Уравнение ax 2 bx c 0 можно привести к виду 2ax b 2 d

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Уравнение ax 2 bx c 0 можно привести к виду 2ax b 2 d

Формулы корней квадратных уравнений

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Преобразуем квадратный трехчлен ax 2 + bx + c методом выделения полного квадрата.

Обычно выражение b 2 — 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 .

Любое квадратное уравнение можно преобразовать к этому виду, удобному для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

Решение: a = 2, b = 4, c = 7

D = 4 * 4 — 4 * 2 * 7 = 16 — 56 = — 40

Так как D , то действительных корней нет.

2. Если D = 0 , то квадратное уравнение имеет один корень, который находится п о формуле:

и это единственный корень уравнения.

4x 2 — 20x + 25 = 0

Решение: a = 4, b = -20, c = 25

D = (-20)* (-20) — 4 * 4 * 25 = 400 — 400 = 0

Так как D = 0 , то данное уравнение имеет один корень:

3. Если D > 0 , то квадратное уравнение имеет два корня:

3x 2 + 8x — 11 = 0

Решение: a = 3, b = 8, c = -11

D = (-8)* (-8) — 4 * 3 * (-11) = 64 + 132 = 196

Так как D > 0 , то имеются два корня уравнения:

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№28 - Решение квадратных уравнений вида ax2 + bx + c = 0.Формула корней кв.ур.)Скачать

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным — это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax 2 + bx + c = 0 — квадратное уравнение,

где x — это неизвестное, а a, b и c — коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами p и q:

то получится x 2 + px + q = 0.

Уравнение x 2 + px + q = 0 называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

является приведённым, а уравнение:

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:

Видео:Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:

Вид уравнения	Формула корней
ax 2 + bx + c = 0
ax 2 + 2kx + c = 0
x 2 + px + q = 0	или если коэффициент p нечётный

Обратите внимание на уравнение:

это преобразованное уравнение ax 2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b — четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:

Пример 1. Решить уравнение:

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как в уравнении второй коэффициент — чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Приведём уравнение к общему виду:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

Видео:ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫСкачать

8.2.2. Решение полных квадратных уравнений

I. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида

Дискриминант D=b 2 — 4ac.

Если D>0, то имеем два действительных корня:

Если D=0, то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a).

Если D 2 +5x-3=0.

Решение. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2 — 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.

Пример 2) 4x 2 +21x+5=0.

Решение. a=4; b=21; c=5.

D=b 2 — 4ac=21 2 — 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 действительных корня.

II. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором

коэффициенте b

Пример 3) 3x 2 -10x+3=0.

Решение. a=3; b=-10 ( четное число ); c=3.

Пример 4) 5x 2 -14x-3=0.

Решение. a=5; b= -14 ( четное число ); c=-3.

Пример 5) 71x 2 +144x+4=0.

Решение. a=71; b=144 ( четное число ); c=4.

Пример 6) 9x 2 -30x+25=0.

Решение. a=9; b=-30 ( четное число ); c=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии : a-b+c=0.

Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус с, деленному на а:

Пример 7) 2x 2 +9x+7=0.

Решение. a=2; b=9; c=7. Проверим равенство: a-b+c=0. Получаем: 2-9+7=0.

Тогда x₁=-1, x₂=-c/a=-7/2=-3,5. Ответ: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a+b+c=0.

Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен с, деленному на а:

Пример 8 ) 2x 2 -9x+7=0.

Решение. a=2; b=-9; c=7. Проверим равенство: a+b+c=0. Получаем: 2-9+7=0.

Тогда x₁=1, x₂=c/a=7/2=3,5. Ответ: 1; 3,5.

🎦 Видео

ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ. §20 алгебра 8 классСкачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Теорема Виета. 8 класс.Скачать

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Тема: Квадратные уравнения. Урок: Уравнения вида y=ax^2 + bx +cСкачать

Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

ТЕОРЕМА ВИЕТА // Как решать Квадратные Уравнения по АЛГЕБРЕ 8 классСкачать

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

Решение уравнений вида |ax²+bx| +c=0 и ax²+b|x|+c=0Скачать

Теорема Виета. Алгебра, 8 классСкачать

Решение квадратных уравнений (урок второй)Скачать

Алгебра 8 класс. Квадратные уравнения ах² + 2kx + c = 0 с чётным вторым коэффициентом.Скачать