Видео:Уравнение Бернулли Метод БернуллиСкачать
Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению
Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли:
(1) ,
где n ≠ 0 , n ≠ 1 , p и q – функции от x .
Разделим его на y n . При y ≠ 0 или n 0 имеем:
(2) .
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
.
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
Подставим в (2) и преобразуем:
;
.
Это – линейное, относительно z , дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0 , следует рассмотреть случай y = 0 . При n > 0 , y = 0 также является решением уравнения (1) и должно входить в ответ.
Видео:Метод Бернулли. Метод ЛагранжаСкачать
Решение методом Бернулли
Рассматриваемое уравнение (1) также можно решить методом Бернулли. Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·v ,
где u и v – функции от x . Дифференцируем по x :
y′ = u′ v + u v′ .
Подставляем в исходное уравнение (1):
;
(3) .
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4) .
Уравнение (4) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его и находим частное решение v = v ( x ) . Подставляем частное решение в (3). Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4), то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
;
.
Здесь v – уже известная функция от x . Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv .
Видео:Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравненийСкачать
Примеры решений дифференциального уравнения Бернулли
Пример 1
Решить уравнение
(П1.1)
Это дифференциальное уравнение Бернулли. Решаем его методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций: . Тогда
. Подставляем в (П1.1):
;
(П1.2) .
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Выберем v так, чтобы выражение в круглых скобках равнялось нулю:
(П1.3) .
Тогда подставляя (П1.3) в (П1.2), мы получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
(П1.4) .
Сначала мы определим функцию v . Нам нужно найти любое, отличное от нуля, решение уравнения (П1.3). Решаем его. Для этого разделяем переменные и интегрируем.
;
;
;
;
.
Отсюда , или . Возьмем решение с и знаком ′плюс′. Тогда , или .
Итак, мы нашли функции u и v . Находим искомую функцию y :
.
Заменим постоянную интегрирования: . Тогда общее решение исходного уравнения (П1.1) примет вид:
.
Когда мы делили на u , то предполагали, что . Теперь рассмотрим случай . Тогда . Нетрудно видеть, что постоянная функция также является решением исходного уравнения (П1.1) ⇑.
Общее решение уравнения: .
Уравнение также имеет решение .
Пример 2
На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y – зависимой (то есть если y – это функция от x ), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x – зависимой, то легко увидеть, что это – уравнение Бернулли.
Итак, считаем что x является функцией от y . Подставим в исходное уравнение и умножим на :
;
;
(П2.1) .
Это – уравнение Бернулли с n = 2 . Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1), только обозначением переменных ( x вместо y ). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v ,
где u и v – функции от y . Дифференцируем по y :
.
Подставим в (П2.1):
;
(П2.2) .
Ищем любую, отличную от нуля функцию v ( y ) , удовлетворяющую уравнению:
(П2.3) .
Разделяем переменные и интегрируем:
;
;
.
Поскольку нам нужно любое решение уравнения (П2.3), то положим C = 0 :
; ; .
Возьмем решение со знаком ′плюс′:
.
Подставим в (П2.2) учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П2.3)):
;
;
.
Разделяем переменные и интегрируем. При u ≠ 0 имеем:
;
(П2.4) ;
.
Во втором интеграле делаем подстановку :
;
.
Интегрируем по частям:
;
.
Подставляем в (П2.4):
.
Возвращаемся к переменной x :
;
;
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 07-08-2012 Изменено: 29-10-2020
Видео:9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.Скачать
Дифференциальные уравнения Бернулли в примерах решений
Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида
,
Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию y в степени, отличной от нуля и единицы.
В случае, если m = 0 , уравнение является линейным, а в случае, если m = 1 , уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.
- Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
- Методом Бернулли.
Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.
Уравнение делим на 
:
,
.
Обозначим 
. Тогда 
, откуда 
. Переходя к новой переменной, получим уравнение
,
которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка. Его можно решить методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.
Решение методом Бернулли.
Решение следует искать в виде произведения двух функций y = u ⋅ v . Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение
.
Из слагаемых, содержащих функцию u в первой степени, вынесем её за скобки:
.
Приравняв выражение в скобках нулю, то есть
,
получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции v .
Функцию u следует находить из дифференциального уравнения
,
которое также является уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.
1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на y³ :
.
Введём обозначение 
, тогда 
, 
и приходим к уравнению
.
Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v , z‘ = u‘v + uv‘ :
,
.
Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:
Полученную функцию v подставим в уравнение:
2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y = u ⋅ v . Подставив его и y‘ = u‘v + uv‘ в данное дифференциальное уравнение, получим
Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v :
Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u :
И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Это уравнение, в котором m = −1 . Применив подстановку y = u ⋅ v , получим
Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v :
Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u :
Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:
.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v . Получаем
Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
Подставляем v в данное уравнение и решаем полученное уравнение:
и проинтегрируем обе части уравнения:
Далее используем подстановку
:
.
Таким образом, получаем функцию u :
.
и решение данного дифференциального уравнения:
Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
при условии 
.
Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую — нелинейные:
.
Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v , y‘ = u‘v + uv‘ :
Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Подставим функцию v в данное уравнение и решим полученное дифференциальное уравнение:
Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый:
.
Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:
Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию u :
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:
.
Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:
Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:
В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:
.
И напоследок — пример с альтернативным обозначением производных — через дробь.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом — переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на y³ , получим
.
Введём новую функцию 
. Тогда
.
Подставляя эти значения в уравнение, полученное на первом шаге, получим линейное уравнение:
.
Найдём его общий интеграл:
,
.
Подставляя эти значение в полученное линейное уравнение, получаем
.
Приравниваем нулю выражение в скобках:
Для определения функции u получаем уравнение
.
Интегрируем по частям:
Таким образом, общий интеграл данного уравнения
.
Видео:Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать
Уравнения Бернулли
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Пример 1 . Найти общее решение уравнения y’ + 2xy = 2xy 3 . Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y 3 получаем 
Делаем замену 
Тогда 
и поэтому уравнение переписывается в виде -z’ + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной, получаем 
откуда 
или, что то же самое, 
.
Пример 2 . y’+y+y 2 =0
y’+y = -y 2
Разделим на y 2
y’/y 2 + 1/y = -1
Делаем замену:
z=1/y n-1 , т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z’= -y’/y 2
Получаем: -z’ + z = -1 или z’ — z = 1
Далее надо найти z и выразить через него y = 1/z .
Пример 3 . xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Это уравнение Бернулли при n=3 . Разделив обе части уравнения на y 3 получаем: xy’/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Делаем замену: z=1/y 2 . Тогда z’=-2/y 3 и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz’/2+2z=-x 5 e x . Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz’/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z’=4z/x
Интегрируя, получаем: 
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x 4 , y'(x) = C(x)’x 4 + C(x)(x 4 )’
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)’ x 4 )+2y=-x 5 e x
-C(x)’ x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)’ = 2e x . Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x ) или y = Cx 4 +2x 4 e x . Поскольку z=1/y 2 , то получим: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x
б) решение через замену переменных
y=uv
x(u’v + uv’)+2uv+x 5 u 3 v 3 e x =0
v(x u’ + 2u) + xuv’+ x 5 u 3 v 3 e x = 0
a) xu’+2u = 0
или ln(u)=ln(x -2 ). Откуда u = x -2
b) xuv’+ x 5 u 3 v 3 e x = 0
x x -2 v’+ x 5 x -6 v 3 e x = 0
v’/x+ v 3 e x /x = 0
v’+ v 3 e x = 0
или 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x
🔥 Видео
7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать
Метод Бернулли. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной). Линейное дифуравнение 1 порядкаСкачать
10. Уравнения БернуллиСкачать
Метод БернуллиСкачать
Линейные дифференциальные уравнения (Метод Бернулли)Скачать
Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение БернуллиСкачать
Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать
Метод БернуллиСкачать
Уравнения Бернулли. Дифференциальны уравненияСкачать
Линейной ДУ 1 порядка, метод Бернулли и метод вариации постояннойСкачать
Линейное дифференциальное уравнение. Метод БернуллиСкачать
Урок 134. Применения уравнения Бернулли (ч.1)Скачать
Уравнения БернуллиСкачать
Дифференциальные уравнения Бернулли| poporyadku.schoolСкачать
