Уравнение диаметра кривой 2 порядка (5 видео)

Уравнение диаметра кривой 2 порядка

Содержание

Глава 22. Диаметры линий второго порядка
Уравнение кривой второго порядка
Линия второго порядка, заданная общим уравнением
Пересечение линии второго порядка и прямой.
Тип линии.
Диаметр линии второго порядка.
Центр линии второго порядка.
Сопряженные направления.
Главные направления.
Касательная к линии второго порядка.
Особые точки.
🔍 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Глава 22. Диаметры линий второго порядка

В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, который ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр. Если эллипс задан уравнением

(1)

то его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

Если гипербола задана уравнением

, (2)

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

Все диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана уравнением

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.

Если k и k ’ — угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров эллипса (1), то

(3)

Если k и k ’ — угловые коэффициенты дух взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то

(4).

Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диаметров соответственно для эллипса и для гиперболы.

Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам, называется главным.

Видео:Видеоурок "Общее уравнение кривой 2 порядка"Скачать

Уравнение кривой второго порядка

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Диаметры кривой. Главные оси. Асимптоты. Уравнение кривой, отнесенной к сопряженным направлениям; уравнение кривой, отнесенной к асимптотам.

Если в кривой второго порядка провести все хорды одного и того же направления, то геометрическое место середин этих хорд представит некоторую прямую, которую называют диаметром, сопряженным данным хордам. Уравнение диаметра:

где есть угловой коэффициент сопряженных хорд. Меняя , т.е. меняя направление хорд, получим бесчисленное множество диаметров; все они проходят через центр кривой. У параболы все диаметры параллельны между собой.

Направление хорд и направление сопряженного им диаметра называются сопряженными направлениями относительно данной кривой. Зависимость между двумя сопряженными направлениями следующая:

Сопряженными диаметрами называются такие два диаметра, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому. У параболы сопряженных диаметров нет, так как все диаметры имеют одно и тоже направление.

Главными осями кривой называются диаметры, перпендикулярные к сопряженным хордам; их направления называются главными направлениями.

В случае прямоугольной системы координат главные направления определяются из уравнения:

где – угол между одним из главных направлений и направлением оси .

В случае косоугольной системы координат имеем:

Всякая кривая второго порядка имеет два главных направления, за исключением окружности, для которой главные направления неопределенные.

Угловой коэффициент определяется для всех диаметров параболы по формуле:

если для старших коэффициентов параболы введены обозначения:

Главная ось параболы как один из ее диаметров имеет это же направление и в случае прямоугольных координат она изображается уравнением

Второе главное направление параболы перпендикулярно к ее диаметрам, но второй главной оси у параболы нет. Если отнести кривую у двум сопряженным направлениям, т.е. выбрать за оси координат прямые, имеющие сопряженные направления относительно этой кривой, то в уравнение кривой не войдет член с произведением координат (). У параболы кроме того, исчезнет ещё один из старших членов ().

Если центральную кривую отнести к двум сопряженным диаметрам (или к главным осям), то уравнение ее примет вид:

Простейшее уравнение параболы мы получим, поместив начало координат в вершину, т.е. в точку пересечения параболы с главной осью (), выбрав главную ось за ось абсцисс (, и ) и касательную в вершине (она перпендикулярна к оси) за ось ординат:

При таком же выборе осей координат центральная кривая изобразится уравнением

Асимптоты кривой можно рассматривать как те ее диаметры, которые сами себе сопряжены. Угловые коэффициенты асимптот определяются из уравнения

Асимптоты могут быть только у центральных кривых: гипербола имеет две действительные асимптоты, эллипс – две мнимые; в случае пересекающихся прямых асимптоты совпадают с этими прямыми.

Если принять асимптоты гиперболы за оси координат, то уравнение этой гиперболы примет вид:

587. Найти два сопряженных диаметра кривой , из которых один проходит через начало координат.

Решение . Данная кривая центральная, потому что . Уравнение всякого ее диаметра будет где — угловой коэффициент сопряженного диаметра. Так как искомый диаметр проходит через начало координат, то свободный член его уравнения должен равняться нулю, т.е. откуда . Вставив это значение параметра в общее уравнение диаметра и преобразовав его, получим: . Это уравнение одного из искомых диаметров; его угловой коэффициент ; следовательно, уравнение сопряженного диаметра будет:

588. Через точку (1;-2) проведен диаметр кривой . Найти уравнение этого диаметра и диаметра ему сопряженного.

589. Дана кривая . Найти ее диаметр, параллельный оси абсцисс, и диаметр, ему сопряженный.

590. Найти два сопряженных диаметра кривой , из которых один параллелен оси ординат.

591. Дана кривая и один из ее диаметров . Найти диаметр, ему сопряженный.

592. Составить уравнение диаметра кривой , параллельного прямой .

593. Определить диаметр кривой , образующий угол в с осью абсцисс. Угол .

594. Дана кривая: . Найти геометрическое место середин ее хорд: 1) параллельных оси ; 2) параллельных оси ; 3) параллельных прямой .

595. Найти диаметр кривой , проходжящей через середину хорды, отсекаемой этой кривой на прямой .

596. Найти середину хорды, отсекаемой кривой на прямой .

597. Найти такие сопряженные диаметры кривой , которые образуют между собой угол в . Угол .

598. Найти зависимость между угловыми коэффициентами прямых, имеющих сопряженные направления относительно:

1) эллипса ; 2) гиперболы .

599. Через точку (1;-3) провести хорду эллипса , сопряженную диаметру .

600. Найти направления и длину двух сопряженных диаметров эллипса , из которых один проходит через точку (2;3).

601. Найти угол между двумя сопряженными диаметрами эллипса , из которых один образует угол в с большой осью.

602. Определить длину тех сопряженных диаметров эллипса , которые образуют между собой угол .

Указание . В этой задаче удобно воспользоваться теоремами Аполлония: и , где и – полуоси эллипса; и — сопряженные полудиаметры его; – угол между этими сопряженными диаметрами.

603. Даны размеры двух сопряженных диаметров эллипса и и угол между ними . Вычислить длину его осей.

604. Определить угол между двумя сопряженными диаметрами гиперболы , зная, что действительный из этих диаметров втрое больше действительной оси.

605. Найти уравнения двух сопряженных диаметров гиперболы , угол между которыми равняется .

606. Дана парабола: . Написать уравнение диаметра этой параболы:

1) проходящего через начало координат;

2) сопряженного хордам, параллельным оси ;

3) сопряженного хордам, параллельным оси ;

4) образующего угол с сопряженными хордами;

5) перпендикулярного к сопряженным хордам.

Во всех случаях угол

607. Найти диаметр параболы , сопряженный тем хордам, которые наклонены под углом в к оси параболы.

608. Написать уравнение диаметра параболы , сопряженного с прямой .

609. Найти главные оси кривых:

Во всех случаях угол

610. Каковы будут главные оси распавшейся центральной кривой?

611. Найти ось параболы .

Решение . Все диаметры данной параболы имеют угловой коэффициент . Ось параболы есть диаметр, сопряженный перпендикулярным хордам, т.е. хордам с угловым коэффициентом (система координат предполагается прямоугольной). Уравнение всякого диаметра этой параболы будет при мы получим уравнение оси: .

612. Найти ось симметрии и вершину каждой из следующих парабол:

Во всех случаях угол

Указание . Вершина параболы находится как точка пересечение параболы с ее осью.

613. Найти общий диаметр двух кривых:

614. Составить уравнение кривой второго порядка, проходящей через начало координат, если известны две пары сопряженных ее диаметров:

Решение . Угловые коэффициенты сопряженных диаметров удовлетворяют уравнению: . Угловые коэффициенты данных диаметров: и , , ; вставляя эти значения в указанное уравнение, получим:

Координаты центра искомой кривой мы можем определить, решая совместно уравнения двух диаметров: , . Эти координаты должны удовлетворять уравнениям: и которые данном случае перепишутся так: и ; вставим вместо : и вычисленные их значения и тогда получим: и . Кроме того, кривая проходит через начало координат; значит, , и уравнение кривой будет:

615. Две пары прямых:

служат сопряженными диаметрами кривой второго порядка. Составить уравнение этой кривой, зная, что она проходит через точку (1;1).

616. Выяснить особенности в выборе осей координат, если кривые даны следующими уравнениями:

617. Относительно некоторой прямоугольной системы координат кривая дана уравнением: . Преобразовать это уравнение, приняв за оси координат главные оси кривой.

618. Отнести к главным осям кривые, данные относительно прямоугольной системы координат уравнениями:

619. Уравнение кривой, отнесенной к двум сопряженным диаметрам, составляющим угол , имеет вид: . Найти уравнение той же кривой относительно ее главных осей.

620. Отнести к главным осям кривые:

621. Выяснить особенности в выборе осей координат, если параболы даны следующими уравнениями:

622. привести к простейшему виду уравнение параболы ; .

623. Привести к простейшему виду уравнения следующих парабол:

624. Отнести к вершине следующие центральные кривые:

Во всех случаях .

625. Найти асимптоты следующих гипербол:

626. Доказать, что все кривые, уравнения которых отличаются друг от друга только свободными членами, имеют общие асимптоты. Найти, например, асимптоты кривых при различных значениях параметра λ.

627. Доказать, что если две кривые имеют общие асимптоты, то все члены их уравнений, кроме свободных членов, имеют пропорциональные коэффициенты.

628. Составить общее уравнение для всех кривых. Имеющих прямые и своими асимптотами.

629. кривая второго порядка проходит через точку (1;-1) и имеет своими асимптотами две прямые: и . Составить уравнение этой кривой.

630. Составить уравнение кривой, касающейся прямой и имеющей прямые и своими асимптотами.

630*. Какому условию удовлетворяют коэффициенты общего уравнения гиперболы, если гипербола равносторонняя?

631. Какой вид имеет уравнение гиперболы, если одна из осей координат или обе оси параллельны асимптотам?

632. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точки (2;1), (-1;-2) и (), при условии, что одна из ее асимптот совпадает с осью абсцисс.

633. Уравнение гиперболы, отнесенной к главным осям, имеет вид: . Преобразовать это уравнение, приняв асимптоты гиперболы за новые оси координат.

634. Отнести гиперболу к ее асимптотам.

635. Как преобразуется уравнение гиперболы , если за оси координат принять ее асимптоты? Угол .

636. Сколько членов второй степени и какие именно могут войти в уравнение: 1) эллипса4 2) гиперболы; 3) параболы?

Преобразование уравнения кривой второго порядка с помощью инвариантов.

Если одна и та же кривая второго порядка, отнесенная к двум различным произвольно выбранным системам координат с координатными углами и , изображается уравнениями:

то имеют место следующие равенства:

т.е. существуют выражения, составленные из коэффициентов уравнения кривой и соответствующего координатного угла, которые не меняют своей величины ни при каком преобразовании декартовых координат. Такие выражения называются инвариантами кривой второго порядка. Мы можем пользоваться тремя вышеприведенными инвариантами:

для упрощения уравнений кривой второго порядка, если только уравнение кривой после преобразования содержит не более трех коэффициентов.

637. Пользуясь инвариантами, отнести к главным осям кривую , зная что .

Решение . Искомое уравнение имеет следующий вид:

Для прямоугольных систем координат инварианты упрощаются, так как и , и мы будем иметь: ; . Найдем числовое значение этих инвариантов, исходя из данного уравнения:

Составим теперь выражения этих же инвариантов через коэффициенты преобразованного уравнения: . Так как инварианты не меняют своей величины при преобразовании координат, то мы можем приравнять между собой найденные для них выражения, содержащие коэффициенты первоначального и преобразованного уравнения;. Из этой системы уравнений мы определяем неизвестные коэффициенты преобразованного уравнения: ;, и искомое уравнение будет . Таким образом, пользуясь инвариантами, можно привести уравнение кривой к простейшему виду, не отыскивая ее центра, осей и не составляя формул преобразования координат.

638. Пользуясь инвариантами, привести к простейшему виду уравнения следующих кривых:

при условии, что все они отнесены к прямоугольной системе координат.

639. Пользуясь инвариантами, упростить уравнения следующих кривых:

Во всех случаях .

640. Упростить уравнения следующих кривых:

640*. Отнести к главным осям кривую , если известно, что .

641. Отнести гиперболу к ее асимптотам, пользуясь инвариантами. Угол .

Решение . Уравнение кривой, отнесенной к асимптотам, имеет вид:

Нам надо найти два неизвестных коэффициента , и новый координатный угол , т.е. угол между асимптотами. Найдем числовую величину инвариантов, пользуясь данным уравнением, при , : . Выражения этих инвариантов в новых коэффициентах будут:

Для определения трех величин , и имеем три уравнения:

Решив их, получим: , ; и ; искомое уравнение будет: . Выбираем направление осей так, чтобы гипербола была расположена в нормальном угле и вертикальном к нему угле; тогда после упрощений получим: .

642. Отнести к асимптотам гиперболы, данные относительно прямоугольной системы координат уравнениями:

643. Относительно некоторой прямоугольной системы координат кривая изображается уравнением . Составить уравнение этой же кривой относительно ее вершины.

Указание . Отнести кривую к вершине – значит принять одну из осей кривой за ось абсцисс, перенести начало координат в вершину и принять касательную в вершине за ось ординат.

Видео:Кривые второго порядкаСкачать

Линия второго порядка, заданная общим уравнением

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Пересечение линии второго порядка и прямой.

Рассмотрим линию второго порядка, заданную общим уравнением
$$
Ax^+2Bxy+Cy^+2Dx+2Ey+F=0label
$$
в декартовой системе координат, и исследуем пересечение этой линии с произвольной прямой
$$
x=x_+alpha t, y=y_+beta t.label
$$
Значения параметра (t), соответствующие точкам пересечения, должны удовлетворять уравнению, получаемому подстановкой eqref в eqref:
$$
A(x_+alpha t)^+2B(x_+alpha t)(y_+beta t)+C(y_+beta t)^ +\+ 2D(x_+alpha t)+2E(y_+beta t)+F=0.label
$$
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим уравнение
$$
Pt^+2Qt+R=0,label
$$
в котором
$$
P=Aalpha^+2Balphabeta+Cbeta^,label
$$
$$
Q=(Ax_+By_+D)alpha+(Bx_+Cy_+E)beta,label
$$
или, при другой группировке слагаемых,
$$
Q=(Aalpha+Bbeta)x_+(Balpha+Cbeta)y_+Dalpha+Ebeta.label
$$
Свободный член — это значение многочлена при (t=0), то есть
$$
R=Ax_^+2Bx_y_+Cy_^+2Dx_+2Ey_+F=0.label
$$

Вообще говоря, уравнение eqref квадратное, имеет не больше двух корней, и прямая пересекает линию или в двух точках, или в одной точке (кратные корни), или не пересекает ее (комплексные корни). Но возможны “исключительные” прямые, для которых (P=0), то есть
$$
Aalpha^+2Balphabeta+Cbeta^=0,label
$$
и, следовательно, уравнение eqref является линейным. В этом случае оно имеет один корень при (Q neq 0), а при (Q=0) либо выполнено тождественно (если и (R=0)), либо не имеет решений. Следовательно, “исключительные” прямые или пересекают линию в единственной точке, или лежат на ней целиком, или не имеют с ней общих точек.

В равенство eqref не входят координаты начальной точки прямой. Кроме того, оно остается справедливым, если умножить (alpha) и (beta) на общий ненулевой множитель.

Направление, определяемое вектором, компоненты которого удовлетворяют уравнению eqref, называется асимптотическим направлением линии второго порядка.

Видео:Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Тип линии.

Выясним, сколько асимптотических направлений может иметь линия второго порядка. Обозначив
$$
delta=begin
A& B\
B& C
end,nonumber
$$
сформулируем следующее утверждение.

Линия второго порядка имеет два асимптотических направления, если (delta 0).

Рассмотрим несколько случаев.

Пусть (A=C=0). Тогда (B neq 0) и (delta=-B^ 0).
Случай (A neq 0) исследуется аналогично случаю 2, только нужно рассматривать не угловой коэффициент, а отношение (alpha/beta).

Поскольку разобранные выше случаи исчерпывают все возможности, предложение доказано.

От противного нетрудно проверить, что и обратно число асимптотических направлений определяет знак (delta).

Мы определили асимптотические направления при помощи аналитического условия eqref. Поэтому в принципе при изменении системы координат асимптотическое направление могло бы перестать быть асимптотическим, или, наоборот, обыкновенное направление стать асимптотическим. Из геометрического смысла асимптотических направлений видно, что в действительности асимптотические направления не зависят от выбора системы координат.

Используя канонические уравнения, легко проверить, что эллипс не имеет асимптотических направлений, парабола имеет одно, а гипербола — два асимптотических направления (рис. 9.1). Поэтому линии второго порядка называются линиями гиперболического, параболического или эллиптического типа, смотря по тому, имеют они два, одно или не имеют ни одного асимптотического направления.

Для линий гиперболического типа (delta 0).

Рис. 9.1. Асимптотическое направление.

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Диаметр линии второго порядка.

Назовем хордой любой отрезок, концы которого лежат на линии, а остальные точки на ней не лежат. Таким образом, хорда не может иметь асимптотического направления.

Предположим, что рассматриваемая линия второго порядка имеет по крайней мере одну хорду. Этому условию удовлетворяют эллипсы, гиперболы, пары пересекающихся прямых, параболы и пары параллельных прямых.

Фиксируем какое-нибудь неасимптотическое направление и исследуем множество середин хорд, имеющих это направление. Если начальная точка (M_(x_, y_)) секущей eqref находится в середине хорды, то корни уравнения eqref равны по абсолютной величине и отличаются знаком (рис. 9.2). Это будет так в том и только том случае, когда (Q=0). Используя eqref, мы получаем, что середины хорд направления ((alpha, beta)^) лежат на прямой
$$
(Aalpha+Bbeta)x+(Balpha+Cbeta)y+Dalpha+Ebeta=0.label
$$

Рис. 9.2. Хорды.

Прямая eqref называется диаметром линии второго порядка, сопряженным направлению ((alpha, beta)).

Стоит обратить внимание на то, что диаметром называется вся прямая. Это не означает, что середины хорд заполняют ее целиком. Так может быть, но возможно также, что множество середин хорд есть, например, отрезок или луч.

Конечно, остается сомнение, действительно ли уравнение eqref определяет прямую: не окажутся ли в нем коэффициенты при переменных оба равными нулю? Допустим, что это так, то есть
$$
Aalpha+Bbeta=0, Balpha+Cbeta=0.nonumber
$$

Умножим первое из этих равенств на (alpha), второе — на (beta) и сложим. Мы получим равенство eqref, которое по предположению не имеет места. Следовательно, уравнение eqref определяет прямую.

Видео:Приводим уравнение кривой 2 порядка к каноническому видуСкачать

Центр линии второго порядка.

Обозначим левую часть уравнения eqref через (boldsymbol(x, y)) и введем еще одно понятие.

По-видимому, это определение зависит от выбора системы координат, так как в нем участвует не линия, а многочлен, стоящий в левой части ее уравнения. Допустим, что координаты (x_, y_) точки (O) в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению eqref. Будут ли ее координаты ((tilde_, tilde_)) в другой системе координат удовлетворять равенству того же вида для многочлена (tilde<boldsymbol>(tilde, tilde)), задающего ту же линию в новой системе координат? Легко видеть, что это так, потому что многочлен (tilde<boldsymbol>) так и выбирается, чтобы для координат любой точки выполнялось равенство (tilde<boldsymbol>(tilde, tilde)=boldsymbol(x, y)). Нам остается только выписать это равенство для точек, получаемых из (O) сдвигом на векторы (boldsymbol) и (-boldsymbol).

Ниже мы докажем, что в том случае, когда линия содержит хоть одну точку, центры линии и только они являются ее центрами симметрии. Однако понятие центра несколько более общее: линии, являющиеся пустыми множествами, имеют вполне определенные центры, хотя говорить об их центрах симметрии смысла нет. Например, каждая точка прямой (y=0) является центром линии с уравнением (y^+1=0).

Получим систему уравнений для координат центра. С этой целью напишем подробнее равенство eqref. Его левая часть равна
$$
A(x_+alpha)^+2B(x_+alpha)(y_+beta) +\+ C(y_+beta)^+2D(x_+alpha)+2E(y_+beta)+F.nonumber
$$
Правая часть отличается от левой только знаками у (alpha) и (beta). Поэтому при вычитании (boldsymbol(x_-alpha, y_-beta)) из (boldsymbol(x_+alpha, y_+beta)) уничтожаются все члены, кроме тех, в которые (alpha) и (beta) входят в первой степени, а члены с первыми степенями удвоятся. После упрощений мы получаем
$$
(Ax_+By_+D)alpha+(Bx_+Cy_+E)beta=0.label
$$

Но равенство eqref, а вместе с ним и равносильное равенство eqref имеет место при любых (alpha) и (beta), в частности, при (alpha=1), (beta=0) и при (alpha=0), (beta=1). Отсюда следует, что координаты ((x_, y_)) центра должны удовлетворять системе уравнений
$$
left<begin
Ax_+By_+D=0,\
Bx_+Cy_+E=0.
endright.label
$$

Легко видеть, что и обратно, если справедливы равенства eqref, то, умножая их на произвольные числа (alpha) и (beta) и складывая, мы получим eqref, а тем самым и eqref.

Исследуем, обязательно ли существуют центры у линии второго порядка, а если они существуют, то сколько их и как они расположены. Система уравнений eqref имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
$$
delta=begin
A& B\
B& C
end neq 0.label
$$
Таким образом, условие (delta neq 0) необходимо и достаточно для того, чтобы линия второго порядка имела единственный центр.

Линии второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными.

Полученное условие показывает, что центральными являются линии эллиптического и гиперболического типов.

Условие (delta=0) характеризует нецентральные линии. Это — линии параболического типа. При условии (delta=0) система eqref либо не имеет решения, либо равносильна одному из составляющих ее уравнений (ранее мы уже доказывали этот факт). Это значит, что нецентральная линия либо не имеет центра (парабола), либо ее центры заполняют прямую линию (пары параллельных прямых, вещественных и мнимых, и пары совпавших прямых).

Если линия второго порядка не является пустым множеством и имеет центр (O(x_, y_)), то он — ее центр симметрии.

В самом деле, рассмотрим произвольную точку линии (M(x, y)) и докажем, что симметричная ей относительно (O) точка (M_(x_, y_)) также лежит на линии. Точка (M_) определяется равенством (overrightarrow<OM_>=-overrightarrow). Если ((alpha, beta)) — координаты вектора (overrightarrow), то (x=x_+alpha), (y=y_+beta), а (x_=x_-alpha), (y_=y_-beta). Теперь ясно, что в силу eqref из (boldsymbol(x, y)=0) следует (boldsymbol(x_, y_)=0). Утверждение доказано.

Если линия содержит хотя бы одну точку и имеет центр симметрии (O(x_, y_)), то (O) является центром.

Рассмотрим пересечение линии с прямой, проходящей через (O), приняв эту точку за начальную точку прямой. Имеются две возможности:

Точка (O) лежит на линии. Пусть прямая имеет неасимптотическое направление. Тогда (O) — единственная точка пересечения, так как иначе с учетом симметрии точек пересечения было бы не меньше трех. Следовательно, уравнение eqref имеет кратный корень (t=0), откуда вытекает (Q=0). Итак, координаты точки (O) удовлетворяют равенству (12) при любых (alpha) и (beta), соответствующих неасимптотическим направлениям. Выберем два различных неасимптотических направления ((alpha, beta)) и ((alpha’, beta’)) и рассмотрим равенства
$$
begin
& (Ax_+By_+D)alpha+(Bx_+Cy_+E)beta=0,\
& (Ax_+By_+D)alpha’+(Bx_+Cy_+E)beta’=0.
endnonumber
$$
как систему уравнений с коэффициентами (alpha), (beta), (alpha’), (beta’), причем ((alphabeta’-alpha’beta neq 0)). Мы получаем равенства eqref, как и требовалось.
Точка (O) не лежит на линии. Если прямая пересекает линию в точке (M), которой соответствует значение параметра (t_ neq 0), то существует симметричная точка пересечения со значением параметра (-t_). Тогда (Pt_^+2Qt_+R=0) и (Pt_^-2Qt_+R=0), откуда следует (Q=0).

Таким образом, если линия имеет точки пересечения с двумя различными прямыми, проходящими через (O), то, как и выше, мы можем получить равенства eqref для координат (O). Докажем, что такие прямые обязательно найдутся. Действительно, в противном случае все точки линии лежат на одной прямой. Согласно теореме о существующих типах линий второго порядка линии только двух классов обладают этим свойством: пары совпавших прямых и пары мнимых пересекающихся прямых. Но и для того, и для другого класса все центры симметрии принадлежат линии, что противоречит сделанному предположению. Утверждение доказано.

Видео:Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Сопряженные направления.

Направление ((alpha’, beta’)), определяемое диаметром, сопряженным направлению ((alpha, beta)), называется сопряженным направлению ((alpha, beta)). Компоненты ((alpha’, beta’)), направляющего вектора диаметра eqref согласно доказанному ранее утверждению 6 удовлетворяют условию
$$
(Aalpha+Bbeta)alpha’+(Balpha+Cbeta)beta’=0label
$$
или
$$
Aalphaalpha’+B(alpha’beta+alphabeta’)+Cbetabeta’=0label
$$
В последнее выражение пары чисел ((alpha, beta)) и ((alpha’, beta’)) входят симметричным образом. Поэтому имеет место следующее утверждение.

Если направление ((alpha’, beta’)), сопряженное с ((alpha, beta)), не является асимптотическим, то сопряженным для ((alpha’, beta’)) будет направление ((alpha, beta)) (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Сопряженные направления.

Возникает вопрос, при каких условиях направление, сопряженное какому-нибудь направлению ((alpha, beta)) может оказаться асимптотическим. Это легко выяснить. Из равенства eqref следует, что в качестве (alpha’) и (beta’) можно выбрать соответственно — (-(Balpha+Cbeta)) и ((Aalpha+Bbeta)). Подставим это в уравнение eqref для асимптотических направлений:
$$
A(Balpha+Cbeta)^-2B(Balpha+Cbeta)(Aalpha+Bbeta)+C(Aalpha+Bbeta)^=0.nonumber
$$
После преобразований получаем ((AC-B^) times (Aalpha^+2Balphabeta+Cbeta^)=0). Поскольку исходное направление не асимптотическое, это произведение может обратиться в нуль только за счет первого сомножителя. Мы получаем новое утверждение.

Если линия не центральная ((delta=0)), то для любого направления ((alpha, beta)) сопряженное направление — асимптотическое (рис. 9.4). Если линия центральная ((delta neq 0)), то направление, сопряженное любому направлению, не асимптотическое.

Рис. 9.4. Сопряженные направления у параболы.

Видео:Кривые 2 порядка. Канонический вид кривой 2 (второго) порядка доступно и просто.Скачать

Главные направления.

Если диаметр перпендикулярен хордам, которым он сопряжен, то он является осью симметрии рассматриваемой линии.

Направление ((alpha, beta)) и направление ((alpha’, beta’)) сопряженного ему диаметра называются главными направлениями, если они перпендикулярны.

Если система координат декартова прямоугольная, то для главного направления компоненты ((alpha, beta)) должны быть пропорциональны коэффициентам уравнения eqref, то есть должно существовать такое число (lambda), что
$$
Aalpha+Bbeta=lambdaalpha, Balpha+Cbeta=lambdabeta.label
$$
Исключая (lambda), мы получаем уравнение для (alpha) и (beta):
$$
(A-C)alphabeta+B(beta^-alpha^)=0.label
$$

Если положить (alpha=cos varphi), (beta=sin varphi), то уравнение eqref превратится в уравнение (2B cos 2varphi = (A-C)sin 2varphi), которое, как мы видели, обязательно имеет решение относительно (varphi). Поэтому имеет место следующее утверждение.

Каждая линия второго порядка имеет хотя бы одну пару главных направлений.

Более подробное исследование уравнения eqref показывает, что либо эта пара единственная, либо каждая пара перпендикулярных направлений является главной. Последний случай имеет место, когда (A=C), (B=0). При этом уравнение линии приводится к одному из канонических видов: (x^+y^=a^), (x^+y^=-a^) или (x^+y^=0). В двух последних случаях линия не имеет хорд, и результат лишен геометрического смысла.

Видео:Кривые второго порядкаСкачать

Касательная к линии второго порядка.

Как известно, касательной к какой-либо линии называется предельное положение секущей, когда хорда стягивается в точку. Выведем уравнение касательной к линии второго порядка, заданной уравнением eqref. Дадим предварительно следующее определение.

Особой точкой линии второго порядка называется ее центр, который лежит на линии.

Особыми точками являются: точка пересечения пары пересекающихся прямых, единственная точка пары мнимых пересекающихся прямых и каждая точка пары совпавших прямых. В особой точке касательная не определена. Если точка лежит на прямой, входящей в состав линии, то касательная в этой точке совпадает с прямой. Исключив эти случаи, мы фактически ограничиваемся рассмотрением касательных к эллипсам, гиперболам и параболам.

Рассмотрим точку (M_(x_<0, y_>)), лежащую на линии (L), и прямую с начальной точкой (M_), заданную уравнением eqref. С нашей точки зрения, приведенное выше определение касательной означает, что уравнение eqref, определяющее точки пересечения (L) и прямой, имеет два совпадающих корня.

Так как начальная точка принадлежит (L), в уравнении eqref (R=0), и один из его корней равен нулю. Корни совпадают, если и второй корень равен нулю, для чего необходимо, чтобы (Q=0). Если при этом окажется, что и (P=0), то прямая принадлежит линии второго порядка. Этот случай мы исключили, и потому уравнение имеет кратный корень (t=0) в том и только том случае, когда (Q=0). Мы рассматриваем равенство (Q=0) как условие, определяющее направляющий вектор касательной:
$$
(Ax_+By_+D)alpha+(Bx_+Cy_+E)beta=0.label
$$

Так как (M_) не особая точка, обе скобки здесь одновременно в нуль не обращаются, и условие eqref определяет (alpha) и (beta) с точностью до общего множителя. Точка (M(x, y)) лежит на касательной тогда и только тогда, когда вектор (overrightarrow<M_M>) коллинеарен (boldsymbol(alpha, beta)), то есть его координаты (x-x_) и (y-y_) удовлетворяют тому же условию, что и ((alpha, beta)):
$$
(Ax_+By_+D)(x-x_)+(Bx_+Cy_+E)(y-y_)=0.label
$$

Это и есть уравнение касательной к линии (L) в точке (M_), лежащей на линии. Уравнение eqref можно записать и иначе, если заметить, что координаты (M_) удовлетворяют уравнению eqref и, следовательно,
$$
(Ax_+By_+D)x_+(Bx_+Cy_+E)y_+Dx_+Ey_+F=0.nonumber
$$
Прибавляя это равенство к eqref и группируя слагаемые, получим окончательное уравнение
$$
Axx_+B(xy_+x_y)+Cyy_+D(x+x_)+E(y+y_)+F=0.label
$$

Видео:Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Особые точки.

Напомним, что особая точка линии второго порядка — это ее центр, лежащий на линии. Исследуем, при каких условиях линия второго порядка имеет особую точку. Для координат ((x_, y_)) особой точки должны быть справедливы равенства
$$
begin
& Ax_+By_+D=0, Bx_+Cy_+E=0,\
& Ax_^+2Bx_y_+Cy_^+2Dx_+2Ey_+F=0.
endnonumber
$$
Умножим первое из них на (x_), второе на (y_) и вычтем из третьего. Мы получим эквивалентную систему уравнений
$$
left<begin
Ax_+By_+D=0,\
Bx_+Cy_+E=0,\
Dx_+Ey_+F=0.
endright.label
$$
Выберем какой-нибудь базис в пространстве и рассмотрим вспомогательные векторы (boldsymbol

(A, B, D)), (boldsymbol(B, C, E)) и (boldsymbol(D, E, F)). Равенства eqref представляют собой координатную запись векторного равенства
$$
x_boldsymbol

+y_boldsymbol=-boldsymbol.label
$$
Отсюда следует, что при наличии особой точки векторы (boldsymbol

), (boldsymbol) и (boldsymbol) компланарны, и потому
$$
triangle=begin
A& B& D\
B& C& E\
D& E& F
end=0.label
$$

Если линия центральная, то векторы (boldsymbol

) и (boldsymbol) не коллинеарны, и условие компланарности eqref равносильно существованию разложения eqref, то есть существованию решения системы eqref. Мы получили ещё одно утверждение.

Центральная линия имеет особую точку тогда и только тогда, когда (triangle=0).

Итак, сочетание (delta 0), (triangle=0) — пары мнимых пересекающихся прямых.

Рассмотрим нецентральные линии. Для них существует центр, хотя бы не являющийся особой точкой, тогда и только тогда, когда (triangle=0). В этом (и только этом) случае векторы (boldsymbol

) и (boldsymbol) коллинеарны. Действительно, так как (delta=0), по предложению 9 § 2 гл. II, если система уравнений eqref имеет решение, она равносильна одному из составляющих ее уравнений: либо коэффициенты и свободный член одного из уравнений равны нулю, либо коэффициенты и свободные члены обоих уравнений пропорциональны. Тогда (triangle=0) независимо от (boldsymbol).

Обратно, пусть для нецентральной линии (triangle=0). Докажем, что (boldsymbol

) и (boldsymbol) коллинеарны, что равносильно совместности уравнений центра. Действительно, в противном случае (boldsymbol) по ним раскладывается, и согласно eqref существует особая точка. Она — центр, (boldsymbol

) и (boldsymbol) коллинеарны, и мы получаем противоречие.

Для нецентральных линий условие (triangle=0) равносильно существованию центра.

Итак, сочетание (delta=triangle=0) характеризует пары параллельных прямых (вещественных, мнимых или совпавших).

Из последних двух утверждений следует, что равенство (triangle=0) является инвариантным: оно не может измениться при переходе к другой системе координат.