) откуда F G (9.3) V Для вычисления этого выражения необходимо найти скорость в критическом сечении эжектирующего сопла и плотность эжектирующего газа. Поскольку в рассматриваемом сечении λ =, то абсолютная скорость будет равна k V aкр RT (9.4) k Плотность эжектирующего потока можно определить из уравнения состояния идеального газа p (9.5) RT Статические давление p и температура T находится из соотношений p p k λ k k k, (9.6) Т к λ. (9.7) Т к Рассчитав площадь поперечного сечения сопла эжектирующего потока можно определить его диаметр по зависимости 4F d. (9.8) π Аналогичным образом вычисляются геометрические параметры сопла эжектируемого потока, камеры смешения и диффузора. Длина камеры смешения выбирается из соотношения L 8.. d, к.с. 3 длина диффузора определяется из условия, что угол раскрытия на одну сторону не должен быть больше величины 6.

113 3 0) На основании проведенных расчетов разрабатывается конструкторская документация струйного эжекторного устройства (чертеж общего вида и спецификация). Задание 3. Сжатый воздух с параметрами р и T подается на вход в вихревой эжектор. Расход воздуха G. Через сопло пассивного потока осуществляется эжекция воздуха из магистрали с параметрами p = 0 5 Па и T = 88 К. Коэффициент эжекции n. Требуется рассчитать вихревой эжектор, если получаемая смесь подается в среду с параметрами p 4 и T 4. Схема эжектора показана на рисунке 6.. Варианты заданий приведены в таблице 9.4. Таблица 9.4 Варианты заданий к курсовой работе (задание 3) вар иан та Полное давление эжектиру ющего газа р, Па Полная температ ура эжектиру ющего газа T, К Расход эжектир ующего газа G, г/с Давлен ие на выходе p, Па 4 Темпе ратура на выход T, К е 4 Коэф фицие нт эжекц ии n , , , , 3, , ,3 4, , ,4 5 3, , , , , 7, , , , ,7 9, , ,5 Тип эжектора противот очный прямото чный противот очный прямото чный противот очный прямото чный противот очный прямото чный противот очный

114 4 0 3, , ,8 прямото чный Указания к выполнению задания 3 ) Расчет режимных параметров эжектора выполняется в соответствии с разделами 6.3, 6.4 настоящего пособия. Эжектор следует рассчитывать для работы на критическом режиме λ =, позволяющем получить максимальный коэффициент эжекции. Схема эжектора приведена на рисунках 6. и 6.5. ) В соответствии с уравнением расхода рассчитывается площадь соплового ввода F c p F G K q c λ Т F G Т c K p qλ, откуда. (9.9) 3) На основании таблицы 6. определяется относительная площадь соплового ввода F с. 4) Высота h и ширина b заходов соплового ввода определяются из уравнения Fc b h m, где m количество заходов соплового ввода. На практике величина m варьируется в диапазоне m =..4. Наиболее эффективная организация закрутки потока в сопловом вводе достигается при соотношении высоты и ширины в пропорции h/b = ½. 5) Площадь F кс и диаметр учетом соотношения d кс камеры смешения рассчитываются с F F 4F F F d. c c кс c кс кс Fкс Fc π 6) На основании заданного коэффициента эжекции n рассчитывается расход эжектируемого газа G G n. 7) На основании таблицы 6. определяются диаметр d и длина l сопла пассивного потока, диаметр d вк и длина l вк вихревой камеры.

115 M 5 8) Параметры эжектируемого потока определяются по зависимостям: p G 4G плотность ρ, скоростьv, число Маха RT ρ F ρ π d V k R T. 9) По рассчитанному числу Маха M с использованием таблиц газодинамических функций определяются значения λ, π(λ ), τ(λ ), z(λ ). 0) С использованием зависимостей (.3) и (.33) определяются параметры торможения эжектируемого потока. ) Температура торможения смеси газа на выходе из камеры смешения определяется из закона сохранения энергии (6.4). Для случая Q = 0 она равна T nt T3. (9.0) n ) На основании найденного значения приведенной скорости эжектируемого потока λ решается основное уравнение эжекции (6.8) и определяются величины z(λ 3 ), λ 3, π(λ 3 ) и q(λ 3 ). 3) По зависимости (6.30) рассчитывается значение полного давления смеси p 3 на выходе из камеры смешения. С использованием газодинамической функции π(λ 3 ) определяется статическое давление смеси p 3. 4) Расчет диффузора эжектора сводится к определению скорости и полного давления на выходе из него, а также степени расширения. Параметры на входе в диффузор соответствуют параметрам на выходе из смесительной камеры. Давление торможения p можно определить, зная и задаваясь коэффициентом сохранения полного давления σ диф p4 σдиф 0,95..0,99. (9.) p 3 На основании рассчитанного значения p 4 и заданного по условию p 4 определяют газодинамическую функцию π(λ 4 ) и далее по таблицам λ 4 и q(λ 4 ). Степень расширения и площадь выходного сечения диффузора можно определить из уравнения сохранения массы, которое для рассматриваемого случая можно записать в безразмерном виде р F q 4 λ р F qλ T. T 3 4 p 3

116 6 Пренебрегая теплообменом через стенки диффузора, имеем следовательно, q λ3 d, кс 4 3 q λ4 σдиф 4 f F f F f. T T и, 3 4 В случае установки на вихревой эжектор конического осевого диффузора его расчет осуществляется по тем же зависимостям, что и для струйного эжектора. 5) На основании проведенных расчетов разрабатывается конструкторская документация вихревого эжекторного устройства (чертеж общего вида и спецификация). ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Раздел. b.. x y at x y const. x y const..3. u = a, v = b, u a, ψ ay bx. y.4. ψ x, y. x y.5. u x..6. y x 4xy u ; v x y x y касающиеся оси Ox в точке O..7. Уравнение траектории x + y =..8. Удовлетворяет. v y x const..9.. Линии тока окружности, b.0. y x c уравнение семейства плоскостей, перпендикулярных a b плоскости xoy; y z c уравнение семейства плоскостей, c перпендикулярных плоскости yoz; Пересечение этих семейств даст семейство прямых,которые будут линиями тока.

117 7.. y cx семейство плоскостей, проходящих через ось Oz; y cz семейство плоскостей, проходящих через ось Ox; Пересечение этих семейств даст линии тока, представляющие собой прямые, проходящие через начало координат движение из точечного источника мощностью Q. x y c уравнение плоского вихря..3. y cx плоский источник..4. wx 0 3,9 м/с, wx 0,5 4, 5 м/с, wx 0,5 4,5 м/с..5. wx 0, wx..6. wy0 wmax 3,9, wy a x = -cosec t; a y = cosec(t)..8. a b..9. a = 7,5 м/с..0. Движение возможно. ω = 5 с -. Раздел. G = 7,67 кг/с. V = 3, м/с..3. М =,4; λ =, a = 446,6 м/с..5. p = 0, Па; T = 39,9 К; ρ = 0,68 кг/м 3 ; a = 347, м/с; a кр = 37,3 м/с..6. p =, Па; T = 587,9 К; i = 733,7 кдж/кг..7. V = 448, м/с; М =,, поток сверхзвуковой..8. Т = 444,4 К..9. М = 0,837. ρv.0. =,4 0 5 Па. G кр = 4,3 кг/с. p = 4,6 0 5 Па..3. Расход уменьшится на 0,5%..4. В,4 раза..5. Расход увеличится вдвое..6. G /G =, G кр =,75 кг/с..8. V = 6,33 м/с; G = 5, кг/с.

118 8 V.9.,44 V ; p 0,5 p ; T 0,83 T ; ρ 0,68 ρ ; F, F..0. a = a кр = 455,5 м/с; V max = м/с. р =, Па; G = 0,56 кг/с. V = 48 м/с..3. V = 88,5 м/с; G = 0,83 кг/с; T а = 6 К; p а = 48,8 0 5 Па..4. G =,35 кг/с..5. Δp = 0,9 0 3 Па..6. V = 40 м/с; М = 0, М =,35; T = 456 К..8. V = 3, м/с; T = 9, К..9. P = 9 кн..30. P = 9,36 кн. Раздел λ max = 0, T = 89, К V = 46,4 м/с; Т = 688, К; р =,4 0 5 Па q 9,6 0 Дж/кг; Т = 37,8 К V = 6,5 м/с; р = 0, Па; q = 5 кдж/кг. F F q λ кр 3.7. V = 83,3 м/с; Т = 356, К V = 68,4 м/с, T = 63,8 К, p =,9 0 5 Па T T,5 ; p p 0, q 76,50 Дж/кг. 3.. λ = 0,58; 3.. T = 0 К. 3 q 943,7 0 Дж/кг; T = 339 К; p = 8,3 0 5 Па q 57, 0 Дж/кг; T = 756 К; p =,6 0 5 Па Для изотермического процесса V = 450 м/с; M =,46; Для адиабатного процесса V = 45 м/с; M =,45; 3.5. λ min =, q max = 70,7 кдж/кг ρ /ρ = 0; T /T =,98; и p /p =, l max = 445 м V = 37,3 м/с V max = 3,3 м/с. T = 3 К. T = 48 К.

119 9 3.. G /G = 0,; p =,4 0 5 Па; T = 00 К. Раздел V = 59 м/с; p = 6,0 0 5 Па; T = 585, К. 4.. V в = 648 м/с; V = V в — V п = 48 м/с При ударном сжатии ρ /ρ = 3,8; при изоэнтропном сжатии ρ /ρ = 5, ρ /ρ = 4,34; ρ ρ = 0, σ = 0, Найти V = 464,9 м/с; ω = 35, V = 43 м/с в случае сильного скачка; V = 373 м/с в случае слабого скачка T /T =, M /M =, T /T =,77и ρ /ρ =, p =,0 0 5 Па; T = 364 К; V = 0 м/с; p =,7 0 5 Па. 4.. M = 4, α = 49 и λ =,3 в случае слабого скачка; α = 79 и λ = 0,73 в случае сильного скачка p =, Па; p = 5, Па; p = 5, Па α = 4 ; ω =,6 ; p /p = 4,35; p 3 /p = 3, 120 V =,77 м/с l = 0,65 м; Re x = 6,3 0 3 пограничный слой ламинарный l = 0,86 м; δ = 6,9 мм При x = 50 мм δ = 0,7 мм, (ω z ) y = 0 = -3,7 0 5 рад/с, (ω z ) y = δ = 0. При x = 00 мм δ =,4 мм С учетом сжимаемости при x = 0, м δ = 0,7 мм, c f = 0, Без учета сжимаемости при x = 0, м δ = 0,587 мм, c f = 0, F тр = 7,3 Н. 5.. δ = 9, мм. 5.. F тр = 75,4 Н; δ = 38,6 мм М ид = ; М д =, М ид = ; М д =,75. Раздел σ диф = 0,94..0, ξ п = 0,48; ξ в = 0,; ξ в.с. = 0,7; p =,4 0 5 Па; p =, Па; ρ =,9 кг/м 3 ; ρ =,3 кг/м 3 ; V = 50,3 м/с; V = 5 м/с F = 48 Н Δp = 7 Па Отрыв пограничного слоя возможен в сечении диффузора с диаметром d s = 0,38 м ξ в.р. = 0, α = 0,83; f =, G = 0,075 кг/с; G = 0,0 кг/с n = 0,89; G = 0,68 кг/с; d = 0 мм p =,5 0 5 Па; G = 0, кг/с; Fс 0,. Раздел x п = 0,69 м G x = 5,59 кг/с x = 0,34 м V max /V 0 = V 0 = 94 м/с x G / x F =,38.

121 ПРИЛОЖЕНИЕ А. Таблицы газодинамических функций k =,4 λ T p ρ τλ πλ ε λ T p ρ q(λ) y(λ) z(λ) M 0,00,0000,0000,0000 0,0000 0, ,0,0000 0,9999,0000 0,058 0,058 00,000 0,009 0,0 0,9999 0,9998 0,9998 0,035 0,036 50,000 0,083 0,03 0,9999 0,9995 0,9996 0,0473 0, ,3633 0,074 0,04 0,9997 0,999 0,9993 0,063 0,063 5,0400 0,0365 0,05 0,9996 0,9985 0,9990 0,0788 0,0789 0,0500 0,0457 0,06 0,9994 0,9979 0,9985 0,0945 0,0947 6,767 0,0548 0,07 0,999 0,997 0,9980 0,0 0,05 4,3557 0,0639 0,08 0,9989 0,9963 0,9973 0,59 0,63,5800 0,073 0,09 0,9987 0,9953 0,9966 0,45 0,4,0 0,08 0,0 0,9983 0,994 0,9958 0,57 0,580 0,000 0,094 0, 0,9980 0,9930 0,9950 0,76 0,739 9,009 0,005 0, 0,9976 0,996 0,9940 0,88 0,897 8,4533 0,097 0,3 0,997 0,990 0,9930 0,036 0,056 7,83 0,88 0,4 0,9967 0,9886 0,999 0,90 0,6 7,89 0,80 0,5 0,9963 0,9869 0,9907 0,344 0,375 6,867 0,37 0,6 0,9957 0,985 0,9894 0,497 0,535 6,400 0,464 0,7 0,995 0,983 0,9880 0,649 0,695 6,054 0,556 0,8 0,9946 0,98 0,9866 0,80 0,855 5,7356 0,648 0,9 0,9940 0,979 0,9850 0,95 0,305 5,453 0,740 0,0 0,9933 0,9769 0,9834 0,303 0,376 5,000 0,83 0, 0,997 0,9745 0,987 0,35 0,3337 4,979 0,94 0, 0,999 0,97 0,9800 0,340 0,3499 4,7655 0,06 0,3 0,99 0,9695 0,978 0,3549 0,3660 4,5778 0,09 0,4 0,9904 0,9668 0,976 0,3696 0,383 4,4067 0,0 0,5 0,9896 0,9640 0,974 0,384 0,3985 4,500 0,94 0,6 0,9887 0,96 0,97 0,3987 0,448 4,06 0,387 0,7 0,9879 0,958 0,9699 0,43 0,43 3,9737 0,480 0,8 0,9869 0,9550 0,9677 0,474 0,4475 3,854 0,573 0,9 0,9860 0,958 0,9653 0,446 0,4640 3,7383 0,666 0,30 0,9850 0,9485 0,969 0,4557 0,4804 3,6333 0,759 0,3 0,9840 0,945 0,9604 0,4697 0,4970 3,5358 0,853 0,3 0,989 0,945 0,9579 0,4835 0,535 3,4450 0,946 0,33 0,989 0,9379 0,955 0,4973 0,530 3,3603 0,3040 0,34 0,9807 0,934 0,955 0,509 0,5469 3,8 0,334 0,35 0,9796 0,9303 0,9497 0,544 0,5636 3,07 0,38 0,36 0,9784 0,964 0,9469 0,5377 0,5804 3,378 0,33 0,37 0,977 0,94 0,9439 0,5509 0,5973 3,077 0,347 0,38 0,9759 0,983 0,9409 0,5640 0,64 3,06 0,35 0,39 0,9747 0,94 0,9378 0,5770 0,63,954 0,3606 0,40 0,9733 0,9097 0,9347 0,5897 0,6483,9000 0,370

122 λ T p ρ τλ πλ ε λ T p ρ q(λ) y(λ) z(λ) M 0,4 0,970 0,9053 0,934 0,604 0,6654,8490 0,3796 0,4 0,9706 0,9008 0,98 0,649 0,686,800 0,389 0,43 0,969 0,896 0,947 0,67 0,6999,7556 0,3987 0,44 0,9677 0,895 0,93 0,6394 0,77,77 0,4083 0,45 0,9663 0,8868 0,977 0,655 0,7346,67 0,479 0,46 0,9647 0,889 0,94 0,6633 0,75,6339 0,475 0,47 0,963 0,8770 0,905 0,6750 0,7697,5977 0,437 0,48 0,966 0,879 0,9067 0,6866 0,7874,5633 0,4468 0,49 0,9600 0,8668 0,909 0,6979 0,805,5308 0,4565 0,50 0,9583 0,866 0,899 0,709 0,830,5000 0,4663 0,5 0,9567 0,8563 0,895 0,70 0,840,4708 0,4760 0,5 0,9549 0,850 0,89 0,730 0,8590,443 0,4858 0,53 0,953 0,8455 0,8870 0,746 0,877,468 0,4956 0,54 0,954 0,8400 0,889 0,75 0,8953,399 0,5054 0,55 0,9496 0,8344 0,8787 0,763 0,937,368 0,55 0,56 0,9477 0,887 0,8744 0,774 0,93,3457 0,55 0,57 0,9459 0,830 0,870 0,783 0,9506,344 0,5350 0,58 0,9439 0,87 0,8657 0,790 0,9693,304 0,5450 0,59 0,940 0,8 0,86 0,805 0,9880,849 0,5549 0,60 0,9400 0,8053 0,8567 0,808,0069,667 0,5649 0,6 0,9380 0,7993 0,85 0,899,059,493 0,5750 0,6 0,9359 0,793 0,8474 0,888,0450,39 0,5850 0,63 0,9339 0,7870 0,847 0,8375,064,73 0,595 0,64 0,937 0,7808 0,8380 0,8460,0835,05 0,6053 0,65 0,996 0,7745 0,833 0,8543,030,885 0,654 0,66 0,974 0,768 0,883 0,863,6,75 0,656 0,67 0,95 0,767 0,833 0,870,44,65 0,6359 0,68 0,99 0,7553 0,883 0,8778,6,506 0,646 0,69 0,907 0,7487 0,833 0,885,8,393 0,6565 0,70 0,983 0,74 0,808 0,894,04,86 0,6668 0,7 0,960 0,7355 0,8030 0,8994,7,85 0,677 0,7 0,936 0,789 0,7978 0,906,43,089 0,6876 0,73 0,9 0,7 0,795 0,96,638,0999 0,698 0,74 0,9087 0,754 0,787 0,989,845,094 0,7086 0,75 0,9063 0,7085 0,788 0,950,3055,0833 0,79 0,76 0,9037 0,707 0,7764 0,9308,366,0758 0,798 0,77 0,90 0,6948 0,770 0,9364,3478,0687 0,7404 0,78 0,8986 0,6878 0,7654 0,948,369,06 0,75 0,79 0,8960 0,6808 0,7599 0,9470,3908,0558 0,769 0,80 0,8933 0,6738 0,7543 0,959,46,0500 0,777 0,8 0,8907 0,6668 0,7486 0,9565,4346,0446 0,7835 0,8 0,8879 0,6597 0,749 0,960,4568,0395 0,7944 0,83 0,885 0,656 0,737 0,965,479,0348 0,8053

123 3 λ T p ρ τλ πλ ε λ T p ρ q(λ) y(λ) z(λ) M 0,84 0,884 0,6454 0,734 0,969,506,0305 0,863 0,85 0,8796 0,638 0,756 0,979,544,065 0,874 0,86 0,8767 0,630 0,797 0,9764,5473,08 0,8384 0,87 0,8739 0,638 0,738 0,9796,5705,094 0,8496 0,88 0,8709 0,665 0,7079 0,986,5939,064 0,8608 0,89 0,8680 0,609 0,709 0,9854,675,036 0,87 0,90 0,8650 0,609 0,6959 0,9880,643,0 0,8834 0,9 0,860 0,5946 0,6898 0,990,6653,0089 0,8947 0,9 0,8589 0,5873 0,6838 0,993,6896,0070 0,906 0,93 0,8559 0,5800 0,6776 0,994,74,0053 0,977 0,94 0,857 0,576 0,675 0,9957,7389,0038 0,99 0,95 0,8496 0,565 0,6653 0,9970,7639,006 0,9409 0,96 0,8464 0,5578 0,659 0,998,789,007 0,956 0,97 0,843 0,5505 0,658 0,9989,847,0009 0,9643 0,98 0,8399 0,543 0,6466 0,9995,8405,0004 0,976 0,99 0,8367 0,5357 0,6403 0,9999,8666,000 0,9880,00 0,8333 0,583 0,6339,0000,899,0000,0000,0 0,8300 0,509 0,676 0,9999,996,000,00,0 0,866 0,535 0,6 0,9995,9465,0004,04,03 0,83 0,506 0,648 0,9989,9738,0009,0363,04 0,897 0,4987 0,6084 0,998,003,005,0486,05 0,863 0,493 0,609 0,9970,09,004,0609,06 0,87 0,4840 0,5955 0,9957,0574,0034,0733,07 0,809 0,4766 0,5890 0,994,0859,0046,0858,08 0,8056 0,4693 0,585 0,994,47,0059,0984,09 0,800 0,469 0,5760 0,9904,439,0074,,0 0,7983 0,4546 0,5695 0,988,735,009,39, 0,7947 0,4473 0,569 0,9856,034,009,367, 0,7909 0,4400 0,5564 0,989,337,09,496,3 0,787 0,438 0,5498 0,9800,644,050,67,4 0,7834 0,455 0,543 0,9768,955,07,758,5 0,7796 0,483 0,5366 0,9734,370,096,890,6 0,7757 0,4 0,5300 0,9698,3588,0,03,7 0,779 0,4040 0,534 0,9660,39,047,57,8 0,7679 0,3969 0,568 0,969,439,075,9,9 0,7640 0,3898 0,50 0,9577,457,0303,48,0 0,7600 0,387 0,5035 0,953,4907,0333,566, 0,7560 0,3757 0,4969 0,9485,548,0364,704, 0,759 0,3687 0,4903 0,9435,5594,0397,843,3 0,7479 0,367 0,4837 0,9384,5944,0430,984,4 0,7437 0,3548 0,4770 0,933,6300,0465,36,5 0,7396 0,3479 0,4704 0,975,666,0500,369,6 0,7354 0,34 0,4638 0,98,707,0537,343

124 4 λ T p ρ τλ πλ ε λ T p ρ q(λ) y(λ) z(λ) M,7 0,73 0,3343 0,457 0,958,7399,0574,3558,8 0,769 0,375 0,4505 0,9097,7776,063,3705,9 0,77 0,308 0,4439 0,9034,859,065,3853,30 0,783 0,34 0,4373 0,8968,8548,069,400,3 0,740 0,3075 0,4307 0,890,8943,0734,453,3 0,7096 0,300 0,44 0,883,9344,0776,4305,33 0,705 0,945 0,476 0,876,975,089,4458,34 0,7007 0,880 0,40 0,8688 3,065,0863,463,35 0,6963 0,86 0,4045 0,864 3,0586,0907,4769,36 0,697 0,753 0,3980 0,8538 3,04,0953,497,37 0,687 0,690 0,395 0,8460 3,449,0999,5087,38 0,686 0,68 0,3850 0,8380 3,89,046,548,39 0,6780 0,566 0,3785 0,899 3,34,094,540,40 0,6733 0,505 0,370 0,86 3,798,43,5575,4 0,6687 0,445 0,3656 0,83 3,364,9,574,4 0,6639 0,385 0,359 0,8045 3,3738,4,5909,43 0,659 0,36 0,358 0,7958 3,40,93,6078,44 0,6544 0,67 0,3464 0,7869 3,47,344,650,45 0,6496 0,09 0,340 0,7779 3,5,397,643,46 0,6447 0,5 0,3338 0,7687 3,57,449,6599,47 0,6399 0,095 0,375 0,7594 3,640,503,6776,48 0,6349 0,040 0,3 0,7500 3,6769,557,6955,49 0,6300 0,985 0,350 0,7404 3,7309,6,737,50 0,650 0,930 0,3088 0,7307 3,7859,667,73,5 0,600 0,876 0,307 0,709 3,849,73,7506,5 0,649 0,83 0,965 0,70 3,899,779,7695,53 0,6099 0,77 0,904 0,700 3,9575,836,7885,54 0,6047 0,70 0,844 0,6908 4,07,894,8078,55 0,5996 0,669 0,784 0,6806 4,0779,95,873,56 0,5944 0,69 0,74 0,6703 4,400,00,847,57 0,589 0,570 0,665 0,6599 4,034,069,867,58 0,5839 0,5 0,606 0,6494 4,68,9,8875,59 0,5786 0,474 0,547 0,6388 4,3345,89,908,60 0,5733 0,47 0,489 0,68 4,40,50,990,6 0,5680 0,38 0,43 0,675 4,474,3,950,6 0,566 0,336 0,374 0,6067 4,54,373,976,63 0,557 0,9 0,37 0,5958 4,647,435,9934,64 0,557 0,48 0,6 0,5850 4,6889,498,055,65 0,546 0,05 0,05 0,5740 4,7648,56,0380,66 0,5407 0,63 0,50 0,5630 4,846,64,0608,67 0,535 0, 0,095 0,550 4,93,688,0839,68 0,596 0,08 0,04 0,5409 5,0040,75,074,69 0,540 0,04 0,987 0,598 5,0877,87,33

125 5 λ T p ρ τλ πλ ε λ T p ρ q(λ) y(λ) z(λ) M,70 0,583 0,003 0,934 0,587 5,736,88,555,7 0,56 0,0965 0,88 0,5076 5,67,948,80,7 0,5069 0,098 0,830 0,4964 5,35,304,053,73 0,50 0,089 0,778 0,4853 5,445,3080,308,74 0,4954 0,0856 0,77 0,474 5,5405,347,567,75 0,4896 0,08 0,677 0,4630 5,6385,34,83,76 0,4837 0,0787 0,67 0,458 5,7393,38,300,77 0,4778 0,0754 0,578 0,4407 5,8430,3350,3374,78 0,479 0,07 0,530 0,496 5,9497,348,3653,79 0,4660 0,069 0,48 0,485 6,0595,3487,3937,80 0,4600 0,0660 0,435 0,4075 6,76,3556,47,8 0,4540 0,0630 0,389 0,3965 6,89,365,453,8 0,4479 0,060 0,343 0,3855 6,4093,3695,484,83 0,448 0,0573 0,98 0,3746 6,5333,3764,53,84 0,4357 0,0546 0,53 0,3638 6,66,3835,5446,85 0,496 0,050 0,0 0,3530 6,793,3905,5767,86 0,434 0,0494 0,66 0,34 6,997,3976,6094,87 0,47 0,0469 0,4 0,336 7,0708,4048,649,88 0,409 0,0445 0,083 0,30 7,67,49,677,89 0,4046 0,04 0,04 0,305 7,3678,49,73,90 0,3983 0,0399 0,00 0,300 7,54,463,748,9 0,390 0,0377 0,096 0,898 7,6863,4336,7849,9 0,3856 0,0356 0,093 0,796 7,8545,4408,86,93 0,379 0,0336 0,0885 0,695 8,090,448,86,94 0,377 0,036 0,0848 0,596 8,03,4555,9008,95 0,366 0,097 0,08 0,497 8,3987,468,944,96 0,3597 0,079 0,0776 0,400 8,5947,470,983,97 0,353 0,06 0,074 0,304 8,7987,4776 3,060,98 0,3466 0,045 0,0707 0,09 9,03,485 3,070,99 0,3400 0,09 0,0674 0,6 9,33,495 3,55,00 0,3333 0,04 0,064 0,04 9,4646,5000 3,63,0 0,366 0,099 0,060 0,934 9,7066,5075 3,04,0 0,399 0,085 0,0579 0,845 9,9597,550 3,60,03 0,33 0,07 0,0549 0,758 0,47,56 3,34,04 0,3064 0,059 0,050 0,67 0,505,530 3,3643,05 0,996 0,047 0,049 0,589 0,794,5378 3,490,06 0,97 0,036 0,0464 0,507,006,5454 3,4757,07 0,859 0,05 0,0437 0,46,43,553 3,5344,08 0,789 0,05 0,04 0,348,769,5608 3,595,09 0,70 0,005 0,0386 0,7,5,5685 3,6583,0 0,650 0,0096 0,036 0,98,5005,576 3,740, 0,580 0,0087 0,0338 0,5,906,5839 3,79, 0,509 0,0079 0,035 0,055 3,369,597 3,8634

126 6 λ T p ρ τλ πλ ε λ T p ρ q(λ) y(λ) z(λ) M,3 0,439 0,007 0,094 0,0987 3,7788,5995 3,9376,4 0,367 0,0065 0,073 0,090 4,596,6073 4,05,5 0,96 0,0058 0,053 0,0857 4,774,65 4,096,6 0,4 0,005 0,033 0,0795 5,305,630 4,8,7 0,5 0,0046 0,05 0,0735 5,9076,6308 4,704,8 0,079 0,004 0,097 0,0678 6,538,6387 4,364,9 0,007 0,0036 0,080 0,063 7,70,6466 4,463,0 0,933 0,003 0,064 0,0570 7,950,6545 4,5675, 0,860 0,008 0,049 0,050 8,7444,665 4,6780, 0,786 0,004 0,035 0,047 9,6076,6705 4,7954,3 0,7 0,00 0,0 0,046 0,5493,6784 4,90,4 0,637 0,008 0,008 0,0383,5806,6864 5,0535,5 0,563 0,005 0,0097 0,0343,75,6944 5,96,6 0,487 0,003 0,0085 0,0304 3,969,705 5,3495,7 0,4 0,00 0,0075 0,068 5,367,705 5,550,8 0,336 0,0009 0,0065 0,035 6,904,786 5,6943,9 0,60 0,0007 0,0056 0,004 8,673,767 5,8896,30 0,83 0,0006 0,0048 0,075 30,660,7348 6,036,3 0,07 0,0005 0,004 0,048 3,937,749 6,3394,3 0,09 0,0003 0,0034 0,04 35,5537,750 6,60,33 0,095 0,0003 0,008 0,003 38,643,759 6,894,34 0,0874 0,000 0,003 0,0083 4,335,7674 7,55,35 0,0796 0,000 0,008 0, ,5799,7755 7,6044,36 0,077 0,000 0,004 0,005 5,897,7837 8,0438,37 0,0639 0,000 0,000 0, ,558,799 8,560,38 0,0559 0,0000 0,0007 0,008 67,,800 9,865,39 0,0480 0,0000 0,0005 0,009 78,5707,8084 9,960,40 0,0400 0,0000 0,0003 0,00 94,6465,867 0,9545,4 0,030 0,0000 0,000 0,0007 8,869,849,307,4 0,039 0,0000 0,000 0, ,507,833 4,798,43 0,059 0,0000 0,0000 0,000 4,84,845 7,698,44 0,0077 0,0000 0,0000 0, ,7098,8498 5,389,45 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000,858

127 7 k =,3 λ T p ρ τλ πλ ε λ T p ρ q(λ) y(λ) z(λ) M 0,00,0000,0000,0000 0,0000 0, ,0,0000 0,9999,0000 0,059 0,059 00,000 0,0093 0,0 0,9999 0,9998 0,9998 0,039 0,039 50,000 0,087 0,03 0,9999 0,9995 0,9996 0,0478 0, ,3633 0,080 0,04 0,9998 0,999 0,9993 0,0637 0,0637 5,0400 0,0373 0,05 0,9997 0,9986 0,9989 0,0796 0,0797 0,0500 0,0466 0,06 0,9995 0,9980 0,9984 0,0955 0,0956 6,767 0,0560 0,07 0,9994 0,997 0,9979 0,3 0,6 4,3557 0,0653 0,08 0,999 0,9964 0,997 0,7 0,76,5800 0,0746 0,09 0,9989 0,9954 0,9965 0,49 0,436,0 0,0840 0,0 0,9987 0,9944 0,9957 0,586 0,595 0,000 0,0933 0, 0,9984 0,993 0,9947 0,744 0,756 9,009 0,07 0, 0,998 0,999 0,9938 0,900 0,96 8,4533 0,0 0,3 0,9978 0,9905 0,997 0,056 0,076 7,83 0,4 0,4 0,9974 0,9890 0,995 0, 0,36 7,89 0,307 0,5 0,997 0,9873 0,9903 0,367 0,397 6,867 0,40 0,6 0,9967 0,9856 0,9889 0,5 0,558 6,400 0,495 0,7 0,996 0,9838 0,9875 0,675 0,79 6,054 0,588 0,8 0,9958 0,988 0,9860 0,88 0,880 5,7356 0,68 0,9 0,9953 0,9798 0,9844 0,980 0,304 5,453 0,776 0,0 0,9948 0,9776 0,987 0,33 0,304 5,000 0,870 0, 0,994 0,9753 0,980 0,38 0,3366 4,979 0,964 0, 0,9937 0,979 0,979 0,343 0,358 4,7655 0,058 0,3 0,993 0,9704 0,977 0,358 0,3690 4,5778 0,5 0,4 0,995 0,9678 0,975 0,379 0,3853 4,4067 0,46 0,5 0,998 0,965 0,973 0,3876 0,406 4,500 0,34 0,6 0,99 0,963 0,9709 0,40 0,480 4,06 0,435 0,7 0,9905 0,9594 0,9687 0,467 0,4343 3,9737 0,530 0,8 0,9898 0,9564 0,9663 0,43 0,4508 3,854 0,64 0,9 0,9890 0,9533 0,9639 0,4454 0,467 3,7383 0,79 0,30 0,9883 0,950 0,964 0,4596 0,4837 3,6333 0,84 0,3 0,9875 0,9468 0,9588 0,4736 0,500 3,5358 0,909 0,3 0,9866 0,9434 0,956 0,4875 0,568 3,4450 0,3004 0,33 0,9858 0,9399 0,9534 0,503 0,5334 3,3603 0,3099 0,34 0,9849 0,9363 0,9506 0,550 0,550 3,8 0,395 0,35 0,9840 0,936 0,9477 0,585 0,5667 3,07 0,390 0,36 0,983 0,988 0,9448 0,549 0,5835 3,378 0,3386 0,37 0,98 0,949 0,947 0,555 0,6003 3,077 0,348 0,38 0,98 0,909 0,9386 0,5683 0,67 3,06 0,3577 0,39 0,980 0,968 0,9354 0,583 0,6340,954 0,3673 0,40 0,979 0,97 0,93 0,594 0,6509,9000 0,3770 0,4 0,978 0,9084 0,988 0,6068 0,6679,8490 0,3866

128 8 λ T p ρ τλ πλ ε λ T p ρ q(λ) y(λ) z(λ) M 0,4 0,9770 0,904 0,953 0,693 0,6850,800 0,396 0,43 0,9759 0,8996 0,98 0,636 0,70,7556 0,4059 0,44 0,9747 0,895 0,983 0,6438 0,793,77 0,456 0,45 0,9736 0,8905 0,946 0,6558 0,7365,67 0,453 0,46 0,974 0,8858 0,909 0,6677 0,7538,6339 0,4350 0,47 0,97 0,880 0,907 0,6794 0,77,5977 0,4447 0,48 0,9699 0,876 0,9033 0,6909 0,7885,5633 0,4545 0,49 0,9687 0,87 0,8994 0,70 0,8060,5308 0,4643 0,50 0,9674 0,866 0,8954 0,734 0,836,5000 0,4740 0,5 0,966 0,86 0,893 0,743 0,84,4708 0,4839 0,5 0,9647 0,8559 0,887 0,735 0,8589,443 0,4937 0,53 0,9634 0,8507 0,8830 0,7457 0,8766,468 0,5035 0,54 0,960 0,8453 0,8787 0,756 0,8945,399 0,534 0,55 0,9605 0,8399 0,8744 0,7663 0,94,368 0,533 0,56 0,959 0,8345 0,8700 0,7763 0,9304,3457 0,533 0,57 0,9576 0,889 0,8656 0,786 0,9484,344 0,543 0,58 0,956 0,833 0,86 0,7958 0,9666,304 0,553 0,59 0,9546 0,876 0,8565 0,805 0,9848,849 0,563 0,60 0,9530 0,89 0,859 0,844,003,667 0,573 0,6 0,955 0,806 0,847 0,834,06,493 0,583 0,6 0,9499 0,800 0,844 0,83,040,39 0,593 0,63 0,948 0,7943 0,8376 0,8408,0587,73 0,6033 0,64 0,9466 0,7883 0,838 0,849,0773,05 0,634 0,65 0,9449 0,78 0,878 0,8574,096,885 0,636 0,66 0,943 0,776 0,88 0,8653,50,75 0,6337 0,67 0,944 0,7699 0,878 0,873,340,65 0,6439 0,68 0,9397 0,7637 0,87 0,8806,53,506 0,654 0,69 0,9379 0,7574 0,8076 0,8879,7,393 0,6644 0,70 0,936 0,75 0,804 0,8950,95,86 0,6747 0,7 0,934 0,7447 0,797 0,908,09,85 0,6850 0,7 0,934 0,7383 0,799 0,9085,305,089 0,6953 0,73 0,9305 0,738 0,7865 0,949,50,0999 0,7057 0,74 0,986 0,753 0,78 0,90,698,094 0,76 0,75 0,966 0,788 0,7757 0,970,897,0833 0,765 0,76 0,947 0,7 0,770 0,937,3097,0758 0,7370 0,77 0,97 0,7055 0,7647 0,938,398,0687 0,7475 0,78 0,906 0,6989 0,759 0,9435,3500,06 0,758 0,79 0,986 0,69 0,7535 0,9485,3703,0558 0,7686 0,80 0,965 0,6854 0,7478 0,9533,3908,0500 0,779 0,8 0,944 0,6786 0,74 0,9579,44,0446 0,7899 0,8 0,93 0,678 0,7364 0,96,43,0395 0,8006 0,83 0,90 0,6650 0,7306 0,9663,453,0348 0,83 0,84 0,9080 0,658 0,748 0,970,474,0305 0,80

129 9 λ T p ρ τλ πλ ε λ T p ρ q(λ) y(λ) z(λ) M 0,85 0,9058 0,65 0,790 0,9738,4953,065 0,838 0,86 0,9035 0,6443 0,73 0,977,566,08 0,8437 0,87 0,903 0,6374 0,707 0,9803,538,094 0,8546 0,88 0,8990 0,6304 0,70 0,983,5597,064 0,8655 0,89 0,8967 0,634 0,695 0,9859,585,036 0,8764 0,90 0,8943 0,664 0,689 0,9884,6035,0 0,8874 0,9 0,890 0,6094 0,683 0,9906,656,0089 0,8985 0,9 0,8896 0,603 0,677 0,996,6479,0070 0,9096 0,93 0,887 0,5953 0,670 0,9943,6703,0053 0,907 0,94 0,8847 0,588 0,6649 0,9958,699,0038 0,939 0,95 0,883 0,58 0,6587 0,997,757,006 0,943 0,96 0,8798 0,574 0,655 0,998,7387,007 0,9544 0,97 0,8773 0,5670 0,6463 0,9990,768,0009 0,9657 0,98 0,8747 0,5599 0,640 0,9995,785,0004 0,977 0,99 0,87 0,558 0,6339 0,9999,8087,000 0,9885,00 0,8696 0,5457 0,676,0000,834,0000,0000,0 0,8669 0,5386 0,63 0,9999,8563,000,05,0 0,8643 0,535 0,650 0,9995,8805,0004,03,03 0,866 0,545 0,6087 0,9990,9048,0009,0347,04 0,8589 0,574 0,603 0,998,993,005,0464,05 0,856 0,503 0,5960 0,997,954,004,058,06 0,8534 0,503 0,5896 0,9959,979,0034,0700,07 0,8507 0,496 0,5833 0,9944,004,0046,088,08 0,8479 0,489 0,5769 0,997,097,0059,0937,09 0,8450 0,48 0,5705 0,9908,0553,0074,057,0 0,84 0,475 0,564 0,9887,08,009,77, 0,8393 0,4680 0,5577 0,9863,073,009,98, 0,8364 0,46 0,553 0,9838,337,09,40,3 0,8334 0,454 0,5448 0,980,604,050,54,4 0,8305 0,447 0,5384 0,9780,87,07,665,5 0,875 0,440 0,530 0,9748,44,096,789,6 0,845 0,4333 0,555 0,974,48,0,93,7 0,84 0,464 0,59 0,9678,695,047,038,8 0,884 0,496 0,57 0,9640,975,075,63,9 0,853 0,48 0,5063 0,9600,357,0303,90,0 0,8 0,4060 0,4998 0,9557,3543,0333,47, 0,8090 0,399 0,4934 0,953,383,0364,545, 0,8059 0,395 0,4870 0,9467,43,0397,673,3 0,807 0,3858 0,4806 0,949,447,0430,80,4 0,7994 0,379 0,474 0,9369,475,0465,93,5 0,796 0,375 0,4678 0,938,506,0500,3063,6 0,799 0,3659 0,464 0,964,530,0537,395,7 0,7896 0,3593 0,455 0,909,568,0574,337

130 30 λ T p ρ τλ πλ ε λ T p ρ q(λ) y(λ) z(λ) M,8 0,7863 0,358 0,4487 0,95,5939,063,346,9 0,789 0,3463 0,444 0,9093,653,065,3595,30 0,7796 0,3399 0,4360 0,903,657,069,3730,3 0,776 0,3335 0,497 0,8970,6893,0734,3866,3 0,777 0,37 0,434 0,8906,79,0776,4003,33 0,7693 0,309 0,47 0,8840,7548,089,440,34 0,7658 0,346 0,409 0,8773,788,0863,479,35 0,763 0,3084 0,4046 0,8704,89,0907,449,36 0,7587 0,303 0,3984 0,8634,856,0953,4559,37 0,755 0,96 0,39 0,856,8906,0999,470,38 0,756 0,90 0,3860 0,8488,956,046,4844,39 0,7480 0,84 0,3799 0,844,96,094,4987,40 0,7443 0,78 0,3738 0,8338,9969,43,53,4 0,7407 0,73 0,3677 0,860 3,0333,9,578,4 0,7370 0,665 0,366 0,88 3,070,4,544,43 0,7333 0,607 0,3555 0,80 3,074,93,557,44 0,795 0,550 0,3495 0,800 3,45,344,57,45 0,758 0,493 0,3435 0,7937 3,835,397,587,46 0,70 0,437 0,3376 0,7854 3,3,449,603,47 0,78 0,38 0,337 0,7769 3,66,503,676,48 0,743 0,37 0,358 0,7683 3,305,557,6330,49 0,704 0,73 0,399 0,7596 3,349,6,6485,50 0,7065 0,9 0,34 0,7508 3,389,667,664,5 0,706 0,66 0,3083 0,749 3,445,73,6799,5 0,6986 0,4 0,306 0,739 3,4667,779,6958,53 0,6947 0,06 0,969 0,738 3,5095,836,78,54 0,6907 0,0 0,9 0,746 3,559,894,780,55 0,6866 0,96 0,856 0,7053 3,5970,95,7443,56 0,686 0,9 0,800 0,6960 3,647,00,7608,57 0,6785 0,86 0,745 0,6866 3,687,069,7774,58 0,6744 0,84 0,690 0,677 3,733,9,794,59 0,670 0,766 0,635 0,6676 3,7800,89,8,60 0,666 0,79 0,58 0,6580 3,875,50,88,6 0,669 0,673 0,57 0,6483 3,8758,3,8454,6 0,6577 0,67 0,474 0,6386 3,948,373,868,63 0,6534 0,58 0,4 0,689 3,9747,435,8803,64 0,649 0,538 0,369 0,69 4,053,498,898,65 0,6449 0,494 0,37 0,609 4,0768,56,960,66 0,6406 0,45 0,66 0,5993 4,9,64,934,67 0,636 0,409 0,5 0,5894 4,84,688,954,68 0,639 0,368 0,65 0,5795 4,366,75,9708,69 0,675 0,37 0,5 0,5695 4,96,87,9895,70 0,630 0,87 0,066 0,5595 4,3477,88,0084

131 3 λ T p ρ τλ πλ ε λ T p ρ q(λ) y(λ) z(λ) M,7 0,686 0,48 0,07 0,5496 4,4047,948,074,7 0,64 0,09 0,969 0,5396 4,467,304,0467,73 0,6096 0,7 0,9 0,596 4,58,3080,066,74 0,605 0,34 0,874 0,595 4,580,347,0859,75 0,6005 0,097 0,87 0,5095 4,643,34,058,76 0,5960 0,06 0,78 0,4995 4,7056,38,60,77 0,594 0,07 0,736 0,4896 4,769,3350,463,78 0,5867 0,099 0,69 0,4796 4,8340,348,670,79 0,58 0,0958 0,647 0,4696 4,900,3487,878,80 0,5774 0,095 0,603 0,4597 4,9674,3556,090,8 0,577 0,0893 0,560 0,4498 5,036,365,303,8 0,5679 0,086 0,57 0,4400 5,06,3695,50,83 0,563 0,083 0,475 0,430 5,776,3764,739,84 0,5584 0,080 0,434 0,404 5,505,3835,96,85 0,5536 0,077 0,393 0,406 5,349,3905,386,86 0,5487 0,074 0,353 0,4009 5,4009,3976,344,87 0,5439 0,074 0,33 0,393 5,4785,4048,3645,88 0,5390 0,0687 0,74 0,387 5,5578,49,3879,89 0,534 0,0660 0,36 0,37 5,6388,49,46,90 0,59 0,0634 0,98 0,368 5,76,463,4357,9 0,54 0,0609 0,6 0,3534 5,806,4336,460,9 0,59 0,0584 0,5 0,344 5,898,4408,4848,93 0,54 0,0560 0,089 0,3348 5,983,448,500,94 0,509 0,0536 0,054 0,357 6,070,4555,5354,95 0,5040 0,054 0,09 0,366 6,647,468,563,96 0,4989 0,049 0,0985 0,3076 6,596,470,5876,97 0,4938 0,0470 0,095 0,987 6,3569,4776,64,98 0,4886 0,0449 0,099 0,899 6,4565,485,643,99 0,4835 0,049 0,0887 0,8 6,5586,495,6688,00 0,4783 0,0409 0,0855 0,76 6,6633,5000,6968,0 0,4730 0,0390 0,085 0,64 6,7707,5075,75,0 0,4678 0,037 0,0795 0,557 6,8808,550,754,03 0,465 0,0354 0,0765 0,475 6,9939,56,7835,04 0,457 0,0337 0,0736 0,393 7,00,530,834,05 0,458 0,030 0,0708 0,3 7,9,5378,8439,06 0,4465 0,0304 0,0680 0,33 7,356,5454,8748,07 0,44 0,088 0,0653 0,55 7,4776,553,9064,08 0,4357 0,073 0,067 0,078 7,6070,5608,9385,09 0,430 0,059 0,060 0,00 7,740,5685,97,0 0,448 0,045 0,0576 0,98 7,8773,576 3,0046, 0,493 0,03 0,055 0,855 8,085,5839 3,0386, 0,438 0,08 0,058 0,783 8,639,597 3,0733,3 0,408 0,006 0,0505 0,73 8,338,5995 3,087

132 3 λ T p ρ τλ πλ ε λ T p ρ q(λ) y(λ) z(λ) M,4 0,407 0,094 0,048 0,644 8,4684,6073 3,448,5 0,397 0,083 0,0460 0,576 8,679,65 3,87,6 0,394 0,07 0,0439 0,50 8,795,630 3,94,7 0,3858 0,06 0,048 0,445 8,965,6308 3,579,8 0,380 0,05 0,0398 0,38 9,38,6387 3,97,9 0,3744 0,04 0,0378 0,30 9,399,6466 3,3374,0 0,3687 0,033 0,0359 0,60 9,5078,6545 3,3786, 0,369 0,04 0,034 0,0 9,704,665 3,408, 0,357 0,05 0,033 0,44 9,9040,6705 3,4639,3 0,354 0,008 0,0306 0,088 0,9,6784 3,508,4 0,3455 0,000 0,089 0,033 0,397,6864 3,5535,5 0,3397 0,0093 0,073 0,0980 0,5547,6944 3,6000,6 0,3338 0,0086 0,058 0,099 0,7885,705 3,6477,7 0,379 0,0080 0,043 0,0879,035,705 3,6967,8 0,39 0,0074 0,09 0,083,843,786 3,747,9 0,360 0,0068 0,05 0,0784,5476,767 3,7988,30 0,300 0,0063 0,00 0,0739,80,7348 3,85,3 0,3040 0,0057 0,089 0,0695,083,749 3,9069,3 0,979 0,0053 0,077 0,0653,407,750 3,9634,33 0,99 0,0048 0,065 0,06,796,759 4,06,34 0,858 0,0044 0,054 0,0573 3,0465,7674 4,087,35 0,797 0,0040 0,043 0,0536 3,3888,7755 4,437,36 0,735 0,0036 0,033 0,0500 3,7478,7837 4,079,37 0,674 0,0033 0,03 0,0465 4,46,799 4,74,38 0,6 0,0030 0,04 0,043 4,507,800 4,348,39 0,549 0,007 0,005 0,0400 4,9376,8084 4,439,40 0,487 0,004 0,0097 0,0370 5,3769,867 4,4877,4 0,44 0,00 0,0089 0,034 5,8406,849 4,5644,4 0,36 0,009 0,008 0,034 6,3307,833 4,644,43 0,98 0,007 0,0074 0,088 6,8496,845 4,770,44 0,34 0,005 0,0068 0,063 7,4000,8498 4,835,45 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000,858 4,9037

133 ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Графики основных газодинамических функций (k =,4)

134 34 ПРИЛОЖЕНИЕ В. Диаграмма расчета скачков уплотнения (k =,4)

Видео:Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

• конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
• давления окружающих элементов жидкости
• просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

🌟 Видео

Основы гидродинамики и аэродинамики | условие неразрывностиСкачать

Вывод уравнения неразрывности - Лекция 1Скачать

Вязкость. Ламинарное и турбулентное течения жидкостей. 10 класс.Скачать

Уравнение Бернулли для потока жидкостиСкачать

14. Движение идеальной жидкостиСкачать

Вывод уравнений движения идеальной жидкости - Лекция 2Скачать

Основные понятия гидродинамики линия токаСкачать

Распределение давления в движущейся жидкости. Видеоурок 56. Физика 10 классСкачать

Мини-курс. Лекция 1: Математическая теория уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости в размерности 2Скачать

Жмур В.В. - Динамика идеальной жидкости - 5. Потенциальные движения несжимаемой жидкостиСкачать

Вывод уравнений Навье-Стокса - Лекция 3Скачать

Теорема Эйлера о движении жидкостиСкачать

Дифференциальное уравнение Эйлера. Основное уравнение гидростатикиСкачать

Уравнение Бернулли гидравликаСкачать

Р.В. Шамин. Лекция № 2 Уравнения гидродинамики идеальной жидкости со свободной поверхностьюСкачать

А.А.Непомнящий. Лекция 5 "Метод диффузной границы для..."Скачать

Гидродинамика. Вывод уравнения БернуллиСкачать

Уравнение БернуллиСкачать