Про уравнения - легко » Статьи

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Обновлено
Семинар-практикум «Решение тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

Тема тригонометрических уравнений начинается со школьной лекции, которая строится в виде эвристической беседы. На лекции рассматривается теоретический материал и образцы решения всех типовых задач по плану:

  • Простейшие тригонометрические уравнения.
  • Основные методы решения тригонометрических уравнений.
  • Однородные уравнения.

На следующих уроках начинается самостоятельная отработка навыков, основанная на применении принципа совместной деятельности учителя и ученика. Сначала устанавливаются цели для учащихся, т.е. определяется, кто хочет знать не более того, что требуется государственным стандартом, а кто готов заниматься больше.

Итоговая диагностика создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет учащимся осознанно определять тот минимум знаний, который необходим для получения оценки “3”. Исходя из этого, отбираются разноуровневые материалы для диагностики знаний учащихся. Такая работа позволяет осуществить индивидуальный подход к учащимся, включить каждого в осознанную учебную деятельность, формировать навыки самоорганизованности и самообучения, обеспечивать переход к активному, самостоятельному мышлению.

Семинар проводится после отработки основных навыков решения тригонометрических уравнений. За несколько уроков до семинара ученикам даются вопросы, которые будут рассматриваться на нем.

Семинар состоит из трех частей.

1. Во вводной части рассматривается весь теоретический материал, включая знакомство с проблемами, которые возникнут при решении сложных уравнений.

2. Во второй части рассматриваются решение уравнений вида:

  • а cosx + bsinx = c.
  • a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
  • уравнения, решаемые через понижение степени.

В этих уравнениях применяются универсальная подстановка, формулы понижения степени, метод вспомогательного аргумента.

3. В третьей части рассматриваются проблемы потери корней и приобретение посторонних корней. Показывается, как надо отбирать корни.

Ученики работают в группах. Для решения примеров вызываются хорошо подготовленные ребята, которые могут показать и объяснить материал.

Семинар рассчитан на хорошо подготовленного ученика, т.к. на нем рассматриваются вопросы несколько выходящие за рамки программного материала. В него включены уравнения более сложного вида, и особо рассматриваются проблемы, возникающие при решении сложных тригонометрических уравнений.

Семинар проводился для учеников 10 – 11 классов. Каждый ученик получил возможность расширить и углубить свои знания по этой теме, сравнить уровень своих знаний не только с требованиями, предъявляемыми к выпускнику школы, но и с требованиями предъявляемыми поступающим в В.У.З.

СЕМИНАР

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели:

  • Обобщить знания по решению тригонометрических уравнений всех типов.
  • Заострить внимание на проблемах: потеря корней; посторонние корни; отбор корней.
Содержание
  1. I. Вводная часть
  2. II. Примеры тригонометрических уравнений
  3. III. Проблемы возникающие при решении тригонометрических уравнений
  4. Основные методы решения тригонометрических уравнений
  5. п.1. Разложение на множители
  6. п.2. Приведение к квадратному уравнению
  7. п.3. Приведению к однородному уравнению
  8. п.4. Введение вспомогательного угла
  9. п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
  10. п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
  11. п.7. Понижение степени
  12. п.8. Замена переменных
  13. п.9. Использование ограничений области значений функций
  14. п.10. Примеры
  15. Простейшие тригонометрические уравнения
  16. 🎦 Видео

I. Вводная часть

1. Основные методы решения тригонометрических уравнений

  • Разложение на множители.
  • Введение новой переменной.
  • Функционально-графический метод.

2. Некоторые типы тригонометрических уравнений.

  • Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям, относительно cos х = t, sin х = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Вsinx + C = 0.

Решаются методом введения новой переменной.

  • Однородные уравнения первой и второй степени

Уравнение первой степени: Asinx + Bcosx = 0 разделим на cos x, получим Atg x + B = 0

Уравнение второй степени: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 разделим на cos 2 x, получим Atg 2 x + Btgx + C = 0

Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.

  • Уравнение вида: Аsinx + Bcosx = C. А, В, С Уравнение asinx bcosx c решение на примерах0
  • Понижение степени:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Решаются методом разложения на множители.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

  1. Сводятся к однородным: С = С(sin 2 х + cos 2 х).
  2. Сводятся к уравнению: Аsin2x + Bcos2x = C.
  • Уравнение вида: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Сводятся к квадратным относительно t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.

3. Формулы.

  • Универсальная подстановка:Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

х Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ 2 Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn; Проверка обязательна!

  • Понижение степени: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
  • Метод вспомогательного аргумента.

Acosx + Bsinx заменим на Csin (x + Уравнение asinx bcosx c решение на примерах), где Уравнение asinx bcosx c решение на примерахsin Уравнение asinx bcosx c решение на примерах= а/С; cosУравнение asinx bcosx c решение на примерах= в/С;

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах – вспомогательный аргумент.

4. Правила.

  • Увидел квадрат – понижай степень.
  • Увидел произведение – делай сумму.
  • Увидел сумму – делай произведение.

5. Потеря корней, лишние корни.

  • Потеря корней: делим на g(х); опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями сужаем область определения.
  • Лишние корни: возводим в четную степень; умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями расширяем область определения.

II. Примеры тригонометрических уравнений

1. Уравнения вида Asinx + Bcosx = C

1)Универсальная подстановка.О.Д.З. х – любое.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. х Уравнение asinx bcosx c решение на примерахУравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn;

Уравнение asinx bcosx c решение на примерахu = – 1/3.

tg x = –1/3, x = arctg (–1/3) + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

Проверка: 3sin( Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn) + cos( Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn) + 1= 3 sin Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ cos Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

х = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn, n э Z. Является корнем уравнения.

Ответ: х = arctg(–1/3) + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ. x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

2)Функционально-графический метод. О.Д.З. х – любое.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Построим графики функций: y = sinx, y = cosx + 1.

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Ответ: х = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 + 2 Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ ; x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

3) Введение вспомогательного аргумента. О.Д.З.: х – любое.

8cosx + 15 sinx = 17.

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, т.к. (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, то существует такое Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, что sin Уравнение asinx bcosx c решение на примерах= 8/17,

cos Уравнение asinx bcosx c решение на примерах= 15/17, значит sin Уравнение asinx bcosx c решение на примерахcosx + sinx cos Уравнение asinx bcosx c решение на примерах= 1; Уравнение asinx bcosx c решение на примерах= arcsin 8/17.

sin (x + Уравнение asinx bcosx c решение на примерах) = 1.

Ответ: x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 + 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn – Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 + 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn – arcsin 8/17, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

2. Понижение порядка: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. О.Д.З.: х – любое.

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Ответ: х = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/20 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn/10, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ. x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/6 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk/3, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ, x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахm, m Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

Приk = 1 и m = 0
k = 4 и m = 1.		серии совпадают.

3. Сведение к однородному. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + Уравнение asinx bcosx c решение на примерах3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ОДЗ: х – любое.
5 sin 2 х + Уравнение asinx bcosx c решение на примерах3 sinx cosx + 6cos 2 х – 5 sin 2 х – 5 cos 2 х = 0
Уравнение asinx bcosx c решение на примерах3 sinxcosx + cos 2 х = 0 (1) делить на cos 2 х нельзя, так как теряем корни.
cos 2 х = 0 удовлетворяет уравнению.
cosx ( Уравнение asinx bcosx c решение на примерах3 sinx + cosx ) = 0
cosx = 0, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах3 sinx + cosx = 0.
х = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ. tgx = –1/Уравнение asinx bcosx c решение на примерах3 , x = –Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/6 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

Ответ: х = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ. , x = –Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/6 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ

4. Уравнение вида: А(sinx + cosx) + В sin2x + С = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. О.Д.З.: х – любое.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | 2 – 5t + 2 = 0. t1 = 2, t2 = Ѕ.
sinx + cosx = Ѕ. cosx = sin(x + Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2),
sinx +sin(x + Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2) = 1/2,
2sin(x + Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/4) cos(–Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/4) = 1/2
sin(x + Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/4) = 1/2Уравнение asinx bcosx c решение на примерах2;
x +Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/4 = (–1) k arcsin( 1/2 O 2 ) + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

Ответ: х = (–1) k arcsin(1/2Уравнение asinx bcosx c решение на примерах2) – Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/4 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

5. Разложение на множители.

1) cos 2 х – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) сosx = 2, корней нет.
2) сosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Ответ: x = arctg(1/2) + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

III. Проблемы возникающие при решении тригонометрических уравнений

1. Потеря корней: делим на g(х); применяем опасные формулы.

1) Найдите ошибку.

1 – сosx = sinx *sinx/2,
1 – сosx = 2sin 2 х/2 формула.
2 sin 2 х/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx /2 разделим на 2 sin 2 х/2,
1 = сosx/2
х/2 = 2 Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn, x = 4Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерах‘ Z.
Потеряли корни sinx/2 = 0, х = 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

Правильное решение: 2sin 2 х/2(1 – сosx /2) = 0.

sin 2 х/2 = 0
x = 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.		1 – сosx /2 = 0
x = 4p n, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

2. Посторонние корни: освобождаемся от знаменателя; возводим в четную степень.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – Уравнение asinx bcosx c решение на примерах3 ) = 0. О.Д.З.: sin2x Уравнение asinx bcosx c решение на примерахУравнение asinx bcosx c решение на примерах3 / 2.

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(сos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0
х = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/3 + 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn/3, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.		2). 2sinx – 1 = 0
x = (–1) k Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/6 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

I. х = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/3 + 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn/3
1. n = 0
sin 2 Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/3 = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах3 / 2
не удовлетворяют. О.Д.З.

2. n = 1
sin 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерах= 0
удовлетворяют О.Д.З.

3. n = 2
sin 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/ 3 = –Уравнение asinx bcosx c решение на примерах3 / 2
удовлетворяют О.Д.З.

II. x = (–1) k Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/6 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ
1. k = 0
sin 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/6 = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах3 / 2
не удовлетворяют О.Д.З.
2. k = 1
sin 2*5Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/6 = –Уравнение asinx bcosx c решение на примерах3 / 2
удовлетворяют О.Д.З.

Ответ: х = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, x = 5Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/3 + 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, x = 5Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/6 + 2Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

2). Уравнение asinx bcosx c решение на примерахвведем подстановку t = 2x,
Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, cos t > 0.
1 – sin t = 2 cos 2 t

1). sin t = –1,
t = – Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 + 2 Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ;		2). sin t = 1/2,
t = (–1) n Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/6 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ;

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

I. t = – Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 + 2 Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ;
1. k = 0
t = – Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2
удовлетворяют О.Д.З.		II. t = (–1) n Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/6 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ;
1. n = 0
t = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/6
удовлетворяют О.Д.З.
2. n = 1
t = 5 Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/6
не удовлетворяют О.Д.З.
Ответ:
t = – Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 + 2 Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk,
x = – Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/4 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk,
k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ,		t = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/6 + 2 Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn,
x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/12 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn,
n Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

3. Отбор корней.

1). tgx + tg2x = tg3x О.Д.З.: х Уравнение asinx bcosx c решение на примерахУравнение asinx bcosx c решение на примерах/2+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, x Уравнение asinx bcosx c решение на примерахУравнение asinx bcosx c решение на примерах/4 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, x Уравнение asinx bcosx c решение на примерахУравнение asinx bcosx c решение на примерах/6 + Уравнение asinx bcosx c решение на примерахk, k Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

sin3x sinx sin2x = 0
sin3x = 0
x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn/3, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ,

n = 0, x = 0 уд.
n = 1, x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/3 уд.
n = 2, x = 2 Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/3 уд.
n = 3, x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерахуд.
n = 4, x = 4 Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/3 уд.
n = 5, x = 5 Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/3 уд.

sinx = 0
x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерахh, h Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ,

h = 0, x = 0 уд.
h = 1, x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерахуд.
h = 2, x = 2 Уравнение asinx bcosx c решение на примерахуд.

sin2x = 0
x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерахm/2, m Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

m = 0, x = 0 уд.
m = 1, x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 не уд.
m = 2, x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерахуд.
m = 3, x = 3 Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/2 не уд.

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Ответ: x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерахn/3, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерахZ.

Видео:Решение уравнения вида a sin x + b cos x = cСкачать

Решение уравнения вида a sin x + b cos x = c

Основные методы решения тригонометрических уравнений

п.1. Разложение на множители

Алгоритм простого разложения на множители

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения (f_1(x)cdot f_2(x)cdot . cdot f_n(x)=0) где (f_i(x)) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от (x).
Шаг 2. Решить совокупность уравнений: ( left[ begin f_1(x)=0\ f_2(x)=0\ . \ f_n(x)=0\ end right. )
Шаг 3. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (2cosx cos2x=cosx) begin 2cosx cos2x-cosx=0\ cosx(2cos2x-1)=0\ left[ begin cosx=0\ 2cos2x-1=0 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ cos2x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ 2x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=pmfracpi6+pi k end right. end

Уравнение asinx bcosx c решение на примерахМы видим, что полученные семейства образуют множество из 6 базовых точек на числовой окружности через каждые (60^=fracpi3)
Поэтому: begin left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=pmfracpi6+pi k end right. Leftrightarrow x=fracpi6+frac end

Возможно, у вас не сразу получится объединять решения, которые частично пересекаются или дополняют друг друга.
Тогда записывайте ответ в виде полученных семейств.
В рассмотренном примере, это пара (fracpi2+pi k, pmfracpi6+pi k), равнозначная c (fracpi6+frac).
Вот только научиться работать с числовой окружностью нужно обязательно, т.к. чем сложнее пример или задача, тем больше вероятность, что этот навык пригодится.

Алгоритм разложения на множители со знаменателем

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения $$ frac=0 $$ где (f_i(x), g_i(x)) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от (x).
Шаг 2. Решить смешанную систему уравнений: ( begin left[ begin f_1(x)=0\ f_2(x)=0\ . \ f_n(x)=0\ end right.\ g_1(x)ne 0\ g_2(x)ne 0\ . \ g_m(x)ne 0\ end )
Шаг 3. Найти объединение полученных решений для числителя. Исключить все решения, полученные для знаменателя. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (ctgx-tgx=frac)
Левая часть уравнения: $$ ctgx-tgx=frac-frac=frac=frac $$ Подставляем, переносим правую часть влево: $$ frac-frac=0 $$ Выносим общий множитель, умножаем на (1/2) слева и справа, получаем: $$ frac=0 $$ В этом уравнении учтено ОДЗ для (ctgx) и (tgx). Поэтому отдельно его не записываем.
Полученное уравнение равносильно системе: begin begin left[ begin cosx-sinx=0\ cosx+sinx=1 end right.\ sin2xne 0 end end Решаем первое уравнение как однородное 1-й степени (см. этот параграф ниже): begin cosx-sinx=0 |: cosx\ 1-tgx=0Rightarrow tgx=1Rightarrow x=fracpi4+pi k end Решаем второе уравнение введением вспомогательного угла (см. этот параграф ниже): begin cosx-sinx=1 | times frac<sqrt>\ frac<sqrt>cosx+frac<sqrt>sinx=frac<sqrt>\ cosleft(fracpi4right)cosx+sinleft(fracpi4right)sinx=frac<sqrt>\ cosleft(fracpi4-xright)=cosleft(x-fracpi4right)=cosleft(x-fracpi4right)=frac<sqrt> Rightarrow x-fracpi4=pmfracpi4+2pi kRightarrow left[ begin x=2pi k\ x=fracpi2+2pi k end right. end Решаем исключающее уравнение для знаменателя: $$ sin2xne 0Rightarrow 2xne pi kRightarrow xnefrac $$

Уравнение asinx bcosx c решение на примерахЗаписываем полученную систему, отмечаем базовые решения на числовой окружности, исключаем нули знаменателя. Получаем: begin begin left[ begin x=fracpi4+pi k\ x=2pi k\ x=fracpi2+2pi kLeftrightarrow x=fracpi4+pi k end right.\ xnefrac end end

За счет требования (xnefrac) исключаются семейства (x=fracpi2+2pi k) и (x=2pi k).
Остается только (x=fracpi4+pi k).
Ответ: (fracpi4+pi k)

п.2. Приведение к квадратному уравнению

Шаг 1. С помощью базовых тригонометрических отношений и других преобразований представить уравнение в виде $$ af^2(x)+bf(x)+c=0 $$ где (f(x)) — тригонометрическая функция.
Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=f(x)). Решить полученное квадратное уравнение: begin at^2+bt+c=0\ D=b^2-4ac, t_=frac<-bpmsqrt> end Шаг 3. Если (f(x)) — синус или косинус, проверить условие (-1leq t_leq 1). Отбросить лишние корни.
Шаг 4. Вернуться к исходной переменной и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin f(x)=t_1\ f(x)=t_2 end right. ) или одно оставшееся уравнение.
Шаг 5. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (3sin^2x+10cosx-6=0)
Заменим (sin^2x=1-cos^2x). Получаем: begin 3(1-cos^2x)+10cosx-6=0\ -3cos^2x+10cosx-3=0\ 3cos^2x-10cosx+3=0\ text t=cosx, -1leq tleq 1\ 3t^2-10t+3=0\ D=(-10)^2-4cdot 3cdot 3=64\ t=frac= left[ begin frac13\ 3gt 1 — text end right. end Решаем (cosx=frac13Rightarrow x=pm arccosfrac13+2pi k)
Ответ: (pm arccosfrac13+2pi k)

п.3. Приведению к однородному уравнению

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 1-й степени

Например:
Решим уравнение (sinx+cosx=0)
Делим на (cosx). Получаем: (tgx+1=0Rightarrow tgx=-1Rightarrow x=-fracpi4+pi k)
Ответ: (-fracpi4+pi k)

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 2-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на (cos^2x) begin frac=frac\ Atg^2x+Btgx+C=0 end Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=tgx). Решить полученное квадратное уравнение: begin at^2+bt+c=0\ D=b^2-4ac, t_=frac<-bpmsqrt> end Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin tgx=t_1\ tgx=t_2 end right. )
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3)
Приведем уравнение к однородному (чтобы избавиться от тройки справа, умножим её на тригонометрическую единицу): begin 6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3(sin^2x+cos^2x)\ 3sin^2x-sinxcosx-4cos^2x=0 |: cos^2x\ 3tg^2x-tgx-4=0\ text t=tgx\ 3t^2-t-4=0\ D=(-1)^2-4cdot 3cdot(-4)=49\ t=frac= left[ begin -1\ frac43 end right. end Решаем совокупность: ( left[ begin tgx=-1\ tgx=frac43 end right. Rightarrow left[ begin x=-fracpi4+pi k\ x=arctgfrac43+pi k end right. )
Ответ: (-fracpi4+pi k, arctgfrac43+pi k)

Обобщим понятие однородного тригонометрического уравнения на любую натуральную степень:

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения n-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на (cos^n x)
Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=tgx). Решить полученное алгебраическое уравнение: begin a_0t^n+a_1t^+. +a_n=0 end Найти корни (t_1, t_2. t_k, kleq n)
Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin tgx=t_1\ tgx=t_2\ . \ tgx=t_k end right. )
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (2sin^3x=cosx)
Умножим правую часть на тригонометрическую единицу и получим однородное уравнение 3-й степени: begin 2sin^3x=cosx(sin^2x+cos^2x)\ 2sin^3x-sin^2xcosx-cos^3x=0 |: cos^3x\ 2tg^x-tg^2x-1=0\ end Замена (t=tgx) дает кубическое уравнение: (2t^3-t^2-1=0)
Раскладываем на множители: begin 2t^3-t^2-1=t^3-t^2+t^3-1=t^2(t-1)+(t-1)(t^2+t+1)=\ =(t-1)(2t^2+t+1) end Вторая скобка на множители не раскладывается, т.к. (D=1-4cdot 2=-7 lt 0).
Получаем: (2t^3-t^2-1=0Leftrightarrow t-1=0)
Возвращаемся к исходной переменной:
(tgx=1Rightarrow x=fracpi4+pi k)
Ответ: (fracpi4+pi k)

п.4. Введение вспомогательного угла

Например:
Решим уравнение (sqrtsin3x-cos3x=1)
Делим уравнение на ( p=sqrt=2: ) begin sqrtsin3x-cos3x=1 |: 2\ frac<sqrt>sin3x-frac12cos3x=frac12\ sinleft(fracpi3right)sin3x-cosleft(fracpi3right)cos3x=frac12\ cosleft(fracpi3right)cos3x-sinleft(fracpi3right)sin3x=-frac12\ cosleft(3x+fracpi3right)=-frac12Rightarrow 3x+fracpi3=pmfrac+2pi kRightarrow 3x= left[ begin -pi+2pi k\ fracpi3+2pi k end right. Rightarrow x= left[ begin -fracpi3+frac\ fracpi9+frac end right. end
Ответ: (-fracpi3+frac, fracpi9+frac)

п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

При решении уравнений вида begin Asinax+Bsinbx+. +Ccoscx+Dcosdx+. =0 end используются формулы, выведенные в §17 данного справочника.
Затем проводится разложение на множители, и находится решение (см. начало этого параграфа).

Например:
Решим уравнение (cos3x+sin2x-sin4x=0)
Заметим, что: $$ sin2x-sin4x=2sinfraccosfrac=2sin(-x)cos3x=-2sinxcos3x $$ Подставляем: begin cos3x-2sinxcos3x=0\ cos3x(1-2sinx)=0\ left[ begin cos3x=0\ 1-2sinx=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ sinx=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=(-1)^kfracpi6+pi k= left[ begin x=fracpi6+2pi k\ frac+2pi k end right. end right. end Чтобы было понятней, распишем полученные множества в градусах: begin left[ begin x=fracpi6+frac=30^+60^k\ x=fracpi6+2pi k=30^+360^kLeftrightarrow x=30^+60^k=fracpi6+frac\ x=frac+2pi k=150^+360^k end right. end

Уравнение asinx bcosx c решение на примерахПолучаем, что семейства решений (fracpi6+2pi k) и (frac+2pi k) уже содержатся во множестве (fracpi6+frac).

п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

При решении уравнений вида begin sinaxcdot cosbx=sincxcdot cosdx, sinaxcdot sinbx=sincxcdot cosdx text end используются формулы, выведенные в §18 данного справочника.

Например:
Решим уравнение (sin5xcos3x=sin6xcos2x)
Заметим, что: begin sin5xcos3x=frac=frac\ sin6xcos2x=frac=frac end Подставляем: begin frac=frac |times 2\ sin8x-sin2x=sin8x-sin4x\ sin4x-sin2x=0\ 2sin2xcos2x-sin2x=0\ sin2x(2cos2x-1)=0\ left[ begin sin2x=0\ 2cos2x-1=0 end right. Rightarrow left[ begin 2x=pi k\ cos2x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ 2x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ x=pmfracpi6+pi k end right. end

Уравнение asinx bcosx c решение на примерахСемейства решений не пересекаются.

Примечание: учитывая ответ предыдущего примера, это же множество решений можно записать в виде: ( left[ begin x=frac\ x=pmfracpi6+pi k end right. Leftrightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=pi k end right. )

п.7. Понижение степени

При решении уравнений вида begin sin^2ax+sin^2bx+. +cos^2cx+cos^2dx+. =A end используются формулы понижения степени: begin sin^2x=frac, cos^2x=frac end (см. формулы половинного аргумента, §15 данного справочника).

Например:
Решим уравнение (sin^2x+sin^22x=1)
Расписываем квадраты синусов через формулу понижения степени: begin frac+frac=1\ cos2x+cos4x=0\ 2cosfraccosfrac=0\ cos3xcosx=0\ left[ begin cos3x=0\ cosx=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ x=fracpi2+pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=fracpi2+pi k end right. end

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах(x=fracpi2+pi k) является подмножеством (x=fracpi6+frac)
Поэтому begin left[ begin x=fracpi6+frac\ x=fracpi2+pi k end right. Leftrightarrow x=fracpi6+frac end

п.8. Замена переменных

При решении уравнений вида (f(sinxpm cosx, sinxcosx)=0) используется замена begin t=cosxpm sinx end

Например:
Решим уравнение (sinx+cosx=1+sinxcosx)
Замена: (t=sinx+cosx)
Тогда (t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+2sinxcosxRightarrow sinxcosx=frac)
Подставляем: begin t=1+fracRightarrow 2(t-1)=t^2-1Rightarrow t^2-2t+1=0Rightarrow (t-1)^2=0Rightarrow t=1\ sinx+cosx=1 | times frac<sqrt>\ frac<sqrt>sinx+frac<sqrt>cosx=frac<sqrt>\ sinfracpi4 sinx+cosfracpi4 cosx=frac<sqrt>\ cosleft(x-fracpi4right)=frac<sqrt>Rightarrow x-fracpi4=pmfracpi4 + 2pi kRightarrow Rightarrow left[ begin x=2pi k\ x=fracpi2+2pi k end right. end Ответ: (2pi k, fracpi2+2pi k)

п.9. Использование ограничений области значений функций

Уравнения вида begin underbrace_<m text> end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно 1.
Поэтому решаем систему: ( begin sinax=1\ sinbx=1\ . \ cosdx=1\ . end )
Находим пересечение (!) полученных семейств решений и записываем ответ.

Аналогично, уравнение вида begin underbrace_<m text> end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно -1.

Например:
Решим уравнение (sinx+cos4x=2)
Для этого нужно решить систему: begin begin sinx=1\ cos4x=1 end Rightarrow begin x=fracpi2+2pi k\ 4x=2pi k end Rightarrow begin x=fracpi2+2pi k\ x=frac end end

Уравнение asinx bcosx c решение на примерахПересечением двух семейств решений будет только (fracpi2+2pi k).
Поэтому begin begin x=fracpi2+2pi k\ x=frac end Leftrightarrow x=fracpi2+2pi k end

п.10. Примеры

Пример 1. Используя различные методы, решите уравнения:
a) (4sinleft(fracpi2right)+5sin^2x=4)
Приводим уравнение к квадратному:
(5sin^x+4cosx-4=0)
(5(1-cos^2x)+4cosx-4=0)
(-5cos^2x+4cosx+1=0)
(5cos^2x-4cosx-1=0)
Замена: (t=cosx, -1leq tleq 1) begin 5t^2-4t-1=0Rightarrow (5t+1)(t-1)=0Rightarrow left[ begin t_1=-frac15\ t_2=1 end right. end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin cosx=-frac15\ cosx=1 end right. Rightarrow left[ begin x=pm arccosleft(-frac15right)+2pi k\ x=2pi k end right. end Ответ: (pm arccosleft(-frac15right)+2pi k, 2pi k)

б) (6sinxcosx=5cos2x)
(6sinxcosx=3cdot 2sinxcosx=3sin2x)
Приводим уравнение к однородному 1-й степени:
(3sin2x=5cos2x | : cos2x)
(3tg2x=5Rightarrow tg2x=frac53Rightarrow 2x=arctgfrac53+pi kRightarrow x=frac12 arctgfrac53+frac)
Ответ: (frac12 arctgfrac53+frac)

в) (9cos^2x-5sin2x=-sin^2x)
(5sin2x=5cdot 2sinxcosx=10sinxcosx)
Приводим уравнение к однородному 2-й степени:
(sin^2x-10sinxcosx+9cos^2x=0 |: cos^2x)
(tg^2x-10tgx+9=0)
Замена: (t=tgx) begin t^2-10+9=0Rightarrow (t-1)(t-9)=0Rightarrow left[ begin t_1=1\ t_2=9 end right. end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin tgx=1\ tgx=9 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi4+pi k\ x=arctg9+pi k end right. end Ответ: (fracpi4+pi k, arctg9+pi k)

г) (cos3x-1=cos6x)
Косинус двойного угла: (cos6x=2cos^2 3x-1)
Подставляем и раскладываем на множители:
(cos3x-1=2cos^2 3x-1)
(cos3x-2cos^2 3x=0)
(cos3x(1-2cos3x)=0) begin left[ begin cos3x=0\ 1-2cos3x=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ cos3x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ 3x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=pmfracpi9+frac end right. end Чтобы проверить пересечения, распишем семейства решений через градусы: begin left[ begin x=fracpi6+frac=30^+60^k=<. -90^,-30^,30^,90^,150^. >\ x=pmfracpi9+frac= left[ begin -20^+120^k=<. -140^,-20^,100^. >\ 20^+120^k=<. -100^,20^,140^. > end right. end right. end Семейства не пересекаются.
Ответ: (fracpi6+frac, pmfracpi9+frac)

д) (sqrtsin2x-cos2x=-sqrt)
Разделим на (p=sqrt) и введем дополнительный угол:
(frac<sqrt>sin2x-frac12 cos2x=-frac<sqrt>)
(frac12cos2x-frac<sqrt>sin2x=frac<sqrt>)
(cosleft(2x-fracpi3right)=frac<sqrt>)
(2x-fracpi3=pmfracpi6+2pi k)
(2x=fracpi3pmfracpi6+2pi k= left[ begin -frac+2pi k\ fracpi2+2pi k end right. )
( left[ begin x=-frac+pi k\ x=fracpi4+pi k end right. ) Семейства решений не пересекаются.
Ответ: (-frac+pi k, fracpi4+pi k)

е) (cos^2x+cos^2 2x=cos^2 3x+cos^2 4x)
Формула понижения степени: (cos^2x=frac)
Подставляем: begin frac+frac=frac+frac\ cos2x+cos4x=cos6x+cos8x\ 2cosfraccosfrac=2cosfraccosfrac |: 2\ cos3xcosx=cos7xcosx=0\ cos3xcosx-cos7xcosx=0\ cosx(cos3x-cos7x)=0\ cosxleft(-2sinfracsinfracright)=0\ -2cosxsin5xsin(-2x)=0\ 2cosxsin5xsin2x=0\ cosxsin5xsin2x=0\ left[ begin cosx=0\ sin5x=0\ sin2x=0 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ 5x=pi k\ 2x=pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=frac\ x=frac end right. end Семейство решений (x=fracpi2+pi k) (базовые точки 90°, 270° на числовой окружности) является подмножеством для (x=frac) (базовые точки 0°, 90°, 180°, 270°). Поэтому: begin left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=frac\ x=frac end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ x=frac end right. end Ответ: (frac, frac)

Пример 2*. Решите уравнения:
a) begin frac-frac+frac=0 end ОДЗ: (tgxne pm 3)
1) Если (cosxne 0), то последнее слагаемое (frac=frac<frac><frac>=frac)
Получаем: begin frac-frac+frac=0\ frac=0\ frac=0\ end Замена: (t=tgx) begin fracRightarrow begin t^2+7t-30=0\ tnepm3 end Rightarrow begin (t+10)(t-3)=0\ tnepm3 end Rightarrow begin left[ begin t=-10\ t=3 end right.\ tnepm3 end Rightarrow\ t=-10 end Получаем: begin tgx=-10\ x=arctg(-10)+pi k=-arctg10+pi k end
2) Проверим, является ли (cosx=0) решением.
При (cosx=0, x=fracpi2+pi k, tgxrightarrowinfty). Первое слагаемое (fracrightarrowfracrightarrow 0)
Второе слагаемое (fracrightarrowfracrightarrow 0)
Третье слагаемое (fracrightarrowfrac=1ne 0)
Сумма слагаемых в пределе (tgxrightarrowinfty) равна (0+0+1=1ne 0)
(cosx=0) решением не является.
Ответ: (-arctg10+pi k)

б) (frac+1=7frac)
ОДЗ: (cosxne 0, xnefracpi2+pi k) begin |cosx|= begin cosx, -fracpi2+2pi kleq xlt fracpi2+2pi k\ -cosx, fracpi2+2pi kleq xlt frac+2pi k end end 1) Решаем для положительного косинуса (1-я и 4-я четверти) begin frac+1=7frac\ 3(1+tg^2x)+1-7tgx=0\ 3tg^2-7tgx+4=0\ (3tgx-4)(tgx-1)=0\ left[ begin tgx=frac43\ tgx=1 end right. Rightarrow left[ begin x=arctgfrac43+pi k\ x=fracpi4+pi k end right. end

Уравнение asinx bcosx c решение на примерахПолученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: (fracpi4, arctgfrac43, frac) и (pi+arctgfrac43), которые находятся в 1-й и 3-й четвертях.
Выбираем только точки в 1-й четверти:
(fracpi4) и (arctgfrac43).
Это означает, что в записи решения период будет не (pi k), а (2pi k). begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=fracpi4+2pi k end right. end

2) Решаем для отрицательного косинуса (2-я и 3-я четверти) begin frac+1=-7frac\ 3(1+tg^2x)+1+7tgx=0\ 3tg^2x+7tgx+4=0\ (3tgx+4)(tgx+1)=0\ left[ begin tgx=-frac43\ tgx=-1 end right. Rightarrow left[ begin x=-arctgfrac43+pi k\ x=-fracpi4+pi k end right. end

Уравнение asinx bcosx c решение на примерахПолученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: (-fracpi4, -arctgfrac43, frac) и (pi-arctgfrac43), которые находятся в 2-й и 4-й четвертях.
Выбираем только точки вo 2-й четверти:
(frac) и (pi-arctgfrac43).
Это означает, что в записи решения будут выбранные точки с периодом (2pi k). begin left[ begin x=pi-arctgfrac43+2pi k\ x=frac+2pi k end right. end

3) Объединяем полученные решения: begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=fracpi4+2pi k\ x=pi-arctgfrac43+2pi k\ x=frac+2pi k end right. end

Уравнение asinx bcosx c решение на примерахПо аналогии с записью арксинуса можно объединить симметричные относительно оси синусов точки: begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=pi-arctgfrac43+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^k arctgfrac43+pi k\ left[ begin x=fracpi4+2pi k\ x=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^k fracpi4+pi k\ end

Окончательно получаем: ( left[ begin x=(-1)^k arctgfrac43+pi k\ x=(-1)^k fracpi4+pi k end right. ).
Ответ: ((-1)^k arctgfrac43+pi k, (-1)^k fracpi4+pi k)

г) (3sinx-4cosx=5)
Способ 1. Вводим дополнительный угол:
(p=sqrt=5)
(frac35sinx-frac45 cosx=1)
(sinalpha=frac35, cosalpha=frac45)
(sinalpha sinx-cosalpha cosx=1)
(cosalpha cosx-sinalpha sinx=-1)
(cos(x+alpha)=-1)
(x+alpha=pi+2pi k)
(x=-alpha+pi+2pi k=-arcsinfrac35+pi+2pi k)

Способ 2. Делаем универсальную подстановку: begin sinalpha=frac<2tgfrac>, cosalpha=frac\ 3cdot frac<2tgfrac><1+tg^2frac>-4cdotfrac<1-tg^2frac><1+tg^2frac>=5\ frac<6tgfrac-4left(1-tg^2fracright)-5left(1+tg^2fracright)><1+tg^2frac>=0 end (1=tg^2fracgeq 1), знаменатель никогда не превращается в 0, отбрасываем его и работаем с числителем: begin -tg^2frac+6tgfrac-9=0Rightarrow tg^2frac-6tgfrac+9=0Rightarrowleft(tgfrac-3right)^2=0Rightarrow tgfrac=3\ frac=arctg3+pi kRightarrow x= 2arctg3+2pi k end

Докажем, что полученные ответы: $$ x=-arcsinfrac35+pi+2pi k text x=2arctg3+2pi k $$ равнозначны, т.е. (-arcsinfrac35+pi=2arctg3), и равны углы: $$ arcsinfrac35=pi-2arctg3 (*) $$ Пусть в правой части равенства (*) (2arctg3=varphi). Тогда (arctg3=fracvarphi2) и (tgfracvarphi2=3).
А в левой части равенства (*) (arcsinfrac35=alpha) и (sinalpha=frac35)
Угол (0lt arcsinfrac35lt fracpi2) расположен в 1-й четверти.
Угол (varphi=2arctg3) расположен во 2-й четверти ((cosvarphilt 0, sinvarphigt 0)). $$ cosvarphi=frac=frac=-frac45, sinvarphi=frac=frac=frac35 $$ Получаем, что для угла (alpha: sinalpha=frac35, cosalpha=frac45)
Для угла (varphi: sinvarphi=frac35, cosvarphi=-frac45)
Откуда следует, что (alpha=pi-varphi). Что и требовалось доказать.
Ответ: (-arcsinfrac35+pi+2pi k) или (2arctg3+2pi k) (т.к. (-arcsinfrac35+pi=2arctg3))

Видео:Уравнение вида a sin x + b cos x =cСкачать

Уравнение вида a sin x + b cos x =c

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение sinx = a, x- неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a n arcsina+πn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

Например, решение уравнения sinx = 0,3 записывается в виде:

x = (-1) n arcsin0,3+πn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

Уравнение соsx = a, x- неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a

б)Ecли a = 1, то решение уравнения: x= Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x= Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x= Уравнение asinx bcosx c решение на примерахУравнение asinx bcosx c решение на примерах

д) Ecли a Уравнение asinx bcosx c решение на примерахто x= Уравнение asinx bcosx c решение на примерахarccosa+2πn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

Например, решение уравнения cosx = 0,3 записывается в виде

x= Уравнение asinx bcosx c решение на примерахarccos0,3+2πn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

Уравнение tgx = a, x – неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

Решение уравнения x = arctga + πn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

Например, решение уравнения tgx =3, будет x = arctg3 + πn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

Замечание: если a = 0, то x = πn, n Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

Схема решения простейших тригонометрических уравнений

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерахУравнение asinx bcosx c решение на примерах

Нет корней Уравнение asinx bcosx c решение на примерахНет корней

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах■ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах■

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах♦ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах♦

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах● Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах●

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерахУравнение asinx bcosx c решение на примерах

Уравнение asinx bcosx c решение на примерахУравнение asinx bcosx c решение на примерах

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах
Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

а) sinx = 3; б) sinx = — Уравнение asinx bcosx c решение на примерах; в) cosx = -2,3; г) cosx = — Уравнение asinx bcosx c решение на примерах; д) tgx = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

а) Так как 3>1, то решений нет. Ответ: решений нет.

б) x =(-1) k arcsin(- Уравнение asinx bcosx c решение на примерах)+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерахx =(-1) k Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

x =(-1) k +1 Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерахОтвет: (-1) k +1 Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

в) Так как -2,3>1, то решений нет; Ответ: решений нет.

г) x= Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, x= Уравнение asinx bcosx c решение на примерах;

Ответ: Уравнение asinx bcosx c решение на примерах;

д) tgx = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, x = arctg Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерахx = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерахОтвет: Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

3.Виды тригонометрических уравнений:

1.Уравнения, в которых можно выполнить замену переменной

Такие тригонометрические уравнения можно привести, например, к виду

где a,b,c – некоторые действительные числа,a ≠0, f(x)- одна из тригонометрических функций.

Например, 4sin 2 x +5 sinx+1 = 0.

Обозначим sinx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:

4t 2 +5t +1 = 0, это квадратное уравнение относительно t, найдем его корни.

Подставим найденные значения t1 и t2 в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения sinx =-1,sinx =- 0,25.

Решение первого уравнения x= — Уравнение asinx bcosx c решение на примерахРешение второго уравнения

x =(-1) k+1 arcsin0,25+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Ответ: — Уравнение asinx bcosx c решение на примерах; (-1) k+1 arcsin0,25+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Решить уравнение sin 2 x + cosx +1= 0.

sin 2 x + cosx +1= 0, заменяя sin 2 x = 1- cos 2 x, получим 1- cos 2 x+ cosx +1= 0,

cos 2 x — cosx -2= 0.

Обозначим cosx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:

t 2 -t -2 = 0, это квадратное уравнение относительно t найдем его корни.

Подставим найденные значения t1 и t2 в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения cosx = -1, cosx = 2.

Решение первого уравнения x= Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Второе уравнение решений не имеет, т.к. 2>1.

Ответ: Уравнение asinx bcosx c решение на примерах,

2.Однородные тригонометрические уравнения.

Такие уравнения можно привести к виду a∙sin 2 x+bsinxcosx+ k∙cos 2 x= 0,

a,b,k – некоторые действительные числа, a≠0, k≠0.

Например, 4sin 2 x +5sinx cosx+cos 2 x = 0.Такие уравнения – однородные уравнения второй степени

Чтобы решить такое уравнение, надо:

1. Разделить почленно обе части уравнения на cos 2 x ≠ 0,т.е.

4 Уравнение asinx bcosx c решение на примерах;

2.Выполнить преобразования: 4 Уравнение asinx bcosx c решение на примерах4tg 2 x +5tgx+1=0.

3.Решить квадратное уравнение относительно tgx, tgx =t.

tgx = -1, tgx = — 0,25.

x = arctg(-1)+πk, Уравнение asinx bcosx c решение на примерахили x = arctg(-0,25)+πn, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах,

x = — Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+πk, Уравнение asinx bcosx c решение на примерахили x = — arctg 0,25+πn, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

Ответ: — Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+πk, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах; — arctg0,25+πn, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Решить уравнение 4sin 2 x +sin2x -3 = 0.

Заменим в данном уравнении sin2x по формуле двойного аргумента на 2sinxcosx, а 3- на 3sin 2 x +3сos 2 x , т.к. sin 2 x +сos 2 x =1, получим:

4sin 2 x +2sinxcosx-3sin 2 x -3сos 2 x =0, sin 2 x +2sinxcosx-3сos 2 x =0.

Последнее уравнение – однородное. Решим его:

1. Уравнение asinx bcosx c решение на примерах;

2. Уравнение asinx bcosx c решение на примерахtg2x +2tgx — 3= 0.

3. tgx =t, t 2 +2t — 3= 0. D=16, t1= 1;t2= -2 .

x = arctg1+πk, Уравнение asinx bcosx c решение на примерахили x = arctg(-3)+πn, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах,

x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+πk, Уравнение asinx bcosx c решение на примерахили x = — arctg 3+πn, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

Ответ: Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+πk, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах; — arctg3+πn, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Для решения однородных уравнений можно использовать следующую таблицу:

1. Привести уравнение к виду Уравнение asinx bcosx c решение на примерах2. Решить уравнение Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

3.Уравнение вида asinx+bcosx=c

Чтобы решить уравнение такого вида (например,3sinx+4cosx=2), можно 1.Записать его в виде sin(x +t) = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах( в нашем случае sin(x +t) = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах,

sin(x +t) = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах).

2.Решить простейшее тригонометрическое уравнение: sin(x +t) = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

( в нашем случае sin(x +t) = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, x+t =(-1) k arcsin0,4 +πk, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах;

x = (-1) k arcsin0,4 – t +πk, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах;

3. Определить t, t = arctgb/a ( в нашем случае t = arctg4/3);

4. Записать ответ: x = (-1) k arcsin0,4 – arctg4/3+πk, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

Решите уравнение 2sinx +cosx = 1.

1. sin(x +t) = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, sin(x +t) = Уравнение asinx bcosx c решение на примерах;

2. x+t = (-1) k arcsin Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+πk, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, x = (-1)k arcsin Уравнение asinx bcosx c решение на примерах-t+πk, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах;

4. Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, x = (-1) k arcsin Уравнение asinx bcosx c решение на примерах-arctg0,5 +πk, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах/

Для решения уравнения вида Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, где Уравнение asinx bcosx c решение на примерахможно использовать следующую таблицу:

УравнениеРавносильное уравнениеДополнительное условие
Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

Если левая часть тригонометрического уравнения Уравнение asinx bcosx c решение на примерахсодержит лишь одно из выражений Уравнение asinx bcosx c решение на примерахили Уравнение asinx bcosx c решение на примерахи функцию Уравнение asinx bcosx c решение на примерах(или произведение Уравнение asinx bcosx c решение на примерах), то, вводя новую переменную Уравнение asinx bcosx c решение на примерахили Уравнение asinx bcosx c решение на примерахи учитывая, что Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, приходим к уравнению относительно Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

Для решения тригонометрических уравнений данным способом можно использовать таблицу

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

5.Некоторые другие виды тригонометрических уравнений

а) sin(3x+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах) = 0,5; б) sin2x + cosx = 0 ; в)sinx + cosx = 0

а) sin(3x+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах) = 0,5.

Обозначим 3x+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах= t, получим: sint = 0,5- простейшее уравнение, его решение t =(-1)k Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерахЗаменим t на 3x+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, получим 3x + Уравнение asinx bcosx c решение на примерах= (-1)k Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Решим это уравнение относительно х:

3x = — Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ (-1)k Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, разделим все члены правой части уравнения на 3, получим x = — Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ (-1)k Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

Ответ: — Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ (-1)k Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

б) sin2x – cosx = 0.

Заменим в данном уравнении sin2x по формуле синуса двойного аргумента на 2sinxcosx, получим

2sinxсos + cosx = 0.

Затем вынесем cosx за скобки, получим: cosx (2sinx-1) = 0,

откуда сosx = 0 или 2sinx -1=0;

x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерахили sinx = 0,5;

x = Уравнение asinx bcosx c решение на примерахили x = (-1)n Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Ответ: Уравнение asinx bcosx c решение на примерах; (-1)n Уравнение asinx bcosx c решение на примерах+ Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

в) sinx + cosx = 0.

Это уравнение можно рассматривать как однородное уравнение первой степени относительно функций синуса и косинуса. Чтобы решить это уравнение :

Разделим почленно обе части уравнения на cosx,получим:

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

tgx +1 = 0, tgx = -1 .

3.Решим простейшее уравнение tgx = -1, x= Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Ответ: Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

6.Уравнения, решаемые с помощью применения свойств ограниченности тригонометрических функций

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах
1) Уравнение asinx bcosx c решение на примерах. Так как Уравнение asinx bcosx c решение на примерахи Уравнение asinx bcosx c решение на примерахдля Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, то уравнение Уравнение asinx bcosx c решение на примерахравносильно системе Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерахТак как Уравнение asinx bcosx c решение на примерах, то Уравнение asinx bcosx c решение на примерах— корень исходного уравнения. Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Ответ: Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

2) Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерах=2

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Уравнение asinx bcosx c решение на примерахУравнение asinx bcosx c решение на примерах

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах Уравнение asinx bcosx c решение на примерахУравнение asinx bcosx c решение на примерах

Уравнение asinx bcosx c решение на примерах

Ответ: Уравнение asinx bcosx c решение на примерах.

🎦 Видео

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.

Уравнения вида a*sinx+b*cosx=cСкачать

Уравнения вида a*sinx+b*cosx=c

10 класс, 30 урок, Преобразование выражения Asinx + Bcosx к виду Csin(x+t)Скачать

10 класс, 30 урок, Преобразование выражения Asinx + Bcosx к виду Csin(x+t)

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений и их систем. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений и их систем. 10 класс.

Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Решение уравнения a*sin^2(x)+b*sin(x)*cos(x)+c*cos^2(x)=0Скачать

Решение уравнения a*sin^2(x)+b*sin(x)*cos(x)+c*cos^2(x)=0

Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачи

Решение тригонометрических уравнений. Метод понижения порядка. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Метод понижения порядка. 10 класс.

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ решение примеров 10 классСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ решение примеров 10 класс

Решите уравнение ➜ sin⁡x+cos⁡x=1 ➜ 2 способа решенияСкачать

Решите уравнение ➜ sin⁡x+cos⁡x=1 ➜ 2 способа решения

Тригонометрия. Уравнения. Метод введения вспомогательного угла для уравнений вида asinx+bcosx=c.Скачать

Тригонометрия. Уравнения. Метод введения вспомогательного угла для уравнений вида asinx+bcosx=c.

КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать

КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=A

Преобразование выражения A sin x + В cos x к виду С sin (х + t) | Алгебра 10 класс #38 | ИнфоурокСкачать

Преобразование выражения A sin x + В cos x к виду С sin (х + t) | Алгебра 10 класс #38 | Инфоурок
Поделиться или сохранить к себе:
О сайте | | © 2024 Про уравнения - легко.