Уравнение для колебаний круглой мембраны

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Метод Фурье разделения переменных применяется также при изучении колебаний ограниченных тел, плоских или объемных. Рассмотрим в качестве примера задачу о свободных колебаниях под действием начальных возмущений однородной круглой мембраны радиуса г о с центром в начале координат, закрепленной по краю. Уравнение колебаний мембраны имеет вид Введем полярные координаты г, (р. Тогда отклонение точек мембраны будет функцией полярных координат г, и времени ).

Пользуясь выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, запишем уравнение колебаний мембраны в сле/ующем виде: Колебания круглой мембраны (мембрана закреплена по краю) и начальным условиям Таким образом, задача о колебаниях мембраны ставится так: найти фу нкцию ti(r, удовлетворяющую уравнению граничным условиям.

Ограничимся важным частным случаем осесимметричных колебаний, когда начальные функции f nF не зависят от Ясно, что тогда в любой момент времени t > О величина отклонения мембраны не будет зависеть от полярного угла а будет только функцией г и t, и = u(r, t). Это означает, что при любом фиксированном t форма колеблющейся мембраны будет описываться поверхностью вращения.

При этом предположении задача сводится к отысканию решения ti(r, t) уравнения (4) при граничном условии (5) и начальныхусловиях ди I Применяя метод разделения переменных, будем искать нетривиальные решения уравнения (4),удовлетворяющие граничному условию (5), в виде Подставляя функцию «(г, t) в форме (7) в уравнение (4) и разделяя переменные, получим Равенства (8) приводят к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям (условие выражает естественное требование ограниченности решения u(r, t) в центре мембраны, т. е. при г = 0).

Задача (10)-( 11) имеет очевидное тривиальное решение Я(г) = 0, которое нас не устраивает.

Итак, мы пришли к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи (10)—(11), и отыскать эти решения. Запишем уравнение (10) в следующем виде: Это дифференциальное уравнение Бесселя с v = 0. Его общее решение . Из условия |+оо следует, что Сг = 0 (функция Неймана .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Таким образом, Граничное условие Д(г0) = 0 дает откуда следует, что число л/Аго должно быть одним из нулей функции Бесселя т.е. где Рк — нуль функции Jo<x). Известно, что функция имеет бесконечное множество положительных нулей откуда получаем собственные значения и соответствующие собственные функции задачи (10)-(11).

имеет вид Колебания круглой мембраны Функция будет решением уравнения (4), удовлетворяющим граничному условию (5). Она определяет стоячие осесимметричные вол ны круглой мембраны. Решение исходной задачи (4)-(6) ищем в виде формального ряда (12) коэффициенты Ап и Вп которого определяются из начальных условий т.е. мы приходим к разложению данных функций /r) в ряды по функциям Бесселя. Нетрудно проверить, что при т ф п функции Jr) ортогональны на [0, го] с весом г.

Известно, что всякая функция Ф(, удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье—Бесселя Колебания круглой мембраны Пользуясь этим, при достаточно гладких начальных условиях /(г) и F(r) получаем для коэффициентов Фурье—Бесселя функций /(г) и F(r) сле/^гощие формулы: Подставим найденные значения An и Bn в формулу (12). Если при этом ряд (12) сходится равномерно, так же как и ряды, получаемые из него двукратным почленным дифференцированием по каждому из аргументов t и г, то мы получаем решение задачи (4)-(6).

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Колебания круглой мембраны 1Скачать

Вынужденные осесимметричные колебания круглой мембраны, являющейся элементом акустической колебательной системы Текст научной статьи по специальности « Физика»

Видео:Колебания круглой мембраны 2 Свойства решений уравнения БесселяСкачать

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Кезик В. И.

Рассмотрены вынужденные осесимметричные колебания круглой мембраны с учетом диссипативных потерь. Предложен метод расчета акустической колебательной системы , в состав которой входит круглая мембрана . Идея метода заключается в том, что при расчете системы мембрана заменяется так называемым эквивалентным поршнем с параметрами, зависящими от частоты возбуждения вынужденных колебаний системы. Параметры эквивалентного поршня определяются из условия тождественности законов движения «усредненной» мембраны и эквивалентного поршня, помещенного на место мембраны. Под «усредненной» мембраной мы понимаем здесь плоскую поверхность, находящуюся в положении среднего отклонения точек мембраны (от положения равновесия), которое может быть вычислено в каждый момент времени. В качестве примера использования метода решена задача о вынужденных колебаниях круглой мембраны барабана .

Видео:Уравнения математической физики. Колебания круглой мембраны.Скачать

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Кезик В. И.

Видео:УМФ, 22.12, вывод уравнения колебаний струныСкачать

Текст научной работы на тему «Вынужденные осесимметричные колебания круглой мембраны, являющейся элементом акустической колебательной системы»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

Федеральный медицинский биофизический центр им. А. И. Бурназяна Россия, 123182, Москва, ул. Живописная, 46, e-mail: vladimirik@mailfrom.ru

Вынужденные осесимметричные колебания круглой

мембраны, являющейся элементом акустической колебательной системы

Получена 19.09.2013, опубликована 29.10.2013

Рассмотрены вынужденные осесимметричные колебания круглой мембраны с учетом диссипативных потерь. Предложен метод расчета акустической колебательной системы, в состав которой входит круглая мембрана. Идея метода заключается в том, что при расчете системы мембрана заменяется так называемым эквивалентным поршнем с параметрами, зависящими от частоты возбуждения вынужденных колебаний системы. Параметры эквивалентного поршня определяются из условия тождественности законов движения «усредненной» мембраны и эквивалентного поршня, помещенного на место мембраны. Под «усредненной» мембраной мы понимаем здесь плоскую поверхность, находящуюся в положении среднего отклонения точек мембраны (от положения равновесия), которое может быть вычислено в каждый момент времени. В качестве примера использования метода решена задача о вынужденных колебаниях круглой мембраны барабана.

Ключевые слова: круглая мембрана, вынужденные колебания,

акустическая колебательная система, барабан.

Мембраны имеют широкое распространение во многих отраслях техники, являясь при этом, как правило, частью акустических колебательных систем. Разработка простого и эффективного метода расчета таких систем представляется достаточно актуальной задачей.

Предлагаемый в статье метод был развит в процессе решения задач, связанных с колебаниями подвижных элементов в системе среднего уха человека, включая барабанную перепонку. Нас интересовали резонансные свойства системы, а также импедансные характеристики и общее поглощение акустической энергии системой среднего уха. Стратегической задачей была разработка новых видов диагностического оборудования с использованием акустического зондирования.

Построенная теория была проверена на макроскопических моделях, содержащих мембраны, и дала хорошее согласие с экспериментальными данными. Представляется,

что метод имеет право на самостоятельное существование (вне связи с конкретными первоначальными задачами).

Изложение метода начинается с рассмотрения колебаний собственно мембраны в удобном для последующего анализа ракурсе, а затем представлен расчет акустических колебательных систем, в состав которых входит круглая мембрана.

1. ВЫНУЖДЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ

Рассмотрим вынужденные колебания круглой закрепленной по контуру мембраны под действием приложенного к одной стороне мембраны равномерно распределенного по площади избыточного (звукового) давления, меняющегося по гармоническому закону. Другая сторона мембраны соприкасается с невозмущенной воздушной средой. Такие условия возбуждения могут быть реализованы, если мембрану вставить в круглое отверстие тонкого бесконечно протяженного жесткого экрана, делящего пространство на две полусферы. Учтем также сопротивление движению элементов мембраны, которое, как обычно, будем считать пропорциональным скорости этих элементов.

Поперечные осесимметричные колебания рассматриваемой мембраны описываются дифференциальным уравнением в частных производных гиперболического типа [1]:

где рт — поверхностная плотность материала мембраны, и = и (г, I) — поперечное отклонение кольцевого элемента мембраны радиуса г в момент времени I, гт — коэффициент сопротивления, отнесенный к единице поверхности, Т — напряжение в сечении мембраны, р0 — амплитуда звукового давления, а> — круговая частота

вынуждающей силы, / — — мнимая единица. Параметры рт, гт и Т считаем

константами, не зависящими от г и I.

Заметим, что потери энергии, связанные с излучением мембраны, могут быть учтены с помощью параметра гт , а наличие так называемой присоединенной массы, также

связанной с излучением, можно учесть с помощью параметра рт .

К уравнению (1) необходимо добавить граничное условие и условие ограниченности функции и (г, I), справедливые при любых I:

и(г,гХ| г—д0 = ^ I u(г, *) 1 . Эти колебания мы можем рассматривать как колебания плоской поверхности «усредненной» мембраны.

Выражение (5) мы можем записать в виде итШ (г) = итШвш, где

— комплексная амплитуда колебаний «усредненной» мембраны.

Амплитуда колебаний «усредненной» мембраны равна модулю комплексной амплитуды итЫ, а фаза колебаний «усредненной» мембраны равна аргументу комплексной амплитуды итЫ.

В качестве иллюстрации на рис. 1 представлена зависимость амплитуды колебаний «усредненной» мембраны от частоты возбуждения / (Гц) для мембраны с определенными параметрами, близкими к параметрам реальной мембраны, используемой в экспериментах (рт =0.063 кг/м2, гт = 5 кг/м2с, Т=10 Н/м, Я0 =0.027 м).

Расчет сделан для р0 =20 Па (120 дБ).

Рис. 1. Зависимость амплитуды колебаний «усредненной» мембраны от частоты возбуждения. По оси абсцисс — частота в Гц, по оси ординат — амплитуда колебаний

«усредненной» мембраны в метрах

В представленном диапазоне частот мы наблюдаем четыре резонанса с частотами

178.3, 411.0, 644.5 и 878.1 Гц и соответствующими им амплитудами 2.468*10″ , 2.117*10″4, 5.857*10″5 и 2.498*10″5 м. Потери при расчете определяются заданным параметром rm = 5 кг/м2с.

Далее (второй этап решения задачи об акустической колебательной системе) рассмотрим линейный осциллятор (система груз-пружина), массовым элементом которого является плоский круглый поршень той же площади, что и рассматриваемая нами мембрана. Определим параметры этого осциллятора, при которых поршень, будучи помещенным на место мембраны, при тех же условиях возбуждения двигался бы по тому же закону, что и «усредненная» мембрана.

Движение поршня описывается дифференциальным уравнением:

тр х + грх + крх = ро Бреш, (7)

где тр — масса поршня, гр — коэффициент сопротивления движению поршня, кр —

жесткость пружины осциллятора, х — отклонение поршня от положения равновесия,

Бр — —площадь поршня, равная площади мембраны.

Решение уравнения (7) для установившегося режима может быть найдено методом комплексных амплитуд [4] и записано в виде:

В соответствии с изложенным выше (тождественность законов движения поршня и «усредненной» мембраны), приравниваем правые части уравнений (5) и (8) и после несложных преобразований получаем:

кр — трр + ігр = Брк Т

Считая массу поршня равной массе мембраны, из уравнения (9) определяем искомые параметры осциллятора:

БрТ 1 ——1т Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964. 440 с.

5. Морз Ф. Колебания и звук. М.-Л.: Государственное издательство техникотеоретической литературы, 1949. 496 с.

6. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1979. 686 с.

7. Фурдуев В. В. Электроакустика. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 515 с.

🎦 Видео

Колебания круглой упругой пластинкиСкачать

Нормальные моды круглой мембраны | 1 курсСкачать

УМФ, 28.10, задача о колебаниях мембраныСкачать

Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

Колебания мембраны, часть 2 Асимптотический анализ уравнения БесселяСкачать

Как решить уравнение колебаний? | Олимпиадная физика, механические гармонические колебания, 11 классСкачать

Цилиндрические функции, решение задачСкачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

5.4 Уравнение гармонических колебанийСкачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Колебания мембраны, 2 часть Содержание предыдущей лекцииСкачать

Урок 327. Гармонические колебанияСкачать

Колебания прямоугольной мембраныСкачать