Уравнение де бройля и его физический смысл (3 видео)

Уравнение де бройля и его физический смысл

Физический смысл волн де Бройля

Щелкните по ссылке » Элементы квантовой механики «, чтобы ознакомиться с презентацией раздела в формате PowerPoint. Для возврата к данной странице закройте окно программы PowerPoint.

Из содержания темы 3 видно, что идея де Бройля о наличии у частиц вещества волновых свойств получила экспериментальное подтверждение, как для заряженных частиц (электронов), так и для нейтральных – нейтронов, атомов и молекул. Также было показано, что обнаружить волновые свойства у макроскопических тел не представляется возможным из-за присущей им малой длины волны.

В настоящем разделе постараемся выяснить физический смысл волн де Бройля.

Вернемся вновь к свету. Вспомним соотношение между корпускулярными и волновыми свойствами света. Было выяснено, что квадрат амплитуды световой волны в какой-либо точке пространства пропорционален числу фотонов, попадающих в эту точку. До сих пор речь шла о длине волны, соответствующей частице, движущейся с определенной скоростью. Можно, очевидно, говорить и об амплитуде этих волн. Вопрос о природе волн, связанных с движущимися частицами вещества, можно сформулировать как вопрос о физическом смысле амплитуды, или интенсивности этих волн.

Как известно, интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Эксперименты по отражению электронов и других частиц от поверхности показывают, что по некоторым направлениям обнаруживаются максимумы числа отраженных частиц. Это означает, что в указанных направлениях отражается большее число частиц, чем в других направлениях. С волновой точки зрения наличие максимумов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн, связанных с отражающимися частицами. Интенсивность дебройлевской волны оказывается большей там, где имеется большее число частиц. Другими словами, интенсивность волн де Бройля в данной области пространства определяет число частиц, попавших в эту область. В этом заключается статистическое, вероятностное толкование волн, связанных с движущимися частицами. Квадрат амплитуды дебройлевской волны в данной точке пространства является мерой вероятности того, что частица находится в этой области. Вероятностная трактовка волн де Бройля принадлежит Максу Борну.

Подчеркнем еще раз, что волны, связанные с движущимися частицами, не имеют никакого отношения к распространению какого-либо электромагнитного поля, к электромагнитным волнам. Среди известных в физике электромагнитных, акустических и других волн нет аналога «волнам вероятности», связанным с движущимися частицами вещества.

Можно показать, что фазовая скорость волн де Бройля превышает скорость света в вакууме, что не противоречит теории относительности.

Групповая скорость волн де Бройля меньше скорости света, что указывает на неразрывную связь дебройлевских волн с движущимися частицами. Групповая скорость волны де Бройля равна скорости движения частицы.

Открытие волновых свойств движущихся частиц вещества явилось величайшим достижением современной физики. Вместе с твердо установленным экспериментально квантовым характером законов, описывающих внутриатомные процессы, обнаружение волновых свойств частиц вещества послужило фундаментом для создания квантовой механики. Так называемые пути современной теоретической физики, изучающей законы движения частиц в области микромира, имеют масштабы длины м. Объектами изучения квантовой механики являются атомы, молекулы, кристаллы, атомные ядра и элементарные частицы (электроны, позитроны, протоны, нейтроны и др.).

Содержание

Уравнение де бройля и его физический смысл
Уравнение де бройля и его физический смысл
4.4.2. Волновая функция и ее физический смысл
4.4.3. Соотношение неопределенностей
4.4.4.Уравнение Шредингера
4.4.5. Применение уравнения Шредингера к атому водорода. Квантовые числа
🔍 Видео

Видео:физический смысл волны де БройляСкачать

Уравнение де бройля и его физический смысл

Элементы квантовой механики

Корпускулярно-волновой дуализм свойств частиц вещества.

§1 Волны де Бройля

В 1924г. Луи де Бройль (французский физик) пришел к выводу, что двойственность света должна быть распространена и на частицы вещества — электроны. Гипотеза де Бройля заключалась в том, что электрон, корпускулярные свойства которого (заряд, масса) изучаются давно, имеет еще и волновые свойства, т.е. при определенных условиях ведет себя как волна.

Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов.

Идея де Бройля состояла в том, что это соотношение имеет универсальный характер, справедливый для любых волновых процессов. Любой частице, обладающей импульсом р, соответствует волна, длина которой вычисляется по формуле де Бройля.

— волна де Бройля

p = mv — импульс частицы, h — постоянная Планка.

Волны де Бройля , которые иногда называют электронными волнами, не являются электромагнитными.

В 1927 году Дэвиссон и Джермер ( амер. физик ) подтвердили гипотезу де Бройля обнаружив дифракцию электронов на кристалле никеля. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа — Брэггов 2 dsin j = n l , а брэгговская длина волны оказалась в точности равной .

Дальнейшее подтверждение гипотезы де Бройля в опытах Л.С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (Е » 50 кэВ) через фольгу из различных металлов. Затем была обнаружена дифракция нейтронов, протонов, атомных пучков и молекулярных пучков. Появились новые методы исследования вещества — нейтронография и электронография и возникла электронная оптика.

Макротела также должны обладать всеми свойствами ( m = 1кг, следовательно, l = 6 . 6 2 · 1 0 — 3 1 м — невозможно обнаружить современными методами — поэтому макротела рассматриваются только как корпускулы).

§2 Свойства волн де Бройля

Пусть частица массы m движется со скоростью v . Тогда фазовая скорость волн де Бройля

Т.к. c > v , то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме ( v _ф может быть больше и может быть менше с, в отличие от групповой ).

следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частицы.

т.е. групповая скорость равная скорости света.

Волны де Бройля испытывают дисперсию. Подставив в получим, что v_ф = f (λ). Из-за наличия дисперсии волны де Бройля нельзя представить в виде волнового пакета, т.к. он мгновенно “ расплывется “ (исчезнет) за время 10 -26 с.

§3 Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Микрочастицы в одних случаях проявляют себя как волны, в других как корпускулы. К ним не применимы законы классической физики частиц и волн. В квантовой физике доказывается, что к микрочастице нельзя применять понятие траектории, но можно сказать, что частица находится в данном объеме пространства с некоторой вероятностью Р. Уменьшая объем, мы будем уменьшать вероятность обнаружить частицу в нем. Вероятностное описание траектории (или положения) частицы приводит к тому, что импульс и, следовательно, скорость частицы может быть определена с какой-то определенной точностью.

Далее, нельзя говорить о длине волны в данной точке пространства и отсюда следует, что если мы точно задаем координату Х, то мы ничего не сможем сказать о импульсе частицы, т.к. . Только рассматривая протяженный участок D C мы сможем определить импульс частицы. Чем больше D C , тем точнее D р и наоборот, чем меньше D C , тем больше неопределенность в нахождении D р .

Соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает границу в одновременном определении точности канонически сопряженных величин, к которым относятся координата и импульс, энергия и время.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга: произведение неопределенностей значений двух сопряженных величин не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка h

( иногда записывают )

Таким образом. для микрочастицы не существует состояний, в которых её координата и импульс имели бы одновременно точные значения. Чем меньше неопределенность одной величины, тем больше неопределенность другой.

Соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

следовательно, чем больше m , тем меньше неопределенности в определении координаты и скорости. При m = 10 -12 кг , ? = 10 -6 и Δ x = 1% ?, Δv = 6,62·10 -14 м/с, т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинки могут двигаться, т.е. для макротел их волновые свойства не играют никакой роли.

Пусть электрон движется в атоме водорода. Допустим Δ x » 1 0 -10 м (порядка размеров атома, т.е. электрон принадлежит данному атому). Тогда

Δv = 7,27· 1 0 6 м/с. По классической механике при движении по радиусу r » 0 , 5 · 1 0 — 1 0 м v = 2,3·10 -6 м/с. Т.е. неопределенность скорости на порядок больше величины скорости, следовательно, нельзя применять законы классической механики к микромиру.

Из соотношения следует, что система имеющая время жизни D t , не может быть охарактеризована определенным значением энергии. Разброс энергии возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Следовательно, частота излученного фотона также должна иметь неопределенность D n = D E / h , т.е. спектральные линии будут иметь некоторую ширину n ± D E / h , будут размыты. Измерив ширину спектральной линии можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

§4 Волновая функция и ее физический смысл

Дифракционная картина, наблюдающаяся для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц в различных направлениях — имеются минимумы и максимумы в других направлениях. Наличие максимумов в дифракционной картине означает, что в этих направлениях распределяются волны де Бройля с наибольшей интенсивностью. А интенсивность будет максимальной, если в этом направлении распространяется максимальное число частиц. Т.е. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности в распределении частиц: где интенсивность волны де Бройля максимальная, там и частиц больше.

Волны де Бройля в квантовой механике рассматриваются как волны вероятности, т.е. вероятность обнаружить частицу в различных точках пространства меняется по волновому закону ( т.е.

е — iωt ). Но для некоторых точек пространства такая вероятность будет отрицательной (т.е. частица не попадает в эту область). М. Борн ( немецкий физик ) предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности, которую также называют волновой функцией или y -функцией (пси — функцией).

Волновая функция — функция координат и времени.

Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV — физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат ее модуля.

Ψ * — функция комплексно сопряженная с Ψ

Если частица находится в конечном объеме V , то возможность обнаружить ее в этом объеме равна 1, (достоверное событие)

Р = 1 Þ

В квантовой механике принимается, что Ψ и АΨ, где А = const , описывают одно и то же состояние частицы. Следовательно,

интеграл по , означает, что он вычисляется по безграничному объему (пронстранству).

y — функция должна быть

1) конечной (так как Р не может быть больше1),

2) однозначной (нельзя обнаружить частицу при неизменных условиях с вероятностью допустим 0,01 и 0,9, так как вероятность должна быть однозначной).

непрерывной (следует из неприрывности пространства. Всегда имеется вероятность обнаружить частицу в разных точках пространства, но для разных точек она будет разная),
Волновая функция удовлетворяет принципусуперпозиции: если система может находится в различных состояниях, описываемых волновыми функциями y ₁ , y ₂ . y _n , то она может находится в состоянии y , описываемой линейной комбинаций этих функций:

С _n ( n =1,2. ) — любые числа.

С помощью волновой функции вычисляются средние значения любой физической величины частицы

§5 Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера, как и другие основные уравнения физики (уравнения Ньютона, Максвелла), не выводится, а постулируется. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с экспериментальными данными.

(1)

— Временное уравнение Шредингера.

— набла — оператор Лапласа

— потенциальная функция частицы в силовом поле,

Ψ( y , z , t ) — искомая функция

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. не изменяется с течением времени), то функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера (т.е. Ψ — функция) может быть представлено в виде произведения двух сомножителей — один зависит только от координат, другой — только от времени:

(2)

Е — полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля.

(3)

— Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Имеется бесконечно много решений. Посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл.

волновые функции должны быть регулярными, т.е.

Решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера, называются собственными функциями, а соответствующие им значения энергии — собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если Е _n принимает дискретные значения, то спектр — дискретный, если непрерывные — сплошной или непрерывный.

§6 Движение свободной частицы

Частица называется свободной, если на нее не действуют силовые поля, т.е. U = 0.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в этом случае:

И собственные значения энергии:

Т.к. k может принимать любые значения, то, следовательно, и Е принимает любые значения, т.е. энергетический спектр будет сплошным.

Временная волновая функция

(- уравнение волны)

т.е. представляет плоскую монохромную волну де Бройля.

§7 Частица в “потенциальной яме” прямоугольной формы.

Квантование энергии.

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим что, частица может двигаться только вдоль оси x . Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками x = 0, и x = ?. Потенциальная энергия U имеет вид:

Уравнение Шредингера для стационарных состояний для одномерной задачи

За пределы потенциальной ямы частица попасть не сможет, поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна 0.Следовательно, и Ψ за пределами ямы равна 0 .Из условий непрерывности следует, что Ψ = 0 и на границах ямы т.е.

В пределах ямы (0 £ x £ l ) U = 0 и уравнение Шредингера.

введя получим

;

из граничных условий следует

Из граничного условия

Энергия Е _n частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е _n называются уровнями энергии, а число n , определяющее энергические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Т.е. частицы в «потенциальной яме» могут находиться только на определенном энергетическом уровне Е _n (или находятся в квантовом состоянии n )

Собственные функции:

А найдем из усилия нормировки

— плотность вероятности. Из рис. видно, что плотность вероятности меняется в зависимости от n : при n = 1 частица, скорее всего, будет посередине ямы, но не на краях, при n = 2 — будет или в левой или в правой половине, но не посередине ямы и не на краях, и т.д. Т.е нельзя говорить о траектории движения частицы.

Энергетический интервал между соседними уровнями энергии:

При n = 1 имеет наименьшую энергию отличную от нуля

Наличие минимума энергии следует из соотношения неопределенностей, т.к.,

C ростом n расстояние между уровнями уменьшается и при n ® ¥ Е _n практически непрерывны, т.е. дискретность сглаживается, т.е. выполняется принцип соответствия Бора: при больших значениях квантовых чисел законы квантовой механики переходят в законы классической физики.

Общая трактовка принципа соответствия: всякая новая, более общая теория является развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую, указывая границы её применимости.

§ 8 Туннельный эффект.

Прохождение частицы через потенциальный барьер

Для классической частицы : при Е > U она пройдет над барьером, при Е U — отразится от него; для квантовой : при Е > U есть вероятность того, что частица отразится, при Е U есть вероятность того, что пройдет сквозь барьер.

Потенциальная энергия:

Уравнение Шредингера: для области 1 и 3 :

для области 2:

Решение этих диф. уравнений;

Для 1;

Для 2;

Для 3:

Т.к. в области 3 возможно распределение только прошедшей волны, то, Þ , В₃=0.

В области 2 решение зависит от соотношений Е > U или Е U . Физический интерес представляет случай Е U .

q = i b , где

Тогда решение уравнения Шредингера запишутся в виде:

Для 1;

Для 2;

Для 3:

Качественный вид функций показан на рис. 2. Из рис. 2 видно, что функция не равна нулю внутри барьера, а в 3 имеет вид волны де Бройля, если барьер не очень широк.

Явление “проникновения” частицы сквозь потенциальный барьер, называется туннельным эффектом. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом. Прохождение частицы можно объяснить используя соотношения неопределенностей: неопределенность импульса D р на отрезке D x = ? составляет . Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной энергии барьера.

§9 Линейный гармонический осциллятор

Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая одномерное колебательное движение под действием квазиупругой силы — является моделью для изучения колебательного движения.

В классической физике — это пружинный, физический и математический маятники. В квантовой физике — квантовый осциллятор.

Записав потенциальную энергию в виде

Уравнение Шредингера запишется в виде:

Тогда собственные значения энергии:

т.е. энергия квантового осциллятора принимает дискретные значения, т.е. квантуется. Минимальное значение — энергия нулевых колебаний — является следствием состояния неопределенности так же, как и в случае частицы в “потенциальной яме”.

Наличие нулевых колебаний означает, что частицы не могут упасть на дно ямы, т.к. в этом случае был бы точно определен ее импульс p = 0, D p = 0, Þ , D x = ¥ — не соответствует соотношению неопределенностей. Наличие энергии нулевых колебаний противоречит классическим представлениям, по которым E _min = 0. — уровни энергии расположенные на равных расстояниях друг от друга. Из квантового рассмотрения следует, что частицу можно обнаружить вне области. По классическому рассмотрению только в пределах – x £ x £ x (Рис.2).

Видео:Волна де Бройля (видео 4) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

Уравнение де бройля и его физический смысл

Важным этапом в создании квантовой механики явилось обнаружение волновых свойств микрочастиц. Идея о волновых свойствах была первоначально высказана как гипотеза французским физиком Луи де Бройлем.

В физике в течение многих лет господствовала теория, согласно которой свет есть электромагнитная волна. Однако после работ Планка (тепловое излучение), Эйнштейна (фотоэффект) и других стало очевидным, что свет обладает корпускулярными свойствами.

Чтобы объяснить некоторые физические явления, необходимо рассматривать свет как поток частиц-фотонов. Корпускулярные свойства света не отвергают, а дополняют его волновые свойства.

Итак, фотон-элементарная частица света, обладающая волновыми свойствами.

Логично считать, что и другие частицы-электроны, нейтроны- обладают волновыми свойствами.

Формула для импульса фотона

была использована для других микрочастиц массой m, движущихся со скоростью v:

По де Бройлю, движение частицы, например, электрона, подобно волновому процессу с длиной волны λ , определяемой формулой (4.4.3). Эти волны называют волнами де Бройля . Следовательно, частицы (электроны, нейтроны, протоны, ионы, атомы, молекулы) могут проявлять дифракционные свойства.

К.Дэвиссон и Л.Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля.

Может возникнуть вопрос: что происходит с отдельными частицами, как образуются максимумы и минимумы при дифракции отдельных частиц?

Опыты по дифракции пучков электронов очень малой интенсивности, то есть как бы отдельных частиц, показали, что при этом электрон не «размазывается» по разным направлениям, а ведет себя как целая частица. Однако вероятность отклонения электрона по отдельным направлениям в результате взаимодействия с объектом дифракции различная. Наиболее вероятно попадание электронов в те места, которые по расчету соответствуют максимумам дифракции, менее вероятно их попадание в места минимумов. Таким образом, волновые свойства присущи не только коллективу электронов, но и каждому электрону в отдельности.

4.4.2. Волновая функция и ее физический смысл

Так как с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, то состояние частиц в квантовой механике описывается волновой функцией, зависящей от координат и времени: .

Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, то есть не зависящим от времени, то ψ-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой от координат:

В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния; ψ-функция является вероятностной характеристикой состояния частицы. Поясним смысл этого утверждения.

Выделим в пространстве достаточно малый объем dV=dxdydz, в пределах которого значения ψ-функции можно считать одинаковыми. Вероятность нахождения dW в частицы в этом объеме пропорциональна объему и зависит от квадрата модуля ψ -функции:

Отсюда следует физический смысл волновой функции:

Квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности, то есть отношению вероятности нахождения частицы в объеме к этому объему .

Интегрируя выражение (4.4.5) по некоторому объему V, находим вероятность нахождения частицы в этом объеме:

4.4.3. Соотношение неопределенностей

Одним из важных положений квантовой механики являются соотношения неопределенностей, предложенные В.Гейзенбергом.

Пусть одновременно измеряют положение и импульс частицы, при этом неточности в определениях абсциссы и проекции импульса на ось абсцисс равны соответственно Δx и Δр x .

В классической физике нет каких-либо ограничений, запрещающих с любой степенью точности одновременно измерить как одну, так и другую величину, то есть Δx→0 и Δр x→ 0.

В квантовой механике положение принципиально иное: Δx и Δр x , соответствующие одновременному определению x и р x , связаны зависимостью

Таким образом, чем точнее определена координата x (Δx→0), тем не менее точно определена проекция р x (Δp x→ ± ), и наоборот. Аналогично,

Формулы (4.4.8), (4.4.9) называют соотношениями неопределенностей .

Поясним их одним модельным экспериментом.

При изучении явления дифракции было обращено внимание на то, что уменьшение ширины щели при дифракции приводит к увеличению ширины центрального максимума. Аналогичное явление будет и при дифракции электронов на щели в модельном опыте. Уменьшение ширины щели означает уменьшение Δ x (рис. 4.4.1), это приводит к большему «размазыванию» пучка электронов, то есть к большей неопределенности импульса и скорости частиц.

Рис. 4.4.1.Пояснение к соотношению неопределенности.

Соотношение неопределенностей можно представить в виде

где ΔE — неопределенность энергии некоторого состояния системы; Δt -промежуток времени, в точение которого оно существует. Соотношение (4.4.10) означает, что чем меньше время существования какого-либо состояния системы, тем более неопределенно его значение энергии. Энергетические уровни Е 1 , Е 2 и т.д. имеют некоторую ширину (рис.4.4.2)), зависящую от времени пребывания системы в состоянии, соответствующем этому уровню.

Рис. 4.4.2.Энергетические уровни Е 1 , Е 2 и т.д. имеют некоторую ширину.

«Размытость» уровней приводит к неопределенности энергии ΔE излучаемого фотона и его частоты Δν при переходе системы с одного энергетического уровня на другой:

Это проявляется в уширении спектральных линий.

4.4.4.Уравнение Шредингера

Так как состояние микрочастицы описывают ψ -функцией, то надо указать способ нахождения этой функции с учетом внешних условий. Это возможно в результате решения основного уравнения квантовой механики, предложенного Шредингером. Такое уравнение в квантовой механике постулируется так же, как в классической механике постулируется закон Ньютона.

Применительно к стационарным состояниям уравнение Шредингера может быть записано так:

где m- масса частицы; ; Е и Е n –ее полная и потенциальная энергии (потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени)

Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например вдоль оси ОХ (одномерный случай), то уравнение Шредингера существенно упрощается и принимает вид

Одним из наиболее простых примеров на использование уравнения Шредингера является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме.

4.4.5. Применение уравнения Шредингера к атому водорода. Квантовые числа

Описание состояний атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является достаточно сложной задачей. Наиболее просто она решается для одного электрона, находящегося в поле ядра. Такие системы соответствуют атому водорода и водородоподобным ионам (однократно ионизированный атом гелия, двукратно ионизированный атом лития и т.п.). Однако и в этом случае решение задачи является сложным, поэтому ограничимся лишь качественным изложением вопроса.

Прежде всего в уравнение Шредингера (4.4.12) следует подставить потенциальную энергию, которая для двух взаимодействующих точечных зарядов – e (электрон) и Ze (ядро), — находящихся на расстоянии r в вакууме, выражается следующим образом:

Состояние электрона в атоме характеризуется не одним, а несколькими квантовыми числами.

Первое из них — главное квантовое число n =1, 2, 3, . Оно определяет уровни энергии электрона по закону

Это выражение является решением уравнения Шредингера и полностью совпадает с соответствующей формулой теории Бора (4.2.30)

На рис.4.4.3 показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода (Е 1 , Е 2 , Е 3 и т.д.) и график зависимости потенциальной энергии Е n от расстояния r между электроном и ядром. С возрастанием главного квантового числа n увеличивается r (см.4.2.26), а полная (4.4.15) и потенциальная энергии стремятся к нулю. Кинетическая энергия также стремится к нулю. Заштрихованная область (Е>0) соответствует состоянию свободного электрона.

Рис. 4.4.3. Показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода
и график зависимости потенциальной энергии от расстояния r между электроном и ядром.

Второе квантовое число – орбитальное l , которое при данном n может принимать значения 0, 1, 2, …., n-1. Это число характеризует орбитальный момент импульса L i электрона относительно ядра:

Третье квантовое число – магнитное m l , которое при данном l принимает значения 0, ±1, ± 2, …, ±l; всего 2l+1 значений. Это число определяет проекции орбитального момента импульса электрона на некоторое произвольно выбранное направление Z:

Четвертое квантовое число – спиновое m s . Оно может принимать только два значения (±1/2) и характеризует возможные значения проекции спина электрона:

Состояние электрона в атоме с заданными n и l обозначают следующим образом: 1s, 2s, 2p, 3s и т.д. Здесь цифра указывает значение главного квантового числа, а буква – орбитальное квантовое число: символам s, p, d, f, соответствуют значения l=0, 1, 2. 3 и т.д.