РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.
19.1. Уравнение cos x = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравненияcosx=a.
При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)
2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).
Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда
Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,
Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,
Примеры решения задач
Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:
19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a
Объяснение и обоснование
1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a
Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке 
функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.
Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:
При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).
Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.
Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:
таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни
Примеры решения задач
Вопросы для контроля
- Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
- Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
- Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.
Упражнения
Решите уравнение (1-11)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)
Видео:Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 1 часть. 10 класс.Скачать
Технологическая карта урока на тему «Уравнение cos x=a»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Технологическая карта урока алгебры для 10 класса по теме
Выполнили: Куляпина Е.С.
Место урока в изучаемой теме : 1 урок из 2 уроков по теме «Уравнение ».
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока: сформулировать определение понятия арккосинуса числа, научиться находить арккосинус числа и применять данное понятие при сравнении чисел.
— Предметные : знает определение понятия арккосинуса числа, умеет находить арккосинус числа и применяет данное понятие при сравнении чисел.
Регулятивные: выделяет и осознает то, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, прогнозирование, контроль, коррекция; целеполагание как постановка учебной задачи; планирование, контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном; оценивает качество и уровень усвоения;
Коммуникативные : умеет выражать свои мысли, умеет планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками , умеет работать в группе при обсуждении ситуативных задач;
Познавательные: самостоятельно выделяет и формулирует познавательную цель, самостоятельно выделяет и формулирует проблемы, применяет правила и пользуется инструкциями и освоенными закономерностями.
— Личностные : умеет высказывать собственные суждения; умеет слушать и понимать речь других.
Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.
Формы работы: фронтальная, индивидуальная.
Учебно-информационное обеспечение: учебник (Алгебра и начала математического анализа : 10-11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый уровень / [Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.]. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2012. – 464 с.) мультимедиа презентация по теме урока.
Организационный момент (1 мин.)
Актуализация знаний (5 мин.)
Изучение нового материала (12 мин.)
Первичное закрепление (10 мин.)
Самостоятельная работа (5 мин.)
Закрепление изученного материала (8 мин.)
Подведение итогов урока (2 мин.)
Постановка домашнего задания (2 мин.)
1. Организационный момент .
Учитель приветствует учащихся.
-Каково ваше настроение?
-Давайте поприветствуем одноклассников улыбкой и сохраним хорошее настроение в течение всего урока.
Оценивание готовности к уроку, психологический настрой на работу.
планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
2. Актуализация знаний.
Предлагает выполнить учащимся следующие задания.
-Давайте вспомним, как найти координаты точки М, которая лежит на пересечении единичной окружности и одной из сторон угла РОМ, если ?
-А как найти ординату точки М и меру угла РОМ, если известно, что точка М дана на единичной окружности и ее абсцисса равна 1/2.
-Давайте рассмотрим следующее задание. Абсцисса точка М единичной окружности равна 1/2.
-1) Какие координаты имеет точка N ?
-2) Назовите меры каких-нибудь трех углов поворота точки Р(1;0) вокруг точки О(0;0), в результате которых получена точка M ; точка N .
3) Запишите все углы, на которые нужно повернуть точку Р, чтобы получить точку М; точку N .
-Тема нашего урока: Тригонометрические уравнения.
-Откройте тетради, запишите число классная работа и тему урока.
Тема урока: Тригонометрические уравнения.
Выполняют задания у доски.
-Т.к. и точка М находится в точке пересечения единичной окружности и одной из сторон угла РОМ, то т. М имеет координаты .
-Т.к. точка М находится в первой четверти и ее абсцисса равна 1/2, то ее ордината будет равна . Точка М имеет координаты , такие координаты имеет точка , значит мера угла РОМ равна .
-1) Абсцисса точки N равна 1/2, в 4 четверти абсциссу равную 1/2 имеет точка –π/3, а ее ордината равна -, значит ордината т. N равна
-2) Точка M это точка , данную точку можно получить поворотом точки Р на угол , , .
Точка N это точка — , данную точку можно получить поворотом точки Р на угол , , .
-3) Т.к. т. М это т. , то все углы, на которые нужно повернуть точку Р, можно выразить так:
Т.к. т. М это т. , то все углы, на которые нужно повернуть точку Р, можно выразить так:
Записывают в тетрадях число, классная работа и тему урока.
Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками;
выделение и формулирование темы.
3. Изучение нового материала.
Предлагает учащимся решить уравнения вида .
-Что называют косинусом угла?
Абсциссу, равную 1/2, имеют две точки окружности М 1 и М 2 .
-Т.к. , точка М 1 получается из т. Р(1;0) поворотом на угол х 1 =π/3, а также на углы
-Точка М 2 получается из т. Р(1;0) поворотом на угол
-Итак, все корни уравнения
можно найти по формулам
Вместо этих двух формул обычно пользуются одной:
-Т.к. , точка М 1 получается из т. Р(1;0) поворотом на угол х 1 =2π/3, следовательно все корни уравнения можно найти по формуле:
-Таким образом, каждое из уравнений имеет бесконечное множество корней. На отрезке [0; π ] каждое из этих уравнений имеет только один корень.
-Число называют арккосинусом числа 1/2 и записывают
-Число называют арккосинусом числа -1/2 и записывают
-Вообще, уравнение cos x = a , где имеет на отрезке только один корень. Если a ≥0, то корень заключен в промежутке [0; π /2]; если а π /2; π ]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают arcos a .
-Сформулируйте определение арккосинуса числа .
-Запишем это определение символьно.
Видео:Алгебра 10 класс (Урок№41 - Уравнение cos x = a.)Скачать
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Уравнение cos x = a
Уравнение cos x = a
Необходимо запомнить
Уравнение cos x = a.
На этом уроке вы познакомились с понятием «арккосинус числа» и с некоторыми простейшими тождествами.
Арккосинусом числа m (|m|≤1) называется такое число $alpha$, что: $cos alpha=m$ и $0le alpha le pi$.
Арккосинус числа m обозначают: arccos m.
Простейшие тождества для арккосинуса.
1) $cos(arccos m)=m$ для любого $m: |m| le1$
2) $arccos(cos alpha)=alpha$ для любого $alpha: 0lealphalepi$
3) $arccos(-m)=pi -arccos m$
Вы узнали, как решить простейшее тригонометрическое уравнение $cosalpha=m$:
Решением такого уравнения являются все числа вида
$alpha= pm arccos m + 2 pi k, k epsilon Z$
Уравнение имеет решение в том случае, когда $|m|le1$.
Если $|m|=1$, то уравнение $cosalpha=m$ имеет на отрезке $[0;2pi]$ одно решение.
🔍 Видео
КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать
Уравнение cosx =aСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Найдите корни уравнения: cosπ(x−7)/3=1/2 В ответ запишите наибольший отрицательный корень.Скачать
Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать
Решите уравнение ➜ sinx+cosx=1 ➜ 2 способа решенияСкачать
27 1 Уравнение cos x = aСкачать
Уравнение cos x = aСкачать
Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать
Тригонометрические уравнения. Алгебра 10 класс. cos x = a.Скачать
Решение уравнений вида cos x =aСкачать
Примеры решения уравнений cos x = a, отбор корней из промежутка.Скачать
Простейшее тригонометрическое уравнение cosx=aСкачать
Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать
10 класс - Алгебра - Тригонометрические уравнения. Арккосинус. Решение уравнения cos t = aСкачать
Находим решение тригонометрического уравнения на интервале Алгебра 10 классСкачать
