Уравнение ax b где a данное положительное не равное 1 число

Видео:Логарифмические уравнения. 11 класс.Скачать

Алгебра и начала анализа (10 класс)

• Страница:
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
• 11
• 12
• 13
• 14
• 15
• 16
• 17
• 18
• 19
• 20
• 21
• 22
• 23
• 24
• 25
• 26
• 27
• 28
• 29
• 30
• 31
• 32
• 33
• 34
• 35
• 36
• 37
• 38
• 39
• 40
• 41
• 42
• 43
• 44
• 45
• 46
• 47
• 48
• 49

Множество всех действительных чисел x, удовлетворяющих двойному неравенству

а ≤ x ≤ b, или множеству точек оси x, состоящее из точек а и b и всех точек, находящихся между ними, — это

Верны ли следующие выражения?

Верны ли следующие утверждения?

А) Любой многочлен можно рассматривать как алгебраическую дробь

Б) Алгебраической дробью называют выражение — частное от деления многочлена А на нулевой многочлен В

Верны ли утверждения?

А) Для любого угла a справедливо неравенство: |sina|≤1

В) Для любого угла a справедливо неравенство: |cosa|≤1

Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

Уравнение с одним неизвестным

Уравнение вида ax = b, где x — неизвестное, a и b — числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.

Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число b — свободным членом.

Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a ≠ 0), то, разделив обе части уравнения на a, получим . Значит, уравнение ax = b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень .

Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b ≠ 0, не является верным ни при каком значении x.

Если в уравнении ax = b и коэффициент, и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Решение уравнений с одним неизвестным

Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:

• освобождение от дробных членов;
• раскрытие скобок;
• перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные — в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения);
• сделать приведение подобных членов;
• разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Пример 1. Решить уравнение

Освобождаем уравнение от дробных членов:

20x — 28 — 24 = 9x + 36.

20x — 9x = 36 + 28 + 24.

Выполняем приведение подобных членов:

Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):

Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.

Пример 2. Решить уравнение

Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:

Выполняем приведение подобных членов:

Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№27 - Логарифмические уравнения.)Скачать

Простейшие показательные уравнения

После того, как мы разобрались с вопросом, что такое показательные уравнения, следует остановиться на так называемых простейших показательных уравнениях. Тому есть две причины. Первая – изучение чего-то нового всегда логично начинать с самого простого. Вторая – к простейшим показательным уравнениям часто сводятся решения более сложных показательных уравнений. Так давайте выясним, какие показательные уравнения называют простейшими, и научимся решать простейшие показательные уравнения.

Видео:Логарифмы-1. Уравнения: от базы до олимпиадСкачать

Какие показательные уравнения называют простейшими

простейшими показательными уравнениями называют уравнения a x =b , где a и b – числа, причем a>0 и a≠1 .

В точности так про простейшие показательные уравнения сказано в учебнике Колмогорова [1, с. 229].

Прежде чем привести примеры простейших показательных уравнений, отвечающих этому определению, считаем нужным сказать пару слов об условиях a>0 и a≠1 .

Первое из них объясняется определением степени, ведь степень с действительным показателем мы определили лишь для положительных оснований. Это не означает, что не нужно изучать уравнения a x =b при a и a=0 , ведь они не лишены смысла. Уравнения a x =b при a имеют смысл на множестве целых чисел, а уравнения a x =b при a=0 , то есть, уравнения 0 x =b , имеют смысл на множестве положительных действительных чисел. Решение уравнений a x =b при a имеет свою специфику, с которой лучше разбираться отдельно. Уравнения a x =b при a=0 есть частный случай уравнений, сводящихся к числовым равенствам.

А зачем в определении простейших показательных уравнений второе условие a≠1 ? Это условие исключает из рассмотрения уравнения 1 x =b . Это тоже уравнения, сводящиеся к числовым равенствам.

Итак, дальше в этой статье мы считаем, что a>0 , a≠1 .

Теперь обещанные примеры. Начнем с уравнения 2 x =8 . Это есть уравнение a x =b при a=2 , b=8 , значит, это простейшее показательное уравнение. Аналогично, 3 x =7 , , 2 x =0 , 5 x =−25 – простейшие показательные уравнения.

Еще вспомним, что числа могут быть записаны не только в виде отдельных чисел, но и в виде числовых выражений. Этот факт и данное выше определение позволяют нам утверждать, что уравнения A x =B , где A и В – числовые выражения, причем A>0 , A≠1 , это тоже простейшие показательные уравнения. Так 5 x =5 3 , , – это простейшие показательные уравнения.

Встречаются и немного отличающиеся взгляды на простейшие показательные уравнения. Вот тому пример

Простейшим показательным уравнением является уравнение a x =b , где a и b – данные положительные числа ( a≠1 ), а x – неизвестная величина [2, с. 111].

От первого определения оно отличается тем, что дано ограничение на число b – оно подразумевается положительным. В первом определении про число b ничего не сказано, поэтому, оно подразумевается любым (отрицательным, нулем, положительным). Если придерживаться второго определения, то два из приведенных выше уравнений, а именно, 2 x =0 и 5 x =−25 , не будут простейшими.

Считать или не считать простейшими уравнения a x =b при b=0 и b – судить не нам. Главное – уметь их решать. Давайте научимся это делать.

Видео:Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать

Как решать простейшие показательные уравнения? Алгоритм

Судя по названию, простейшие показательные уравнения a x =b , где a и b – числа, причем a>0 , a≠1 , должны решаться легко. Так оно и есть:

• Если b или b=0 , то уравнение a x =b не имеет решений.
• Если b>0 , то исходное уравнение a x =b нужно преобразовать к виду a x =a c (кроме случаев, когда оно сразу имеет такой вид), откуда очевиден единственный корень x=c .

Например, простейшие показательные уравнения 3 x =−5 и (0,3) x =0 не имеют решений, так как в правой части первого из них находится отрицательное число, а в правой части второго – нуль. А чтобы решить простейшее показательное уравнение 2 x =8 , его нужно преобразовать к виду 2 x =2 3 , что позволяет увидеть его единственное решение x=3 .

После знакомства с логарифмом появляется возможность обходиться без преобразования исходного простейшего показательного уравнения a x =b при b>0 к виду a x =a c , а сразу записывать решение через логарифм как x=log_ab .

Почему решать простейшие показательные уравнения нужно именно так, обоснуем в следующем пункте. А сейчас запишем алгоритм решения простейших показательных уравнений:

Чтобы решить простейшее показательное уравнение a x =b , где a и b – числа, причем a>0 , a≠1 , надо

1. Убедиться, что перед нами именно простейшее показательное уравнение. Для этого нужно проверить, что уравнение имеет вид a x =b , и убедиться, что a>0 и a≠1 .
2. Посмотреть, каким числом является b : отрицательным, нулем, или положительным.
   • Если b или b=0 , то сделать вывод об отсутствии решений.
   • Если b>0 , то перейти к следующему шагу.
3. Если b представляет собой степень a c , то перейти к следующему шагу. В противном случае представить число b в виде степени a c , то есть, перейти от исходного уравнения a x =b к уравнению a x =a c .
4. От равенства степеней a x =a c перейти к равенству их показателей, то есть, к равенству x=c . Это даст единственный корень исходного уравнения.

Видео:§19 Логарифмические уравненияСкачать

Теоретическое обоснование

Решение показательных уравнений a x =b , где a>0 , a≠1 , b – некоторое число, базируется на следующих двух утверждениях:

• Если b=0 или b , то уравнение a x =b не имеет решений.
• Если b>0 , то уравнение a x =b имеет единственное решение x=log_ab , где log_ab – логарифм числа b по основанию a . В частности, если число b представляет собой некоторую степень числа a , то есть, b=a c , то единственное решение уравнения есть x=c .

Сразу заметим, что сейчас в школе показательные уравнения обычно изучают до знакомства с логарифмом. По этой причине сначала обходят обращение к логарифму. И делают это так: рассматривают только такие простейшие показательные уравнения, в которых число b представляет собой некоторую степень числа a . То есть, сначала рассматривают уравнения a x =a c , где c – некоторое число. Единственным решением уравнения a x =a c является x=c . А уже после знакомства с логарифмом возвращаются к показательным уравнениям, и уже тогда говорят про единственное решение простейшего показательного уравнения a x =b в виде x=log_ab .

Сейчас мы приведем доказательство этих утверждений, чтобы стало понятно, откуда они произрастают. После этого рассмотрим решения нескольких простейших показательных уравнений, которые покрывают все случаи: и когда b , и когда b=0 , и когда b можно представить в виде степени числа a без использования логарифма, и когда без логарифма не обойтись.

Если b=0 или b , то уравнение a x =b , где a>0 , a≠1 не имеет решений.

Из определения степени вытекает, что если a>0 , то a x >0 при любом значении переменной x . Из этого следует, что ни при каком значении переменной x равенство a x =b не может быть достигнуто, если b=0 или b . Значит, если b=0 или b , то уравнение a x =b не имеет решений, что и требовалось доказать.

Если b>0 , то уравнение a x =b имеет единственное решение x=log_ab , где log_ab – логарифм числа b по основанию a . В частности, если число b представляет собой некоторую степень числа a , то есть, b=a c , то единственное решение уравнения есть x=c .

Доказательство позволяют провести известные свойства показательной функции y=a x , а именно, область значений показательной функции и свойство монотонности.

Для доказательства существования корня у простейшего показательного уравнения a x =b при b>0 нам потребуется известная область значений показательной функции y=a x . Ею является множество всех положительных чисел. Так как у нас по условию b>0 , то b принадлежит области значений показательной функции y=a x . То есть, функция y=a x обязательно принимает значение b . Из этого следует, что уравнение a x =b имеет решение.

Мы доказали, что если b>0 , то простейшее показательное уравнение a x =b обязательно имеет решение. Докажем, что это решение единственное. Для этого обопремся на монотонность показательной функции и воспользуемся методом от противного. Предположим, что кроме корня x₁ уравнение a x =b имеет еще один корень x₂ , отличный от x₁ , то есть, x₁≠x₂ . Так как и x₁ и x₂ – корни уравнения a x =b , то a x₁ =b и a x₂ =b – верные числовые равенства. Свойства числовых равенств позволяют нам проводить почленное вычитание верных числовых равенств. Вычтем из равенства a x₁ =b равенство a x₂ =b , это дает a x₁ −a x₂ =b−b и дальше a x₁ −a x₂ =0 , что то же самое a x₁ =a x₂ . Но из монотонности функции y=a x и из неравенства x₁≠x₂ следует, что либо a x₁ >a x₂ , либо a x₁ x₂ . А это противоречит результату a x₁ =a x₂ . Так доказано, что простейшее показательное уравнение a x =b при b>0 имеет единственный корень.

Итак, мы доказали что уравнение a x =b при b>0 имеет корень, причем единственный. Докажем, что этим корнем является логарифм числа b по основанию a , то есть, x=log_ab . Это напрямую следует из определения логарифма.

Остается показать, что если b=a c , то корнем уравнения a x =b является x=c . Это очевидно. Уравнение a x =b при b=a c имеет вид a x =a c , корень этого уравнения очевиден x=c . Здесь к месту напомнить, что две степени с одинаковыми положительными и не равными единице основаниями равны тогда и только тогда, когда их показатели равны (это известное свойство степеней). К этому же результату мы придем, если будем действовать через логарифмы: x=log_ab – корень уравнения a x =b , при b=a c имеем x=log_ab=log_aa c =с .

Утверждение полностью доказано.

Видео:10 класс. Алгебра. Логарифмические уравнения.Скачать

Решение общими методами

Алгоритм с его теоретическим обоснованием представляет собой полноценный метод решения простейших показательных уравнений. Однако стоит иметь в виду, что простейшие показательные уравнения можно решать при помощи хорошо известных методов решения уравнений. А именно:

• Вывод о том, что простейшее показательное уравнение a x =b при b или b=0 не имеет решений, можно сделать на основании метода оценки.
• Преобразование простейшего показательного уравнения a x =b при b>0 к виду a x =a c проводится в соответствии методом решения уравнений через преобразования, а следующий переход к равенству x=c делается в согласии с методом уравнивания показателей, который по сути является методом освобождения от внешней функции.
• Простейшее показательное уравнение a x =b при b>0 можно решать и методом логарифмирования, подразумевающим переход от a x =b к log_aa x =log_ab . А следующий переход от уравнения log_aa x =log_ab к x=log_ab , дающий нам конечный результат, проводится в согласии с методом решения уравнений через преобразования.

Видео:Математика. Методы решения логарифмических уравнений (1-2)Скачать

Примеры решений

В предыдущих пунктах мы разобрали теорию решения простейших показательных уравнений и записали алгоритм. Давайте перейдем к практике, и разберем решения нескольких характерных примеров.

Сначала покажем решения уравнений a x =b , где a>0 , a≠1 , а число b в правой части — отрицательное. Выше мы показали, что такие уравнения не имеют решений.

б)

в)

Теперь покажем решения простейших показательных уравнения с нулями в правых частях. Такие уравнения тоже не имеют решений.

б)

Теперь давайте рассмотрим примеры решения простейших показательных уравнений, отвечающих виду a x =a c . Их единственное решение очевидно: x=c .

Решите показательные уравнения:

а)

б)

в)

г)

В предыдущем примере мы имели дело с очень удобными для решения простейшими показательными уравнениями, имеющими вид a x =a c . Давайте рассмотрим решения чуть более сложных уравнений, которые изначально имеют вид, отличный от a x =a c , но могут быть приведены к нему посредством преобразования числовых выражений, находящихся в правых частях.

б)

в)

г)

Но иногда число или числовое выражение в правой части уравнения невозможно представить в виде степени с нужным основанием без использования логарифма. Так что стоит остановиться на случаях, когда без логарифмов не обойтись.

б)

На простейшие показательные уравнения внешне похожи уравнения a f(x) =b , где f(x) – некоторое выражение с переменной x . Например, 2 x−1 =2 2 , . Про их решение мы поговорим чуть позже. До этого нужно разобрать алгоритм решения показательных уравнений.

📸 Видео

Интересная задача на логарифмы в ЕГЭСкачать

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯСкачать

решение логарифмических уравненийСкачать

Логарифмические уравнения. Видеоурок 18. Алгебра 10 классСкачать

Логарифмические уравнения 1Скачать

Логаримы для чайников с нуля — Как решать Логарифмы?Скачать

М11 (17.1-17.43) Логарифмические уравнения.Скачать

5.1. Логарифмические уравнения.Скачать

Решение логарифмических уравнений #shortsСкачать

Логарифмические уравнения | Алгебра 11 класс #13 | ИнфоурокСкачать

Решение логарифмических уравнений. Вебинар | МатематикаСкачать