Уравнение бернулли и его использование в технике (2 видео)

Применение в технике уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли широко применяется в технике, например для расчетов водопроводов, нефтепроводов, газопроводов, насосов и т.п. На его основании сконструирован ряд приборов и устройств, таких как расходомер Вентури, карбюратор, водоструйный насос (эжектор), трубка Пито и т.д.

Измерение скорости потока и расхода жидкости

Для измерения скорости в точках потока широко используется работающая на принципе уравнения Бернулли трубка Пито (рис.2.10), загнутый конец которой направлен навстречу потоку.

Трубка полного напора, или трубка Пито , служит для измерения скорости потока, например в трубе. Если установить в одном сечении потока трубку, изогнутую под углом 90, отверстием навстречу потоку и пьезометр, то жидкость в трубке поднимется над уровнем жидкости в пьезометре на высоту, равную скоростному напору. Объясняется это тем, что скорость частиц жидкости, попадающих в отверстие трубки, уменьшается до нуля, следовательно, давление увеличивается на величину скоростного напора. Измерив, разность высот подъема жидкости в трубке Пито и пьезометре, легко определить скорость жидкости в данной точке.

Пусть требуется измерить скорость жидкости в какой-то точке потока. Поместив конец трубки в указанную точку и составив уравнение Бернулли для сечения 1-1 и сечения, проходящего на уровне жидкости в трубке Пито получим

где Н — столб жидкости в трубке Пито.

Рис. 2.10 Трубка Пито и pасходомер Вентури

Для измерения расхода жидкости в трубопроводах часто используют расходомер Вентури, действие которого основано так же на принципе уравнения Бернулли. Расходомер Вентури состоит из двух конических насадков с цилиндрической вставкой между ними (рис.2.10). Если в сечениях I-I и II-II поставить пьезометры, то разность уровней в них будет зависеть от расхода жидкости, протекающей по трубе.

Расходомер Вентури представляет собой устройство, устанавливаемое в трубопроводах и осуществляющее сужение потока – дросселирование. Расходомер состоит из двух участков – плавно сужающегося (сопла) и постепенно расширяющегося (диффузора). Скорость потока в сужающемся месте возрастает, а давление падает. Возникает разность (перепад) давлений, которую можно измерить двумя пьезометрами или дифференциальным U-образным ртутным манометром.

Пренебрегая потерями напора и считая z1 = z2 , напишем уравнение Бернулли для сечений I-I и II-II:

Используя уравнение неразрывности

сделаем замену в получено выражении:

Решая относительно Q, получим

Выражение, стоящее перед , является постоянной величиной, носящей название постоянной водомера Вентури.

Из полученного уравнения видно, что h зависит от расхода Q. Часто эту зависимость строят в виде тарировочной кривой h от Q, которая имеет параболический характер.

Карбюратор поршневых двигателей внутреннего сгорания (рис.2.11) служит для подсоса бензина и смешивания его с потоком воздуха. Поток воздуха, засасываемого в двигатель, сужается в том месте (сечение 2-2), где установлен распылитель бензина (обрез трубки диаметром d). Скорость воздуха в этом сечении возрастает, а давление по закону Бернулли падает. Благодаря пониженному давлению бензин вытекает в поток воздуха.

Рис. 2.11. Схема карбюратора

Струйный насос (эжектор) (рис.2.12) состоит из плавно сходящегося насадка 2, осуществляющего сжатие потока, и постепенно расширяющейся трубки 4, установленной на некотором расстоянии от насадка в камере 3. Вследствие увеличения скорости потока давление в струе потока на выходе насадка 2 и во всей камере 3 значительно понижается. В расширяющейся трубке 4 скорость уменьшается, а давление возрастает приблизительно до атмосферного (если жидкость вытекает в атмосферу). Следовательно, в камере 3 давление обычно меньше атмосферного, т.е. в ней имеется разрежение (вакуум). Под действием разрежения жидкость из нижнего резервуара всасывается по трубе 1 в камеру 3, где происходит слияние и перемешивание двух потоков.

Рис. 2.12. Схема струйного насоса (эжектора):

1 — труба; 2 — насадок; 3 — камера; 4 — расширяющаяся трубка

Видео:10. Уравнения БернуллиСкачать

Уравнение Бернулли и его применение

Разделы: Физика

Цели урока:

Образовательные: знакомство с принципом Бернулли и его применением в технике и быту;
Развивающие: развитие навыков проблемного подхода к решению поставленной задачи; развитие логического мышления учащихся; совершенствование умения наблюдать, сравнивать и сопоставлять изучаемые явления, выделять общие признаки и обобщать результаты экспериментов.
Воспитательные: формирование научного мировоззрения, воспитание интереса и любознательности.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, интерактивная доска.

Демонстрационное оборудование: цилиндр Магнуса, по два бумажных листка на каждой парте учащихся, шарики для тенниса, фен, свеча и воронка, компьютерная модель (диск «Открытая физика 1.1»), рисунки.

1. Постановка учебной проблемы (просмотр видеосюжета, слайд 3).

Осенью 1912 г океанский пароход «Олимпик» плыл в открытом море, а почти параллельно ему, на расстоянии сотни метров, проходил с большой скоростью другой корабль, гораздо меньший, броненосный крейсер «Гаук». Когда оба судна заняли положение, изображенное на рисунке , произошло нечто неожиданное: меньшее судно стремительно свернуло с пути, словно повинуясь неведомой силе, повернулось носом к большому кораблю и, не слушаясь руля, двинулось почти прямо на него. «Гаук» врезался носом в бок «Олимпика».Удар был так силен, что «Гаук» проделал в борту «Олимпика» большую пробоину. Случай столкновения двух кораблей рассматривался в морском суде. Капитана корабля «Олимпик» обвинили в том, что он не дал команду пропустить броненосец. Как вы думаете, что произошло? Почему меньший корабль, не слушаясь руля, пошел наперерез «Олимпику»? Смоделируем это явление с помощью двух полосок бумаги.

Опыт 1. Между двумя полосками бумаги продуваем воздух, они сближаются. Скорость воздуха внутри полосок больше, значит давление между листами меньше, чем снаружи.

Парадоксальность результатов такого поведения тел можно объяснить, используя закон Берннули (уравнение Бернулли). Швейцарский ученый Даниил Бернулли длительное время жил в России, именно к этому времени относится создание его главного научного труда — теории гидромеханики. Основная теорема гидродинамики связывает давление жидкости с её скоростью. До сих пор вы рассматривали движение твердых тел. Сегодня мы перенесем знания законов сохранения на движение жидкостей и газов. Будем рассматривать закон Бернулли на качественном уровне.

2. Изучение нового материала.

Пусть жидкость течет без трения по трубе переменного сечения . Иначе говоря, через все сечения трубы проходят одинаковые объемы жидкости, иначе жидкости пришлось бы либо разорваться где-нибудь, либо сжаться, что невозможно. За время t через сечение S₁ пройдет объем

Делаем вывод: скорость течения жидкости в трубе переменного сечения обратно пропорциональна площади поперечного сечения.

Если площадь поперечного сечения увеличилась в 4 раза, то скорость уменьшилась во столько же раз и, наоборот, во сколько раз уменьшилось сечение трубы, во столько же раз увеличилась скорость течения жидкости или газа. Где наблюдается такое явление изменения скорости? Например, на реке, впадающей в море, наблюдается уменьшение скорости, вода из ванны — скорость увеличивается, мы наблюдаем турбулентное течение воды. Если скорость невелика, то жидкость течет как бы разделенная на слои («ламиниа» — слой). Течение называется ламинарным.

Итак, выяснили, что при течении жидкости из узкой части в широкую или наоборот, скорость изменяется, следовательно, жидкость движется с ускорением. А что является причиной возникновения ускорения? (Сила (второй закон Ньютона)). Какая же сила сообщает жидкости ускорение? Этой силой может быть только разность сил давления жидкости в широкой и узкой частях трубы.

К этому выводу впервые пришел академик Петербургской академии наук Даниил Бернулли в 1726 году, и закон теперь носит его имя. Принцип, впервые высказанный Д.Бернулли в 1726 г., гласит: в струе воды или воздуха давление велико, если скорость мала, и давление мало, если скорость велика. Существуют известные ограничения этого принципа, но здесь мы не будем на них останавливаться.

Опыт 2. Работа с интерактивной моделью [5].

Уравнение Бернулли показывает, что давление жидкости (или газа) больше там, где скорость её течения меньше и наоборот. Этот, казалось бы, парадоксальный вывод подтверждается опытами .

Даниил Бернулли (29.1.1700- 17.3.1782), сын Иоганна Бернулли (брат — Якоб Бернулли) . Занимался физиологией и медициной, но больше всего математикой и механикой. В 1725-33 он работал в Петербургской АН сначала на кафедре физиологии, а затем механики. Впоследствии он состоял почётным членом Петербургской АН, опубликовал (с 1728-78) в её изданиях 47 работ. В работах, завершенных написанным в Петербурге трудом «Гидродинамика» (1738), вывел основное уравнение стационарного движения идеальной жидкости, носящее его имя. Даниил Бернулли разрабатывал кинетические представления о газах.После рассмотрения принципа Бернулли можно объяснить причины столкновения двух кораблей .

Объяснение поведения двух листочков при продувании воздуха между ними . Давление воздуха в пространстве левее и правее листочков бумаги равно атмосферному давлению.Направив воздушный поток между листочками, мы тем самим в этом скоростном потоке воздуха создаем область пониженного давления в соответствии с законом Бернулли, в результате чего возникает разность давлений в пространстве между листками и с внешней стороны листков. Эта разность давлений является причиной «прилипания» листочков.

Опыт 3. Взять листок бумаги за короткую сторону и подуть вдоль листа. Лист поднимается вверх. Объяснение опыта: Скорость над листом больше, чем под листом, а давление меньше. Эта разность давлений и поднимает лист вверх .

Аэродинамический принцип создания подъемной силы был изложен Н. Е. Жуковским так: «. двигаясь под малым углом к горизонту с большой горизонтальной скоростью, наклонная плоскость сообщает громадному количеству последовательно прилегающего к ней воздуха малую скорость вниз и тем развивает большую подъемную силу вверх при незначительной затрате работы на горизонтальное перемещение». Следовательно, для создания подъемной силы по этому принципу необходимо перемещение тела относительно воздуха.
Аэродинамический принцип создания подъемной силы используется при подъеме аппарата тяжелее воздуха, к которым относятся планеры и дельтапланы, самолеты и сверхлегкие моторные летательные аппараты, вертолеты и автожиры, летательные аппараты с машущими крыльями (ортоптеры и орнитоптеры).

Подъемная сила у моторного сверхлегкого летательного аппарата создается неподвижно закрепленным крылом. При поступательном движении аппарата крыло обтекается потоком воздуха. Из-за особой формы сечения крыла (несимметричная форма) воздух, огибающий крыло сверху, движется быстрее, чем внизу, поэтому создается разность давлений под крылом и над ним, а в результате возникает подъемная сила. Для моторного аппарата перемещение в воздухе происходит под действием силы тяги, создаваемой силовой установкой.
Планеры, в том числе дельтапланы, создают подъемную силу так же, как моторные аппараты, неподвижно закрепленным крылом, но так как они не имеют силовой установки, то могут только планировать или летать на буксире. При планировании они снижаются за счет силы веса или набирают высоту за счет восходящих потоков воздуха. Подъемная сила появляется при обтекании не всех тел, а лишь тел с определенным профилем. Для крыльев дельтапланов должны применяться профили с хорошими летными характеристиками, создающими большую подъемную силу.

Жуковский Николай Егорович (5.I.1847-17.III.1921). Русский ученый в области механики, основоположник современной гидроаэродинамики. Жуковский является автором многочисленных оригинальных исследований в области механики твердого тела, астрономии, математики, гидродинамики и гидравлики, прикладной механики, теории регулирования машин и др.

Работы Жуковского в области аэродинамики явились источником основных идей, на которых строится авиационная наука. Он всесторонне исследовал динамику полёта птиц, теоретически предсказал ряд возможных траекторий полёта. В 1904 году Жуковский открыл закон, определяющий подъёмную силу крыла самолёта; определил основные профили крыльев и лопастей винта самолёта; разработал вихревую теорию воздушного винта. При его активном участии были созданы Центральный аэродинамический институт (ЦАГИ), Военно-воздушная инженерная академия (ныне носит имя Жуковского).

Проблема изучения подъемной силы имеет очень давнюю историю. Загадки полета птицы занимали умы ученых задолго до появления летательных аппаратов. Первая попытка исследования природы подъемной силы была сделана Леонардо да Винчи в 1505 году. Объясняя причину возникновения подъемной силы птицы, он считал, что из-за быстрых ударов крыльями воздух под ними уплотняется и поэтому поддерживает птицу. Эта гипотеза Леонардо да Винчи, основанная на сжимаемости воздуха, была ошибочной, так как применялась для полета с малыми скоростями, когда свойство сжимаемости воздуха практически не проявляется.

В 1852 году Магнус провел серию опытов для объяснения явления отклонения от вертикальной плоскости вращающихся артиллерийских снарядов. Он показал, что поперечная сила, вызывающая это отклонение, возникает из-за взаимодействия двух потоков воздуха: набегающего на снаряд и вращающегося вместе со снарядом. Это явление, получившее название эффекта Магнуса.

Опыт 4. Для опыта изготовим цилиндр из плотной, но не толстой бумаги диаметром 5 см, длиной 25-30 см. На цилиндр намотаем ленточку, один конец которой прикрепим к линейке. Резким движением вдоль горизонтальной поверхности стола сообщим цилиндру сложное движение (поступательное и вращательное) . При большой скорости цилиндр поднимается вверх и описывает небольшую вертикальную петлю. Объясните, почему это происходит.

Уравнение Бернулли объясняет такое поведение рулона (и закрученного мячика): вращение нарушает симметричность обтекания за счёт эффекта прилипания. С одной стороны бумажного цилиндра скорость потока больше (над цилиндром вектор скорости воздуха сонаправлен вектору скорости цилиндра), значит, давление там понижается, а под цилиндром вектор скорости воздуха антипараллелен вектору скорости цилиндра. В результате разности давлений возникает подъёмная сила, называемая силой Магнуса. Эта сила поднимает цилиндр вверх, а не по параболе.

Это явление носит название эффекта Магнуса, по имени ученого, открывшего и исследовавшего его экспериментально. Эффект Магнуса проявляется в таких природных явлениях, как образование смерчей над поверхностью океана. В месте встречи двух воздушных масс с разными температурами и скоростями возникает вращающийся вокруг вертикальной оси столб воздуха и несется вперед. В поперечнике такой столб может достигать сотен метров и несется со скоростью около 100м/с. Из-за быстрого вращения воздух отбрасывается к периферии вихря и давление внутри него понижается. Когда такой столб приближается к воде, то засасывает ее в себя, представляя огромную опасность для судов.

3. Закрепление нового материала.

По рисункам и демонстрациям объясните наблюдаемые явления (Слайд 12).

Опыт 5. «Демон» Бернулли.

Струя воздуха может поддерживать легкий шарик (например мяч для настольного тенниса). Воздушная струя ударяется о шарик и не дает ему падать. Когда шарик выскакивает из струи, окружающий воздух возвращает его обратно в струю, т.к. давление окружающего воздуха, имеющего малую скорость, велико, а давление воздуха в струе, имеющего большую скорость, мало. Дополнительная подъемная сила может возникать из-за вращения мяча вследствие эффекта Магнуса, который проявляется и при полете закрученного бейсбольного мяча. (Нередко подъемную силу, возникающую в рассматриваемом случае, ошибочно объясняют уменьшением давления в воздушной струе вследствие движения воздуха. Это неправильное истолкование смысла уравнения Бернулли. На самом деле давление в свободно движущейся воздушной струе равно атмосферному. Если насадка на шланг пылесоса сужается (как это обычно бывает), то скорость воздушного потока увеличивается, а давление уменьшается. Таким оно остается и в струе, пока в нее не будет «затянут» окружающий воздух. Тогда давление станет равным атмосферному. Поперечная устойчивость мяча объясняется уменьшением давления в струе, обтекающей мяч.)

Опыт 6. Воздух продувается между двумя воздушными шариками, подвешенными на нитях. Шарики сближаются и ударяются друг о друга.

Опыт 7. Напротив воронки зажигаем свечу. Через воронку продуваем воздух, пламя свечи отклоняется в сторону воронки.

Обсуждение рисунков (Слайд 14).

Ситуация 1. Ветер под зданием. В США был предложен проект жилого дома, в котором этажи, подобно мостам, «подвешиваются» между двумя мощными стенами, а пространство под домом остается открытым . Внешне такое здание выглядит весьма привлекательно, но оно абсолютно не пригодно для ветреных районов. Одно из таких зданий было выстроено на территории Массачусетского технологического института. И вот когда подули весенние ветры, скорость ветра под зданием достигла 160 км/ч. Чем вызвано столь сильное увеличение скорости ветра? (Ветер, попадающий на здание, частично прогоняется через нижний просвет. При этом скорость его возрастает).

Ситуация 2. Встречные поезда. Скоростные поезда . при встрече должны замедлить ход, иначе стекла в вагонах разобьются. Почему? В какую сторону при этом выпадают стекла: внутрь вагонов или наружу? Может ли случиться подобное, если поезда движутся в одном направлении? Будет ли вас притягивать к поезду или отталкивать от него, если вы окажетесь слишком близко от быстро идущего поезда?

(Впереди быстро идущего поезда создается фронт высокого давления, а за ним — область низкого давления. Когда встречные поезда разъезжаются, стекла в вагонах могут быть выдавлены наружу, поскольку между поездами возникает область пониженного давления).

Ситуация 3. Крылья и вентиляторы на гоночных автомобилях. Гоночные автомобили за время своего существования претерпели существенные изменения. К числу наиболее значительных усовершенствований можно отнести установку в задней части автомобиля горизонтального крыла. Когда автомобиль с таким крылом совершал поворот, водитель наклонял крыло вперед. При выходе из поворота, крыло снова принимало горизонтальное положение. Это устройство оказалось очень эффективным средством удержания машины на дороге во время поворотов и позволяло делать повороты с гораздо большей скоростью. Однако поломка таких крыльев на трассе делала машину неуправляемой, и поэтому пришлось установить неподвижные крылья. Каким образом крылья — подвижные или неподвижные — могут удерживать автомобиль на повороте?

Одна из самых странных гоночных машин «Чаппараль-2.1» была построена Джимом Холлом, который придумал и подвижное крыло. Почти 20 лет прошло с момента первых экспериментов легендарного Джима Холла с «машиной-крылом» Chapparal-Chevrolet до победы в Гран При «гоночного пылесоса», целиком и полностью обязанного своим преимуществом «граунд-эффекту». «Чаппараль» имел в задней части два больших вентилятора, которые засасывали воздух из-под днища и гнали его назад. Сбоку автомобиль был закрыт щитками почти до самой дороги, чтобы воздух проходил прямо под машиной. Благодаря этому Холлу удалось увеличить сцепление колес с дорогой и тем самым значительно повысить скорость автомобиля. Почему воздух, прогоняемый под машиной и выпускаемый позади, усиливает сцепление колес с дорогой? Можете ли вы оценить увеличение сцепления и скорости?

(Наклоненное вниз крыло создавало силу, направленную вниз; тем самым улучшалось сцепление колес с дорогой. Это позволяло машине быстрее проходить повороты. Аэродинамическая сила крыла здесь создавалась так же, как и на самолете, только в данном случае она была направлена вниз. Вентилятор в задней части автомобиля тоже создавал направленную вниз силу, увеличивающую сцепление колес с дорогой. Воздух, который засасывался под автомобиль, ускорялся, так как сечение воздушного потока уменьшалось. Согласно уравнению Бернулли, увеличение скорости потока сопровождается понижением давления. Таким образом, давление над автомобилем оказывалось выше, чем под ним, и автомобиль почти в полтора раза сильнее прижимался к дороге).

Ситуация 4. «Ветроход». Всегда находятся люди, способные увидеть то, чего не замечают другие, и обладающие неиссякаемой пытливостью — этим неотъемлемым качеством всех изобретателей. Таким человеком был немецкий инженер Антон Флеттнер (1885-1961). Однажды, наблюдая во время плавания на паруснике за усилиями матросов, работавших в шторм с парусами на высоте 40-50 м, он подумал: а нельзя ли чем-нибудь заменить классический парус, используя при этом все ту же силу ветра? Размышления заставили Флеттнера вспомнить о его соотечественнике физике Генрихе Густаве Магнусе. В качестве первого опытного судна для его испытания использовали видавшую виды трехмачтовую шхуну «Букау» водоизмещением 980 т. В 1924 году на ней вместо трех мачт поставили два ротора-цилиндра высотой 13,1 м и диаметром 1,5 м. Их приводили в движение два электромотора постоянного тока напряжением 220 В. Объясните принцип действия такого «ветрохода» . (Если на поверхность вращающегося ротора воздействует ветер, скорость последнего изменяется. Там, где поверхность движется навстречу ветру, его скорость уменьшается, а давление увеличивается. С противоположной же стороны ротора скорость воздушного потока, наоборот, увеличивается, а давление падает. Полученная разность давлений и создает движущую силу, которую можно использовать для перемещения судна).

Магнус в 1852 г доказал, возникающая поперечная сила, действующая на тело, вращающееся в обтекающем его потоке жидкости или газа, направлена в сторону, где скорость потока и вращение тела совпадают. Наличие такого эффекта Магнус подтвердил позже на опыте с весами. На одну из их чаш клали горизонтально цилиндр с подключенным к нему моторчиком, а на другую — уравновешивавшие гири. Цилиндр обдували воздухом, но, пока не включали моторчик, он оставался неподвижным, и равновесие весов не нарушалось. Однако стоило лишь запустить моторчик и тем самым заставить цилиндр вращаться, как чаша, где он находился, или поднималась, или опускалась — в зависимости от того, в каком направлении шло вращение. Этим опытом ученый установил: если на вращаемый цилиндр набегает поток воздуха, то скорости потока и вращения по одну сторону цилиндра складываются, по другую же — вычитаются. А поскольку большим скоростям соответствуют меньшие давления, на вращаемом цилиндре, помещенном в поток воздуха, возникает движущая сила, перпендикулярная потоку. Ее можно увеличивать или уменьшать, если крутить цилиндр быстрее или медленнее. Именно опыты Магнуса и навели Флеттнера на мысль заменить парус на судне вращающимся цилиндром. Но сразу же возникли сомнения. Ведь на большом судне такие роторы будут выглядеть огромными башнями высотой 20-25 м, которые в шторм создадут колоссальную опасность для судна. На эти вопросы требовалось ответить, и Флеттнер начал свои исследования, которые завершились созданием первого «ветрохода» — трехмачтовая шхуна «Букау».

Ситуация 5. В дождливую ветряную погоду, каждый из нас замечал, что раскрытые зонтики иногда «выворачиваются наизнанку» . Почему это происходит? Аналогичное действие производит на крыши домов сильный ураган. (Поток воздуха, набегающий на изогнутую поверхность зонта, движется по руслу своеобразной сужающейся трубы с большей скоростью, чем воздух в нижней части, следовательно, давление снизу больше, чем вверху, и зонт выворачивается)

Ситуация 6. В футболе одним из коварных ударов для вратаря считается так называемый «сухой лист» . Похожий подрезанный удар — «сплин» применяют в теннисе и других играх с мячом. Предвидеть, куда направится такой крученый мяч, неопытному спортсмену довольно трудно. Объясните, почему так происходит. («Виновата» во всем сила Магнуса, проявляющаяся при движении закрученного вдоль своей оси симметричного тела — мяча, цилиндра и т.п.).

Уравнение Бернулли просто объясняет множество явлений, происходящих в жидкости и газе. Это возникновение подъемной силы крыла, работа таких приборов как пульверизатор, карбюратор, газовой горелки и многое другое. Жизнь самого Даниила Бернулли похожа на его замечательное уравнение. Движение по разным городам и странам, взаимодействие со многими учеными, периодическое расширение и сжатие научных интересов в конечном итоге привели к результатам, которыми до сих пор пользуется человечество, находя все новые и новые применения.

Рефлексия. Конструирование бумажного самолетика. Чей самолет имеет большую дальность полета?

Домашнее задание. Применение закона Бернулли и эффекта Магнуса (рисунки, кроссворды, презентации, стихи)

Видео:Закон БернуллиСкачать

Применение уравнения Бернулли

Трудно назвать раздел механики газов, где не использовалось бы в той или иной мере уравнение Бернулли. Познакомимся лишь с некоторыми наиболее важными случаями применения этого уравнения.

Истечение газов через отверстия и насадки

Истечение газов через отверстия и насадки наблюдается при работе горелок, форсунок, при выбивании газа через отверстия в стенах печи и в других случаях. Установим связь между количеством вытекающего газа и размерами отверстия и давлением, под которым происходит истечение. Для простоты возьмем истечение несжимаемого газа, температура которого в процессе истечения практически не изменяется.

Отверстия с острыми краями. Положим, что из сосуда очень больших размеров, давление в котором р₁, газ вытекает через отверстие сечением f₀ в среду с давлением р₂. Для определения скорости истечения газа w₂ напишем уравнение Бернулли для сечений I и II (рис. 9). Поскольку температура газа неизменна, постольку h_г1 = h_г2. В этом случае, пренебрегая потерями, можно написать

(21)

Вследствие большого размера сосуда можно принять w₁= 0

(22)

В силу инерции частичек истекающего газа сечение струи f меньше сечения отверстия f₀. Отношение f/f₀= e называется коэффициентом сжатия струи. Скорость w₂ фактически относится не ко всему сечению отверстия f₀, а лишь к сечению струи f. Для определения расхода газа через отверстие f₀ найдем V = w₂f. Но f = ef₀ следовательно,

(23)

С учетом гидродинамических потерь при истечении через отверстие выражение (23) принимает вид (м 3 /с)

(24)

Рис. 9. Истечение газа из отвер- Рис. 10. Истечение из отверстия в

стия в тонкой стенке стечке печи

Смысл коэффициентов j и m, ясен из следующего примера.

Истечение из отверстия в стенке печи (рис. 10) — весьма распространенный на практике случай. Рассмотрим подобный случай истечения (с учетом потерь) из отверстия сечением f, расположенного на высоте Н от уровня пода печи. Напишем уравнение Бернулли для сечения I и точки А в сечении II:

Скорость движения газов в отверстии w₂много больше скорости w₁; исходя из w₂ññ w₁, принимаем w₁ = 0.

Как следует из изложенного выше, потери на местные сопротивления могут быть определены как

Так как печь сообщается с атмосферой на уровне пода, то статическое давление газа внутри печи и давление воздуха снаружи равны между собой и равны р₁.

Давление р₂ в точке А соответствует атмосферному давлению на высоте H от уровня сечения I, т. е.

С использованием этих зависимостей уравнение Бернулли принимает вид

(25)

Величина учитывает гидравлическое сопротивление отверстия, через которое происходит истечение.

Количество истекающей из рассматриваемого отверстия среды (м 3 /с) V = w₂f₂, где f₂ — сечение струи, м 2 .

Но если использовать понятие коэффициента сжатия струи e = f₂/f, то

Произведение je = m называют коэффициентом расхода.

Истечение через насадки. Насадком называют короткий патрубок, присоединенный к отверстию в тонкой стенке. Длина насадка обычно составляет 3—4 его диаметра. Количество газа, протекающее через насадок, при прочих равных условиях зависит от формы входных кромок и формы самого насадка. Рассмотрим насадки трех видов, представленные на рис. 11. Пользуясь уравнением (22), получим для них следующие расчетные формулы: для насадки с открытыми кромками

(26)

(27)

Для насадков с закругленными кромками и диффузора

(28)

Рис. 11. Истечение газа через цилиндрические насадки:

а — с открытыми кромками; б — с закругленными краями; в — диффузор

Для этих насадков в сечении ІІІ сечения струи и отверстия равны друг другу и поэтому здесь e = 1,0. Сравнение выражений (26), (27) и (28) показывает, что наибольший расход при одинаковом значении р₁ — р₂и при одинаковом минимальном сечении насадков получается при истечении газа через диффузор, так как площадь выходного сечения у диффузора F₃больше, чем у насадков других типов. Угол конусности диффузора не должен превышать 6—7° во избежание отрыва потока от стенок диффузора.

Истечение газов через небольшие отверстия в стенках печи (например, гляделки) можно рассчитывать по формулам для цилиндрического насадка.

Дымовая труба. Дымовая труба служит для удаления продуктов сгорания из печи. Необходимое разрежение создается в дымовой трубе благодаря стремлению горячих газов подняться, обусловленному, как будет показано ниже, разностью плотностей холодного наружного воздуха и горячих газов. Найдем зависимость разрежения, создаваемого трубой, от высоты трубы Н и температуры газов. На рис. 12 представлена схема дымовой трубы. За уровень отсчета принимаем сечение ІІ. Напишем уравнение Бернулли в избыточных давлениях для сечений І и ІІ:

Труба в сечении II сообщается с атмосферой, поэтому h_ст2 = 0. Из приведенного выше уравнения следует, что статическое давление в основании трубы

h_ст1 = – h_г1 + h_д2 – h_д1 + h_пот.

Ввиду незначительных скоростей движения газов в трубе величины потерь, выражаемые в правой части приведенного выше уравнения тремя последними членами, значительно меньше абсолютной величины потери, выражаемой первым членом. Следовательно, статическое давление в основании трубы будет отрицательным, т. е. там будет разрежение. Умножив правую и левую части последнего уравнения на минус единицу, получаем

Потери давления в трубе h_пот складываются из потерь на трение h_тр и потерь, возникающих при выходе газов из трубы в атмосферу и равных xh_д2. Учитывая, что коэффициент местного сопротивления на выходе из трубы равен единице (x = 1), можно написать, что

Вследствие этого уравнению (29) можно придать следующий вид:

Для того чтобы получить окончательное выражение для h_разр, в уравнение (29) необходимо подставить все входящие в него величины. Температура газов по высоте дымовой трубы и ее сечение существенно изменяются, поэтому принимаемые в расчете плотность и скорость движения газов в дымовой трубе определяются по средней температуре по высоте трубы. Величина геометрического давления h_г, входящего в уравнение (29), выражается уравнением (13). Динамические давления будут соответственно равны

Потери давления на трение находят по уравнению

Подставив в уравнение (29′) значения h_г, h_д1, h_д2, h_тр и выразив их через скорости и плотности при нормальных условиях (w₀ и r₀) по указанным выше выражениям, окончательно получаем (Па)

Уравнение бернулли и его использование в технике

где h_разр — действительное разрежение в основании дымовой трубы (сечение I), Па; и — плотность соответственно воздуха и газов при нормальных условиях, кг/м 3 ; d_ср — средний по высоте диаметр трубы, м; w₀₁ и w₀₂ — скорость газов в сечениях I (в основании трубы) и II (в устье трубы) при 0°С, м/с; w_0ср — средняя скорость газов по высоте трубы при 0°С, м/с; t_в — температура окружающего воздуха, °С; — средняя температура газов по высоте трубы, °С; t_г1 и t_г2 — температура газов в сечениях I и II, °С.

Если учесть, что

где Т₀ = 273 К,то выражение (30) может быть переписано следующим образом:

В расчетах разрежение в основании дымовой трубы принимают обычно с запасом, равным h_разр = 1,3S h_пот. Величина S h_пот представляет собой суммарные потери напора на пути движения газов от печи до основания дымовой трубы.

При расчете дымовой трубы внутренний диаметр в устье ее d_у(на выходе) принимают, исходя из скорости газов, равной 3—10 м/с (при скорости выхода газов, не меньшей 3 м/с, при ветре может происходить их задувание в трубу). Кирпичные и железобетонные дымовые трубы для большей устойчивости делают более широкими в основании. При расчетах внутренний диаметр в основании трубы d₀принимают в 1,5 раза больше внутреннего диаметра устья трубы d_у, т. е. d₀= 1,5d_у.

По условиям выполнения кладки d_удля кирпичных труб не должен быть меньше 0,8 м.

Падение температуры газов на 1 м высоты трубы принимается для кирпичных и железобетонных 1,0—1,5 °С, а для металлических 3—4°С. Ориентировочно высота трубы может быть определена по уравнению (30) без трех последних его членов.

Подсчитав сумму потерь всех видов на пути движения газов от печи до основания дымовой трубы, по уравнению (30′) находят расчетную высоту трубы Н. Независимо от расчета высота дымовой трубы по правилам сантехники должна быть не менее 16 м и в 2 раза выше самого высокого здания, находящегося в радиусе 100 м вокруг трубы.

Дата добавления: 2015-11-10 ; просмотров: 3722 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ