Уравнение астроиды в полярной системе координат

Замечательные кривые

Семейство роз Гранди

Уравнение имеет вид:

a — радиус лепестка;

k — положительный параметр, отвечает за количество лепестков.

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Рисунок 1 — роза с тремя лепестками ρ=sin3φ

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Рисунок 2 — роза с 16 лепестками ρ=sin8φ

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Рисунок 3 — семейство роз Гранди — напоминает ромашку ρ=sin20φ

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Рисунок 4 — семейство роз Гранди — линия похожа на зрачок глаза ρ=sin100φ

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Логарифмическая спираль

Уравнение логарифмическая спираль (трансцендентная кривая) в полярных координатах:

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Видео:Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Построение кривой в полярной системе координат

Кардиоида

Уравнение кардиоиды (перев. греч. сердце и вид) в полярных координатах:

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Астроида

Уравнение астроиды (перев. греч. звезда и вид) :

x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Видео:Полярная система координат.Скачать

Полярная система координат.

Строфоида

Уравнение строфоиды (перев. греч. крученая лента, поворот) :

y 2 (a — x)= x 2 (a + x)

Уравнение строфоиды в полярной системе координат:

Видео:Занятие 01. Часть 3. Полярная система координатСкачать

Занятие 01. Часть 3. Полярная система координат

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Видео:Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать

Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.

Декартов лист

Уравнение декартова листа :

x 2 + y 2 — 3axy = 0

Уравнение декартова листа в полярной системе координат:

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Видео:Видеоурок "Полярная система координат"Скачать

Видеоурок "Полярная система координат"

Циссоида

Уравнение циссоиды Диоклеса (перев. греч. плющ, вид) в прямоугольной системе координат :

Параметрическое уравнение циссоиды:

x = a t 2 /(1 + t 2 )

x = a t 3 /(1 + t 2 )

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Циклоида

Параметрическое уравнение циклоиды :

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Видео:Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координатСкачать

Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координат

Кохлеоида

Уравнение кохлеоиды (трансцендентная кривая) в полярных координатах:

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Лемниската Бернулли

Уравнение лемниската Бернулли в прямоугольных координатах:

(x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 — y 2 )

Уравнение лемниската Бернулли в полярных координатах:

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Архимедова спираль рассмотрена здесь подробно.

Применяя математические уравнения замечательных кривых, можно получить вот такие геометрические линии.

Видео:Площадь фигуры, заданной в полярной системе координатСкачать

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат

Линии в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координатПолярные координаты

Уравнение астроиды в полярной системе координат, Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Связь полярных координат с декартовыми

M(x,y) и M( Уравнение астроиды в полярной системе координат,j):

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Окружности

Уравнение астроиды в полярной системе координата=const >0.

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координат, а=const >0.

Спирали

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Архимедова спираль: Уравнение астроиды в полярной системе координат=аj, Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Гиперболическая спираль: Уравнение астроиды в полярной системе координат, a > 0.

Логарифмическая спираль: Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Розы

Двухлепестковые розы: Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Уравнение астроиды в полярной системе координатУравнение астроиды в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координатУравнение астроиды в полярной системе координат

Четырехлепестковые розы a > 0

Уравнение астроиды в полярной системе координат Уравнение астроиды в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координатУравнение астроиды в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координатУравнение астроиды в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координат
Уравнение астроиды в полярной системе координат

Лемниската Бернулли

Уравнение астроиды в полярной системе координатУравнение астроиды в полярной системе координат

Вершины кривой находятся в точках Уравнение астроиды в полярной системе координат

Площадь каждой петли S=a 2 .

Кардиоида

В полярных координатах Уравнение астроиды в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Вершина кардиоиды находится в точке А(2а,0).

Укажем, что площадь кардиоиды Уравнение астроиды в полярной системе координат, а длина L=8a.

Параметрическое задание линий

Окружность

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координатпараметрические уравнения окружности.

Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их:

Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Циклоида

Уравнение астроиды в полярной системе координатгде Уравнение астроиды в полярной системе координат.

При Уравнение астроиды в полярной системе координатполучаем первую арку циклоиды. Укажем, что длина дуги ОА1О1=8а, а площадь одной арки S=3 Уравнение астроиды в полярной системе координатa 2 .

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Астроида

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координат

где Уравнение астроиды в полярной системе координат

В декартовых координатах уравнение астроиды

Длина астроиды L=6R, а площадь, ограниченная астроидой S=3pR 2 /8.

IV. Поверхности второго порядка

Эллипсоид

Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Гиперболоиды

Однополостный гиперболоид

Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Двуполостный гиперболоид

Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Параболоиды

Эллиптический параболоид

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Гиперболический параболоид

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Конус

Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Цилиндры

Эллиптический цилиндр

Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Гиперболический цилиндр

Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Параболический цилиндр

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Уравнение астроиды в полярной системе координат

1. Ильин В.А. Аналитическая геометрия / В.А.Ильин, Э.Г.Позняк.
М.: Наука, ГФМЛ, 1988.

2. Бугров Е.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии /
Е.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.

3. Бугров Е.С. Высшая математика: Задачник / Е.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1982.

4. Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 1: Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определители и матрицы системы линейных уравнений. Линейная алгебра. Основы общей алгебры / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др. / Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. — 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Физматлит, 2003. — 288 с.: ил.; 21 см. — ISBN 5-940520-34-0.

5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /
Д.В.Беклемишев. М.: Наука, 1984.

6. Наумов В.А. Руководство к решению задач по линейной алгебре и аналитической геометрии / В.А.Наумов. М.: Наука, 1993.

7. Фадеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре / Д.К. Фадеев, Н.С. Соминский. М.: Наука, 1997.

8. Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. М.: Наука, 1987.

9. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике / Л.А. Кузнецов М.: Высшая школа, 1994.

10. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике / В.П. Минорский. М.: Физматгиз, 1961.

11. Клетенник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии /
Д.В. Клетенник. М.: Наука, 1986.

12. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии /
О.Н. Цубербиллер. М.: Наука, 1970.

13. Косторкин А.И. Линейная алгебраическая геометрия / А.И. Косторкин,
Ю.И. Манин. М.: Наука, 1986.

14. Бахвалов С.Б. Сборник задач по аналитической геометрии /
С.Б. Бахвалов, П.С. Моденов, А.С. Пархоменко. М.: Наука, 1964.

Соболев Александр Борисович

Вигура Марина Александровна

Рыбалко Александр Федорович

Рыбалко Наталья Михайловна

Трояновская Людмила Юрьевна

Кассандров Игорь Николаевич

Дисциплина: ЕН.Ф.01 Математика. алгебра и геометрия

Модуль 2: Векторная алгебра. Геометрия: аналитическая геометрия в пространстве, на плоскости, кривые второго порядка, поверхности.

Подписано в печать Формат 60×84 1/16

Бумага писчая Плоская печать Усл.печ.л. 3,13

Уч.-изд.л. 2,6 Тираж Заказ Цена “C”

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ–УПИ

620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

ООО «Издательство УМЦ УПИ»620002, Екатеринбург, ул. Мира, 17

Видео:Скорость и ускорение точки в полярных координатахСкачать

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Уравнения кривых. Астроида.

Астроида – плоская кривая, которую формирует траектория точки, расположенной на окружности радиуса r, катящейся без трения по внутренней стороне неподвижной окружности радиуса R = 4r.

Уравнение астроиды в полярной системе координат

Параметрическое уравнение:

Уравнение в алгебраическом виде:

Длина дуги от точки с 0 до t π/2:

Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Длина всей кривой равна 6R.

Радиус кривизны описывается формулой:

Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Площадь, ограниченная кривой представлена такой формулой:

Уравнение астроиды в полярной системе координат.

Объем тела вращения относительно любой координатной оси описан формулой:

Уравнение астроиды в полярной системе координат.

🔥 Видео

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координат

Оператор Лапласа в полярных координатахСкачать

Оператор Лапласа в полярных координатах

Описание движения планет в полярной системе координатСкачать

Описание движения планет в полярной системе координат

Полярные в декартовыеСкачать

Полярные в декартовые

Занятие 01. Часть 1. Полярная система координатСкачать

Занятие 01. Часть 1. Полярная система координат

§52 Полярная система координатСкачать

§52 Полярная система координат

Полярная система координат на плоскостиСкачать

Полярная система координат на плоскости

Линии в полярных координатах и параметрически заданныеСкачать

Линии в полярных координатах и параметрически заданные
Поделиться или сохранить к себе: