Уравнение длинных линий в гиперболических функциях (6 видео)

Содержание

Гиперболическая форма уравнений длинной линии
Уравнение длинных линий в гиперболических функциях
Рисунок 3. Ценная линия и расчётная схема.
Гиперболические функции
Гиперболические функции
Свойства гиперболических функций
Дифференцирование и интегрирование гиперболических функций
Переход от гиперболических функций к тригонометрическим и наоборот
📸 Видео

Видео:Основы радиочастотной электроники. Лекция 1. Теория длинных линийСкачать

Гиперболическая форма уравнений длинной линии

Гиперболическая форма уравнений длинной линии (ДЛ) имеет следующий вид (после применения формул Эйлера для решения уравнений длинной линии с использованием падающей и отраженной волн)

U ( x ) = U 2 c h γ x + I 2 Z В s h γ x ; I ( x ) = U 2 Z В s h γ x + I 2 c h γ x ,

что соответствует гиперболической форме уравнений симметричного четырехполюсника

U 1 = U 2 c h γ + I ′ 2 Z C s h γ ; I 1 = U 2 Z C s h γ + I ′ 2 c h γ .

Поскольку I’₂ соответствует току I₂ ДЛ, волновое сопротивление Z_B = Z_C соответствует характеристическому сопротивлению четырехполюсника, а характеристическая мера передачи четырехполюсника γ соответствует γ·l.

Здесь l – длина длинной линии; x – координата длинной линии, отсчитанная от ее конца (нагрузки); U₁, I₁ и U₂, I₂ – переменные входа и выхода длинной линии.

Таким образом, длинной линии – симметричный четырехполюсник.

Гиперболическая форма уравнений, длинная линия

Видео:Лекция 185. Уравнения для длинных линийСкачать

Уравнение длинных линий в гиперболических функциях

Кривая, форма которой соответствует однородной гибкой нерастяжимой тяжелой нити, закрепленной с обоих концов и находящейся под действием силы тяжести, называется цепной линией. Очевидно, цепная линия является плоской кривой, то есть такой кривой, все точки которой лежат в одной плоскости.

Долгое время считалось, что цепная линия представляет собой параболу, подобно тому, как траектория движения камня в поле земного тяготения есть парабола. Однако уже в начале 17 века великий итальянский мыслитель Галилео Галилей высказал предположения, что цепная линия не является параболой. Строгое решение задачи с выводом уравнения цепной линии впервые было найдено в трудах великих немецких мыслителей Готфрида Лейбница и Иоганна Бернулли, а также великого нидерландского естествоиспытателя Христиана Гюйгенса в 1691 году.

Рассмотрим элементарный участок нити длиной (Delta l) (Рисунок 3). Масса этого участка равна (Delta m = rho S Delta l) и на него действуют распределенная по длине сила тяжести интенсивности (rho gS), направленная вниз и равная (Delta m g = rho g S Delta l). Здесь (rho) — объемная плотность материала нити, (g) — ускорение свободного падения, (S) — площадь поперечного сечения нити.

Также на концах данного участка действуют силы натяжения (T(l)) и (T(l+Delta l)).

Рисунок 1. Цепи, используемые при штабелирование парахода “Бремен”. Фото из Федерального архива Германии.
Bundesarchiv Bild 102-06406, Bremen, Stapellauf des Dampfers «Bremen».

Рисунок 2. Цепи ограждения Царь-пушки в московском кремле. http://www.fotokonkurs.ru/photo/58515

Условие равновесия рассматриваемого участка запишется в виде: $$ vec T(l) + vec T(l+Delta l) + Delta mvec g = 0. $$ В проекции на оси координат получим $$ — T(l)cos(alpha) + T(l+Delta l)cos(alpha + Delta alpha) = 0. $$ $$ — T(l)sin(alpha) + T(l+Delta l)sin(alpha + Delta alpha) — rho gSDelta l = 0.$$ Из первого уравнения получаем, что горизонтальная компонента силы натяжения (T(l)) всегда постоянна: ( T(l)cosalpha(l) = T_0 = const.) Второе уравнение перепишем в виде: $$ d(T(l)sin(alpha(l)) = d(rho gSl).$$ С учётом сказанного, можем записать $$ T_0 d(tg(alpha(l)) = rho gSdl).$$ Памятуя о геометрическом смысле производной, запишем (tgalpha = y’) и тогда получим $$frac
= frac.$$ Переходя к переменной x, используя правило дифференцирования сложной функции и выражение для дифференциала дуги кривой, получим $$frac
= frac cdot frac
= frac cdot frac<dx cdot sqrt> = $$ $$ = frac cdot frac <sqrt> = frac .$$ Отсюда, учитывая, что производная от первой производной есть вторая производная, получаем $$y» = frac cdot sqrt.$$
Последнее уравнение называется дифференциальным уравнением цепной линии. Это уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. Чтобы понизить порядок уравнения сделаем замену (z(x)=y’). Тогда (y»=z’). Подставляя в последнее дифференциальное уравнение, получим $$frac = z’ frac cdot sqrt.$$

Рисунок 3. Ценная линия и расчётная схема.

Получили уравнение с разделяющимися переменными, которое после элементарных преобразований принимает вид $$frac<sqrt> = frac cdot dx.$$ Интегрируем последнее уравнение $$intfrac<sqrt> = frac int dx,$$ $$ln|z + sqrt| = frac cdot x + C_1.$$ Принимая за начало координат нижнюю точку цепной линии, заметим, что касательная в нижней точке горизонтальная, другими словами, нижняя точка является точкой экстремума для функции (y(x)). Следовательно, (y’(0)=z(0)=0). Подставим в последнее выражение (x=0, y=0, z=0). В результате получим (С_1 = 0). Тогда уравнение цепной линии перепишется в виде $$ln|z + sqrt| = frac cdot x.$$ Потенцируя полученное уравнение, перепишем его в показательной форме

Здесь для сокращения записи мы ввели обозначение (frac = kappa.)
Умножим обе части уравнение (1) на выражение сопряжённое к левой части (z-sqrt). Получим $$(z + sqrt)cdot(z — sqrt) = e^cdot(z — sqrt).$$ Нетрудно заметить, что $$(z + sqrt)cdot(z — sqrt) = z^2 — (sqrt)^2 = z^2 -1 + z^2 = -1.$$ Вследствие последнего замечания, уравнение можно переписать в виде $$e^cdot(z — sqrt) = -1.$$ или в виде $$z — sqrt = -e^. $$ Прибавим последнее выражением к выражению (1), и поделим полученное равенство на 2. В результате получим $$z = frac <e^- e^>. $$ Определение 1. Гиперболическим синусом от (x) называется функция, определённая следующим выражением $$sh(x) = frac <e^- e^>. $$ Определение 2. Гиперболическим косинусом от (x) называется функция, определённая следующим выражением $$sh(x) = frac <e^+ e^>. $$ Предложение 1. Производная от гиперболического косинуса есть гиперболический синус, производная от гиперболического синуса есть гиперболический косинус, то есть$$sh'(x) = ch(x),$$ $$ch'(x) = sh(x).$$ Доказательство. $$sh'(x) = left(frac <e^- e^>right)’ = frac <(e^- e^)’> = frac <(e^)’ — (e^)’> = frac <(e^)’ + (e^)’> = ch(x);$$ $$ch'(x) = left(frac <e^+ e^>right)’ = frac <(e^+ e^)’> = frac <(e^)’ + (e^)’> = frac <(e^)’ — (e^)’> = sh(x).$$ Доказательство завершено. ❑

Следствие 1. Первообразная от гиперболического косинуса есть гиперболический синус, а первообразная от гиперболического синуса есть гиперболический косинус.

Следствие 2. $$int sh(x)dx = ch(x) + C, $$ $$ int ch(x)dx = sh(x) + C.$$
С учётом сформулированных определений, а также памятуя о сделанной ранее замене (z(x)), перепишем выражение для прогиба в следующем виде $$ y’ = z = frac <e^- e^> = sh(kappa x).$$
На основании предложения 1 и следствий к нему, после интегрирования получим $$ y(x) = int sh(kappa x)dx = frac cdot ch(kappa x) + C.$$
В принятой системе координат, когда нижняя точка цепной линии является началом системы координат, справедливо следующее начальное условие (y(0)=0). Подставим это условие в найденное уравнение цепной линии и получим $$ y(0) = frac + C = 0,$$ $$ frac cdot frac +C = frac cdot frac +C = frac + C = 0. $$ Отсюда (С=-frac ) и уравнение цепной линии запишется в виде $$ y(x) = frac left(ch(kappa x) — 1right).$$
Таким образом, форма цепной линии определяется как гиперболический косинус с параметром (kappa). Кроме гиперболического синуса и гиперболического косинуса существуют также гиперболический тангенс и котангенс, которые определяются по тому же принципу, что и тригонометрический тангенс и котангенс, а именно:

Определение 3. Гиперболическим тангенсом от (x) называется функция, определённая следующим выражением $$th(x) = frac .$$
Определение 4. Гиперболическим котангенсом от (x) называется функция, определённая как частное гиперболического скосинуса и гиперболического синуса. То есть гиперболический котангенс это функция, определённая следующим выражением $$cth(x) = frac .$$
Из сделанных определений следуют равенства $$th(x) cdot cth(x) = 1;$$ $$th(x) =frac <e^x — e^><e^x + e^>;$$ $$cth(x) =frac <e^x + e^><e^x — e^>.$$
Исследуем ряд других замечательных свойств гиперболических функций.

Предложение 2. Справедливы следующие тождества $$сh^2(x) — sh^2(x) = 1;$$ $$1-th^2(x) = frac ,$$ $$cth^2(x) — 1 = frac .$$ Доказательство.

Из определений гиперболического косинуса и гиперболического синуса следует: $$ch^2(x) — sh^2(x) = left(frac <e^+ e^>right)^2 — left(frac <(e^- e^)>right)^2 = $$ $$ = frac <(e^)^2 + 2e^xe^ + (e^)^2> — frac <(e^)^2 — 2e^xe^ + (e^)^2> = e^xe^ = e^ = e^0 = 1.$$ Первое тождество доказано. Из него следует $$ch^2(x) = 1 + sh^2(x);$$ $$sh^2(x) = ch^2(x) — 1.$$ Тогда $$1 — th^2(x) = 1 — frac = frac = frac .$$ $$cth^2(x) — 1 = frac — 1 = frac = frac .$$ Все три тождества доказаны. ❑

Задание.
Найти производные гиперболического тангенса и гиперболического котангенса.

Решение.
По правилу дифференцирования частного, получим для производной гиперболического тангенса $$th'(x) = left(fracright)’ = frac = $$ $$ = frac = frac = frac .$$
Аналогично получим производную для функции гиперболический котангенс $$cth'(x) = left(fracright)’ = frac = $$ $$ = frac = frac = — frac .$$
Таким образом, мы доказали следующие соотношения $$ th'(x) = frac ;$$ $$ cth'(x) = — frac .$$
Обратим внимание на некоторое сходство полученных тождеств с соответствующими тригонометрическими тождествами.

Видео:Длинные линии │Цепи с распределенными параметрами │Теория, часть 1Скачать

Гиперболические функции

Содержание:

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Гиперболические функции

Гиперболические функции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Основные понятия:

Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат, уравнение которого имеет вид х 2 + у 2 = 1.

Согласно определению, синусом угла называют ординату у точки А(х, у) единичной окружности, а косинусом — абсциссу х этой же точки (рис. 1)

Докажем, что площадь сектора АОВ равна числовому значению угла AOD, взятом в радианах.

Действительно, если R=1, а угол сектора АОВ- то

Следовательно, в тригонометрических функциях за аргумент можно принимать не только угол, а и площадь соответствующего сектора.

Рассмотрим теперь равнобокую гиперболу с асимптотами , уравнение которой имеет вид

Повторим предыдущие рассуждения:

— выберем на гиперболе т. А(х, у);

— проведём радиусы ОА и ОВ ().

Образовавшуюся фигуру OANB называют гиперболическим сектором (сектором ),

абсциссу точки А — гиперболическим косинусом;

ординату точки А — гиперболическим синусом.

Возьмём за аргумент площадь гиперболического сектора . Получим:

Найдём площадь гиперболического сектора, как разность площади треугольника АОВ и криволинейной трапеции ANB.

Потому, что фигура симметрична, имеем

либо, решив систему

Аналогично как в тригонометрии вводят понятия тангенса и котангенса

Свойства гиперболических функций

Чётность и нечётность проверим подставив (-х) в соответствующие формулы

Следовательно, как и в тригонометрических функциях, имеем чётная, а нечётные.

Остальные свойства легко установить построив графики гиперболических функций.

Для построения воспользуемся записью

то есть графики функций

Полученные графическим сложением ординат графики функций имеют вид:

Графики следующие

Видим, что в отличии от тригонометрических, гиперболические функции непериодические. Основные свойства каждой из гиперболических функций указаны в опорном конспекте (п. 10.5).

Дифференцирование и интегрирование гиперболических функций

Гиперболические функции можно дифференцировать и интегрировать. Выведем формулы производных и интегралов.

Переход от гиперболических функций к тригонометрическим и наоборот

Используя гиперболические функции можно вывести формулы Эйлера. Действительно, вспомним разложение в ряд Маклорена функций

Положим в разложении функции у=е х за аргумент х=zj. Получим:

Учитывая, что где будем иметь:

Именно эти формулы позволяют установить зависимость между тригонометрическими и гиперболическими функциями.

Принимаем без доказательств, что все тригонометрические формулы действительны и для воображаемого аргумента. Это предположение позволит установить зависимость между гиперболическими функциями.

Аналогично можно получить формулы для

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.